Error estimates for the scalar auxiliary variable (SAV) scheme to the Cahn-Hilliard equation
基于标量辅助变量（SAV）格式，对Cahn-Hilliard方程的时间半离散格式，建立了仅依赖于$ \varepsilon^{-1}$多项式次数的最优误差估计.分析的关键是将SAV时间步进格式的结构转换回与Cahn-Hilliard方程的原始格式兼容的形式，这使得使用谱估计来处理非线性项是可行的。基于SAV数值格式的变换，利用数学归纳法、谱变元和非线性项的超收敛性质，得到了时间半离散格式的最优误差估计，该格式只依赖于$\varepsilon^{-1}$的低次多项式阶而不依赖于指数阶.数值例子说明了离散能量衰减特性，并验证了我们的理论收敛性分析。
2022-12-07 cs.NA math.NA
Scalar auxiliary variable (SAV) stabilization of implicit-explicit (IMEX) time integration schemes for nonlinear structural dynamics
本文提出一种基于标量辅助变量（SAV）稳定化的高阶IMEX-BDFk时间积分格式，通过隐式处理线性项、显式处理非线性项实现无条件稳定，可直接求解二阶常微分方程，在非线性结构动力学中以低计算成本实现高精度。
2024-06-05 cs.NA math.NA
Efficient and accurate exponential SAV algorithms with relaxation for dissipative system
本文构造了耗散系统的两种指数松弛SAV方法（R-ESAV）。所构造的格式是线性的，无条件能量稳定的。与R-SAV和R-GSAV方法相比，该方法在不作任何假设的情况下保证了SAV的正性，保留了ESAV方法的所有优点，并满足了与原始自由能直接相关的修正能量的耗散规律。此外，第二种R-ESAV方法易于构造高阶BDF $k$格式。特别是对于Navier-斯托克斯方程，我们构造了两种基于R-ESAV方法的新格式。最后，大量的数值例子表明，所提出的方法是准确和有效的。
2023-03-01 cs.NA math.NA
A second order accurate scalar auxiliary variable (SAV) numerical method for the square phase field crystal equation
在本文中，我们提出并分析了一个二阶精度（在时间上）的数值方相场晶体（SPFC）方程，梯度流模拟晶体动力学在原子尺度上的空间，但在时间上的扩散尺度。它与标准相场晶体模型的主要区别是在自由能势中引入了4-拉普拉斯项，这反过来又导致了更高程度的非线性。为了在保持非线性能量稳定性的同时使数值格式线性化，我们使用标量辅助变量（SAV）方法，其中在时间模板中应用二阶向后微分公式（BDF）。同时，由于涉及到4-Laplacian项，结合非线性能量泛函的下界的推导，直接应用SAV方法面临一定的困难。在所提出的数值方法中，对物理能量泛函进行了适当的分解，使得非线性能量部分具有一个良好的全局下界，而其余项则为具有正特征值的常系数扩散项.反过来，数值方案可以非常有效地实现恒定系数泊松型求解器（通过FFT），并通过引入辅助变量建立能量稳定性，并提供了建议SAV方法的最佳速率收敛分析。最后给出了几个数值实验，实验结果表明了该格式的有效性和准确性。
2020-12-30 cs.NA math.NA
Convergence, error analysis and longtime behavior of the Scalar Auxiliary Variable method for the nonlinear Schrödinger equation
本文研究了标量辅助变量法（SAV）求解非线性薛定谔方程的收敛性。我们得到了一个弱收敛和强收敛结果，建立了二阶全局误差界，并给出了修正的哈密顿量的长时间误差估计。此外，我们说明了有利的能量守恒的SAV方法相比，经典的分裂计划在某些应用中。
2021-07-06 cs.NA math.NA
Energy stable schemes for gradient flows based on novel auxiliary variable with energy bounded above
本文考虑一种新的辅助变量方法来获得梯度流的能量稳定格式。基于能量有界的辅助变量不限于以前方法中采用的假设条件。我们仔细而严格地证明了所有半离散格式的无条件能量稳定性。所提出的计划的新颖性是，平方根的功能的计算值被保证是积极的。这种方法，称为新的辅助能量变量（NAEV）方法不再考虑任何有界下的限制。然而，这些限制是必要的不变能量二次化（IEQ）和标量辅助变量（SAV）的方法，这是非常流行的方法，最近。这种保证正性的性质在以前的方法中是不可用的。经典的SAV和NAEV方法的比较研究被认为是显示的准确性和效率。最后，我们提出了各种二维数值模拟，以证明稳定性和准确性。
