On some sums involving the counting function of non-isomorphic abelian groups
Haihong Fan, Wenguang Zhai
设$a(n)$表示含有$n$元素的非同构阿贝尔群的个数。1991年Ivić证明了和$\sum_{n\leq x} a(n+ a(n)).$的一个渐近公式，本文将证明这个和的一个更尖锐的渐近公式。
Let $a(n)$ denote the number of non-isomorphic abelian groups with $n$ elements. In 1991 Ivić proved an asymptotic formula of the sum $\sum_{n\leq x} a(n+ a(n)).$ In this paper, we will prove a sharper asymptotic formula for this sum.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Counting primes by sums of frequencies
引入序列$(a_n) \subset (0,1]$，证明了序列$\sum_{k=1}^n a_k$的渐近性质与素数计数函数$π(n)$相同.我们还得到了$π(n) \sim n a_n$，我们估计$\frac{1}{a_n}-\frac{n}{π(n)}$表明$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}-\frac{n}{π(n)}$是收敛的。
Counting functions for sums of rational powers of integers
计数函数是为整数的正有理数幂和构造的。即，给定由$u_1^{j/k} + u_2^{j/k} + ... + u_l^{j/k}$、$u_i \in \mathbb{Z}^+$形成的值，确定小于或等于给定$w>0$的值的数量。开发的计数功能的卷积指数方面的框架，并密切相关的黎曼zeta函数。在结论中，几个估计，特别强调的情况下，平方根，即$j=1$，$k=2$。
An Asymptotic Formula For Counting Subset Sums Over Subgroups Of Finite Fields
设F_q是q元的有限域。设H是F_q^* 的乘法子群。对于正整数k和元素b \in F_q，我们给出了H中和为b的k元子集个数的精确估计.
Counting (k,l)-sumsets in groups of prime order
一个群$G$的子集$A$称为$(k, l)$ -{ \it和集}，如果对于某些$B\subseteq G$有$A= kB-lB$，其中提供了素数阶群中$(k, l)$ -和集数目的$kB-lB={x_1+...+x_k-x_{k+1}-...-x_{k+l} : x_1,..., x_{k+l}\in B}.$上下界。
On the error term of a lattice counting problem, II
在黎曼假设下，我们改进了第一部分研究的计数格问题的渐近公式中的误差项。改进来自使用外尔界的指数和多项式和一个设备由于波波夫允许我们得到一个改进的主要条款的总和的某些小数部分的多项式。
Counting $2\times2$ integer matrices with fixed trace and determinant
该研究利用二次根的Weyl和的和的界，对带固定特征多项式的2×2整数矩阵数目做带光滑权的计数，给出主项与误差项。
Rational exponential sums over the divisor function
我们考虑了Shparlinski提出的一个问题，给出了算术函数$τ(n)$上有理指数和的非平凡界，计算了$n$的因子数。这是使用一些想法萨特有关的分布在剩余类的功能$ω(n)$，计数的数量素因子的$n$，使问题的形式，在那里，一般的模，我们可以应用一个界布尔增益有关指数和子群的有限阿贝尔群和素模的一些结果Korobov和Shkredov。
Universal elliptic Gauß sums and applications
我们提出了新的想法，计算椭圆Gaussian和，这构成了一个类似的经典分圆Gaussian和，其使用已被提出的背景下，计数点的椭圆曲线和素性测试。利用某些著名的模函数，定义了泛椭圆高斯和，并证明了它们可以用$j$ -不变量和另一个模函数表示.之后，我们展示了如何使用这种表示法来获得与有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线相关联的椭圆高斯和，然后可以用于计数点或素数证明。
Uniform bounds for lattice point counting and partial sums of zeta functions
本文证明格点球内计数渐近式与 Landau 型 zeta 函数部分和渐近式的一致版本，使误差项隐含常数分别只依赖维数和函数方程形状。
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
Counting subspaces with prescribed Welch sums
本文针对有限域𝔽_q上的韦尔奇函数，确定了满足指定韦尔奇和的k维𝔽₂子空间数量，其中k=3的结果以二元Kloosterman和表示，进而证明了Hou与Zhao的相关猜想。
On a counting theorem for weakly admissible lattices
我们给出了一个精确的估计格点的数量在某些有界子集的$\mathbb{R}^{n}$，涉及“双曲尖峰”，自然发生在乘法丢番图逼近。我们使用Wilkie的O-最小结构$\mathbb{R}_{\exp}$及其扩展，制定我们的计数结果在一般设置。我们给出了计数结果的两个不同的应用。第一个建立几乎尖锐的上界的倒数的分数部分的总和，从而揭示了一个问题提出的黎和Vaaler，扩展以前的工作Widmer和作者。第二个应用程序建立了新的例子线性子空间的欣钦型，从而完善了一个定理，黄和刘。为了证明我们的计数结果，我们开发了一个复杂的分区方法，这是至关重要的进一步即将进行的工作的倒数的分数部分扭曲的盒子。
On the error term of a lattice counting problem
我们改进了L. Rehshansky，P. Guerzhoy和F.卢卡（2017）。这种改进是基于一些分析技术，特别是对边界的指数总和加上使用Vaaler多项式。
Counting sign changes of partial sums of random multiplicative functions
本文研究 Rademacher 随机乘性函数部分和的符号变化次数，证明对任意 c>2，其增长几乎必然至少为 (log log log x)^{1/c} 量级。
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
Prime polynomial values of quadratic functions in short intervals
本文在大有限域的极限上建立了Bateman-Horn猜想在短区间上的函数域模拟。因此，我们开始计数素多项式所产生的原始二次函数在短时间内。为此，我们进一步研究了Mobius和及其相关项（Chowla型和）的消去的函数域模拟，并证明了Mobius和的平方根消去等价于Chowla型和的平方根消去.
