Elliptic operators and boundary problems in spaces of generalized smoothness
本文综述近十年Hörmander函数空间椭圆边值问题理论成果及相关现代分析结果，该理论基础与应用已在前两位作者2014年的专著中系统阐释。
2024-08-14 math.AP
Elliptic boundary-value problems in some distribution spaces of generalized smoothness
本文针对任意 $p>1$ 构建广义光滑性 Sobolev 空间中椭圆边值问题的可解性理论，刻画迹空间、Fredholm 性质及先验估计。
2025-09-30 math.AP
On the smoothness of weak solutions to subcritical semilinear elliptic equations in any dimension
考虑半线性边值问题$ - Δu= f(x,u),$在$Ω,$中的Dirichlet边界条件，其中$ Ω\subset \mathbb{R}^N $，$N> 2,$是有界光滑区域.给出了次临界半线性椭圆型方程的半稳定弱正解在任意维上光滑的充分条件，从而证明了经典解在任意维上光滑.所谓亚临界非线性，我们将$f(x,s)/s^\frac{N+2}{N-2} \to 0$表示为$s\to\infty$，包括非幂次非线性，并扩大了亚临界非线性的类别，该类别通常保留用于幂次非线性。
2021-04-20 math.AP
Propagation of smallness for an elliptic PDE with piecewise Lipschitz coefficients
本文给出了一类散度型第二类椭圆型方程的小性传播结果，该方程的首阶系数在跨区域的$C^2$超曲面的两侧是Lipschitz连续的，但在该超曲面上可能有跳跃.我们的传播的小的结果是在最一般的形式关于域的位置，这可能会相交的界面的不连续性。最后，我们还列出了小性传播结果的一些结果，包括相关Cauchy问题的稳定性结果，正测度集的小性传播结果，以及定量的Runge逼近性质。
2019-04-09 math.AP
On an elliptic equation arising from composite materials
本文给出了散度型椭圆型方程\begin{equation*} D_i(a(x)D_iu)=D_if_i \end{equation*}在$\mathbb{R}^2$中的内点Schauder估计，其中$a(x)$和$f_i(x)$在包含两个相互接触的球的区域上是分段Hölder连续的.当$f_i\equiv 0$和$a$是分段常数时，我们证明了$u$是分段光滑的且导数有界.这完全回答了Li和Vogelius [7]在二维空间中提出的一个问题。
2015-05-05 math.AP
From qualitative smoothness to uniform estimates for fully nonlinear elliptic equations
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）
本文建立将定性光滑性转化为完全非线性椭圆方程一致定量正则性估计的一般机制，证明紧类中定性定量正则性阈值相同，并给出新的部分正则性判据。
2026-09-16 math.AP
Positive Jacobian constraints for elliptic boundary value problems with piecewise-regular coefficients arising from multi-wave inverse problems
多波逆问题是使用两种不同成像模态的相互作用的间接成像方法。一个带来空间精度，另一个带来对比敏感度。反演方法通常包括两个步骤。第一步是专门访问内部数据的数量有关的未知参数被观察。第二步是从内部数据中恢复参数本身。为了进行这种反演，一个典型的要求是所涉及的场的雅可比矩阵不为零。在过去的二十年里，许多作者已经考虑了这个问题，并开发了各种方法。现有的技术需要H{<$}lder连续的参数进行重建。在实际应用中，介质中可能存在具有不同物理性质的嵌入单元，导致系数不连续。在本文中，我们解释了如何在分段正则的情况下，当物理模型是一个散度型的二阶线性椭圆边值问题的雅可比约束可以施加。
2023-01-04 math.AP
Gradient estimates for divergence form elliptic systems arising from composite material
本文证明了散度型椭圆型方程组$(1\leq p<\infty)$弱解是Lipschitz和分段$C^{1}$，条件是首项系数和数据是分段Dini平均振动的，低阶系数是有界的，界面边界是$C^{1,\text{Dini}}$ .这扩展了Li和Nirenberg（\textit{Comm. Pure Appl. Math.} \textbf{56}（2003），892-925）的结果。进一步，在首项系数的分段$L^{1}$ -平均振动的较强假设下，得到了无低阶项椭圆方程组关于$A_{1}$ Muckenhoupt权的全局弱（1，1）型估计.
