Energy stable schemes for gradient flows based on novel auxiliary variable with energy bounded above
本文考虑一种新的辅助变量方法来获得梯度流的能量稳定格式。基于能量有界的辅助变量不限于以前方法中采用的假设条件。我们仔细而严格地证明了所有半离散格式的无条件能量稳定性。所提出的计划的新颖性是，平方根的功能的计算值被保证是积极的。这种方法，称为新的辅助能量变量（NAEV）方法不再考虑任何有界下的限制。然而，这些限制是必要的不变能量二次化（IEQ）和标量辅助变量（SAV）的方法，这是非常流行的方法，最近。这种保证正性的性质在以前的方法中是不可用的。经典的SAV和NAEV方法的比较研究被认为是显示的准确性和效率。最后，我们提出了各种二维数值模拟，以证明稳定性和准确性。
2019-07-10 cs.NA math.AP math.NA
Efficient Second Order Unconditionally Stable Schemes for a Phase-field Moving Contact Line Model Using Invariant Energy Quadratization Approach
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出了一种基于不变能量二次化方法的高效二阶无条件稳定方案，用于求解包含不可压缩纳维-斯托克斯方程和动态移动接触线边界条件的相场模型，解决了时间推进问题。
2019-04-02 cs.NA math.NA
On the Convergence of an IEQ-based first-order Numerical Scheme for the Beris-Edwards System
我们提出了一个无条件的能量稳定的一阶半离散数值格式设计的流体动力学Q-张量模型，所谓的Beris-Edwards系统，基于不变能量平方法（IEQ）的收敛性分析。该模型由流体流动的Navier-斯托克斯方程和描述液晶分子排列的Q张量梯度流组成。利用不变能量二次化方法，得到了线性隐格式，加快了计算速度。然而，这引入了一个辅助变量，以取代体势能，这是一个先验不清楚是否重新制定的系统是等效的贝里斯-爱德华系统。在这项工作中，我们证明了该计划的稳定性，并显示其收敛到一个弱解的耦合液晶系统。我们还证明了等价的重组和原系统的弱意义。
2023-02-21 cs.NA math.NA
On convergence of an unconditional stable numerical scheme for Q-tensor flow based on invariant quardratization method
我们目前的收敛性分析对Q-张量流的液晶设计的数值方案。该方案基于不变能量二次化方法，引入了一个辅助变量来代替原能量泛函。本文证明了，给定一个具有$H^2$正则性的初值，我们可以得到Q-张量流的数值解的一致$H^2$估计，进而导出抛物型Q-张量方程的强解的收敛性.我们还证明了辅助变量的极限在强意义下等价于原能量泛函项。
2022-10-02 cs.NA math.NA
Second-Order Linear Relaxation Schemes for Time-Fractional Phase-Field Models
针对时间分数阶相场模型，提出基于L1+-CN离散与辅助变量的二阶线性松弛半离散格式，具备时间二阶精度与无条件能量稳定性，数值实验验证了其有效性。
2025-06-13 cs.NA math.NA
Linear Relaxation Schemes with Asymptotically Compatible Energy Law for Time-Fractional Phase-Field Models
针对时间分数阶相场方程，提出结合$L1^{+}$-CN离散与辅助变量的变步长线性松弛格式，具备时间二阶精度、能量稳定性及渐近相容的离散能量耗散律，数值实验验证了其有效性与变量一致性。
2025-09-03 cs.NA math.NA
Adaptive linear second-order energy stable schemes for time-fractional Allen-Cahn equation with volume constraint
通过引入一个非定域的时间相关的Lagrange乘子，首次提出了一个带体积约束的时间分数阶Allen-Cahn方程。通过将不变能量平方化和标量辅助变量方法与最近的L1 $^{+}$公式相结合，发展了该模型的自适应线性二阶能量稳定格式.新发展的方法被证明是体积保持和无条件能量稳定的任意非均匀时间网格。数值实现中采用了加速算法和自适应时间策略。数值结果表明，所提算法在多尺度模拟中计算效率高，能够准确地求解解的初始奇异性，并能有效地捕捉到远离初始时刻的快速动力学过程.