Primes from sums of two squares and missing digits
令$\mathcal{A}'$是从其十进制扩展中缺少任何三个固定数字的整数的集合。我们通过证明一个渐近公式来计算素数的形式$p = m^2 + \ell^2$，与$\ell \in \mathcal{A}'$在一个薄序列中产生素数。这个证明借鉴了Friedlander-Iwaniec关于$p = x^2+y^4$形式的素数的工作中的思想，以及Maynard关于带限制数字的素数的工作中的思想。
Dynamics of multiplicative groups over fields and Folner-Kloosterman sums
研究无限域上乘法群的动力学及Følner-Kloosterman求和的等分布性，揭示其乘法不对称性及组合结论。
The maximum size of short character sums
本文证明了特征和$Δ(x,q):=\max_{χ\neq χ_0} \vert \sum_{n\leq x} χ(n)\vert$在$x$的某些范围内的大值下界.采用实施的共振方法开发的一项工作，涉及作者，以表现出大的$L$ -功能的值，我们改进了Hough的范围$\log x = o(\sqrt{\log q})$的一些结果。我们的结果表示使用计数函数的$y$ -脆弱的整数小于$x$，我们提高了水平的平滑度$y$短的时间间隔。
Representations of integers as sums of four polygonal numbers and partial theta functions
研究整数作为最多四个不同m边形数之和的表示，证明非负参数下的表示数与任意整数参数下的表示数在渐进行为上相同。
Counting biquadratic number fields with quaternionic and dihedral extensions
本文研究了可嵌入四元数或二面体扩张的双二次数域的计数问题，通过用 Hilbert 符号表达逆 Galois 问题的可解性，并应用 Heath-Brown 的方法界定关联二次特征标的和，建立了有界判别式下此类数域数量的渐近公式。
Counting sets with small sumset, and the clique number of random Cayley graphs
给定Z/NZ中的一个集合A，通过连接i和j，我们可以在顶点集合Z/NZ上形成一个Cayley和图G_A当且仅当i + j在A中.我们研究了用一个随机集A进行这种构造在多大程度上模拟了一个随机图的生成，证明了G_A的团数是a. s。O（log N）。这表明Cayley和图可以作为Ramsey图的一个很好的例子。为了证明这一结果，我们必须研究Z/NZ上集合加法的特殊结构。事实上，我们还证明了（Z/2 Z）^n，2^n = N上的随机Cayley和图的团数几乎肯定不是O（log N）。尽管标题是图论，但这是一篇数论论文。我们的主要结果本质上是对{1，...，N}，其中|A| = k，|A + A| = m，对于k和m的各种值。
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
Universal sums of generalized polygonal numbers of almost prime length
本文研究了广义多边形数的通用和，证明了在输入素因子数量受限的情况下，通用和的有限性定理，并给出了不同条件下的最优界。
Prime Solutions to a Binary Additive Equation and Mixed Moments of Character Sums
本文通过泊松求和与Kloosterman分数和均值估计，得到二元加法方程素数解的渐近公式，并应用于特征和混合四阶矩，获得非平凡界。
Exponential sums with polynomials and their applications to primes in sparse sets
本文研究带多项式的指数和，证明新上界，并应用于改进 Piatetski-Shapiro 序列及迭代序列中素数渐近公式的允许范围。
Counting functions over periodic orbits of a skew-product map
本文研究与有限生成有理半群相关的斜积映射，并证明沿其周期轨道计算的遍历和所对应计数函数之间的可比较性结果。
Counting integer matrices with square-free determinants
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
Sums of reciprocals of fractional parts
