Brauer's Height Zero Conjecture
Gunter Malle, Gabriel Navarro, Amanda A. Schaeffer Fry, Pham Huu Tiep
本文通过证明对所有奇素数成立的开放蕴含，完成了1955年布劳尔高度零猜想的证明。
我们通过证明对所有奇素数成立的开放蕴含，完成了1955年提出的布劳尔高度零猜想的证明。
We complete the proof of Brauer's Height Zero Conjecture from 1955 by establishing the open implication for all odd primes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Brauer's height zero conjecture for quasi-simple goups
我们证明了Brauer的零高度猜想对有限拟单群的块成立。这个结果被用于Navarro-Späth将一般群的这个猜想还原为单群的归纳Alperin-McKay条件。
Brauer's Height Zero Conjecture for Principal Blocks
在主块情形下，证明了Brauer零高猜想的\emph{the other half}.
A Brauer--Galois height zero conjecture
本文提出主 p-块 Brauer 高度零猜想的 Galois 版本，并在 p=2、不含小秩 Lie 型合成因子的群、几乎单群及 p-可解群等情形下给出证明。
Quasi-isolated blocks and Brauer's height zero conjecture
本文有两个主要结果。首先，我们通过寻找坏素数的李型例外群的所谓拟孤立块，完成了有限拟单群的所有p-块的参数化。这依赖于Lusztig归纳从合适的Levi子群的显式分解。我们的第二个主要结果是证明一个方向布劳尔的长期高度零猜想块的有限群，使用减少伯杰和克诺尔的准简单的情况。我们还利用我们在块上的结果验证了Malle和Navarro关于所有拟单群的幂零块的一个猜想。在补充，我们对待的配置为$5$ -块的有限单群$E_8(q)$，这是无意中遗漏的第一个版本，并澄清和纠正的意义，一些条目在表3和4。原始版本的主要定理不受影响。
A new proof of Nakayama's Conjecture via Brauer quotients of Young modules
我们提供了一个自包含的证明的主要性质的Brauer子的Young模。然后利用这些结果给出了关于对称群块的Nakayama猜想的一个新的归纳证明。
On Willems' conjecture on Brauer character degrees
2005年，Wolfgang Willems提出了一个猜想，提出了有限群$G$的不可约$p$ -Brauer特征的度的平方和的下界。我们证明了这个猜想的素数$p=2$。为此，我们依赖于最近减少威廉姆斯猜想的一个问题，准单群的童越。我们还证明了某些有限拟单群和奇素数族的Tong-Viet条件。在此基础上，我们得到了李型有限群中正则半单共轭类个数的下界。
On a minimal counterexample to Brauer's $k(B)$-conjecture
本文研究了Brauer关于有限拟单群的$p$ -块中特征标个数的长期$k(B)$ -猜想，证明了它们的块既不作为$p\ge5$的极小反例出现，也不存在阿贝尔亏损.对于$p=3$，我们得到主3-块不提供极小反例.我们还确定了奇素数的典型群的幂幺块中不可约特征标的精确个数。
A local conjecture on Brauer character degrees of finite groups
最近，第二作者提出了关于有限群的不可约Brauer特征标的次数的一个新猜想。本文对有限群的块B提出了这个猜想的一个“局部”版本，给出了属于块B的不可约Brauer特征标的最大度的一个下界，它是关于块B的维数和不可约Brauer特征标的不变量，如亏损和不可约Brauer特征标的个数.我们还提出了一个较弱的版本，这个猜想轻微的重新制定导致有趣的公开问题的痕迹块的嘉当矩阵。然后，我们证明了强猜想是真实的块与一个简单的模块，块的p-可解群和块与循环亏损群。它也适用于零星群、对称群或李型群的块的许多进一步的例子。我们还表明，弱猜想是真实的驯服表示类型的块。
Brauer's Height Zero Conjecture for metacyclic defect groups
