Linear Lavrent'ev Integral Equation for the Numerical Solution of a Nonlinear Coefficient Inverse Problem
本文首次对M. M. Lavrent'ev在1964年提出了一个三维波动方程的系数反问题。数据不是超定的。收敛性分析以及数值结果。Lavrent'ev方程的一个有趣的特点是，在不进行任何线性化的情况下，它将一个高度非线性系数的反问题归结为一个第一类线性积分方程。然而，该方程的数值结果，其中使用的系数反问题产生的数据，显示出良好的重建精度。这与1951年导出的经典Gelfand-Levitan方程相似，该方程在一维情况下是有效的。
2020-10-27 cs.NA math.NA
Everything is Vecchia: Unifying low-rank and sparse inverse Cholesky approximations
University of California San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
本文通过结合部分Cholesky近似与Vecchia近似，证明Vecchia近似能统一低秩和稀疏逆Cholesky近似方法，拓展了其应用范围。
2026-03-05 cs.NA math.NA
Robust optimal design of large-scale Bayesian nonlinear inverse problems
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；Argonne National Laboratory（阿贡国家实验室）
本文提出了一种针对非线性贝叶斯反问题的鲁棒最优实验设计框架，通过考虑不确定性因素，提升设计的鲁棒性，并在椭圆偏微分方程反问题中验证了其有效性。
2025-08-12 cs.NA math.NA
A class of regularizations based on nonlinear isotropic diffusion for inverse problems
基于全变分（TV）方法，提出了一种基于非线性各向同性扩散（NID）的正则化方法，用于求解具有分段光滑解的反问题.我们的方法的新颖性是自适应的（我们称之为A-NID），即正则化在迭代过程中变化，以结合边缘上的先验信息，处理重建的演变并规避由于所提出的泛函的非凸性而引起的限制。在详细分析了该方法的收敛性和适定性后，通过在计算机断层扫描（CT）上进行的仿真验证了该方法的有效性。
2021-08-24 cs.NA math.NA
An artificial neural network approximation for Cauchy inverse problems
提出了一种求解柯西反问题的新的人工神经网络方法。它允许具有任意宽度和深度的多个隐藏层，理论上可以更好地近似逆问题。本文通过证明神经网络方法解Cauchy反问题的适定性的存在性和收敛性，并通过数值算例说明其精度和稳定性.数值例子是从不同的角度来看，包括时间相关和时间无关的情况下，高空间维的情况下，高达8D，和情况下，噪声边界数据和奇异的计算域。此外，数值结果还表明，更广泛和更深的隐层神经网络可以导致更好的逼近柯西反问题。
2020-01-06 cs.NA math.NA
Self-supervised learning for a nonlinear inverse problem with forward operator involving an unknown function arising in photoacoustic tomography
在这篇文章中，我们关注的是一个非线性反问题的前向算子涉及一个未知的功能。这个问题出现在不同的应用中，并且在存在未知函数的情况下具有挑战性，这使得它不适定。此外，问题的非线性性质使得难以使用传统方法，因此，该研究通过线性化或假设未知函数的知识来解决问题的简化版本。在这里，我们提出了自监督学习来直接解决涉及未知函数的非线性逆问题。特别是，我们专注于一个逆问题，在光声断层扫描（PAT），这是一个混合的医学成像具有高分辨率和对比度。PAT可以基于波动方程建模。所测量的数据提供了对方程的解，该方程被限制为包含关于感兴趣对象的生物信息的方程的表面和初始压力。方程中声波的速度是未知的。我们的目标是同时确定声波的初始压强和速度。在简单假设声速是初始压力的函数的情况下，该问题变成涉及未知函数的非线性反问题。实验结果表明，该框架执行成功。
2023-02-04 cs.NA math.NA
Computing quasisolutions of nonlinear inverse problems via efficient minimization of trust region problems
Institute of Mathematics Alpen-Adria-Universität Klagenfurt（克拉根福阿尔卑斯-亚得里亚大学数学研究所）
本文提出一种基于Ivanov正则化方法的非线性反问题正则化求解方法，通过迭代近似和二次泰勒展开解决非凸成本函数的最小化问题，结合Rendl和Wolkowicz开发的高效算法进行数值实验与收敛性分析。
