Vertex cuts and median decompositions
本文推广了树分解的概念，引入中位数分解作为研究顶点分离系统的工具，证明了其唯一最小性，并将Stavropoulos的定理从有限图推广到所有图。
2026-06-19 math.CO
The structure of graphs not admitting a fixed immersion
对于不允许完全图浸入的图，我们给出了一个简单的结构定理。该定理激发了基于边割而不是顶点割的树分解的变体的定义，我们称之为树割分解。我们给出了树割分解的宽度的定义，并使用这个定义与排除团浸入的结构定理，我们证明了每个图要么有界树割宽度或承认一个大的浸入墙。
2014-07-01 math.CO
On objects dual to tree-cut decompositions
树割宽度（英语：Tree-cut width）是由Wollan引入的一个图参数，它在以下意义上类似于图上浸入顺序的树宽度：图的树割宽度在功能上等价于可以在其中找到的浸入墙的最大尺寸。在这项工作中，我们提出了一个变种的定义的树木切割宽度，功能上相当于原来的，但我们可以状态和证明一个严格的对偶定理，它自然定义的对偶对象：适当定义的荆棘和缠结。利用这一结果，我们还提出了一个游戏特征的树切割宽度。
2022-08-11 cs.DM math.CO
A Menger-like property of tree-cut width
在1990年，Thomas证明了每个图都有一个最小宽度的树分解，并且还满足一个称为leanness的顶点连通性条件[A Menger-like property of tree-width：The finite case. Journal of Combinatorial Theory，Series B，48（1）：67-76，1990]。这个结果有许多用途，并已推广到其他几个分解。在本文中，我们考虑树割分解，这已被引入Wollan作为树分解的一个可能的边版本[图的结构不承认一个固定的浸入。Journal of Combinatorial Theory，Series B，110：47-66，2015]。我们表明，每个图承认树切割分解的最小宽度，另外满足边连通性条件类似于托马斯的精益。
2020-12-14 cs.DM math.CO
Hypergraphs: connection and separation
本文从图论的角度研究了超图的基本连通性，重点研究了超图的割边、割点和块。为了准备基础，我们定义了各种类型的子超图，以及超图中的各种类型的行走。然后，我们证明了一些新的结果，涉及切边，切顶点，和块。特别地，我们描述了超图的块分解与其关联图的块分解之间的确切关系。
2015-05-28 math.CO
Ribbon decomposition and twisted Hurwitz numbers
带状分解是一种从一组圆盘中获得具有边界（紧凑，不一定定向）的表面的方法，通过将它们与附接到边界段的窄带状物连接起来。计算带状分解产生了经典赫维茨数（\cite{CD}在不同的背景下研究过）和割接方程的“扭曲”版本。我们还提供了一个代数描述这些数字和显式公式，他们在带状多项式。
2022-01-27 math.AG math.CO
Volumes of moduli spaces of directed ribbon graphs and Cut-and-Join operators
本文研究有向度量带状图无环分解的代数结构，实现模空间体积的递归计算，定义积分算子并证明其满足切割-连接方程，且特化后生成dessins d'enfants的生成级数。
2025-07-09 math.CO
Left-cut-percolation and induced-Sidorenko bigraphs
Sidorenko偶图是指当$W$为常数时，偶图子$W$中的密度精确地最小化的偶图。文献中证明Sidorenko性质的几种技术包括将双图分解（通常在树分解中）为具有更强性质的较小构建块。一个突出的这样的技术是Conlon-Lee的$N$ -分解，它使用弱Hölder（或弱赋范）偶图作为构建块。反过来，为了得到弱Hölder偶图，典型的方法是使用蕴涵链反射偶图$\implies$割分偶图$\implies$弱Hölder偶图。在作者与Razborov的早期结果中，我们提供了$N$ -分解的推广，称为反射树分解，它使用更弱的构建块，称为诱导Sidorenko双图，也获得Sidorenko双图。在本文中，我们表明，“左侧”版本的概念的反射偶图和切割-删除偶图产生一个类似的链的影响：左反射偶图$\implies$左切割-删除偶图$\implies$诱导Sidorenko偶图。我们还表明，在温和的假设下，“左侧”类似的弱Hölder性质（这也是通过一个类似的链的影响），可以用来改善边界的另一个结果的Conlon-李，大致说，有足够的顶点在右侧的每个实现度的双图有Sidorenko性质。
