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带$A_p$权的巴拿赫空间值$H^p$空间

Banach space valued $H^p$ spaces with $A_p$ weight

Sakin Demir

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摘要：

在本研究中，我们引入了具有$A_p$权的巴拿赫空间值$H^p$空间，并证明了以下结果：设$\mathbb{A}$和$\mathbb{B}$ Banach空间，$T$是将$\mathbb{A}$值函数映射到$\mathbb{B}$值函数的卷积算子，即，$$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(x-y)\cdot f(y)\, dy,$$其中$K$是定义在$\mathbb{R}^n$上的强可测函数，使得$\|K(x)\|_{\mathbb{B}}$在远离原点的地方是局部可积的。假设$w$是定义在$\mathbb{R}^n$上的正权函数，并且i）对于某些$q\in [1, \infty ]$，存在正常数$C_1$，使得对于所有$f\in L^q_{\mathbb{A}}(\mathbb{R}^n)$，$$\int_{\mathbb{R}^n}\|Tf(x)\|^q_{\mathbb{B}}w(x)\, dx\leq C_1\int_{\mathbb{R}^n}\|f(x)\|_{\mathbb{A}}^q w(x)\,dx$$。ii）存在一个正的常数$C_2$独立于$y\in\mathbb{R}^n$使得$$\int_{|x|>2|y|}\|K(x-y)-K(x)\|_{\mathbb{B}}\, dx<C_2.$$然后存在一个正的常数$C_3$使得对于所有的$f\in H^1_{\mathbb{A}}(w)$ $$\|Tf\|_{L^1_{\mathbb{B}}(w)}\leq C_3\|f\|_{H^1_{\mathbb{A}}(w)}$$.让PDMATHBNG。假设对于某些绝对常数$C_1$、$C_2$和$C_3$，$K\in L_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^n\backslash \{0\})$满足$$\|K\ast f\|_{L^2_{\mathbb{B}}(w)}\leq C_1\|f\|_{L^2_{\mathbb{A}}(w)}$$和$$\int_{|x|\geq C_2|y|}\|K(x-y)-K(x)\|_{\mathbb{B}}w(x+h)\, dx\leq C_3w(y+h)\;\;\;(\forall y\neq 0, \forall h\in\mathbb{R}^n) $$。则存在一个与$f$无关的正常数$C$，使得对于所有的$f\in H^1_{\mathbb{A}}(w)$都有$$\|K\ast f\|_{L^1_{\mathbb{B}}(w)}\leq C\|f\|_{H^1_{\mathbb{A}}(w)}$$。

英文摘要：

In this research we introduce the Banach space valued $H^p$ spaces with $A_p$ weight, and prove the following results: Let $\mathbb{A}$ and $\mathbb{B}$ Banach spaces, and $T$ be a convolution operator mapping $\mathbb{A}$-valued functions into $\mathbb{B}$-valued functions, i.e., $$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(x-y)\cdot f(y)\, dy,$$ where $K$ is a strongly measurable function defined on $\mathbb{R}^n$ such that $\|K(x)\|_{\mathbb{B}}$ is locally integrable away from the origin. Suppose that $w$ is a positive weight function defined on $\mathbb{R}^n$, and that i) For some $q\in [1, \infty ]$, there exists a positive constant $C_1$ such that $$\int_{\mathbb{R}^n}\|Tf(x)\|^q_{\mathbb{B}}w(x)\, dx\leq C_1\int_{\mathbb{R}^n}\|f(x)\|_{\mathbb{A}}^q w(x)\,dx$$ for all $f\in L^q_{\mathbb{A}}(\mathbb{R}^n)$. ii) There exists a positive constant $C_2$ independent of $y\in\mathbb{R}^n$ such that $$\int_{|x|>2|y|}\|K(x-y)-K(x)\|_{\mathbb{B}}\, dx<C_2.$$ Then there exists a positive constant $C_3$ such that $$\|Tf\|_{L^1_{\mathbb{B}}(w)}\leq C_3\|f\|_{H^1_{\mathbb{A}}(w)}$$ for all $f\in H^1_{\mathbb{A}}(w)$. Let $w\in A_1$. Assume that $K\in L_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^n\backslash \{0\})$ satisfies $$\|K\ast f\|_{L^2_{\mathbb{B}}(w)}\leq C_1\|f\|_{L^2_{\mathbb{A}}(w)}$$ and $$\int_{|x|\geq C_2|y|}\|K(x-y)-K(x)\|_{\mathbb{B}}w(x+h)\, dx\leq C_3w(y+h)\;\;\;(\forall y\neq 0, \forall h\in\mathbb{R}^n) $$ for certain absolute constants $C_1$, $C_2$, and $C_3$. Then there exists a positive constant $C$ independent of $f$ such that $$\|K\ast f\|_{L^1_{\mathbb{B}}(w)}\leq C\|f\|_{H^1_{\mathbb{A}}(w)}$$ for all $f\in H^1_{\mathbb{A}}(w)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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