Nondegenerate hyperplane covers of the hypercube
University of Bonn（波恩大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究了超立方体的非退化超平面覆盖问题，证明了此类覆盖集合的最小大小为$n/2$，并推广了斜覆盖问题的结果。
2026-03-04 math.CO
On higher multiplicity hyperplane and polynomial covers for symmetry preserving subsets of the hypercube
本文研究超立方体保对称子集的高重数超平面覆盖问题，证明求解对应的多项式覆盖问题即可获得紧致界，并指出该方法在处理更广的块对称集时已达极限。
2023-07-31 math.CO
Essential covers of the hypercube require many hyperplanes
本文研究了 $n$ 维超立方体本质覆盖的最小规模问题，证明了其至少需要 $10^{-2}\cdot n^{2/3}/(\log n)^{2/3}$ 个超平面，改进了此前的下界。
2023-10-09 math.CO
Stability for hyperplane covers
该研究刻画了超立方体几乎k-覆盖中最大权重超平面的结构并给出稳定性界，借此缩小整数线性规划的搜索空间，确定了Q^6几乎k-覆盖的精确最小规模，还改进了高维下的Clifton–Huang下界。
2023-06-13 math.CO
Evasive sets, covering by subspaces, and point-hyperplane incidences
给定正整数$k\leq d$和有限域$\mathbb{F}$，一个集合$S\subset\mathbb{F}^{d}$是$(k,c)$ -子空间回避的，如果每个$k$ -维仿射子空间至多包含$S$的$c$元素.通过一个简单的平均参数，$(k,c)$ -子空间回避集的最大大小至多为$c |\mathbb{F}|^{d-k}$ .当$k$和$d$固定，且$c$足够大时，Dvir和Lovett证明了匹配下界$Ω(|\mathbb{F}|^{d-k})$.我们提供了一个替代证明这一结果使用随机代数方法。我们还证明了尖锐的上界$(k,c)$规避集的大小的情况下$d$是大的，本Aroya和Shinkar的扩展结果。最优规避集的存在性在组合几何中有几个有趣的结果。我们证明了覆盖网格$[n]^{d}\subset \mathbb{R}^{d}$所需的$k$ -维线性超平面的最小数目是$Ω_{d}\big(n^{\frac{d(d-k)}{d-1}}\big)$，这与由Cibulka和Valtr证明的上界相匹配，并解决了Brass，Moser和Pach提出的一个问题。此外，我们改进了最好的已知的下界之间的关联点和超平面在$\mathbb{R}^{d}$假设他们的关联图避免完全二部图$K_{c,c}$的一些大常数$c=c(d)$的最大数目。
2022-07-28 math.CO
Covering Hypercube $mB^n$
School of Mathematics Hunan University（湖南大学数学学院）
本文研究了覆盖超立方体 $mB^n$ 中所有点至少 $k$ 次的超平面最小数量，推导了多项式消去条件的下界，并给出了 $k=1,2$ 时的精确值及 $k \ge 3$ 时的上下界。
2026-08-25 math.CO
Small Boolean Sections in Alon-Füredi Covers
Eötvös Loránd University（罗兰大学）
该研究针对Alon-Füredi覆盖问题，构造出显式的n个仿射超平面族，证明其最大布尔交集的最小值渐近达到平均下界，解决了覆盖的超平面规模与布尔交集大小的相关问题。
2026-07-30 math.CO
On almost k-covers of hypercubes
在本文中，我们考虑以下问题：什么是最小的仿射超平面的数目，在$\mathbb{R}^n$，使所有的顶点$\{0, 1\}^n \setminus \{\vec{0}\}$被覆盖至少$k$倍，和$\vec{0}$是未覆盖的？$k=1$的例子是著名的Alon-Füredi定理，该定理说需要最小的$n$仿射超平面，由组合零点定理证明。我们发展了一个类似的Lubell-Yamamoto-Meshalkin不等式的子集和，并完全解决了这个问题的分数版本，这也提供了一个渐进的答案，固定$n$和$k \rightarrow \infty$的积分版本。我们还利用Ball和Serra提出的一个组合零空间证明了$k=3$需要最小的$n+3$仿射超平面，并对任意的$k$和大的$n$提出了一个猜想.