2019-03-24 math.AP
Boundary Value Problems of Elliptic and Parabolic Type with Boundary Data of Negative Regularity
研究半空间上具有混合光滑性的混合尺度空间中的椭圆和抛物边值问题。目的是求解具有负正则性边界数据的边值问题，并描述解在边界处的奇异性。为此，我们得到了混合尺度下具有混合光滑性的Poisson算子的映射性质。在法向光滑度不太大的情况下，我们还得到了齐次边界数据的$\mathcal{R}$ -扇形性结果。
2020-12-21 math.AP
Interpolation spaces of generalized smoothness and their applications to elliptic equations
本文通过插值方法构造以O-正则变化函数为正则性阶数的广义光滑性分布空间，推广经典Sobolev、Nikolskii-Besov和Triebel-Lizorkin空间，并将其应用于光滑流形上的椭圆方程与椭圆问题。
2023-06-01 math.AP math.FA
Pointwise decay and smoothness for semilinear elliptic equations and travelling waves
我们得到了一类半线性非局部椭圆型方程解的锐衰减估计，并证明了其解的全纯延拓，该方程的线性部分由原点具有光滑符号的Fourier乘子之和给出.在流体力学和等离子体物理中的应用涉及非线性发展方程行波的衰减和光滑性。
2015-04-27 math-ph math.AP math.MP
Piecewise smooth stationary Euler flows with support in a neighborhood of a helix
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas（西班牙高等科学研究委员会数学科学研究所）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
研究构建三维不可压缩欧拉方程的平稳解，其具有螺旋对称性且支撑在螺旋线邻域。通过与流函数公式相关的非线性超定椭圆边值问题得到分段光滑解，解的涡旋横截面各向异性，关键步骤是分析特定超定椭圆问题。
2026-07-20 math.AP
Elliptic Equations in Divergence Form with Discontinuous Coefficients in Domains with Corners
研究角域中具有分段$C^{\ga}$系数的散度型椭圆方程，获得跨不连续面的分段$C^{1,\ga}$估计，并通过例子揭示角处正则性挑战。
2023-10-12 math.AP
Boundary Estimates in Elliptic Homogenization
对于一个家庭的线性弹性系统的快速振荡的周期系数，我们建立尖锐的边界估计与狄利克雷或诺依曼条件下，均匀到微观尺度，没有光滑假设的系数。在附加的光滑条件下，这些估计与相应的局部估计相结合，得到了Lipschitz域上的完全Rellich型估计和$C^{1, α}$域上的Lipschitz估计.本文还研究了具有VMO系数的系统在$C^1$域上的$C^α$、$W^{1,p}$和$L^p$估计。该方法是基于某些估计的收敛速度。作为一个双产品，我们得到尖锐的$O(\varepsilon)$误差估计在$L^q(Ω)$为$q=\frac{2d}{d-1}$和Lipschitz域$Ω$，没有光滑假设的系数。
2015-07-22 math.AP
Hessian estimates for non-divergence form elliptic equations arising from composite materials
本文证明了当首项系数和数据为分段Dini平均振动且低阶项有界时，二阶非散度型椭圆型方程的任何$W^{2,1}$强解都是局部$W^{2,\infty}$和分段$C^{2}$.令人惊讶的是，这里界面边界仅需要是$C^{1,\text{Dini}}$。我们还得到了关于$A_{1}$ Muckenhoupt权的全局弱型$(1,1)$估计。建立了相应的伴随算子的结果。我们的估计是独立的这些表面之间的距离不连续的系数。
2019-04-24 math.AP
Perturbation of well-posedness and layer potentials for higher-order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了散度型高阶椭圆型微分算子的边值问题。我们考虑两个密切相关的主题，非齐次问题和分数光滑空间中的边界数据问题。在分数阶光滑空间中建立了关于带边界数据的非齐次问题的适定性的$L^\infty$扰动结果.结合先前已知的结果，这使我们能够建立新的适定性结果的二阶算子的系数接近是真实的和t-独立的，四阶算子接近的双调和算子。
2017-07-28 math.AP
The thin obstacle problem for some variable coefficient degenerate elliptic operators
本文建立了一类变系数退化椭圆型方程薄障碍问题自由边界正则部分的最优内正则性和$C^{1,γ}$光滑性.
2021-06-30 math.AP
On the smoothness of solutions of fully nonlinear second order equations in the plane
Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM)（意大利高等数学研究所）
本文研究了平面内全非线性二阶椭圆方程解的正则性，通过发散型和非发散型方程理论，证明了解在内部的高阶光滑性。
2026-01-16 math.AP
Gradient type estimates for linear elliptic systems from composite materials
本文考虑复合材料中的线性椭圆方程组，其中系数依赖于形状，且子区域之间可能存在间断。我们得到了一个与弱解的梯度有关的函数，它不仅是局部分段Hölder连续的，而且是局部Hölder连续的.利用这个导函数可以估计弱解的梯度，并证明了由前面的结果得到的局部分段梯度Hölder连续性.