2019-07-10 cs.NA math.AP math.NA
A generalized scalar auxiliary variable method for the time-dependent Ginzburg-Landau equations
本文发展了求解含时不定常Ginzburg-Landau方程的广义标量辅助变量（SAV）方法。后向欧拉用于离散不定常Ginzburg-Landau方程的时间导数。在该方法中，系统被解耦和线性化，以避免在每一步都要求解非线性方程。理论分析证明了广义SAV方法能够保持最大值界原理和能量稳定性，数值结果也证实了这一点。结果表明，该数值算法是稳定的。
2022-10-16 cs.NA math.NA
A generalized SAV approach with relaxation for dissipative systems
标量辅助变量（SAV）方法\cite{shen2018scalar}及其在\cite{huang2020highly}中提出的推广形式GSAV是构造非线性耗散系统高效精确能量稳定格式的常用方法。然而，SAV的离散值并不直接与耗散系统的自由能相关，如果时间步长不够小，则可能导致不准确的解。受\cite{jiang2022improving}中关于梯度流的松弛SAV方法的启发，本文提出了一种适用于一般耗散系统的广义松弛SAV方法（R-GSAV）。R-GSAV方法保留了GSAV方法的所有优点，此外，它耗散了与原始自由能直接相关的修改后的能量。证明了基于R-GSAV的$k$ -阶隐-显（IMEX）格式是无条件能量稳定的，并对$k=1,2,3,4,5$进行了严格的误差分析.我们提出了大量的数值结果来证明改进的精度和有效性的R-GSAV方法。
2022-01-29 cs.NA math.NA
A scalar auxiliary variable unfitted FEM for the surface Cahn-Hilliard equation
本文提出将标量辅助变量方法与自适应时间步长和几何非拟合迹有限元方法相结合，用于求解光滑闭曲面上的退化迁移率 Cahn-Hilliard 方程，证明了一阶和二阶格式的稳定性，并通过数值实验验证了方法性能。
2023-06-01 cs.NA math.NA
On the SAV-DG method for a class of fourth order gradient flows
针对一类四阶梯度流问题，将标量辅助变量（SAV）时间离散与无惩罚间断Galerkin（DG）空间离散相结合，得到SAV-DG格式.这些格式是线性的，并且无条件能量稳定。但由于降阶线性系的系数矩阵密集，求解起来相当昂贵。在本文中，我们提供了一个预评估辅助变量的分段多项式空间的过程。因此，当利用共轭梯度（CG）求解器时，$O(\mathcal{N}^2)$的计算复杂性度降低到$O(\mathcal{N})$。这种混合SAV-DG方法是更有效的，能够提供令人满意的结果，高精度。这也与求解SAV-DG方案的全增广系统进行了比较。
2020-08-27 cs.NA math.NA
SAV Schemes with Decomposition-Induced Pullback Corrections for Gradient Flows
Purdue University（普渡大学）；Eastern Institute of Technology（宁波东方理工大学）
提出PB-SAV格式，通过拉回校正替代标准SAV的秩一校正，在保持单个标量辅助变量的同时实现高阶秩校正，并证明修正能量耗散律和低秩实现。
2026-09-15 cs.NA math.NA
New SAV-pressure correction methods for the Navier-Stokes equations: stability and error analysis
我们构造了新的一阶和二阶压力修正方案，使用标量辅助变量（SAV）方法的Navier-斯托克斯方程。这些计划是线性的，解耦的，只需要一系列的解决泊松型方程在每个时间步。此外，它们是无条件能量稳定的。我们还建立了严格的误差估计的速度和压力近似的一阶格式没有任何条件的时间步长。
2020-02-21 cs.NA math.AP math.NA
Scalar auxiliary variable approach for conservative/dissipative partial differential equations with unbounded energy