2015-09-10 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of a Variable Projection Method for Regularized Separable Nonlinear Inverse Problems
本文分析了在变量投影方法中使用LSQR近似计算Jacobians的影响，提出了确保收敛的停止准则，并通过盲反卷积数值实验验证了理论结果。
2024-02-13 cs.NA math.NA
A Reduced Basis Landweber method for nonlinear inverse problems
University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文提出结合缩减基方法的非线性Landweber方法，用于解决高维参数空间中的非线性逆问题，通过适应性在线缩减基更新提升计算效率，应用于热方程导电率反演。
2018-05-04 cs.NA math.NA
Asymptotic expansion regularization for inverse source problems in two-dimensional singularly perturbed nonlinear parabolic PDEs
本文对二维非线性、非定常奇摄动偏微分方程（PDE）的源反问题提出了一种渐近展开正则化（AER）方法。这种方法的关键思想是使用的渐近展开理论，它使我们能够确定的条件下，一个解决方案的存在性和唯一性的一个给定的偏微分方程的尖锐的过渡层。作为一个副产品，我们推导出一个更简单的连接方程之间的源函数和一阶渐近近似的可测量的量，并基于该方程，我们提出了一个有效的反演算法，AER，反源问题。我们证明了这种简化不会降低反演结果的精度，特别是对于有噪声数据的反演问题。各种数值例子来证明我们的新方法的效率。
2022-10-13 cs.NA math.NA
A fast subspace optimization method for nonlinear inverse problems in Banach spaces with an application in parameter identification
Saarland University（萨尔兰大学）
本文提出一种基于顺序Bregman投影的快速迭代方法，用于Banach空间中的非线性反问题，通过多搜索方向和步长调节减少迭代次数，适用于精确和噪声数据，并在椭圆边界值问题中用于参数识别。
2018-01-16 cs.NA math.NA
Pseudo-inverses of difference matrices and their application to sparse signal approximation
University of Göttingen（哥廷根大学）；Saarland University（萨尔兰大学）
本文推导了对称差分矩阵的Moore-Penrose逆的显式表达式，并将其应用于基于偏微分方程的散乱数据插值正则化方法，通过正交补集追寻算法构建稀疏信号逼近字典。
2015-04-16 cs.NA math.NA
Approximation error estimates and inverse inequalities for B-splines of maximum smoothness
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；University of Pavia（帕维亚大学）
本文研究最大光滑性B-样条的近似误差估计及逆不等式，揭示其在Sobolev范数下的特性，为等几何离散化求解偏微分方程提供高效迭代方法基础。
2015-11-13 cs.NA math.NA
Sharp inverse statements for kernel approximation: Superconvergence and saturation
Ludwig Maximilian University of Munich（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）；Munich Center for Machine Learning（慕尼黑机器学习中心）
本文通过研究核近似中的超收敛区域，建立了目标函数光滑性与逼近速率的对应关系，并扩展了现有结果至更广泛的光滑空间范围。
2026-01-05 cs.NA math.NA
Born and inverse Born series for scattering problems with Kerr nonlinearities
本文研究具有克尔型立方非线性标量波的玻恩级数和玻恩逆级数。我们找到了玻恩级数中算子的递推公式，并证明了它们的有界性。这一结果给出了保证玻恩级数收敛的条件，并随后产生了保证玻恩级数逆收敛的条件。我们还使用不动点理论给出交替显式条件的Born级数收敛。我们用数值实验来说明我们的结果。
2022-11-14 cs.NA math.AP math.NA
Direct and inverse theorems on the approximation of almost periodic functions in Besicovitch-Stepanets spaces
本文在Besicovitch-Stepanets空间$B{\mathcal S}^{p}$中，以最佳逼近和广义光滑模为工具，建立了概周期函数逼近的正定理与逆定理。
2021-05-14 cs.NA math.CA math.NA