2022-07-14 math.CO
The (theta, wheel)-free graphs Part II: structure theorem
本文针对无 (theta, wheel) 图类提出了首个仅使用团割集和 2-连接组合的分解定理，并据此构建了完整的结构定理和 $\mathcal{O}(n^4m)$ 时间复杂度的识别算法。
2019-07-25 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions VI. Graphs with 2-cutsets
本文研究哪些遗传图类具有有界树宽，证明团割集、2-割集和1-join三类割集与树宽交互良好，并应用于($ISK_4$, wheel)-free图和没有带唯一弦的环的图类，证明其$t$-clean图具有有界树宽。
2024-09-04 math.CO
A global decomposition theorem for excluding immersions in graphs with no edge-cut of order three
一个图$G$包含另一个图$H$作为浸入，如果$H$可以从$G$的一个子图通过分裂边和去除孤立的顶点来获得。浸入包含有一个明显的必要度条件：如果$G$包含$H$作为浸入，则对于每个整数$k$，$G$中度至少为$k$的顶点数至少为$H$中度至少为$k$的顶点数。本文证明了这个明显的必要条件对于没有3阶边割的图是“几乎”充分的：对于每个图$H$，每个没有3阶边割的$H$ -浸入自由图都可以由图的边和得到，其中每个和都是由违反明显度条件的图通过增加有界数目的边得到的.没有3阶边割的条件是必要的。这个定理的一个简单应用是：对于每个最大度为$d \geq 4$的图$H$，存在一个整数$c$，使得对于每个正整数$m$，至多存在$c^m$-无标号$d$ -边连通$H$ -无浸入$m$ -无孤立点边图，而无孤立点的无标号$(d-1)$ -边连通$H$ -无浸入$m$ -边图的个数是超指数的。我们的结构定理将应用于确定一类$H$ -浸入自由图的簇色数的论文中。
2022-01-11 math.CO
The structure of decomposition of a triconnected graph
利用三连通图的3-割集分解刻画了三连通图的结构。我们把三连通图的所有3-割集分成结构简单的小群，称为复群。所有配合物的详细描述。此外，我们证明了超树的结构可以引入到所有复形的集合上。这个结构给我们一个完整的描述的相对配置的配合物。关键词：连通性，三连通图。
2012-03-03 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions I. Even-hole-free graphs of bounded degree
树宽是一个参数，出现在研究图的小闭类（即在顶点和边删除和边收缩下闭合的类）。它在某种意义上描述了图的全局结构。粗略地说，一个图有树宽$k$，如果它可以被一系列大小至多为$k$的非交叉割集分解成大小至多为$k+1$的片段。对遗传图类（即仅在顶点删除下闭合的图类）的研究揭示了一种不同的情况，其中需要大小不一定有界的割集（如星形割集，2-连接及其推广）将图分解为结构化但大小不一定有界的更简单的片段。许多这样的分解定理是已知的复杂的遗传图类，包括偶孔自由图，完美图和其他。这些定理并不像树分解那样描述全局结构，因为它们所保证的割集远非不相交。它们在算法应用中的用途也有限。我们证明了在偶数有界度无洞图的情况下，上一段中描述的割集可以被划分为有界数量的行为良好的集合。这使我们能够证明，有界度的偶无洞图有界树宽，解决了Aboulker，Adler，Kim，Sintiari和Trotignon的猜想[arXiv：2008.05504]。因此，它遵循许多算法问题可以在多项式时间内解决这个类，甚至孔自由度是可测试的属性测试的有界度图模型。事实上，我们证明了我们的结果，更大的一类图，即类的$C_4$-免费奇可签图有界度。
2022-02-01 math.CO
Dynamic Programming for Graphs on Surfaces