在本文中，我们对所谓的SAV方法进行了一项新的研究，该方法是一种为具有变分结构的偏微分方程构造线性隐式几何数值积分器的框架。SAV方法最初是针对具有下界非线性势的梯度流（如Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程）提出的，这种能量假设是必不可少的。在本文中，我们提出了一种新的方法来解决梯度流与无界能量，如KdV方程的能量泛函的分解。此外，我们将表明，SAV方法的方程，这是一个方程组与标量辅助变量，被表示为另一个梯度系统，继承了原系统的变分结构。该表达式允许我们通过某类龙格-库塔法构造新的高阶积分器。我们将在我们的框架中提出保守系统的二阶和四阶格式，并给出几个数值例子。
2021-05-10 cs.NA math.NA
Highly efficient norm preserving numerical schemes for micromagnetic energy minimization based on SAV method
本文提出两种基于SAV方法的高效保磁化范数数值格式，结合隐式投影与离散余弦变换，用于微磁能量最小化，数值实验显示其在效率和稳定性上优于常用方法。
2025-10-17 cs.NA math.NA
Improved scalar auxiliary variable schemes for original energy stability of gradient flows
针对SAV方法仅保证修正能量稳定的问题，提出保持完全线性且严格稳定原始能量的iSAV格式，证明其收敛性与最优误差界并通过实验验证。
2024-05-12 cs.NA math.NA
Error analysis of the SAV-MAC scheme for the Navier-Stokes equations
基于标量辅助变量（SAV）和标记格点格式（MAC）构造了求解Navier-斯托克斯方程的一种高效数值格式。该方案的一个特点是显式处理非线性项，同时无条件能量稳定。进行了严格的误差分析，表明速度和压力的近似是二阶精度的时间和空间。数值实验验证了理论结果。
2019-09-08 cs.NA math.AP math.NA
Convergence Analysis of a Linear, Unconditionally Energy-Stable SAV Finite Element Method for the Cahn-Hilliard Equation
School of Data Science and Computing, Shandong Women’s University（山东女子大学数据科学与计算学院）；Jinan Quanxin Eco-Environmental Technology Co., Ltd.（济南泉新环保科技有限公司）
本文提出了一种基于SAV方法的线性无条件能量稳定的有限元方法，用于Cahn-Hilliard方程的收敛性分析，并证明了其在时间和空间上的最优阶收敛性。
2026-02-25 cs.NA math.NA
Stability and convergence of relaxed scalar auxiliary variable schemes for Cahn-Hilliard systems with bounded mass source
针对带质量源的Cahn-Hilliard系统可能无Ginzburg-Landau能量耗散结构、SAV离散解稳定性难直接得到的问题，证明了有界质量源下一阶松弛SAV格式时间离散解的稳定性与收敛性，并将其拓展应用于多领域的Cahn-Hilliard系统。
2025-01-15 cs.NA math.NA
A linear, fully decoupled, and unconditionally energy-stable SAV-FEM for the Cahn--Hilliard--Navier--Stokes model
Henan Polytechnic University（河南理工大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）
研究针对Cahn-Hilliard-Navier-Stokes模型，采用标量辅助变量方法，开发出线性、完全解耦且无条件能量稳定的全离散有限元格式，经理论分析与数值实验验证了格式的稳定性、误差估计及有效性。
2026-07-16 cs.NA math.NA
A linear, unconditionally stable, second order decoupled method for the Ericksen-Leslie model with SAV approach
本研究针对Ericksen-Leslie模型，结合压力修正法与SAV技术提出一种二阶线性完全解耦的无条件能量稳定格式，严格证明其稳定性并通过数值实验验证收敛阶、稳定性与计算效率。
2025-10-30 cs.NA math.AP math.NA