本文证明了Brauer的零高度猜想对具有亚循环亏群的有限群的p-块成立。若亏群是非交换群且含有循环极大子群，则得到了p-共轭和p-有理不可约特征标的分布。假设p=3，则Alperin-McKay猜想成立。一路上，我们验证了一些其他的假设。最后，我们更仔细地考虑了奇素数的p^3阶指数p^2的超特殊亏群。对于惯性指数为2的块体，本文通过计算k_0（B）证明了Galois-Alperin-McKay猜想。那么对于p \le 11，Alperin的权猜想也成立。这改进了[Gao，2012]，[Holloway-Koshitani-Kunugi，2010]和[Henri，2005]的一些结果。
On the projective height zero conjecture
最近，Malle和Navarro在有限群的块上提出了Brauer著名的零高度猜想的一个投影版本.在这个简短的说明中，我们表明，布劳尔的原始猜想意味着投射版本。
The McKay conjecture and Brauer's induction theorem
设$G$是任意有限群. McKay猜想断言$G$和$G$中的Sylow $p$ -子群$P$的规范化子$N_G (P)$具有相同数量的不能被$p$整除的度字符（即$p'$ -度）。我们对McKay猜想提出了一个新的改进，它表明人们可以选择$p'$的特征-$G$的度和$N_G (P)$的度之间的对应关系，以在一定意义上兼容归纳和限制.这种改进意味着，特别是，一个猜想的艾萨克和纳瓦罗。我们还陈述了Broué阿贝尔亏群猜想的一个相应的改进。我们在几种特殊情况下验证了所提出的算法。
The Projective Height Zero Conjecture
我们提出了一个著名的Brauer的高度零猜想的有限群的字符的投影版本，并证明它，在其他情况下，$p$ -可解群以及（一些）准单群。
Stable Brauer--Thrall II$'$ conjecture for finite-dimensional Jacobian algebras
本文证明了有限维雅可比代数满足稳定布拉uer-Thrall II'猜想，并验证了该猜想在该类代数中的成立。
The Brauer $A(\infty)$ condition and Navarro's conjecture on Brauer characters under coprime actions
本文证明了良好非定义素数的 Brauer $A(\infty)$ 条件，并由此证明了 Navarro 关于大于 3 的素数在互素作用下 Brauer 特征的猜想。
An equivariant bijection between irreducible Brauer characters and weights for Sp(2n, q)
长期存在的Alperin重量猜想和它的分块版本已减少到单群最近由Navarro，Tiep，Spaeth和Koshitani。因此，要证明这个猜想，只需证明所有有限单群的相应归纳条件即可。第一个是建立单群的泛覆叠群的不可约Brauer特征标与权之间的等变双射。假设q是某个奇素数p的幂，首先证明了关于Sp 2n（q）的分块Alperin重量猜想和奇非定义特征.如果Sp 2n（q）的分解矩阵关于Aut（Sp 2n（q））-稳定的基集是单三角的（这个假设对线性素数成立），我们可以在不可约Brauer特征标和权之间建立一个等变双射。
Cartan matrices and Brauer's k(B)-Conjecture IV
在本说明中，我们给出了最近的结果主要来自本系列的第三篇论文的应用。本文证明了当$D$没有大的初等阿贝尔直和项时，具有阿贝尔亏群$D$的有限群的$p$ -块中不可约特征标的个数受$|D|$（Brauer的$k(B)$ -猜想）的约束.此外，我们验证了Brauer的$k(B)$ -猜想的最小非阿贝尔缺陷群的所有块。这扩展了许多作者以前的结果。
The Brauer trees of unipotent blocks
本文完成了李型有限群的幂幺块（具有循环亏群）的Brauer树的确定。这些树是第一作者画的。因此，有限群的主$\ell$ -块的Brauer树是已知的$\ell>71$。
Lifts of Brauer characters in characteristic two
Cossey在2007年提出的一个猜想断言，如果$G$是一个有限的$p$ -可解群，且$φ$是$G$的一个不可约的$p$ -Brauer特征标，其顶点为$Q$，则$φ$的提升数至多为$|Q:Q'|$。这个猜想现在已知在$p$奇数的几种情况下是正确的，但在$p$偶数的情况下几乎没有进展。在特征二中出现的主要障碍是升力的所有顶点对既不是线性的也不是共轭的。本文证明了：如果$χ$是可解群中不可约$2$ -Brauer特征标的提升，则$χ$有线性Navarro顶点当且仅当$χ$的所有顶点对都是线性的，并且在这种情况下，$χ$的所有扭顶点都是共轭的.我们的结果也可用于研究特征2中Brauer特征标的其他提升问题。作为应用，我们证明了Cossey猜想的一个较弱形式，它是关于$p=2$“一次一个顶点”的.