Iterative regularization for constrained minimization formulations of nonlinear inverse problems
本文将反问题表示为约束极小化问题，并利用梯度型或牛顿型迭代法求解。我们进行了收敛性分析的意义上的正则化方法，并讨论了适用性的问题，从不同的观测集识别的空间变化的扩散在椭圆型偏微分方程。其中是一种新的混合成像技术称为阻抗声层析成像，我们提供了数值实验。
2021-01-14 cs.NA math.NA math.OC
Nonlinearity helps the convergence of the inverse Born series
本研究在前期标量波动方程逆Born级数收敛性研究基础上，证明已知线性项系数时，小数据下可重构任意强度Kerr非线性，且一般多项式非线性也有类似收敛结果，并用数值算例验证。
2024-10-07 cs.NA math-ph math.MP
On the method of directly defining inverse mapping for nonlinear differential equations
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration (CISSE)（先进船舶与深海探测协同创新中心）
本文提出一种新的方法，通过直接定义逆映射来求解非线性微分方程，无需计算逆算子，展示了其在科学计算中的有效性与灵活性。
2015-11-10 cs.NA math.NA nlin.SI
On an inverse problem of nonlinear imaging with fractional damping
本文考虑压力公式中的衰减的韦斯特丙酮方程。衰减是由文献中提出的各种模型，其特征在于包含非本地运营商，使幂律阻尼，而不是指数的经典模型。我们的目标是恢复方程中的空间相关系数的反问题，非线性参数$κ(x)$，在什么成为一个非线性双曲型方程与非局部项。叠加的测量数据是在域的子集或其边界上取得的时间轨迹。我们将显示从$κ$到用于恢复它的叠加数据的线性映射的内射性，并在此基础上开发和分析牛顿型方案以进行有效恢复。
2021-03-16 cs.NA math.AP math.NA
Inverse Problem of Nonlinear Schrödinger Equation as Learning of Convolutional Neural Network
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Huawei Technologies Co., Ltd.（华为技术有限公司）
在这项工作中，我们使用一个可解释的卷积神经网络（NLS-Net）来解决非线性薛定谔方程的反问题，这是广泛应用于光纤通信。经验研究了学习问题的非凸损失函数的景观和极小化。为该方法超参数的选取提供了指导。从NLS网的表达能力和数据的角度讨论了最优解的估计误差。此外，我们还比较了深度学习中流行的几种训练算法的性能。结果表明，可以得到一个相对准确的估计所考虑的参数使用所提出的方法。该研究为深度学习求解非线性偏微分方程反问题提供了一个自然的框架。
2021-07-19 cs.LG cs.NA math.NA
A mixed finite elements approximation of inverse source problems for the wave equation with variable coefficients using observability
针对变系数一维波动方程的反源问题，提出基于混合有限元空间离散的近似方法，其稳定与收敛依赖于新的均匀边界可观测性。
2025-01-20 cs.NA math.NA math.OC
Inverse nonlinear fast Fourier transform on SU(2) with applications to quantum signal processing
本文研究SU(2)上的逆非线性傅里叶变换，首次证明层剥离算法的数值稳定性，提出接近线性复杂度的逆非线性快速傅里叶变换算法，可用于量子信号处理及广义量子信号处理的相位因子计算。
2025-05-19 cs.NA math.NA quant-ph
Bi-level iterative regularization for inverse problems in nonlinear PDEs
针对非线性演化偏微分方程中未知空间依赖参数的不适定逆问题，提出结合约化与全耦合设置的双层Landweber格式，推导迭代停止准则与收敛性，可用于磁性粒子成像中相关方程的参数识别。
2024-02-05 cs.NA math.NA math.OC
Approximation of the inverse scattering Steklov eigenvalues and the inverse spectral problem
本文研究了声逆散射中Steklov本征值问题的数值逼近。基本的散射问题是一个非均匀的各向同性介质。这些特征值已被提议用作目标特征，因为它们可以从散射数据中恢复。研究了一种以拉普拉斯算子的Neumann本征函数为基函数的Galerkin方法。利用外尔定律证明了特征值和特征函数的误差估计。我们将测试这种方法对分离变量，以验证理论收敛。我们还考虑了逆谱问题的估计/恢复的折射率的知识的Steklov特征值。由于特征值相对于实值折射率是单调的，这意味着它们可以用于无损检测。最后给出了一些数值算例。