High-efficiency and positivity-preserving stabilized SAV methods for gradient flows
本文提出一阶和二阶保正性的稳定化SAV（PS-SAV）格式，用于梯度流，在保持精度和稳定性的同时将计算成本减半，并保证辅助变量恒正，且通过能量优化技术使修正能量接近原始能量。
2023-10-13 cs.NA math.NA
Error analysis of scalar auxiliary variable finite element methods for the Landau--Lifshitz--Bloch equation
School of Mathematics and Statistics, The University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文提出并分析了两种基于标量辅助变量方法的完全离散有限元方案，用于在高温 regime 中求解LLB方程，实现了二阶时间精度和无条件能量稳定性。
2026-07-28 cs.NA math.NA
A stabilized dual-SAV parametric finite element framework for constrained planar geometric flows with mesh regularization
Faculty of Mathematics and Physics, Institute of Science and Engineering, Kanazawa University（金泽大学理工研究科）；RIKEN iTHEMS（理化学研究所 iTHEMS）
本文提出一种稳定的双标量辅助变量参数有限元框架，用于处理受约束的平面闭合曲线几何流中的高阶几何刚度、网格退化和非线性全局约束问题，通过引入物理几何能量和人工网格正则化能量，实现网格重分布不影响参数化。
2026-05-12 cs.NA math.NA
Second-Order Linear Relaxation Schemes for Time-Fractional Phase-Field Models
针对时间分数阶相场模型，提出基于L1+-CN离散与辅助变量的二阶线性松弛半离散格式，具备时间二阶精度与无条件能量稳定性，数值实验验证了其有效性。
2025-06-13 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a second-order SAV-ZEC scheme for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system
针对Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统，结合标量辅助变量法与零能量贡献技术，构建线性全解耦二阶数值格式，证明其无条件稳定性并推导相变量、速度变量的最优收敛阶误差估计。
2025-07-28 cs.NA math.NA
Implicit-explicit BDF $k$ SAV schemes for general dissipative systems and their error analysis
对一般耗散系统构造了有效的隐-显BDF $k$标量辅助变量（SAV）格式.我们证明了这些格式是无条件稳定的，并导致数值解在基于能量的主线性算子的范数下的一致界。基于这个一致界，我们对一类典型的Allen-Cahn型和Cahn-Hilliard型方程的统一形式的$k$三阶$(k=1,2,3,4,5)$ SAV格式进行了严格的误差分析.我们还提出了数值结果证实我们的理论收敛速度。
2021-03-10 cs.NA math.NA
Arbitrarily High-order Unconditionally Energy Stable Schemes for Gradient Flow Models Using the Scalar Auxiliary Variable Approach
基于标量辅助变量（SAV）方法，提出了一类新的梯度流模型高阶数值格式，即高阶标量辅助变量（HSAV）方法。新提出的格式可以在时间上达到任意高阶，同时保持能量耗散定律，而对时间步长没有任何限制（即，无条件能量稳定）。HSAV策略是相当普遍的，它不依赖于有效自由能的具体表达式，这样它适用于一类具有一致性的梯度流模型，从而得到半离散高阶能量稳定格式。然后，我们采用傅立叶伪谱方法的空间离散化。全离散格式也被证明是无条件能量稳定的。此外，我们提出了几个广泛使用的梯度流模型的数值实验，以证明HSAV格式的精度，效率和无条件的能量稳定性。数值结果表明，HSAV格式可以达到预期的精度量级，并且与标准SAV格式相比，它允许更大的时间步长以达到相同的精度。
2019-07-09 cs.NA math.NA