Cartan matrices and Brauer's k(B)-Conjecture III
对于有限群的块$B$，我们证明了有$k(B)\le(\det C-1)/l(B)+l(B)\le\det C$，其中$k(B)$（分别为$l(B)$）是$B$的不可约普通（分别为Brauer）特征标的个数，$C$是$B$的Cartan矩阵.作为应用，我们证明了Brauer的$k(B)$猜想对每个具有交换亏群$D$和惯性商$T$的块成立，只要存在一个元素$u\in D$，使得$C_T(u)$自由作用于$D/<u>$ .本文给出了秩至多为$2$的交换亏群的Brauer猜想的一个新的证明。我们还证明了在$l(B)\le 3$情形下的猜想.
Solution of Brauer's k(B)-Conjecture for pi-blocks of pi-separable groups
本文首先证明了k（GV）-问题的如下推广：设G是有限群，A \le Aut（G）使得（|G|，|A|）=1.则半直积GA的共轭类数至多为|G|。从而验证了Y.刘某我们还讨论了布劳尔猜想中的等式。另一方面，我们构造了一个反例，证明了同样由Liu提出的关于pi-块的Olsson猜想。
Cartan matrices and Brauer's k(B)-conjecture
我们证明了Brauer的k（B）-猜想对亚循环2-群通过循环群的中心扩张的亏群成立。这同样适用于包含指数至多为9的中心循环子群的亏群。特别地，k（B）-猜想对于2-块缺陷至多为4和3-块缺陷至多为3成立。作为一个副产品，我们得到了具有最小非亚循环缺陷群的2-块的块不变量。
Blocks with a single automorphism orbit of irreducible Brauer characters
本文证明了当块覆盖一个 p-幂指数的正规子群的块且仅有一个不可约 Brauer 特征标轨道时，具有阿贝尔缺陷群的块是惰性的。
Remarks on $τ$-tilted versions of the second Brauer-Thrall Conjecture
本文提出第二 Brauer–Thrall 猜想的稳定版与 $τ$-约化版，说明前者蕴含后者，并在 Asai–Iyama 的 E-tame 代数类上证明反向蕴含。
Height Zero Conjecture with Galois Automorphisms
本文证明了Brauer关于主2-块具有Galois自同构的零高度猜想的一个加强。这需要一个新的扩展伊藤-米什勒定理的素数~2，再次与伽罗瓦自同构。我们关闭，这一次奇素数$p$，一个新的表征$p$ -封闭群通过分解数的某些字符。
Cartan matrices and Brauer's k(B)-Conjecture V
本文证明了3-块的阿贝尔亏群秩至多为5和所有3-块的亏群秩至多为4时的Brauer k（B）-猜想。为此，我们开发了一种计算机算法来构建同种型的基础上的方法Usami和普伊格。这进一步导致了缺陷2的5-块的一些先前未知的完美等距。我们还研究了在惯性群作用下相容的基本集。
Feit's conjecture, the canonical Brauer induction formula, and Adams operations
该研究围绕强版本Feit猜想展开，引入整数值不变量S(G,χ,n)并给出其两种等价定义，证明该不变量的非负性等性质，同时建立了该不变量与强Feit猜想成立条件的等价关系。
Decomposition of Cartan Matrix and conjectures on Brauer character degrees
设$G$是有限群，$N$是$G$的正规子群.令$J=J(F[N])$表示$F[N]$和$I={\rm Ann}(J)=\{α\in F[G]|Jα=0\}$的Jacobson根。我们有另一个代数$F[G]/I$。根据$F[G/N]$和$F[G]/I$，研究了$F[G]$的Cartan矩阵的分解.这种分解建立了Cartan不变量与$G$的主要组成因子之间的某种联系。我们发现$N$中存在的零缺陷$p$ -块依赖于$F[G]$中$I$的性质或Cartan不变量。当我们考虑$G$的块代数$B$的Cartan不变量时，分解与$B$覆盖$N$中的哪种块有关。我们主要考虑$G$的块$B$，它用$l(b)=1$覆盖$N$的块$b$。在两种情况下，我们证明了Willems猜想对这些块成立，这涵盖了Holm和Willems的一些真实情况。此外，我们在我们的情况下，对Holm和Willems提出的一个问题给出了肯定的回答。本文还给出了关于Cartan不变量的一些结果。