2022-06-16 math.AP
Higher order parabolic systems with piecewise DMO and Hölder continuous coefficients
本文研究了柱状域内含有限子域的散度型高阶抛物系统，在主系数与非齐次项分别满足分段 Dini 平均振荡与分段 Hölder 连续性的条件下，建立了该系统解的 $L_\infty$ 与 Schauder 估计，填补了高阶椭圆与抛物系统该类研究的空白。
2024-07-25 math.AP
Piecewise smooth stationary Euler flows with compact support via overdetermined boundary problems
构造了具有紧支集的三维Euler方程的新的定常弱解.解是分段光滑的，在表面上是不连续的，是有旋涡的轴对称解。我们找到的解决方案的范围是不同的，大于家庭的光滑平稳的解决方案最近获得的Gavrilov和Constantin-La-Vicol;特别是，这些解决方案是不可本地化的。在证明的一个关键步骤是建设解决方案的超定椭圆边值问题，其中规定狄利克雷和（非常数）诺依曼数据。
2020-05-09 math.AP
Łojasiewicz Inequalities and Generic Smoothness of Nodal Sets of Solutions to Elliptic PDE
在这篇文章中，我们证明了一个广泛的二阶椭圆偏微分方程，包括拉普拉斯算子，零集的狄利克雷问题的解决方案是光滑的“通用”$L^2$数据。当解的零点集（例如调和函数）包含奇点时，这意味着我们可以找到边界数据的任意小扰动，使得扰动解的零点集在前一个奇点的指定邻域内是光滑的。此外，我们可以把微扰取为“平均零”，这就有了额外的技术困难，以确保我们在消除原始奇点的过程中不会引入新的奇点。独立的兴趣，为了证明的主要定理，我们建立了一个有效的版本的梯度不等式的一致常数在类的解有界频率。
2021-10-06 math.AP math.CA
The Dirichlet problem with boundary data of fractional smoothness in domains with Ahlfors regular boundary
University of Arkansas（阿肯色大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
该论文在具有Ahlfors正则边界的弱局部John域中，针对实系数线性二阶椭圆方程，建立了Dirichlet问题在广泛Besov空间数据下的适定性。
2026-10-07 math.AP
Existence and smoothness of density function of solution to Mckean--Vlasov Equation with general coefficients
本文利用Malliavin分析研究一般系数McKean-Vlasov方程解密度函数的存在性与光滑性，在Lipschitz连续和一致椭圆条件下证明存在性，并在最优光滑性假设下给出正则阶数与先验估计，辅以数值实验验证。
2025-04-10 math.AP
Homogenization of Elliptic Boundary Value Problems in Lipschitz Domains
本文研究了$\mathbb{R}^{d+1}_+$中$\mathcal{L}(u)=0$的边值问题，其中$\mathcal{L}=-\text{div}(A\nabla)$是一个二阶椭圆算子，具有实对称系数.假设$A$是$x_{d+1}$中的{ \it周期}，并且满足$x_{d+1}$变量中的极小光滑条件，证明了$L^p$ Neumann问题和正则性问题对于$1<p<2+δ$是唯一可解的.我们还提出了一个新的证明Dahlberg定理的$L^p$ Dirichlet问题的$2-δ<p< \infty$（Dahlberg的原始未发表的证明在附录中）。由于周期性和光滑性条件只施加在$x_{d+1}$变量上，这些结果直接从$\mathbb{R}^{d+1}_+$扩展到Lipschitz图以上的区域。因此，利用局部化技巧，我们得到了均匀化理论中一类二阶椭圆算子在有界Lipschitz域上Dirichlet、Neumann和正则性问题的一致$L^p$估计.关于Neumann和正则性问题的结果即使对于光滑区域也是新的。
2009-08-14 math.AP
A gradient estimate for solutions to parabolic equations with discontinuous coefficients
Li-Vogelius和Li-Nirenberg分别给出了具有分段光滑系数的强椭圆型方程和散度型方程组解的梯度估计.假设系数的不连续性由余维为1的流形给出，我们称之为不连续流形。它们的梯度估计与不连续流形之间的距离无关。在本文中，我们给出了他们的结果的一个抛物线形式。也就是说，我们给出了具有逐段光滑系数的散度型抛物型方程的梯度估计。假定系数与时间无关，其间断点与以前的椭圆型方程相同。作为这个估计的应用，我们还给出了一个具有分段光滑系数的抛物型算子的基本解的逐点梯度估计。这两种梯度估计与不连续流形之间的距离无关。
2011-03-08 math.AP
Generalized solutions of nonlocal elliptic problems
在具有分段光滑边界的平面有界区域$G$中，考虑具有一般非局部边值条件的$2m$阶椭圆型方程.研究了属于索伯列夫空间$W_2^m(G)$的广义解.证明了作用在$L_2(G)$上的椭圆型方程所对应的无界算子的Fredholm性质，该无界算子定义于空间$W_2^m(G)$中满足齐次非局部条件的函数.