Stability and error analysis of IMEX SAV schemes for the magneto-hydrodynamic equations
本文基于标量辅助变量（SAV）方法构造并分析了磁流体动力学方程的一阶和二阶隐式-显式（IMEX）格式。这些格式是线性的，在每个时间步只需要求解一系列常系数线性微分方程，并且是无条件能量稳定的。我们推导出严格的误差估计的速度，压力和磁场的一阶格式在二维的情况下，没有任何条件的时间步长。数值例子验证了所提出的格式。
2021-04-01 cs.NA math.NA
Unconditional optimal-order error estimates of linear relaxation compact difference scheme for the coupled nonlinear Schrödinger system
School of Mathematical Sciences, Ocean University of China（青岛大学数学科学学院）；Laboratory of Marine Mathematics, Ocean University of China（海洋数学实验室）
本文针对多维耦合非线性薛定谔系统提出结合四阶紧致差分与松弛技术的线性解耦守恒格式，严格证明其无条件最优阶误差估计，数值实验验证其长时间仿真性能优异。
2025-11-16 cs.NA math.NA
Energy Stability and Convergence of SAV Block-centered Finite Difference Method for Gradient Flows
Shandong University（山东大学）；Purdue University（普渡大学）
本文提出并分析了用于梯度流空间离散化的块中心有限差分法（SAV/CN-BCFD），证明该方案在各种离散范数下具有二阶时间与空间精度，并通过自适应时间策略提升其精度和效率，通过Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程的数值实验验证理论结果和方法的鲁棒性与准确性。
2018-12-05 cs.NA math.NA
Unconditional energy dissipation and error estimates of the SAV Fourier spectral method for nonlinear fractional generalized wave equation
本文考虑一种求解非线性分数阶广义波动方程的二阶标量辅助变量（SAV）Fourier谱方法。首先建立了全离散格式的无条件能量守恒或耗散性质。其次，我们利用时空误差分裂的方法得到了全离散格式的无条件最优误差估计，克服了强非线性系统对时间步长的限制，以及以往分数阶无阻尼或阻尼波动方程中非线性项必须满足全局利普希茨条件的限制.最后，给出了一些数值实验来验证我们的理论分析。
2021-05-04 cs.NA math.NA
Stability and error analysis of the SAV schemes for the inductionless MHD equations
本文研究无感磁流体动力学方程的数值逼近。利用标量辅助变量（SAV）方法处理对流项和耦合项，我们提出了一些一阶和二阶格式。这些格式是线性的，解耦的，无条件能量稳定的，并且在每个时间步只需要求解一系列常系数的微分方程。我们进一步推导了一阶格式的严格误差分析，建立了二维情况下速度、压力、电流密度和电势的最佳收敛速度。数值算例验证了理论结果并显示了格式的性能。
2023-03-19 cs.NA math.NA
Strong error estimates for a fully discrete SAV scheme for the stochastic Allen--Cahn equation with multiplicative noise
研究周期域上具乘性噪声的随机 Allen--Cahn 方程的数值逼近，采用增广标量辅助变量方法进行时间离散，建立了强收敛速率并证明该线性格式具有与非线性保结构格式相同的最优收敛速率，数值模拟验证了理论结果。
2025-01-08 cs.NA math.NA
Semi-implicit energy-preserving numerical schemes for stochastic wave equation via SAV approach
本文提出并分析了具有一般非线性和乘性噪声的随机波动方程的半隐式数值格式。这些数值格式称为随机标量辅助变量（SAV）格式，通过将所考虑的SWE转换为具有随机SAV的高维随机系统来构造。我们证明了它们可以显式求解，并保持修改后的能量演化规律和原系统的规则性结构。这些结构保持特性是克服噪声和非线性相互影响的关键。通过证明SAV的新的正则性估计，我们建立了随机SAV格式和进一步的空间方向全离散有限元法格式的强收敛速度.据我们所知，这是第一个结果的建设和强收敛的半隐式能量保持计划的非线性SWE。