2019-09-24 cs.NA math.NA
Error Estimates of Energy Stable Numerical Schemes for Allen-Cahn Equations with Nonlocal Constraints
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Nankai University（南开大学）
本文研究了四种无条件能量稳定的数值方案在求解带非局部约束的Allen-Cahn方程中的误差估计，分析了这些方案的线性和二阶时间空间精度，并通过数值实验验证了其体积守恒和能量耗散特性。
2018-10-21 cs.NA math.NA
Linear and Unconditionally Energy Stable Schemes for the binary Fluid-Surfactant Phase Field Model
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出二元流-表面活性剂相场模型的线性和无条件能量稳定数值方案，通过引入辅助变量将系统转化为等价形式，并证明了方案的无条件能量稳定性。
2017-01-25 cs.NA math.NA
Arbitrary high-order linear structure-preserving schemes for the regularized long-wave equation
本文提出了一类求解正则化长波方程的任意高阶线性保动量和保能量格式。对于动量守恒格式，其核心思想是基于外推/预测校正技术和辛龙格-库塔法在时间上，与标准的傅立叶准谱方法在空间上。我们证明了该方案是线性的，高阶的，无条件稳定的，并保持系统的离散动量。对于能量保持格式，主要是基于能量平方化方法和构造线性动量保持格式时所采用的类似线性化策略。该方案是线性的，高阶的，并能保持一个离散的二次能量。数值结果证明了该方法的准确性和有效性。
2021-12-05 cs.NA math.NA
HANN: Homotopy auxiliary neural network for solving nonlinear algebraic equations
针对非线性代数方程求解中初值敏感、精度与收敛不足等问题，提出融合同伦延拓和物理信息神经网络的HANN，通过HANN-1快速求解、HANN-2提升精度，并在多类基准问题上验证其优于Fsolve。
2025-10-05 cs.NA math.NA
Energy stable Runge-Kutta discontinuous Galerkin schemes for fourth order gradient flows
提出了求解一类四阶梯度流的无条件能量稳定的Runge-Kutta（RK）间断Galerkin（DG）格式。我们的算法是面向任意高阶近似在空间和时间，而能量耗散保持不施加任何限制的时间步长和网格。我们分两步实现这一目标。首先，利用Liu和Yin [J Sci. Comput. 77：467--501，2018]对于空间离散化，我们通过能量平方化（EQ）方法重新制定了扩展的线性化ODE系统。第二，我们应用一个s-阶段代数稳定的RK方法的时间离散。所得到的完全离散DG计划是线性的和无条件能量稳定的。此外，我们引入了一个预测校正过程，以提高该计划的精度和稳定性。我们通过基准问题的数值试验说明了所提出的方案的有效性。
2021-01-01 cs.NA math.NA
Unconditionally energy stable IEQ-FEMs for the Cahn-Hilliard equation and Allen-Cahn equation
本文提出并分析了几种无条件能量稳定的IEQ有限元方法，用于求解Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程，并通过数值实验验证了其精度与效率。
2024-02-05 cs.NA math.NA
Relaxed Lagrange Multiplier (RLM) Schemes for Phase Field Models Preserving the Relaxed Original Energy Dissipation Law
Southeast University（东南大学）；University of Alabama（阿拉巴马大学）
提出松弛拉格朗日乘子（RLM）格式，通过引入松弛项使离散系统唯一可解，并保持原始能量的耗散律，数值实验验证了收敛性和界面动力学捕捉能力。
2026-07-02 cs.NA math.NA
Unconditional energy stable hybrid IEQ-FEMs for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations
Anhui Normal University（安徽师范大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；The University of Texas at El Paso（埃尔帕索德克萨斯大学）
本文提出一种混合IEQ-FEMs，结合两种方案的优势，实现计算效率和无条件能量稳定性，通过理论证明和数值实验验证了方法的准确性和稳定性。
2026-04-23 cs.NA math.NA
Numerical Approximations for the Cahn-Hilliard phase field model of the binary fluid-surfactant system
Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文研究了二元流-表面活性剂相场模型的数值近似方法，通过不变能量二次化方法和显-隐式技术开发了两种线性解耦的时间步进方案，证明了一阶方案的无条件能量稳定性，并通过数值模拟验证了稳定性和精度。
2017-01-25 cs.NA math.NA
Unconditionally energy stable fully discrete schemes for a chemo-repulsion model