设$\boldsymbolα\in \mathbb{R}^N$和$Q\geq 1$。我们考虑和$\sum_{\boldsymbol{q}\in [-Q,Q]^N\cap\mathbb{Z}^N\backslash\{\boldsymbol{0}\}}\|\boldsymbolα\cdot\boldsymbol{q}\|^{-1}$。当使用连分数或三个距离定理时，$N=1$的精确上界是已知的。然而，这些技术似乎并不适用于更高的维度。我们介绍了一种不同的方法，根据Widmer的一般计数结果弱容许格，建立尖锐的上界任意$N$。我们的结果也揭示了Lê和Vaaler在2013年提出的一个问题，他们的下界$\gg Q^N\log Q$的尖锐性。
Counting solutions to the quadratic determinant equation
本文研究了二次行列式方程x₁x₂ - x₃x₄ = h在整数解中的渐进行为，通过组合与分析方法结合 Kloosterman 和界，证明了当h = N² + O(N)时的平方根消去误差项，验证了Dhanda-Haynes-Prasala的猜想。
Counting sets with small sumset and applications
研究了$k$ -元素集$A \subset \{1,\ldots,N\}$的个数，其中对于某些（固定的）$K > 0$，有$|A + A| \leq K|A|$.改进的结果的第一作者和阿隆，Balogh，Samotij和第二作者，我们确定这个数字的一个因素的$2^{o(k)} N^{o(1)}$大多数$N$和$k$。作为这一结果以及关于具有$|A +A| \leq c |A|^2$的集合数$A \subset \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$的进一步的新结果，我们推出了具有边密度~ $\frac{1}{2}$的$\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$上的随机Cayley图不存在大小大于$\big( 2 + o(1) \big) \log_2 N$的团或独立集，这与Erdens-Rényi随机图的情形是渐近相同的.这改进了第一作者在2003年得到的$160 \log_2 N$的界的结果。作为第二个应用程序，我们表明，如果$A \subset \mathbf{N}$的元素是随机选择的，每个概率$1/2$，那么$A+A$错过$\mathbf{N}$的$k$元素的概率等于$\big( 2 + o(1) \big)^{-k/2}$作为$k \to \infty$。
On the counting function of semiprimes
一个半素数是一个自然数，可以写成两个素数的乘积。研究了半素数个数小于等于$x$的函数$π_2(x)$的渐近性质.使用组合的论点，渐近级数的$π_2(x)$确定，所有的条款明确给出。本文提出了一种计算渐近级数中常数的算法，并将常数计算到20位有效数字。研究了渐近级数部分和的误差。这种方法的推广$k$素数的产品，$k\geq 3$，也提出了。
Counting Polynomials via Galois Actions on Root Subsets
本文研究了高度不超过H的单项整系数多项式数量，其伽罗华群在根上的作用同构于给定的置换群(G,Ω)。针对多种群族获得了新的上界。
Remarks on sums of reciprocals of fractional parts
本文消除了丢番图和式上下估计之间的常数因子差距，对一大类无理数得到精确渐近公式，并将方法推广到小数部分、含平移及高维情形。
Counting integers representable as images of polynomials modulo $n$
给定$t$变量中的多项式$f(x_1,x_2,\ldots, x_t)$，其具有整数系数和正整数$n$，令$α(n)$为整数$0\leq a<n$的数目，使得多项式同余$f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (mod\ n)$可解。我们描述了一种方法，允许确定与$c_1x_1^k+c_2x_2^k+\cdots+c_tx_t^k$形式的多项式相关联的函数$α$。然后，我们将这种方法应用到涉及平方和与平方差的多项式，主要是多项式$x^2+y^2, x^2-y^2$和$x^2+y^2+z^2$。
Exponential sums over singular binary quartic forms and applications
本文研究奇异二元四次型上的指数和，给出其有限域傅里叶变换的显式公式，并利用初等代数几何与经典不变量理论证明点计数函数的突出出现，进而证明判别式无平方因子且至多含四个素因子的椭圆曲线存在大量2-Selmer元素。
Upper bounds for the number of primitive ray class characters with conductor below a given bound
本文给出了与Artin的原根猜想有关的某些和的上界，这些和也可用于射线类特征标的计数.