2014-04-21 math.AP
Doubling Inequality and Strong Unique Continuation for an Elliptic Transmission Problem
本文研究了具有分段Lipschitz系数的椭圆方程在正则界面跳跃间断时的强唯一延拓性质，利用带奇异权重的Carleman估计导出倍增不等式证明界面处的SUCP，为从边界测量估计导体内未知包含体大小的反问题奠定基础。
2025-05-29 math.AP
Symmetrisers and generalised solutions for strictly hyperbolic systems with singular coefficients
本文主要研究具有非光滑系数的严格双曲型方程组和方程。在一定的平滑度以下，分布解决方案可能不存在。我们构造广义函数的Colombeau代数的广义解。推广了对称双曲型方程组的一些结果，引入了广义严格双曲性，构造了对称化算子，证明了一个适当的Gårding不等式，并建立了广义解的存在性、唯一性和正则性.在附加的正则性假设的系数下，当柯西问题（或在分段正则情况下的传输问题）的经典解存在时，广义解与经典解（或满足适当传输条件的分段经典解）相关联。
2011-08-11 math.AP
Bifurcation analysis of Stokes waves with piecewise smooth vorticity in deep water
University of Macau（澳门大学）；Jiangsu University（江苏大学）
研究二维无限深流体域中具分段光滑涡度的斯托克斯波，用保角变换和高度函数公式转化问题，结合全局分岔理论与拓扑引理分析，揭示波剖面要么达任意大波速，要么接近水平停滞。
2026-08-14 math.AP
Regularity of the correctors and local gradient estimate of the homogenization for the elliptic equation: linear periodic case
基于具有分段光滑系数的二阶线性椭圆型方程的平移不变和Li-Vogelius梯度估计，给出了均匀化过程中一阶和二阶校正子的$C^α$和$W^{1,\infty}$估计.如果数据足够光滑，分段光滑系数的一阶展开的误差在Hölder范数下是局部$O(ε)$;当系数是Lipschitz连续时，它在$W^{1,\infty}$中是局部$O(ε)$。它可以部分推广到非线性抛物型方程。
2011-09-06 math-ph math.AP math.MP
A negative result on regularity estimates on finite radial Morse index solutions to elliptic problems
针对有限径向 Morse 指数的椭圆偏微分方程解，本文构造径向 Morse 指数为 1 却不满足正则性估计的解序列，否定了稳定性条件可推广至该类解的猜想。
2024-04-10 math.AP
Extrapolation of well posedness for higher order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了高阶散度型椭圆型微分算子的边值问题。我们建立了Besov空间$\dot B^{p,p}_s$，$p\leq 1$中边界数据问题的适定性，给出了$s$和$p>1$的适当值的适定性.我们使用$0$和$1$之间的平滑参数$s$;这允许我们考虑非齐次微分方程。结合Maz'ya的研究结果，I.米特雷亚湾Mitrea，and Shaanova，这使我们能够为高阶算子建立新的适定性结果，高阶算子的系数在或接近于空间$VMO$，双调和算子，四阶算子接近于双调和算子.
2017-08-16 math.AP
Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems
该研究专著首次系统地阐述了椭圆（标量和矩阵）算子理论和椭圆边值问题的尺度希尔伯特空间的Hörmander的函数/分布的任意正或负光滑。这本书是基于方法的插值与功能参数的抽象和索博列夫酉空间。一些结果也是新的Sobolev尺度。专着是为研究人员，教授和博士生。
2011-06-16 math.AP math.FA
Fundamental solutions to elliptic equations with discontinuous senior coefficients and an inequlity for these solutions
给出了在高阶导数前具有分段光滑系数的二阶椭圆型自伴算子基本解在系数间断面附近的渐近性态.反问题的应用进行了讨论。
1999-12-23 math-ph math.AP math.MP
Krein resolvent formulas for elliptic boundary problems in nonsmooth domains
本文给出了伴随对的一般闭扩张的M-函数和Krein预解式的构造，并将其应用于光滑区域上二阶强椭圆算子的边值问题.利用最近发展起来的一种具有非光滑符号的伪微分边界算子的微积分，将结果推广到具有$C^{1,1}$ Hölder光滑性的区域.