2022-08-29 cs.NA math.NA
Scalar auxiliary variable finite element scheme for the parabolic-parabolic Keller-Segel model
我们描述并分析了抛物-抛物Keller-Segel模型的有限元数值格式。标量辅助变量方法用于在离散水平上恢复与系统相关的能量的单调衰减。该方法依赖于将Keller-Segel模型解释为梯度流。所得到的数值方案是有效的，易于实现。我们证明了一个唯一的非负解的存在性，并得到了一个修改后的离散能量，由于使用的SAV方法。我们还证明了离散解收敛于连续Keller-Segel模型的弱形式解。
2020-07-03 cs.NA math.NA
Linear Relaxation Schemes with Asymptotically Compatible Energy Law for Time-Fractional Phase-Field Models
针对时间分数阶相场方程，提出结合$L1^{+}$-CN离散与辅助变量的变步长线性松弛格式，具备时间二阶精度、能量稳定性及渐近相容的离散能量耗散律，数值实验验证了其有效性与变量一致性。
2025-09-03 cs.NA math.NA
Error analysis of SAV finite element method to phase field crystal model
将最新发展的标量辅助变量（SAV）方法与线性有限元法（FEM）相结合，构造并分析了相场晶体（PFC）模型的能量稳定格式，严格证明了该格式对于L2和H-1梯度流方程在时间上是一阶的，在空间上是二阶的.为了有效地降低计算成本和准确地捕捉相界面，我们给出了一个简单的自适应策略，配备了后验梯度估计，即恢复梯度的L2范数。大量的数值实验验证了我们的理论结果，并证明了我们所提出的方法的有效性和准确性。
2019-10-13 cs.NA math.NA
A weighted scalar auxiliary variable method for solving gradient flows: bridging the nonlinear energy-based and Lagrange multiplier approaches
针对梯度流模拟中两种主流SAV方法的局限，本文首次提出加权SAV方法，整合二者优势，可通过调整权重系数兼顾任意时间步长解的存在性、原始能量近似性及计算成本一致性，并经定理与实验验证其性能。
2024-11-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Explicit charge-conserving and modified energy-conserving PIC methods using the SAV approach
University of Washington（华盛顿大学）；Inria Rennes (Mingus team) & IRMAR, UMR CNRS 6625, Univ Rennes（法国国家信息与自动化研究所雷恩分中心（Mingus团队）& IRMAR，CNRS联合研究单位6625，雷恩大学）
该研究采用SAV方法开发了显式二阶PIC方法，可精确保持离散高斯定律与修正总能量，经数值实验验证其具备预期动力学特性及守恒性质。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Second-Order Flows for Approaching Stationary Points via the SAV-E Approach
Wuhan University（武汉大学）；MOE-LCSM, School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学与统计学院）；National University of Defense Technology（国防科技大学）
本文提出用于二阶流的SAV-E方法，证明其无条件修正能量稳定性，建立两类模型的子序列收敛性，数值实验表明其鲁棒性与效率优于基线及对应梯度流。
2026-10-15 cs.NA math.NA
A scalar auxiliary variable-based semi-implicit scheme for stochastic Cahn--Hilliard equation
The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Eastern Institute of Technology（宁波东方理工大学）
