Essential covers of the hypercube require many hyperplanes
本文研究了 $n$ 维超立方体本质覆盖的最小规模问题，证明了其至少需要 $10^{-2}\cdot n^{2/3}/(\log n)^{2/3}$ 个超平面，改进了此前的下界。
2023-10-09 math.CO
Stability for hyperplane covers
该研究刻画了超立方体几乎k-覆盖中最大权重超平面的结构并给出稳定性界，借此缩小整数线性规划的搜索空间，确定了Q^6几乎k-覆盖的精确最小规模，还改进了高维下的Clifton–Huang下界。
2023-06-13 math.CO
Affinization of Segre products of partial linear spaces
研究了部分线性空间的Segre积中的超平面和超平面补。这种互补的平行性的特点是在点线入射。给出了补空间的自同构是环境空间的自同构的限制的假设。建立了Veblenian Gamma空间的Segre积的仿射覆盖。给出了可嵌入射影空间的部分线性空间的Segre积中产生非退化超平面的一般构造.
2014-10-29 math.CO
Irredundant hyperplane covers
我们证明了如果$G$是一个阿贝尔群，并且$H_1x_1,\dots,H_{k}x_k$是$G$的一个带陪集的无冗余（最小）覆盖，则$$|G:\bigcap_{i=1}^{k}H_{i}|=2^{O(k)}.$$这个界是直到$O(\cdot)$符号中隐藏的常数为止的最佳可能界，并且它解决了Pyber（1996）和Szegedy（2007）的问题。进一步证明了如果$G$是某个大素数$p$的初等$p$ -群，并且$H_1,\dots,H_k$是一个具有多次重复的超平面序列，则上述界可以得到改进.因此，我们建立了一个实质性的加强最近解决的Alon-Jaeger-Tarsi猜想：存在$α>0$，使得对于每个可逆矩阵$M\in\mathbb{F}_p^{n\times n}$和任何一组至多$p^α$禁止坐标，可以找到一个矢量$x\in\mathbb{F}_p^{n}$，使得$x$和$Mx$都没有禁止坐标。
2022-10-31 math.CO
Toric partial orders
我们定义复曲面偏序，对应于区域的图形复曲面超平面安排，就像普通偏序对应于区域的图形超平面安排。在组合意义下，复曲面偏序集对应于由极小元转化为极大元或源转化为汇所产生的等价关系下的有限偏序集。我们推导出复曲面类似物的几个功能的普通偏序，如链，反链，传递性，哈塞图，线性扩展，和总订单。
2012-11-18 math.CO
Evasive sets, covering by subspaces, and point-hyperplane incidences
给定正整数$k\leq d$和有限域$\mathbb{F}$，一个集合$S\subset\mathbb{F}^{d}$是$(k,c)$ -子空间回避的，如果每个$k$ -维仿射子空间至多包含$S$的$c$元素.通过一个简单的平均参数，$(k,c)$ -子空间回避集的最大大小至多为$c |\mathbb{F}|^{d-k}$ .当$k$和$d$固定，且$c$足够大时，Dvir和Lovett证明了匹配下界$Ω(|\mathbb{F}|^{d-k})$.我们提供了一个替代证明这一结果使用随机代数方法。我们还证明了尖锐的上界$(k,c)$规避集的大小的情况下$d$是大的，本Aroya和Shinkar的扩展结果。最优规避集的存在性在组合几何中有几个有趣的结果。我们证明了覆盖网格$[n]^{d}\subset \mathbb{R}^{d}$所需的$k$ -维线性超平面的最小数目是$Ω_{d}\big(n^{\frac{d(d-k)}{d-1}}\big)$，这与由Cibulka和Valtr证明的上界相匹配，并解决了Brass，Moser和Pach提出的一个问题。此外，我们改进了最好的已知的下界之间的关联点和超平面在$\mathbb{R}^{d}$假设他们的关联图避免完全二部图$K_{c,c}$的一些大常数$c=c(d)$的最大数目。
2022-07-28 math.CO
Covering Hypercube $mB^n$
School of Mathematics Hunan University（湖南大学数学学院）
本文研究了覆盖超立方体 $mB^n$ 中所有点至少 $k$ 次的超平面最小数量，推导了多项式消去条件的下界，并给出了 $k=1,2$ 时的精确值及 $k \ge 3$ 时的上下界。
2026-08-25 math.CO
Covering lattice points by subspaces and counting point-hyperplane incidences