2008-10-15 math.AP math.SP
Nonlinear eigenvalue problems and bifurcation for quasi-linear elliptic operators
本文研究了有界光滑开区域上具有齐次Dirichlet边界条件的拟线性椭圆算子的本征值问题。我们证明了特征值对应的特征函数属于$L^{\infty}$，这意味着$C^{1,α}$光滑，第一特征值是简单的。利用Krasnoselski分歧定理和勒雷-绍德尔度分别研究了平凡解和无穷远解的分歧结果.我们还证明了存在多个临界点，使用变分方法和Krasnoselski亏格。
2021-07-28 math.AP math.FA
On the Kato problem for elliptic operators in non-divergence form
本文研究非散度型二阶椭圆算子及其规范化伴随算子的Kato平方根问题，给出适用于小BMO范数实系数情形的结果，且相关估计不依赖系数光滑性假设。
2023-10-05 math.AP math.CA
Elliptic problems and Hörmander spaces
本文综述了Hörmander函数空间上椭圆问题的现代结果。更准确地说，椭圆问题研究的Hilbert尺度上的各向同性Hörmander空间参数化的实数和函数缓慢变化在$+\infty$在Karamata意义上。这种细化尺度比Sobolev尺度更精细，并且相对于具有函数参数的插值是封闭的。椭圆算子和椭圆边值问题的Fredholm性质在此尺度下保持不变。研究了椭圆问题解的局部加细光滑性。本文给出了椭圆问题为Fredholm椭圆问题的函数空间类的抽象构造，特别地，给出了Lions-Magenes定理的一些推广。
2009-04-02 math.AP math.FA
Deterministic homogenization of elliptic equations with lower order terms
对于一类具有快速振荡系数的一般型线性椭圆型方程，利用σ-收敛方法证明了均匀化结果和校正型结果.在渐近周期系数的情况下，我们得到的最佳收敛速度的零级逼近的解决方案，没有光滑的系数，在对比已经做了到现在为止，在文献中。这是由于一般非光滑系数存在渐近周期校正。均匀化过程是通过证明一个亥姆霍兹型分解定理在贝西科维奇空间的情况下得到的紧性结果。
2019-11-23 math.AP math.FA
The higher order regularity Dirichlet problem for elliptic systems in the upper-half space
我们确定了一个大类的常数（复）系数，二阶椭圆系统的狄利克雷问题在上半空间的数据在$L^p$ -为基础的索伯列夫空间，$1<p<\infty$，任意光滑$\ell$，是适定的函数类，其非切的最大算子的导数，并包括，$\ell$阶是$L^p$ -可积。这个类包括所有的标量，复系数二阶椭圆算子，以及Lamé系统的弹性，等等。
2014-05-12 math.AP math.CA
Optimal gradient continuity for degenerate elliptic equations
建立了一类二阶偏微分方程$\mathscr{L}(X, \nabla u, D^2 u) = f$解的新的最优梯度连续性估计，该方程的扩散性质（椭圆性）沿着现有解$\mathscr{S}(u) := \{X : \nabla u(X) = 0 \}$的\textit{a priori}未知奇异集退化.我们的主要结果的创新功能涉及其最优性-尖锐的，编码的平滑后效的运营商。这样的定量信息通常在分析一些分析和几何问题中起着决定性的作用。我们的结果是新的，甚至对经典方程$|\nabla u | \cdot Δu = 1$。我们进一步应用这些新的估计在椭圆偏微分方程理论中的一些著名的问题的研究。
2013-08-21 math.AP math.DG
On a level-set method for ill-posed problems with piecewise non-constant coefficients
Institute of Mathematics Statistics and Physics, Federal University of Rio Grande（联邦里奥格兰德大学数学统计物理研究所）
针对解为分段非常数函数且水平集与水平值未知的不适定问题，提出一种Tikhonov型正则化与水平集框架相结合的方法，证明了广义极小元的存在性以及正则化解关于噪声水平的收敛性和稳定性。
2012-10-27 cs.NA math.AP math.FA
