Stationary and stable varifolds with singularities
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Mathematisches Institut, Universität Leipzig（莱比锡大学数学研究所）；Department of Mathematics, UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了在R^{m+1}中具有C^{1,α}度量的最小m维浸入结构，通过一系列猫眼颈或漂浮盘收敛到孤立的多重2平坦奇点。
2026-04-12 math.AP math.DG
Rectifiability of every finite order for stationary integral varifolds
本文给出平稳积分varifold支撑集任意有限阶可修正性的独立证明，通过比较光滑面积被积函数解图像获得超幂次过剩衰减，结合Santilli刻画与Whitney延拓定理。
2026-09-18 math.AP math.DG
$p$-Harmonic Maps to $S^1$ and Stationary Varifolds of Codimension 2
本文研究了从紧致流形$M^n$到$S^1$的平稳$p\uparrow 2$-调和映射$u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$的渐近性，满足自然能量增长条件$$\int_M|du_p|^p=O(\frac{1}{2-p}).$$。沿着一个子序列$p_j\to 2$，我们证明了奇异集$Sing(u_{p_j})$收敛到一个平稳的，可求长的，密度为$Θ_{n-2}(\|V\|,\cdot)\geq 2π$的可变$(n-2)$ -变倍$V$的支撑，由测度$$μ=\lim_{j\to\infty}(2-p_j)|du_{p_j}|^{p_j}dv_g.$$的集中部分给出。我们还证明了$\|V\|$的密度在$2π\mathbb{N}$中取值。最后，在每一个紧流形的尺寸$n\geq 2$，我们产生的例子，非平凡的家庭$(1,2)\ni p\mapsto u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$这样的地图通过自然极小极大的建设。
2018-02-13 math.AP math.DG
Stationary polyhedral varifolds minimize area
我们证明了每一个固定多面体变分褶在以下意义下最小化面积：（1）它的面积不能通过与紧集外的恒等式一致的一对一Lipschitz环境变形而减少，（2）它是与系数在一定度量阿贝尔群中的质量最小化平坦链相关联的变分褶。注：在这篇论文发表后，我了解到（1）和（2）已经分别被Choe和Morgan证明了。因此本文是他们的结果的一个阐述。
2020-01-13 math.DG
Stationary varifolds with singularities II
本文证明了对任意维度 m≥3，存在带光滑度量的开集及积分平稳变差簇，其在内部点有重数2的平坦切平面、外部光滑且局部无限拓扑，并修正了先前构造中的错误。
2026-09-18 math.AP math.DG
Allard-Type Regularity for Varifolds with Prescribed Contact Angle
本文证明了在给定域边界上具有 prescribed contact angle 的积分 varifold，在 tangent cone 为 density one 的 half-hyperplane 条件下，其支撑集在边界点附近是 $C^{1,γ}$ 超曲面。
2024-03-26 math.AP math.DG
The Singular Structure and Regularity of Stationary and Minimizing Varifolds
如果考虑具有有界平均曲率的积分变分$I^m\subseteq M$，并且如果$S^k(I)\equiv\{x\in M: \text{ no tangent cone at $ x $ is }k+1\text{-symmetric}\}$是奇异集的标准分层，则众所周知，$\dim S^k\leq k$。在完全一般性的情况下，关于奇异集$S^k(I)$没有其他的知识。在本文中，我们证明了一般的积分变倍有界的平均曲率，特别是一个平稳变倍，每层$S^k(I)$是$k$ -求长。事实上，我们证明了$k$ -a.e.点$x\in S^k$，存在唯一的$k$ -平面$V^k$，使得在$x$处的每个切锥对于某个锥$C$具有形式$V\times C$。在最小化超曲面$I^{n-1}\subseteq M^n$的情况下，我们可以更进一步。事实上，我们可以证明，已知满足$\dim S(I)\leq n-8$的奇异集$S(I)$实际上可以用一致有限$n-8$测度对$n-8$求正。一个有效的版本，这使我们能够证明，第二基本形式$A$有先验估计在$L^7_{weak}$上$I$，估计这是尖锐的$|A|$是不是在$L^7$的西蒙斯锥。事实上，我们证明了更强的估计，正则尺度$r_I$有$L^7_{weak}$ -估计。上述结果实际上只是我们在$S^k_{ε,r}$和$S^k_ε\equiv S^k_{ε,0}…
2017-07-28 math.AP math.DG
The Structure of Stable Codimension One Integral Varifolds near Classical Cones of Density $Q+1/2$
本文证明了 $\mathcal{S}_Q$ 类稳定余维一积分 varifold 在由 $2Q+1$ 个半超平面组成的平稳积分锥附近的多值 $C^{1,α}$ 正则性定理，推广了先前 $Q=2$ 的工作，且无需对分支集施加先验尺寸限制即可排除密度间隙。