2019-06-24 math.CO
To cover a permutohedron
Michigan State University（密歇根州立大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究置换体P_n的顶点覆盖问题，证明当n为奇数时需至少n个非标准超平面，n为偶数时需至少n-1个。
2026-04-09 math.CO
Partial covers of PG(n,q)
本文证明了不覆盖PG（n，q）的一组q+a超平面，q>13，a<（q-10）/4，至少不覆盖q^（n-1）-aq^（n-2）点，并且证明了这个下界是尖锐的.如果非覆盖点的个数至多为q^（n-1），则我们证明所有非覆盖点都包含在一个超平面中。最后，使用Blokhuis、Brouwer和Szonyi [3]的最近结果，我们注意到这些结果有效的a的界可以改进为a<（q-2）/3，并且a的这个上界是尖锐的
2012-10-03 math.CO
Sheaf homology of hyperplane arrangements, Boolean covers and exterior powers
本文通过将层同调提升至布尔覆盖并利用胞腔同调及删除-限制长正合序列，计算了超平面排列交点格在自然层外幂系数下的层同调，推广了Lusztig的旧结果。
2022-08-08 math.AT math.CO math.GR
Covering points by hyperplanes and related problems
Charles University（查理大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究了如何用超平面覆盖点集的问题，证明了在特定条件下存在高维平坦区域包含大量点，并给出了相关上界构造。
2024-12-06 cs.CG math.CO
Connections between covers of $\mathbb Z$ and subset sums
本文建立了$\mathbb Z$的剩余类覆盖与域上子集和覆盖之间的联系。假设$A_0=\{a_s(n_s)\}_{s=0}^k$覆盖每个整数至少$p$次，其中剩余类$a_0(n_0)=a_0+n_0\mathbb Z$是非冗余的，其中$p$是不整除任何$n_1,\ldots,n_k$的素数。令$m_1,\ldots,m_k\in\mathbb Z$分别与$n_1,\ldots,n_k$互质。对于任何$c,c_1,\ldots,c_k\in\mathbb Z/p\mathbb Z$与$c_1\cdots c_k\not=0$，我们表明，集$$\bigg\{\bigg\{\sum_{s\in I}\frac{m_s}{n_s}\bigg\}:\, I\subseteq\{1,\ldots,k\} \ \mbox{and}\ \sum_{s\in I}c_s=c\bigg\}$$包含一个算术级数的长度$n_0$与共同的差异$1/n_0$，其中$\{x\}$表示小数部分的实数$x$。
2020-08-04 math.CO math.NT
$\mathbb{Z}$-local system cohomology of hyperplane arrangements and a Cohen-Dimca-Orlik type theorem
本文针对超平面构形补空间上的 $\u0007Z$-局部系统，建立了 Cohen-Dimca-Orlik 型上同调消没定理，将既有结果推广到整数系数局部系统。
2023-04-21 math.CO math.GT
Covering the hypercube, the uncertainty principle, and an interpolation formula
该研究推导了超立方体偏斜超平面最小覆盖数的上下界，建立其与超立方体不确定性原理的关联，并提出一类低次多重线性多项式的插值公式。
2025-10-02 math.CO math.PR
Slicing the hypercube is not easy
Technion-IIT（以色列理工学院）
证明了对$n$维超立方体的所有边进行切片至少需要$Ω(n^{0.51})$超平面.我们给出了一些应用：奇偶校验的计算复杂性的下界，以及斜超平面对超立方体覆盖数的下界。
2021-02-17 cs.AI cs.CC math.CO
Additive bases, coset covers, and non-vanishing linear maps
最近，前两位作者证明了关于非零线性映射的Alon-Jaeger-Tarsi猜想。我们将他们的想法扩展到其他几个相关的问题。我们证明了Szegedy提出的弱加性基猜想，使Jaeger，Linial，Payan和Tarsi的加性基猜想迈出了重要的一步。事实上，我们证明了它在一个强的形式：存在一个集$A\subset\mathbb{F}_p^*$的大小$O(\log p)$，使得如果$B\subset\mathbb{F}_p^{n}$是$p$线性基地的联合，那么$A\cdot B=\{a\cdot v:a\in A, v\in B\}$是一个加法基础。Tomkinson的一个旧的结果指出，如果$G$是一个群，并且$\{H_{i}x_{i}:i\in [k]\}$是$G$的一个无冗余陪集覆盖，则$|G:\bigcap_{i\in [k]} H_{i}|\leq k!,$和这个界是最好的可能。在将陪集限定为子群的情况下，上界是否可以改进为$e^{O(k)}$是一个长期存在的问题。派伯提议为阿贝尔群研究这个问题。我们发现，有点令人惊讶的是，如果$G$是阿贝尔的，上限可以提高到$e^{O(k\log \log k)}$已经在一般陪集覆盖的情况下，使第一个实质性的改善超过$k!$界。最后，我们证明了一个自然推广的Alon-Jaeger-Tarsi猜想的多重矩阵。