本文提出基于标量辅助变量的半隐式方案，用于解决由乘性噪声驱动的随机Cahn-Hilliard方程，实现了高阶强收敛性并保持能量演化规律。
2026-03-04 cs.NA math.AP math.NA
An efficient and robust SAV based algorithm for discrete gradient systems arising from optimizations
本文提出一种结合松弛与自适应策略的改进SAV最小化算法，实现无条件能量递减和大步长加速收敛，数值实验显示其稳健且收敛速度快于主流梯度法。
2023-05-10 cs.NA math.NA math.OC
Positivity-preserving scalar auxiliary variable schemes for gradient flows via a quadratic reformulation
School of Mathematics and Statistics, Henan University（河南大学数学与统计学院）；Center for Applied Mathematics of Henan Province, Henan University（河南省应用数学中心）
针对SAV方法离散后r可能变负的问题，通过将r_t重构为(r^2)_t的二次形式，保持平方根定义，实现无条件能量稳定的保正格式，且计算成本不变。
2026-10-02 cs.NA math.NA
A Revisit of The Energy Quadratization Method with A Relaxation Technique
这封信回顾了能量平方化（EQ）方法，通过引入一种新的和必要的松弛技术，以提高其精度和稳定性。EQ方法在过去几年中非常受欢迎。虽然承认它在设计能量稳定方案中对物理上一致的模型的有效性，但主要的已知缺点是明显的，即，它保留了由辅助变量而不是原始变量表示的“修改的”能量定律。在数值计算过程中引入截断误差，使得辅助变量的数值解不再等价于它们的原始连续定义。即使保留了“修正”的消能规律，也不能保证原有的消能规律。在本文中，我们克服了这个问题，通过引入松弛技术。与基线EQ方法相比，这种额外技术的计算成本可以忽略不计。同时，松弛EQ方法保持了基线EQ方法的所有优良特性，如线性和无条件能量稳定性。然后，我们将松弛EQ方法应用到几个广泛使用的相场模型，以突出其有效性。
2021-03-25 cs.NA math.NA
Energy stable auxiliary variable method for Cahn--Hilliard equations
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Department of Mathematics, Shanghai Normal University（上海师范大学）
本文提出了一种二次重构理论用于有理类函数，结合标量辅助变量方法与隐式中点法则，开发出二次守恒提升（QCE）方法，用于Cahn-Hilliard方程中的有理类自由能项，保持原始能量耗散定律，并验证了方法的效率和一致性。
2026-04-29 cs.NA math.NA
Stabilized exponential-SAV schemes preserving energy dissipation law and maximum bound principle for the Allen-Cahn type equations
众所周知，Allen-Cahn方程不仅满足能量耗散律，而且在适当的初边值条件下，其解的绝对值始终有某个常数的逐点有界，这就是最大值有界原理.近年来，标量辅助变量（SAV）方法及其许多变体在梯度流问题的数值解中由于其固有的优点而引起了人们的广泛关注。然而，现有的SAV计划通常不能保持MBP时，应用于Allen-Cahn方程。在本文中，我们开发和分析新的一阶和二阶稳定的指数SAV格式的一类Allen-Cahn型方程，这是同时保持能量耗散律和MBP在离散设置。此外，严格地获得了这两种方案的数值解的最优误差估计。大量的数值试验和比较也进行了证明所提出的计划的性能。
2022-03-14 cs.NA math.NA
Consistent splitting SAV schemes for finite element approximations of incompressible flows
本文提出一种结合标准有限元的SAV技术，用于一致分裂格式，保证一阶和二阶无条件稳定，消除inf-sup条件，并通过数值算例验证精度。
2025-03-26 cs.NA math.NA
A Regularized Auxiliary Variable (RAV) Approach for Gradient Flows
Beijing Normal University（北京师范大学）；University of Dundee（邓迪大学）