令$d$和$k$是整数，其中$1 \leq k \leq d-1$。设$Λ$是$d$维格，$K$是关于原点对称的$d$维紧致凸体.我们提供估计的最小数目的$k$维线性子空间需要覆盖所有点的$Λ\cap K$。特别地，我们的结果意味着覆盖$d$维$n \times \cdots \times n$网格所需的$k$维线性子空间的最小数目至少为$Ω(n^{d(d-k)/(d-1)-\varepsilon})$至多为$O(n^{d(d-k)/(d-1)})$，其中$\varepsilon>0$是任意小的常数.这几乎解决了一个问题中提到的书黄铜，莫泽，和帕奇。我们还找到了紧界的最小数目$k$维仿射子空间需要覆盖$Λ\cap K$。我们使用这些新的结果，以提高最知名的下界的最大数量的点超平面的发病率由黄铜和Knauer。对于$d \geq 3$和$\varepsilon \in (0,1)$，我们证明了存在一个整数$r=r(d,\varepsilon)$，使得对于所有正整数$n,m$，下面的陈述为真。在$\mathbb{R}^d$中有一组$n$点，在$\mathbb{R}^d$中有一组$m$超平面，它们的关联图中没有$K_{r,r}$，如果$d$是奇数，则至少有$Ω\left((mn)^{1-(2d+3)/((d+2)(d+3)) - \varepsilon}\right)$关联，如果$d$是…
2018-01-03 math.CO
Partial fraction decompositions on hyperplane arrangements
本文研究多变量部分分式分解，通过交换代数工具给出有理函数在超平面安排上具有理想部分分式分解的条件，并提出算法用于简化散射振幅计算。
2026-03-24 hep-th math.AC math.CO
Small Boolean Sections in Alon-Füredi Covers
Eötvös Loránd University（罗兰大学）
该研究针对Alon-Füredi覆盖问题，构造出显式的n个仿射超平面族，证明其最大布尔交集的最小值渐近达到平均下界，解决了覆盖的超平面规模与布尔交集大小的相关问题。
2026-07-30 math.CO
On almost k-covers of hypercubes
在本文中，我们考虑以下问题：什么是最小的仿射超平面的数目，在$\mathbb{R}^n$，使所有的顶点$\{0, 1\}^n \setminus \{\vec{0}\}$被覆盖至少$k$倍，和$\vec{0}$是未覆盖的？$k=1$的例子是著名的Alon-Füredi定理，该定理说需要最小的$n$仿射超平面，由组合零点定理证明。我们发展了一个类似的Lubell-Yamamoto-Meshalkin不等式的子集和，并完全解决了这个问题的分数版本，这也提供了一个渐进的答案，固定$n$和$k \rightarrow \infty$的积分版本。我们还利用Ball和Serra提出的一个组合零空间证明了$k=3$需要最小的$n+3$仿射超平面，并对任意的$k$和大的$n$提出了一个猜想.
2019-06-24 math.CO
To cover a permutohedron
Michigan State University（密歇根州立大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究置换体P_n的顶点覆盖问题，证明当n为奇数时需至少n个非标准超平面，n为偶数时需至少n-1个。
2026-04-09 math.CO
Sheaf homology of hyperplane arrangements, Boolean covers and exterior powers
本文通过将层同调提升至布尔覆盖并利用胞腔同调及删除-限制长正合序列，计算了超平面排列交点格在自然层外幂系数下的层同调，推广了Lusztig的旧结果。
2022-08-08 math.AT math.CO math.GR
A new class of maximal partial spreads in PG(4,q)
在这项工作中，我们构造了一类新的最大部分传播$PG(4,q)$，我们称之为$q$添加最大部分传播。我们得到他们通过剥夺一些线的超平面的扩展和添加$q+1$线不是超平面的每一个删除的线。我们这样做，在理论上的方式为每一个值的$q$，并通过计算机搜索$q$的奇素数和$q \leq 13$。更精确地说，我们证明了，对于每个$q$有$q$ -添加的最大部分蔓延的大小$q^2+q+1$的大小$q^2+(q-1)q+1$，而通过计算机搜索，我们得到更大的基数。
2013-01-22 math.CO
Covering point-sets with parallel hyperplanes and sparse signal recovery