2021-11-26 math.CO math.GR
Covering triangular grids with multiplicity
本文受Alon和Füredi启发，研究覆盖三角网格每点至少k次所需最少仿射超平面数，对d=2且k≤4给出精确解，并对d≥k-2给出渐近公式，方法为组合与线性规划。
2023-07-25 math.CO
Covering half-grids with lines and planes
Delft Institute of Applied Mathematics, TU Delft（代尔夫特应用数学研究所，代尔夫特理工大学）
研究有限网格结构的超平面覆盖问题，针对半网格（沿对角线切割的网格），给出覆盖所有点至少k次所需直线或平面的渐近紧界，并利用多项式方法得到精确结果。
2026-06-12 cs.CG math.CO
Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over finite fields and the Erdos-Falconer distance conjecture
证明了有限域上向量空间中点与超平面的关联数的逐点平均界。虽然我们的估计是，在一般情况下，尖锐的，我们观察到一个改进的产品集和集包含在一个领域。我们使用这些发病率界限，以获得显着的改善覆盖${\mathbb F}_q$，有限域与q元素，由$A \cdot A+... +A \cdot A$，其中A是一个子集${\mathbb F}_q$的足够大的大小的算术问题。我们还使用我们开发的关联机制和算术构造来研究有限域上向量空间中的Erdos-Falconer距离猜想。我们证明，自然模拟的欧几里德Erdos-Falconer距离猜想不持有在这种设置由于算术的影响。在积极的一面，我们得到了良好的指数为单位球的子集在$\mathbb F_q^d$的Erdos -Falconer距离问题，并讨论了他们的尖锐性。这导致在一般有限域上的高维向量空间中的Erdos-Falconer距离问题的一个相当完整的描述。
2007-07-31 math.CA math.CO
Almost covering all the layers of hypercube with multiplicities
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF）；The Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）
研究通过多项式覆盖超立方体不同层的多重性，证明了多项式次数下限并构造了覆盖方案，同时推翻了关于对称子集的猜想。
2026-06-05 cs.DM math.CO
Combinatorial covers and vanishing of cohomology
我们使用一个迈耶-Vietoris样的谱序列建立消失的结果，线性和椭圆超平面安排的补的上同调，作为一个更一般的框架，涉及对偶和阿贝尔对偶性质的空间和群体的一部分。在这个过程中，我们考虑局部系统的上同调一般，Cohen-Macaulay型条件。其结果是，我们恢复已知的消灭定理秩1局部系统以及群环系数，并获得新的推广。
2015-08-23 math.AG math.AT math.CO
Point-hyperplane incidence geometry and the log-rank conjecture
本文从点-超平面关联几何角度提出并证明一个新猜想与对数秩猜想等价，同时改进无结构构型中完全二部子图密度下界与上界构造，为理解改进Lovett上界的困难提供新框架。
2022-06-05 cs.CC math.CO
The universal covers of hypertoric varieties and Bogomolov's decomposition
本文研究仿射超环面簇的（奇异）泛覆盖。我们表明，它是由另一个仿射超环面品种，并采取普遍覆盖对应于采取简化相关的超平面安排。此外，我们一般地描述了仿射超环面簇的正则轨迹的基本群。在后一部分中，我们证明了Hamilton环面作用是块不可分解的当且仅当相关超环面簇上的$\mathbb{C}^*$ -等变辛结构在标量上是唯一的。特别是，我们建立了类似的Bogomolov分解的超环面品种，这是由Namikawa提出的一般锥辛品种。作为一个副产品，我们表明，如果两个仿射（或顺利）hypertoric品种是$\mathbb{C}^*$ -等变同构的品种，那么他们也是Hamilton环面行动等变同构的辛品种。这意味着组合分类实际上给出了这些变种的分类直到$\mathbb{C}^*$ -等变同构。
2019-10-26 math.AG math.CO math.SG