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Universidad Industrial de Santander（坎塔布拉河工业大学）
本文研究了无条件能量稳定且质量守恒的数值方案，针对化学趋避模型，提出三种全离散有限元近似方法，并通过数值模拟验证了方案的有效性。
2018-07-03 cs.NA math.NA
Numerical approximations for the binary Fluid-Surfactant Phase Field Model with fluid flow: Second-order, Linear, Energy stable schemes
Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文提出二阶线性能量稳定的数值方案，用于求解耦合流体流动的二元流-表面活性剂相场模型，通过不变能量平方化方法、投影法和隐式-显式处理，证明了方案的无条件能量稳定性。
2018-04-12 cs.NA math.NA
A Unified Discrete Gradient-SAV Framework for Structure-Preserving Integration
NTNU, Trondheim, Norway（挪威科技大学）；ICMAT (CSIC), Madrid, Spain（马德里理论物理与物质相互作用研究所（西班牙国家科学研究委员会））；IE University, Madrid, Spain（IE大学）
该研究提出结合离散梯度与SAV方法的统一框架，构建适用于耗散和保守系统的保结构积分器，包含三种不同特性的积分器，可扩展至近泊松系统并保留卡西米尔不变量，通过四类数值实验验证有效性。
2026-07-31 cs.NA math-ph math.MP
A weighted scalar auxiliary variable method for solving gradient flows: bridging the nonlinear energy-based and Lagrange multiplier approaches
针对梯度流模拟中两种主流SAV方法的局限，本文首次提出加权SAV方法，整合二者优势，可通过调整权重系数兼顾任意时间步长解的存在性、原始能量近似性及计算成本一致性，并经定理与实验验证其性能。
2024-11-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Auxiliary space preconditioners for virtual element methods on polytopal meshes
Idaho State University（爱达荷州立大学）
本文提出了一种用于求解二阶椭圆方程在多面体网格上虚拟元方法离散系统所产生线性系统的辅助空间预条件子，该预条件子基于辅助三角形网格构建，预条件后的系统条件数有界，与问题规模和系数跳跃无关，并通过数值实验验证了其性能。
2018-11-28 cs.NA math.NA
On Linear and unconditionally energy stable Algorithms for Variable Mobility Cahn-Hilliard Type Equation with Logarithmic Flory-Huggins Potential
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）
本文提出了一种基于新方法的线性和二阶时间推进方案，用于求解具有浓度依赖移动性的四阶Cahn-Hilliard方程，证明了方案的无条件能量稳定性。
2017-01-25 cs.NA math.NA
A generalized scalar auxiliary variable method for the time-dependent Ginzburg-Landau equations
本文发展了求解含时不定常Ginzburg-Landau方程的广义标量辅助变量（SAV）方法。后向欧拉用于离散不定常Ginzburg-Landau方程的时间导数。在该方法中，系统被解耦和线性化，以避免在每一步都要求解非线性方程。理论分析证明了广义SAV方法能够保持最大值界原理和能量稳定性，数值结果也证实了这一点。结果表明，该数值算法是稳定的。
2022-10-16 cs.NA math.NA
A finite element method using a bounded auxiliary variable for solving the Richards equation
University of Ottawa（渥太华大学）；Mohammed VI Polytechnic University（穆罕默德六世polytechnic大学）
本文提出一种有限元方法，通过引入有界辅助变量消除弱形式中的无界项，有效处理干区和饱和区，采用半隐式方案和牛顿法求解非线性系统，验证了方法的稳定性和准确性。
2025-10-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The generalized scalar auxiliary variable approach (G-SAV) for gradient flows
本文建立了梯度流数值计算的能量稳定格式的一般框架，并发展了三种广义标量辅助变量方法（G-SAV）。基于G-SAV方法的数值格式与原始SAV格式\cite{SXY19,cheng2018multiple}对梯度流同样有效，即，在每一时间步只需要求解常系数的线性方程，可以无条件能量稳定。但G-SAV方法取消了辅助变量只能是平方根函数的定义限制。辅助变量的定义形式适用于G-SAV方法的任何可逆函数。通过对相场模型的数值计算，验证了G-SAV数值格式的有效性和准确性。
2020-02-01 cs.NA math.NA
Improved scalar auxiliary variable schemes for original energy stability of gradient flows