我们给出了一个新的确定性构造的整数传感矩阵，可用于恢复整数值信号的压缩感知。这是一族$n \times d$整数矩阵，$d \geq n$，具有有界超范数和没有$\ell$列向量是线性相关的性质，$\ell \leq n$。此外，如果$\ell \leq o(\log n)$，则$d/n \to \infty$为$n \to \infty$。我们的构造来自于$\mathbb R^n$中的点集的特定的差向量集，这些差向量集不能被少数平行超平面覆盖。我们构造这样的集合的例子在$0, \pm 1$网格和使用它们的矩阵构造。我们还显示了一个连接，我们的建设一个简单的版本的塔斯基木板问题。
2021-12-27 cs.NA math.CO math.MG
Covering points by hyperplanes and related problems
Charles University（查理大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究了如何用超平面覆盖点集的问题，证明了在特定条件下存在高维平坦区域包含大量点，并给出了相关上界构造。
2024-12-06 cs.CG math.CO
Partial Parking Functions
我们将Pak-Stanley标签的区域的一个家庭的超平面安排之间的施安排和ISH安排插值。
2018-10-19 math.CO
Binomial partial Steiner triple systems with complete graphs: structural problems
本文研究了所谓的二项式偏Steiner三元系（简称BSTS）的超平面结构，即具有$\binom{n}{2}$点和$\binom{n}{3}$线的构形，每条线的大小为$3$ .因此，BSTS具有通过其每个点的$n-2$线。
2015-08-24 math.CO
Covering the hypercube, the uncertainty principle, and an interpolation formula
该研究推导了超立方体偏斜超平面最小覆盖数的上下界，建立其与超立方体不确定性原理的关联，并提出一类低次多重线性多项式的插值公式。
2025-10-02 math.CO math.PR
Almost covers of finite sets of points
Óbuda University（欧贝达大学）
研究有限点集的近覆盖问题，基于Gröbner基理论给出最小近覆盖的下界，并推广Sziklai和Weiner定理。
2026-04-05 math.CO
Slicing the hypercube is not easy
Technion-IIT（以色列理工学院）
证明了对$n$维超立方体的所有边进行切片至少需要$Ω(n^{0.51})$超平面.我们给出了一些应用：奇偶校验的计算复杂性的下界，以及斜超平面对超立方体覆盖数的下界。
2021-02-17 cs.AI cs.CC math.CO
Covers and partial transversals of Latin squares
我们将拉丁方的覆盖定义为一组条目，其中包括每行，列和符号的至少一个代表。如果一个覆盖不包含任何更小的覆盖，则它是最小的。部分横切是一组条目，其中包括每行、列和符号的至多一个代表。一个部分断面是极大的，如果它不包含在任何更大的部分断面中。我们探讨覆盖和部分断面之间的关系。我们证明如下：（1）$n$阶拉丁方中覆盖的最小尺寸是$n+a$当且仅当部分断面的最大尺寸是$n-2a$或$n-2a+1$。(2)一个$n$阶拉丁方的极小覆盖的大小至多为$μ_n=3(n+1/2-\sqrt{n+1/4})$。(3)有无穷多个阶$n$，对于这些阶，存在一个拉丁方，它具有从$n$到$μ_n$的每个大小的最小覆盖。(4)每个$n$阶的拉丁方都有一个大小渐近等于$μ_n$的最小覆盖。(5)如果$1\le k\le n/2$和$n\ge5$，则存在一个$n$阶的拉丁方，其最大部分断面的大小为$n-k$。(6)对于任何$ε>0$，渐近地几乎所有的拉丁方都没有大小小于$n-n^{2/3+ε}$的最大部分断面。
2017-12-07 math.CO
Covering half-grids with lines and planes
Delft Institute of Applied Mathematics, TU Delft（代尔夫特应用数学研究所，代尔夫特理工大学）
研究有限网格结构的超平面覆盖问题，针对半网格（沿对角线切割的网格），给出覆盖所有点至少k次所需直线或平面的渐近紧界，并利用多项式方法得到精确结果。
2026-06-12 cs.CG math.CO
Point-hyperplane incidence geometry and the log-rank conjecture
本文从点-超平面关联几何角度提出并证明一个新猜想与对数秩猜想等价，同时改进无结构构型中完全二部子图密度下界与上界构造，为理解改进Lovett上界的困难提供新框架。
2022-06-05 cs.CC math.CO