A $τ$-tilting approach to the first Brauer-Thrall conjecture
本文研究了有限维代数上模的性质，其中自同态代数是一个除环。我们证明了在一个代数的模范畴中存在多个这样的模当且仅当所有这样的模的长度是有界的。
The first Brauer-Thrall conjecture for extriangulated length categories
本文在外三角长度范畴中引入关于 $Θ$ 的 Gabriel-Roiter 测度并推广 Gabriel 性质，在技术性条件下证明第一 Brauer-Thrall 猜想。
Brauer-Thrall theory for maximal Cohen-Macaulay modules
Brauer-Thrall猜想，现在的定理，最初是针对有限维$\sk$ -代数上有限生成模提出的。他们说，粗略地说，无限表示类型意味着存在许多任意大的$\sk$ -维的不可分解模。这些性质在Cohen-Macaulay局部环上的极大Cohen-Macaulay模中有自然的解释。本文综述了这些移植植物的研究进展。
Representation embeddings and the second Brauer-Thrall conjecture
本文通过构造从经典 Kronecker 模范畴到任意表示无限代数模范畴的表示嵌入，并确定表示无限代数的最小类，推进了第二 Brauer-Thrall 猜想的研究。
Minimal heights and defect groups with two character degrees
本文证明了当亏群具有两个特征标度时，主块中最小正高度等于亏群中最小正高度，从而推广了 Brauer 零高度猜想。
On minimal positive heights for blocks of almost quasi-simple groups
本文研究Eaton–Moretó猜想中未被Dade猜想覆盖的不等式部分，通过分析极小反例证明p≥5时几乎拟单群中不存在该不等式的反例，还发现这类块的最小正高度多为1，为猜想提供了新证据。
Counting conjectures and $e$-local structures in finite reductive groups
我们证明了新的结果在广义Harish-Chandra理论提供了一个描述的所谓的Brauer-Lusztig块的信息编码在$\ell$ -进上同调Deligne-Lusztig品种。然后，我们提出了新的代数有限约化群考虑几何类似物的$\ell$ -局部结构，位于局部-全局计数代数的心脏。对于大素数，我们的结构与计数结构相吻合，这要归功于Broué、Fong和Srinivasan在$\ell$ -结构和它们的几何对应物之间建立的联系。最后，利用上述Brauer-Lusztig块的描述，我们将我们的结果归结为对广义Harish-Chandra级数的某些参数化所期望的Clifford理论性质的验证。
Blocks with defect group D_{2^n} x C_{2^m}
本文确定了亏群为D_{2^n} \times C_{2^m}的块的数值不变量，其中D_{2^n}表示2^n阶二面体群，C_{2^m}表示2^m阶循环群.这推广了Brauer在m=0时的结果。因此，我们证明了Brauer的k（B）-猜想，Olsson的猜想（和更一般的Eaton的猜想），Brauer的零高度猜想，Alperin-McKay猜想，Alperin的重量猜想和Robinson的普通重量猜想。此外，我们表明，胶合问题有一个独特的解决方案，在这种情况下。
Characters of positive height in blocks of finite quasi-simple groups
伊顿和莫雷托提出了一个关于有限群的块的Brauer著名的零高度猜想的扩展到非阿贝尔亏群的情况，它预测了这种块中最小的非零高度。证明了他们的猜想对拟单群的主块、有限约化群的定义特征的所有块以及对称和交错群的所有覆叠群都成立.为了证明，我们确定了特征~ $p$中有限约化群的Sylow $p$ -子群的最小非平凡特征标度.我们进一步证明了Lie型群的块是交叉特征的。
Hom-orthogonal modules and brick-Brauer-Thrall conjectures
本文利用 Hom-正交性及代数几何工具刻画同维无限 bricks 族的存在条件，证明新代数族上的 bBT 猜想，并推广已有预投射分支结果。
Coxeter orbits and Brauer trees III