针对SAV方法仅保证修正能量稳定的问题，提出保持完全线性且严格稳定原始能量的iSAV格式，证明其收敛性与最优误差界并通过实验验证。
2024-05-12 cs.NA math.NA
Auxiliary iterative schemes for the discrete operators on de Rham complex
用迭代法求解$ d^*d $算子的离散源或本征值问题的主要困难是处理其巨大的核，如$ \nabla \times \nabla \times $和$- \nabla ( \nabla \cdot ) $算子。本文基于de Rham复形上的Hodge Laplacian算子，构造了一类离散系统离散系统的辅助格式。新格式的谱是Laplace型的。然后，许多有效的迭代法和预处理技术可以应用于他们。在得到辅助方案的解后，通过简单的运算就可以恢复或识别出原系统的期望解。我们总结这些作为一个新的框架计算离散源和本征值问题的算子$ d^*d $使用迭代法。我们还研究了辅助格式的两种预条件，ILU型方法和多重网格方法。最后，我们给出了大量的数值实验来验证辅助格式的有效性。
2024-12-31 cs.NA math.NA
Geometric integration of ODEs using multiple quadratic auxiliary variables
提出了一种新的保多项式首次积分的常微分方程数值方法。该方法是基于引入多个二次辅助变量重新制定的ODE作为一个等价的，但高维ODE只有二次积分的中点规则。二次辅助变量可以随后被消除，从而在原始相空间上产生类似中点的方法。所得到的方法被证明是一种新的离散梯度法。此外，平均向量场方法可以作为所提出的方法的一个特殊情况得到。该方法可以扩展到高阶通过组成，并说明了通过一些数值例子。
2022-05-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The generalized scalar auxiliary variable applied to the incompressible Boussinesq Equation
本文针对不可压缩Boussinesq方程提出基于广义标量辅助变量（GSAV）和BDF的二阶时间离散方法，通过指数时间积分器保证稳定性，给出误差估计并验证其在大规模三维问题中的适用性。
2025-04-17 cs.NA math.NA
Nonlinear energy-preserving model reduction with lifting transformations that quadratize the energy
Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University of California San Diego, CA, United States（机械与航空航天工程系，加州大学圣地亚哥分校）
针对含一般非线性的保守PDE，提出通过能量二次化提升变换结合POD构建精确守恒二次能量的降阶模型，并在四类方程上验证其精度、在线效率与离线收益。
2025-10-18 cs.LG cs.NA math.NA
Convergence of the CEM-GMsFEM for compressible flow in highly heterogeneous media
本文提出并分析了一种求解单相非线性可压缩流动的约束能量最小化广义多尺度有限元法（CEM-GMsFEM）。CEM-GMsFEM的构造取决于两个关键步骤：首先，通过求解局部谱问题来构造辅助空间，其中捕获对应于小特征值的基函数。然后利用辅助空间求解过采样域上的局部能量最小化问题得到基函数。基函数在相应的局部过采样区域之外具有指数衰减。所提出的方法的收敛性，我们表明，这种收敛性只依赖于粗网格的大小，是独立的异质性。为了提高计算效率，提出了一种由\emph{a posteriori}误差估计器引导的在线富集方法。几个数值实验上的三维情况下，以确认的理论研究结果，说明了该方法的性能，并给出有效和准确的数值。
2023-03-30 cs.NA math.NA
Efficient design of continuation methods for hyperbolic transport problems in porous media
University of Bergen（卑尔根大学）；NORCE（NORCE研究中心）
本文提出了一种基于熵解的同伦持续方法，用于高效求解多孔介质中复杂多相流问题。
2026-03-11 cs.NA math.NA
The high-order exponential semi-implicit scalar auxiliary variable approach for nonlocal Cahn-Hilliard equation
针对非局部Cahn-Hilliard方程，提出基于ESI-SAV的高阶时间格式，证明其无条件能量稳定性，并采用FFT和FCG快速求解器降低计算成本，数值实验验证了方法的稳定性、精度与效率。
2023-07-26 cs.NA math.NA
A novel class of explicit energy-preserving splitting methods for charged-particle dynamics
本研究基于指数标量辅助变量技术，提出一类用于带电粒子动力学的新型显式保能分裂方法，经理论分析与数值验证，其保能性和精度均优于标准标量辅助变量方法。
2023-06-11 cs.NA math.NA
Numerical solving the boundary value problem for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文研究了二阶椭圆算子分数次幂的边值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出标准双层方案并研究了稳定性条件，通过二维模型问题验证了时间与空间网格对精度的影响。
2014-02-07 cs.NA math.NA
Numerical solving unsteady space-fractional problems with the square root of an elliptic operator