我们提供了一个框架的设计和分析的动态规划算法的表面嵌入图的n个顶点和分支宽度最多为k。我们的技术适用于一般家庭的问题，其中标准的动态规划运行在2^{O（k log k）} n步骤。我们的方法结合了拓扑图论和分析组合学的工具。特别地，我们引入了一种新的分支分解称为“面割分解”，推广了Seymour和Thomas提出的平面图的球割分解，它具有很好的组合性质。也就是说，可以安排在一个表面切割分解的部分解决方案的数量可以是上限的非交叉分区的表面上的边界。由此可见，部分解可以用单指数（在分支宽度k中）的构型数来表示。这证明，当应用于曲面切割分解时，动态规划运行在2^{O（k）} n步中。这样，我们大大扩展了一类问题，可以解决在运行时间与一个单指数依赖branchwidth和统一/改善大多数以前的结果在这个方向上。
2011-04-25 cs.DS math.CO
A Graph Theoretic Proof of the Tight Cut Lemma
在推导完美匹配多面体的特征时，埃德蒙兹、洛瓦兹和普利布兰克引入了所谓的{ \em紧割引理}，这是他们工作中最具挑战性的方面。紧割引理实际上主张{ \em砖}是研究匹配多胞形图的基本构造块，是该领域的一个重要结果。即使紧割引理是由纯图论概念组成的匹配\textup{(} $1$ -匹配\textup{)}理论陈述，已知的证明或者采用线性规划论证，或者建立在关于比匹配更广泛的概念的结果上。本文给出了紧割引理的一个新的证明，首次同时得到了紧割引理的两个合理的性质，即：{ \em纯图论的}和{ \em纯匹配论的闭}.我们的证明使用，作为唯一的初步结果，规范分解最近介绍了北。通过进一步发展这种规范分解，我们获得了一种新的设备{ \em towers}来分析砖的结构，从而证明了紧切引理。我们相信紧割引理的新证明为如何处理砖块提供了一个非常通用的例子。
2015-12-30 math.CO
Degreewise Cut-Semigroup Saturation for $K_5$-Minor-Free Graphs and Seymour's Planar Edge-Colouring Conjecture
该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。
2026-09-14 math.CO
Monomial cut ideals
B. Sturmfels和S. Sullivant关联到任何图的环面理想，称为切割理想。我们考虑单项式割理想，我们表明，他们的代数性质，如最小的准素分解，有一个线性分辨率或被科恩-麦考利的性质可能会来自图的组合结构。
2011-05-18 math.AC math.CO
A Unified View of Graph Regularity via Matrix Decompositions
本文通过抽象矩阵分解定义了切割伪随机图，证明了其弱正则性与Szemerédi正则性引理，统一了多种稀疏图类，并为MAX-CUT等问题扩展了新的PTAS。
2025-05-29 cs.DS math.CO
Hamiltonian decompositions of 4-regular Cayley graphs of infinite abelian groups
Alspach的一个著名猜想是：阿贝尔群的每个$2k$ -正则Cayley图都可以分解为哈密顿圈.我们考虑无限阿贝尔群的一个类似问题。在这种情况下，哈密顿圈的一个自然类似物是生成双射线。然而，一个天真的概括Alspach的猜想未能举行在此设置由于存在$2k$ -定期凯莱图与有限削减$F$其中$|F|$和$k$不同的奇偶校验，这必然排除存在的分解成跨越双射线。证明了有限割为偶数的无限阿贝尔群的每一个$4$ -正则Cayley图都可以分解为生成双射线，当存在这样的分解时，也可以分解为生成双射线.我们还讨论了当这样的图可以分解成哈密顿圈，一个更拓扑概括的哈密顿圈在无限的图形，或到一个哈密顿圈和一个生成双射线。
2020-06-17 math.CO
Classes of graphs with small rank decompositions are chi-bounded
一类图G是chi-有界的，如果G中图的色数由团数的函数有界.我们证明了，如果一个类G是chi-有界的，那么每一类图允许一个分解沿切割的小秩图从G是chi-有界的。作为推论，我们得到了每一类具有有界秩宽度（或等价地，秩宽度）的图都是chi-有界的。
2011-07-11 math.CO