本文提出了一种正则化辅助变量方法，构建了适用于广泛梯度流的准确且稳健的时间离散方案，通过引入辅助变量r=0并构建符合能量关系的辅助方程，修正数值解以保持与原系统一致，同时获得统一的数值解范数界，从而在无时间步限制下建立最优误差估计。
2026-04-04 cs.NA math.NA
CARE-SAV: A Conditioning-Aware Random-Feature Framework for Energy-Stable Simulation of Gradient Flows
Shanghai Normal University（上海师范大学）
该研究提出CARE-SAV框架，用于梯度流的能量稳定模拟，可保留离散能量耗散结构，兼具准确性、鲁棒性与计算效率，为梯度流保结构离散化提供新范式。
2026-08-27 cs.NA math.NA
Highly efficient schemes for time fractional Allen-Cahn equation using extended SAV approach
本文提出并分析了时间分数阶Allen-Cahn方程的高阶有效格式。所提出的方案是基于时间分数阶导数的L1离散化和最近发展的扩展标量辅助变量（SAV）方法来处理方程中的非线性项。本文的主要贡献在于：1）构造了适用于不同网格类型的一阶和高阶无条件稳定格式，并证明了所构造格式在均匀网格下的无条件稳定性; 2）通过数值实验验证了格式的有效性，并研究了时间分数阶Allen-Cahn方程的粗化动力学.特别地，分数阶对粗化行为的影响被仔细检查。我们的数值证据表明，所提出的计划是更强大的比现有的方法，其效率是不受限制的特定形式的非线性势。
2020-11-11 cs.NA math.NA
High-order mass- and energy-conserving SAV-Gauss collocation finite element methods for the nonlinear Schrödinger equation
针对非线性薛定谔方程，提出了一类基于标量辅助变量列式的任意高阶全离散时空有限元法，包括高斯配置时间离散和有限元空间离散.所提出的方法被证明是适定的和守恒的质量和能量在离散水平。建立了$L^\infty(0,T;H^1)$ -范数下的$O(h^p+τ^{k+1})$形式的误差界，其中$h$和$τ$分别表示空间和时间网格尺寸，$(p,k)$表示时空有限元的次数.数值实验验证了理论结果的收敛速度和守恒性。数值结果也证明了所提出的方法在保持孤子波形状方面的有效性。
2021-01-01 cs.NA math.NA
Arbitrary high-order linearly implicit energy-preserving algorithms for Hamiltonian PDEs
本文提出基于指数标量变量（ESAV）的任意高阶线性隐式能量保持格式，用于哈密顿偏微分方程，通过辛Runge-Kutta和傅里叶伪谱方法实现高效守恒数值求解。
2020-11-17 cs.NA math.NA
A structure-preserving algorithm for the fractional nonlinear Schrödinger equation based on the SAV approach
基于标量辅助变量法的思想，提出了一种求解空间分数阶非线性薛定谔方程的保结构格式.首先，我们将该方程转化为一个哈密顿系统，并通过引入一个标量变量得到一个新的等价系统。然后，利用傅立叶准谱方法在空间方向上对等效系统进行离散，构造了一个半离散的能量保持格式。然后，在时间方向上应用Crank-Nicolson方法，得到了全离散形式的线性隐格式格式。正如预期的那样，所提出的计划可以保持能量准确和更有效的意义上，只有解耦的常系数方程需要在每个时间步求解。最后通过数值实验验证了格式的有效性和守恒性。
2019-11-18 cs.NA math.NA
Generalized SAV-exponential integrator schemes for Allen-Cahn type gradient flows
能量耗散律和最大边界原理是著名的Allen-Cahn方程的两个重要物理特征。虽然一些常用的一阶时间推进格式已被证明能无条件地保持方程的能量耗散律和MBP，但现有的二阶甚至更高阶格式仍需要对时间步长进行限制，以便同时保持能量耗散律和MBP。本文针对一类Allen-Cahn型梯度流问题，发展并分析了一阶和二阶线性数值格式。我们的计划结合了广义标量辅助变量（SAV）的方法和指数时间积分器与稳定项，而标准的中心差分模板用于离散的空间微分算子。我们不仅证明了它们在离散情况下无条件地保持能量耗散律和MBP，而且在固定的空间网格下得到了它们的最优时间误差估计.数值实验也证明了所提出的方案的性质和性能。
2022-03-09 cs.NA math.NA