研究了有界区域上一类空间分数阶方程的非定常问题。一阶发展方程涉及二阶椭圆算子的平方根。采用空间有限元逼近。为了在时间上构造近似，使用正则化两层格式。数值实现是基于求解方程的椭圆算子的平方根使用辅助柯西问题的伪抛物型方程。时间上二阶精度的格式是基于三层显式Adams格式的正则化。更一般的问题与对流项的方程被认为是，太。数值实验的结果提出了一个模型的二维问题。
2015-10-28 cs.NA math.NA
Numerical Approximation of Incompressible Navier-Stokes Equations Based on an Auxiliary Energy Variable
Purdue University（普渡大学）；Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）
本文提出了一种基于辅助变量的数值方案，用于近似不可压缩纳维-斯托克斯方程，通过引入辅助变量的动力学方程并重新表述纳维-斯托克斯方程，实现了修改能量下的离散能量稳定性，并提供了高效的求解算法和实现方法。
2018-04-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A second-order exponential integration constraint energy minimizing generalized multiscale method for parabolic problems
本文结合 CEM-GMsFEM 空间离散与一阶、二阶显式指数 Runge-Kutta 时间格式求解抛物问题，证明能量范数误差并用数值实验验证其可采用较大时间步长。
2024-07-05 cs.NA math.NA
Functional approach to the error control in adaptive IgA schemes for elliptic boundary value problems
RICAM Linz, Johann Radon Institute（林茨RICAM，约翰·拉德恩研究所）
本文研究了椭圆边值问题中自适应IgA方案的函数型后验误差估计，提出了一种可靠的解近似算法和高效的后验误差界生成方案，利用B-(THB-)样条的高光滑性实现更粗的网格和更少的未知数。
2018-05-25 cs.NA math.NA
An efficient fully explicit scheme for stochastic Navier-Stokes equations driven by multiplicative noise
针对带乘性噪声的二维随机Navier-Stokes方程，提出基于辅助变量法的全显无条件稳定压力校正格式，首次将该方法应用于此类方程并完成强收敛性分析。
2025-11-19 cs.NA math.NA
A fully-decoupled second-order-in-time and unconditionally energy stable scheme for a phase-field model of two phase flow with variable density
本文针对变密度两相流 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 模型，提出一种基于解耦常数标量辅助变量（D-CSAV）的二阶完全解耦且无条件能量稳定的数值格式，每个时间步仅需求解三个独立线性椭圆系统，并通过基准模拟验证了其精度与效率。
2024-10-19 cs.NA math.NA
Scalar auxiliary variable (SAV) stabilization of implicit-explicit (IMEX) time integration schemes for nonlinear structural dynamics
本文提出一种基于标量辅助变量（SAV）稳定化的高阶IMEX-BDFk时间积分格式，通过隐式处理线性项、显式处理非线性项实现无条件稳定，可直接求解二阶常微分方程，在非线性结构动力学中以低计算成本实现高精度。
2024-06-05 cs.NA math.NA
A Finite Element Method by Patch Reconstruction for the Quad-Curl Problem Using Mixed Formulations
针对二维和三维四旋度问题，提出一种基于分片重构的高阶重构不连续近似混合有限元方法，证明了能量范数最优收敛与次优$L^2$收敛性，数值结果验证了理论分析。
2024-07-11 cs.NA math.NA
On the SAV-DG method for a class of fourth order gradient flows
针对一类四阶梯度流问题，将标量辅助变量（SAV）时间离散与无惩罚间断Galerkin（DG）空间离散相结合，得到SAV-DG格式.这些格式是线性的，并且无条件能量稳定。但由于降阶线性系的系数矩阵密集，求解起来相当昂贵。在本文中，我们提供了一个预评估辅助变量的分段多项式空间的过程。因此，当利用共轭梯度（CG）求解器时，$O(\mathcal{N}^2)$的计算复杂性度降低到$O(\mathcal{N})$。这种混合SAV-DG方法是更有效的，能够提供令人满意的结果，高精度。这也与求解SAV-DG方案的全增广系统进行了比较。
2020-08-27 cs.NA math.NA
Stability and error analysis of the SAV schemes for the inductionless MHD equations
本文研究无感磁流体动力学方程的数值逼近。利用标量辅助变量（SAV）方法处理对流项和耦合项，我们提出了一些一阶和二阶格式。这些格式是线性的，解耦的，无条件能量稳定的，并且在每个时间步只需要求解一系列常系数的微分方程。我们进一步推导了一阶格式的严格误差分析，建立了二维情况下速度、压力、电流密度和电势的最佳收敛速度。数值算例验证了理论结果并显示了格式的性能。
2023-03-19 cs.NA math.NA