Structured Recursive Separator Decompositions for Planar Graphs in Linear Time
给定一个n阶平面图G和一个整数参数r<n，G的少洞r-划分是将G分解为O（n/r）个大小不超过r的区域，使得每个区域包含最多常数个不是G的面（也称为洞）的面，并且对于每个区域，这些面上的顶点总数为O（sqrt r）。我们提供了一个线性时间算法计算r-划分与几个孔。事实上，我们的算法计算了一个称为分解树的结构，它表示G的递归分解，其中包括基本上所有r值的r-划分。特别地，给定指数增长序列r =（r_1，r_2，.），我们的算法可以在线性时间内产生具有很少孔的递归R-除法。在计算最短路径、最小切割和最大流的有效算法中，已经使用了具有很少孔的R-划分。我们的线性时间算法改进了最小st-割的最新算法中使用的分解算法（Italiano，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen，STOC 2011），消除了其算法整体运行时间的瓶颈之一（类似于平面和有界亏格图中的最小割）。
2013-05-17 cs.DM cs.DS math.CO
A Structural Linear-Time Algorithm for Computing the Tutte Decomposition
本文提出一种基于完全嵌套2-分离结构刻画的概念简单线性时间算法来计算Tutte分解，并引入稳定性概念推导新的结构结果。
2025-08-08 cs.DM cs.DS math.CO
Decomposition of cubic graphs with cyclic connectivity 5
令$G$是一个循环$5$连通三次图，其中$5$边割将$G$分成两个循环分量$G_1$和$G_2$。证明了除非$G_i$是一个长度为5的圈，否则每个组成部分$G_i$都可以通过添加三个顶点来完成为一个循环$5$连通三次图.我们的工作推广了Andersen等人1988年关于循环连通性$4$的类似结果。
2021-07-20 math.CO
The Bipartition Polynomial of a Graph: Reconstruction, Decomposition, and Applications
图的二分多项式是许多其他图多项式的推广，包括控制多项式、伊辛多项式、匹配多项式、独立多项式、割多项式和欧拉多项式。我们在本文中表明，它也是一个强大的工具，证明图形的性质。此外，我们还证明了二划分多项式是多项式可重构的，这意味着我们可以从单边消去子图的二划分多项式的多个集合中恢复它。
2017-02-12 math.CO
Monotonic Decompositions of Submodular Set Functions
本文将有限次模集合函数的单调分解结果推广到分析框架，引入无穷交替集合函数新类，证明其可分解为递增与递减次模函数之和或两个递增次模函数之差，并研究了无向图加权割函数的分解结构。
2024-06-07 math.CO
Decomposition techniques applied to the Clique-Stable set Separation problem
在图中，团-独立集分隔符（CS-分隔符）是割集（顶点集的二分划）的族$\mathcal{C}$，使得对于每个团$K$和具有$K \cap S = \emptyset$的每个独立集$S$，在$\mathcal{C}$中存在割$( W,W')$，使得$K \subseteq W$和$S \subseteq W'$。从一个关于独立集多面体的扩展公式和相关的复杂性通信问题的问题开始，Yannakakis [17]在1991年提出了以下问题：每个图都允许多项式大小的CS-分隔符吗？如果不是，那么每一个完美的图都是这样吗？最近，与这个问题有关的一些积极和消极的结果。在这里，我们展示了如何图分解可以用来证明一类图承认一个多项式CS-分离。我们将此方法应用于无苹果图和无帽图。
2017-07-26 cs.DM math.CO
On Minimum Bisection and Related Cut Problems in Trees and Tree-Like Graphs
最小二分法（Minimum Bisection）是指将图的顶点集划分为两个大小相等的集合，同时最小化二分法的宽度（定义为这两个集合之间的边数）的NP-难问题。本文首先考虑树的最小二分法问题，证明了树的最小二分法宽度满足$T$。其次，我们推广到任意图与给定的树分解$(T,X)$，并给出了上界的最小二分法的宽度取决于$(T,X)$的结构。此外，我们表明，二分法满足我们的一般界限可以计算的时间成比例的编码长度的树分解时，后者作为输入。