这篇文章是关于李型有限群的模表示的某些块和相关几何的一系列文章中的最后一篇。证明了Broué关于Deligne-Lusztig簇的上同调复形在Coxeter元的情况下导出等价的猜想，只要定义特征是好的.我们还证明了Hierarchy，Lübeck和Malle关于相应块的Brauer树的一个猜想。因此，我们确定Brauer树（特别是分解矩阵）的主要$\ell$ -块的$E_7(q)$时，$\ell \mid Φ_{18}(q)$和$E_8(q)$时，$\ell \mid Φ_{18}(q)$或$\ell \mid Φ_{30}(q)$。
Height zero characters and Galois automorphisms
本文通过考虑伽罗瓦自同构群的作用，证明了主p-块的Brauer高度零猜想的加强版本，并由此得到了Itô-Michler定理的伽罗瓦版本。
Every projective Schur algebra is Brauer equivalent to a radical abelian algebra
证明了域$K$上的任意投射Schur代数在$Br(K)$中等价于根交换代数.这是1995年由Sonn和本文的第一作者提出的。作为结果，我们得到了一个特征的投射舒尔群的伽罗瓦上同调。该猜想是已知的代数领域的积极特征。在特征为零的猜想是已知的代数域上的亨塞尔估值的局部或整体领域的特征为零。
A Proof of the Second brick-Brauer-Thrall Conjecture for $E$-infinite algebras
本文证明对代数闭域上的有限维代数，$E$-无限性蕴含第二 brick-Brauer-Thrall 猜想，并由此推出稳定离散性与 $E$-有限性等价，同时证明 Demonet 猜想蕴含稳定版本猜想，解决了多个开放问题。
Blocks with defect group D_{2^n} * C_{2^m}
我们确定具有缺陷群D_{2^n} * C_{2^m} = Q_{2^n} * C_{2^m}（中心积）的块的数值不变量，其中n > 2且m > 1。因此，我们证明了Brauer的k（B）-猜想，Olsson的猜想（和更一般的Eaton的猜想），Brauer的零高度猜想，Alperin-McKay猜想，Alperin的重量猜想和Robinson的普通重量猜想。此外，我们表明，胶合问题有一个独特的解决方案，在这种情况下。
Representation Rings of Fusion Systems and Brauer Characters
通过模特征理论技术研究融合系统的复特征环，证明Semeraro猜想对非奇异融合系统成立，并给出分解矩阵和Cartan矩阵的类比。
A Proof of the Jung-Kim Conjecture on the Centers of Walled Brauer Algebras
本文在二级张量积范畴化框架下统一阐述五类Khovanov弧代数，证明特征零代数闭域上带壁Brauer代数中心由其Jucys-Murphy元素的超对称多项式生成，还给出中心的齐次基并重新研究混合Schur-Weyl对偶性。
A height-zero type result for blocks of solvable groups
本文研究了可解群中块的缺陷群性质，证明在特定条件下缺陷群为阿贝尔群，且对p=2或3时近似阿贝尔。
On blocks stably equivalent to a quantum complete intersection of dimension 9 in characteristic 3 and a case of the abelian defect group conjecture
利用Rouquier给出的一个稳定等价，证明了Broue的交换亏群猜想对亏2的3-块成立，其Brauer对应有唯一的单模同构类.证明利用了这一事实，也是由于Rouquier，即自内射代数之间的森田型稳定等价诱导代数的外自同构群的连通分量之间的同构。
Temperley-Lieb, Brauer and Racah algebras and other centralizers of su(2)
本文研究 Racah 代数与 su(2) 三个不可约表示张量积中心化子的关系，证明 Racah 代数满射到中心化子，并提出核的描述猜想，在若干情形下证明该猜想并得到 Temperley-Lieb、Brauer 等代数作为其商。
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