2021-04-19 cs.NA math.AP math.NA
Forward and Inverse Problems in Nonlinear Acoustics
针对超声人体组织成像需利用非线性效应和处理分数阶衰减的需求，本文阐述非线性与分数阶阻尼建模、分析相关偏微分方程的挑战及参数渐近性，并探讨非线性参数成像这一拟线性波动方程系数识别逆问题。
2025-02-12 cs.NA math.AP math.NA
A convergence analysis of a multi-level projected steepest descent iteration for nonlinear inverse problems in Banach spaces subject to stability constraints
Purdue University（普渡大学）；University of Vienna（维也纳大学）
针对Banach空间中具有条件稳定性的非线性逆问题，提出一种新型非线性投影最速下降迭代法，并基于嵌套闭凸子集族开发多层算法，证明在有限步内达到期望的偏差准则。
2012-06-16 cs.NA math.FA math.NA
Numerical Methods for the Inverse Nonlinear Fourier Transform
我们介绍了一种新的计算非线性逆傅里叶变换的数值方法，并将其计算复杂性和准确性与文献中可用的其他方法进行了比较。对于给定的精度，所提出的方法需要最少的操作次数
2015-08-29 cs.IT cs.NA math.IT
Finite-difference approximation of the inverse Sturm-Liouville problem with frozen argument
本文讨论了用离散系统作为Sturm-Liouville问题的有限差分近似，并讨论了该问题的冻结变元。建立了该离散系统的反问题理论。我们描述了两种主要的情况：退化和非退化。对于这两种情况，给出了相应的反问题陈述，证明了唯一性定理，并得到了重构算法。此外，连续问题的特征值之间的关系和它的有限差分近似进行了研究。我们利用连续问题的特征值得到了近似离散问题特征值的“修正项”。依靠这些结果，我们开发了一个数值算法恢复的潜在的Sturm-Liouville算子冻结的论点从有限集的特征值。数值算例表明了该算法的有效性。
2021-08-24 cs.NA math.NA math.SP
Expectation Propagation for Nonlinear Inverse Problems -- with an Application to Electrical Impedance Tomography
Center for Industrial Mathematics, University of Bremen（不来梅大学工业数学中心）；Department of Mathematics, University of California, Riverside（加州大学河滨分校数学系）
本文提出基于期望传播的快速近似推断方法，用于求解非线性反问题的后验概率分布，通过高效估计后验均值和协方差，提供反演解及不确定性量化，应用于电阻抗断层成像并对比马尔可夫链蒙特卡洛方法。
2013-12-12 cs.NA math.NA math.ST
Optimization-Based MCMC Methods for Nonlinear Hierarchical Statistical Inverse Problems
在许多层次反问题中，我们不仅要估计参数-可观测映射中的高维或无限维模型参数，而且还必须估计代表统计和数学建模过程中关键假设的超参数。由于模型参数和超参数的联合后验后验分布中的高维性、非线性依赖性和非凹结构的联合效应，在分层贝叶斯环境下求解反问题提出了一个重大的计算挑战。在这项工作中，我们的目标是开发可扩展的优化为基础的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法解决层次贝叶斯逆问题的非线性参数可观察的地图和更广泛的超参数类。我们的算法开发基于最近开发的可扩展随机化然后优化（RTO）方法[4]，用于探索高维或无限维模型参数空间。通过使用RTO作为Metropolis-within-Gibbs更新中的建议分布或作为伪边缘MCMC [2]中的偏置分布，我们能够为分层贝叶斯反演设计有效的采样工具。特别是，RTO和伪边际MCMC的集成具有对模型参数维度鲁棒的采样性能。我们还将我们的方法扩展到具有泊松分布测量的非线性反问题。在偏微分方程约束反问题和正电子发射断层扫描（PET）的数值例子来证明我们的方法的性能。
2020-02-15 cs.NA math.NA stat.CO
On the recovery of two function-valued coefficients in the Helmholtz equation for inverse scattering problems via inverse Born series
本文提出正则化逆 Born 级数，利用双频散射数据同时恢复 Helmholtz 方程的两个函数值系数，并分析其收敛性与误差，数值验证了介质恢复能力。
2025-03-15 cs.NA math-ph math.MP