2017-08-21 cs.DM math.CO
A metrization theorem for edge-end spaces of infinite graphs
本文证明了无限图的边端空间可度量化当且仅当它是第一可数的，并利用树割分解给出了Kurkofka结果的新初等证明，同时为Halin关于$K_{k,κ}$-细分的经典结果提供了简短证明。
2025-07-22 math.CO math.GN
Disconnected Cuts in Claw-free Graphs
一个连通图的不连通割是一个顶点割，它本身也导出一个不连通子图。图是否有不连通割的判定问题称为不连通割。这个问题是密切相关的几个同态和压缩问题，并适合在一个广泛的研究线上的顶点切割与其他性质。已知不连通割在一般图上是NP-困难的，而多项式时间算法已知用于几个图类。然而，无爪图问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题。它与将无爪图收缩为4-顶点圈$C_4$的问题的复杂性的联系导致Ito等人（TCS 2011）明确要求解决这个悬而未决的问题。我们证明了不连通割在无爪图上是多项式时间可解的，回答了Ito等人的问题。我们结果的核心是直径为2的无爪图的一个新的分解定理，我们相信这是独立的兴趣，并扩展了Chudnovsky和Seymour（JCTB 2007-2012）和Hermelin等人（ICALP 2011）发起的研究路线。在我们利用这个分解定理的方式，我们描述了如何断开切割与某些cobipartite子图的相互作用，并证明了两个新的算法结果，即断开切割是多项式时间可解的圆弧图和线图。
2018-03-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Cutting up graphs revisited - a short proof of Stallings' structure theorem
这是经典结构树理论主要定理的一个新的简短证明。也就是说，我们证明了存在某些自同构不变树分解的基础上，消除许多边缘的原则。这是在M. J.邓伍迪的“Cutting up graphs”中首次完成的。主要思想是基于M. J. Dunwoody和作者的论文“Vertex cuts”。我们将定理推广到J.R.关于多端有限生成群结构的Stallings定理。
2010-03-04 math.CO math.GR
Discrete Systolic Inequalities and Decompositions of Triangulated Surfaces
需要多少切割来简化曲面的拓扑？我们提供了这个问题的几个实例的界限，拓扑非平凡的闭曲线，裤子分解，并与一个给定的组合映射在三角组合曲面（或其对偶交叉度量对应）的切割图的最小长度。我们的工作是建立在黎曼收缩不等式的基础上的，该不等式以曲面的亏格和面积来约束非平凡闭曲线的最小长度。我们首先描述了一个系统的方法来翻译黎曼收缩不等式的离散设置，反之亦然。这意味着一个猜想Przytycka和Przytycki从1993年，一些新的收缩不等式的离散设置，以及事实上，一个定理的哈钦森边宽度的三角曲面和格罗莫夫的收缩不等式的表面是本质上等价的。我们还讨论了这些证明如何推广到更高的维度。然后重点讨论曲面的拓扑分解。利用Buser的思想，证明了任意亏格为g的n个三角形的组合三角剖分曲面存在长度为O（g^{3/2}n^{1/2}）的Pants分解，并给出了计算这种分解的O（gn）时间算法.最后，我们考虑的问题嵌入一个割图（或更一般的细胞图）与给定的组合映射在一个给定的表面上。使用随机三角剖分，我们证明（本质上），对于任何选择的组合地图，有一些表面上的任何细胞嵌入与组合地图的三角形的三角形的数量具有长度超线性的组合表面。对于嵌入在多面体三角剖分上的图也有类似的结果。
2015-04-07 cs.CG cs.DM math.CO
Linear-Time Algorithms for k-Edge-Connected Components, k-Lean Tree Decompositions, and More
本文提出 $k^{O(k^2)} m$ 时间的确定性算法，用于计算 k-精益树分解，进而解决 k-边连通分量、k-Gomory-Hu 树、k-顶点连通性等问题，对固定 k 达到线性时间。
2024-11-04 cs.DS math.CO