2022-10-10 math.AP math.DG
A Branch Set Stratification for Stationary Varifolds with Epsilon-Regularity
University of Melbourne（墨尔本大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
针对满足ε-正则性的平稳积分n-变分流类，证明密度≤Q的枝点集Hausdorff维数≤n-2，并应用于多值图及余维一稳定变分流。
2026-06-01 math.AP math.DG
On the Nature of Stationary Integral Varifolds near Multiplicity 2 Planes
本文研究重数为2的平面附近稳态积分变分体的结构，在密度小于2部分满足拓扑条件下建立ε-正则性定理，证明其由广义C^{1,α}的Lipschitz 2-值函数图表示，并给出切锥分类及对稳态2-值Lipschitz图的无条件应用。
2025-07-17 math.AP math.DG
A Variational Theory for The Area of Legendrian Surfaces
该研究提出Legendrian约束下曲面面积的新临界点概念PHSLVs，建立其紧性与最优正则性，推广Schoen-Wolfson理论，并证明两个变分存在性结果。
2024-10-08 math.AP math.DG
Lorentzian varifolds and applications to closed relativistic strings
我们开发了一个合适的推广Almgren的varifolds理论在洛仑兹设置，专注于面积，第一变化，可整流性，紧凑性和封闭的问题。出于渐近行为的缩放双曲金斯堡-朗道方程，并在洛伦兹极小曲面的奇点的存在下，我们介绍，在varifold类，各种概念的广义极小类时子流形的任意余维平坦闵可夫斯基时空，这是全球性的特点，并承认守恒量，如相对论能量和动量。特别地，我们证明了定常洛仑兹2-变分正确地包含了经典相对论弦和次相对论弦。我们还讨论了几个例子。
2011-06-17 gr-qc math-ph math.DG
Anisotropic min-max via phase transitions
本文通过Allen-Cahn方程在各向异性表面能量下构造稳定的极小最大超曲面，建立了各向异性情形下的Modica型梯度界及稳定性解的估计。
2025-12-07 math.AP math.DG
Homological Filling and Minimal Varifolds in Four-Dimensional Einstein Manifolds
本文研究了四维爱因斯坦流形中2维静止积分变分面的最小面积，并给出了该面积的上界估计。
2026-03-06 math.DG
Non-persistence of strongly isolated singularities, and geometric applications
本文证明在典型黎曼度量下，平稳积分varifolds的强孤立奇点不能持久存在，并由此得到近乎圆四维球面中闭极小超曲面的有限性结果。
2025-02-28 math.AP math.DG
Dynamical instability of minimal surfaces at flat singular points
该研究针对具有平坦奇点的一重平稳Varifold，在适当衰减率假设下证明存在非常值Brakke流，揭示Brakke流的非唯一性，为用平均曲率流稳定性排除平坦奇点提供依据。
2024-05-07 math.AP math.DG
Gradient flow of phase transitions with fixed contact angle
该研究针对能量有界初始数据，分析固定边界接触角下Allen-Cahn方程的相变梯度流，建立解与能量测度的收敛性质，推导Ilmanen型单调性公式，完善了边界接触角相关的梯度流理论。
2025-09-04 math.AP math.DG
Existence of weak mean curvature flow with prescribed contact angle via elliptic regularization
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano（米兰大学数学系）；Department of Mathematics, Institute of Science Tokyo（东京科学大学数学系）
本文通过Ilmanen正则化，将其扩展到毛细现象领域并推导对应一阶变分估计，证明了满足θ∈(0,π)指定接触角的Brakke型弱平均曲率流的存在性。
2026-08-05 math.AP math.DG
Equivariant Gluing Constructions of Contact Stationary Legendrian Submanifolds of the (2n+1)-Sphere
$S^{2n+1}$的接触平稳勒让德子流形是在接触变形下体积平稳的勒让德子流形。最简单的接触平稳勒让德子流形（实际上是极小的和勒让德的）是实的赤道$n$ -球面$S_0$。本文给出了一种构造$S^{2n+1}$的接触稳定（但不是极小）Legendrian子流形的方法，该方法是通过将$S_0$的足够多个$U(n+1)$ -旋转副本在适当的横截相交的孤立点处粘在一起.由此产生的子流形是非常对称的;在几何上类似于$S_0$的副本通过窄颈相互连接的“项链”，并在$S^{2n + 1}$周围缠绕了大量的时间，然后在自身上闭合;并且在拓扑上等价于$S^1 \times S^{n-1}$。此外，它们代表了$S^{2n + 1}$的接触定常嵌入子流形的全新例子，从而产生了$C^{n+1}$中嵌入Hamilton定常锥的全新例子。
2007-07-03 math.AP math.DG
Regularity of minimal hypersurfaces with a common free boundary
设$N$是一个黎曼流形，考虑三个或三个以上的有边$M_k$的$C^{1,μ}$超曲面在具有公共边界$Γ$的$N$中的平稳并.我们表明，如果$N$是光滑的，那么$Γ$是光滑的，每个$M_k$是光滑的$Γ$（真正的解析的情况下，$N$是真正的解析）。因此，我们加强了Wickramasekera的结果，得出结论，在更强的假设下，$V$是一个平稳的，稳定的，积分$n$ -变倍的$(n+1)$ -维，光滑（实解析）黎曼流形，使得$\|V\|$的支集在任何地方都不是三个或更多光滑流形的并（实解析）超曲面与边界沿公共边界相交，如果$n = 6$，则$V$的奇异集是空的，如果$n = 7$，则$V$是离散的，并且如果$n \geq 8$，则具有至多$n-7$的Hausdorff维数。
2013-09-24 math.AP math.DG
Contact stationary Legendrian surfaces in $S^5$
设$(M^5,α,g_α,J)$是5维SasakianEinstein流形，具有接触1-形式$α$，伴随度量$g_α$和几乎复结构$J$，$L$是$M^5$中的接触平稳Legendrian曲面.我们将证明$L$满足以下方程\begin{eqnarray}\label{equ} -Δ^νH+(K-1)H=0, \end{eqnarray}其中$Δ^ν$是关于从$g_α$导出的$L$上的度量$g$的正规拉普拉斯算子，$K$是$(L,g)$的高斯曲率。利用方程\eqref{equ}和标准单位球面$\mathbb{S}^5$中Legendrian曲面的一个新的Simons型不等式，证明了$\mathbb{S}^5$中接触平稳Legendrian曲面的一个积分不等式.特别地，我们证明了如果$L$是$\mathbb{S}^5$中的接触平稳Legendrian曲面，$B$是$L$，$S=|B|^2$，$ρ^2=S-2H^2$和$$0\leq S\leq 2,$$的第二基本形式，那么我们要么有$ρ^2=0$，$L$是全脐的，要么有$ρ^2\neq 0$，$S=2, H=0$，$L$是平坦的极小Legendrian环面.
2016-11-16 math.AP math.DG math.SG
Addendum to "Contact stationary Legendrian surfaces in $\mathbb{S}^5$"[Pacific Math. J. 293(2018), no.1, 101-120]
在\cite{Luo}中，证明了若$L$是$\mathbb{S}^5$中具有正则Sasakian结构的接触平稳Legendrian曲面，且其第第二基本型的平方长度属于$[0,2]$ .然后我们有$L$要么是全脐的，要么是平坦的极小勒让德环面。本文进一步证明了：如果$L$是$\mathbb{S}^5$中的全脐接触平稳Legendrian曲面，则$L$是全测地线的.
2019-11-25 math.DG
On Willmore Legendrian surfaces in $\mathbb{S}^5$ and the contact stationary Legendrian Willmore surfaces
在本文中，我们研究Willmore Legendrian曲面（即Legendrian曲面，这是临界点的Willmore功能）。利用\cite{Luo}中证明的一个等式，得到了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面与接触平稳Legendrian曲面之间的一个关系，并利用这个关系证明了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian球面的一个分类结果.我们还得到了Willmore Legendrian曲面的一个积分不等式，特别证明了如果$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面的第二基本形式的平方长属于$[0,2]$，则它必定是$0$且$L$是全测地线，或者是$2$且$L$是平坦的极小Legendrian环面，推广了\cite{YKM}的一个结果.我们还研究了5维Sasakian流形中Legendrian曲面之间Willmore泛函的变化。设$Σ$是一个闭曲面，$(M,α,g_α,J)$是一个5维Sasakian流形，它具有接触形式$α$，伴随度量$g_α$和几乎复结构$J$ .假设$f:Σ\mapsto M$是Legendrian沉浸。如果$f$是接触形变下Willmore泛函的临界点，则称$f$为接触平稳LegendrianWillmore曲面（简称csLWillmore曲面）.为了研究csL Wi…
2017-05-31 math.DG
Stationary liquid drops in Lorentz-Minkowski space
本文分析了Minkowski空间中类空液滴沉积在类空平面$Π$上的形状构形。我们假设存在一个指向$Π$的均匀重力场，并且液滴的体积是规定的。我们感兴趣的是，液滴，它们是，相应的力学系统的，能量的临界点，然后我们说，液滴是静止的。在这种情况下，液体-空气界面由以下条件确定：平均曲率是距$Π$的距离的线性函数，并且液滴与板$Π$形成恒定的双曲线接触角。作为第一个结果，我们将证明液滴必须是旋转对称的轴正交于$Π$。然后我们证明了对于给定的接触角与$Π$的对称解的存在性和唯一性。最后，我们将研究液滴根据其大小可以采用的形状。因此，我们将在$Π$上得到其高度、体积和湿表面面积的估计。
2005-01-13 math-ph math.DG math.MP