Exact formulas for partial sums of the Möbius function expressed by partial sums weighted by the Liouville lambda function
Mertens函数$M(x) := \sum_{n \leq x} μ(n)$被定义为经典默比乌斯函数的求和函数。狄利克雷反函数$g(n) := (ω+1)^{-1}(n)$是根据移位的强加性函数$ω(n)$定义的，该函数计算$n$的不同素因子的数目而没有重数。$g(n)$的Dirichlet生成函数（DGF）是$\Re(s) > 1$的$ζ(s)^{-1} (1+P(s))^{-1}$，其中$P(s) = \sum_p p^{-s}$是素zeta函数。本文研究了$\Re(s) > 1$的无符号函数$|g(n)|$与DGF $ζ(2s)^{-1}(1-P(s))^{-1}$和$C_Ω(n)$与DGF $(1-P(s))^{-1}$的分布。建立了$\log C_Ω(n)$的平均阶和方差的计算公式，证明了$\log C_Ω(n)$的值在整数$n \leq x$上的分布为$x \rightarrow \infty$的中心极限定理. $g(n)$的部分和与素数计数函数的离散卷积提供了新的$M(x)$的精确公式。
The weight distributions of a class of cyclic codes II
近年来，在几种情况下，得到了双零循环码的码元的权重分布。在本文中，我们使用以前开发的方法来解决一个特殊的情况。我们广泛使用了数论中的标准工具，如有限域的特征，高斯和雅可比和。将求权重分布的问题转化为求有限域上某些特征和的问题，而特征和的求则与计算有限域上某些椭圆曲线上的点数有关.我们还讨论了有限域的特征为2的特殊情况。
Counting MSTD Sets in Finite Abelian Groups
在阿贝尔群G中，和大于差（MSTD）集是G的子集A，使得|A+A|>| A-A|.本文给出了有限阿贝尔群中MSTD集个数的渐近性，推广了Nathanson的结果.证明包含了应用最近解决的猜想阿隆和卡恩的独立集的数量在正则图。
Polynomial growth of sumsets in abelian semigroups
设S是交换半群，A是S的有限子集.和集hA由A的h个元素的所有和组成，允许重复。令|hA|表示hA的基数。利用初等格点变元证明了任意阿贝尔半群具有多项式增长性，即存在多项式p（t）使得对所有充分大的h，|hA| = p（h）.格点计数也被用来证明形式为h_1A_1 + >... + h_r A_r具有多元多项式增长。
Generic Newton polygon for exponential sums in $n$ variables with parallelotope base
设$p$为素数。特征$p$的有限域上的每一个$n$ -变量多项式$f(\underline x)$定义了其伽罗瓦群同构于$\mathbb{Z}_p$的簇的Artin-Schreier-Witt塔.本文的目的是研究与$\mathbb{Z}_p$的有限特征有关的$L$ -函数的牛顿多边形和凸壳为$n$ -维平行六面体$Δ$的一般多项式.我们用$\mathrm{GNP}(Δ)$表示这个多边形。我们证明了$\mathrm{GNP}(Δ)$的一个下界，称为改进的Hodge多边形$\mathrm{IHP}(Δ)$ .我们表明，$\mathrm{IHP}(Δ)$在于通常的霍奇多边形$\mathrm{HP}(Δ)$在某些无穷多个点，当$p$是大于一个固定的数字由$Δ$确定，它符合$\mathrm{GNP}(Δ)$在这些点。作为推论，我们粗略地确定了$\mathrm{GNP}(Δ)$的斜率分布。
Counting elliptic curves with prescribed torsion
马祖尔定理指出，在有理数上，椭圆曲线的挠子群恰好有15种可能。我们确定这些组中的每一个实际发生的频率。精确地说，如果$G$是这15个组之一，我们表明，数的椭圆曲线的高度$X$的扭转子群是同构的$G$是在$X^{1/d}$的顺序，对于一些$d=d(G)$，我们计算。
Asymptotic identities for additive convolutions of sums of divisors
在1916年的一篇论文中，Ramanujan研究了因子和函数$σ_a(n)$和$σ_b(n)$的加法卷积$S_{a, b}(n)$，并证明了当$a$和$b$是正奇数时的渐近公式。他还强调，他的渐近公式应持有所有积极的真正的$a$和$b$。Ramanujan猜想随后被Ingham证明，然后由Halberlane用省电误差项证明。本文给出了Ramanujan猜想的一个新的证明，得到了在大多数参数范围内渐近性的低阶项。我们还描述了一个连接到一个计数问题的几何拓扑，在第二作者的论文中进行了研究，并作为我们最初的动机在研究这个总和。
Counting hyperelliptic curves
给出了有限域$k=\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的个数$\operatorname{hyp}(g)$的一个闭公式.这些数$\operatorname{hyp}(g)$表示为$q$中的多项式，其整数系数取决于$q-1$和$q+1$的约数集。作为副产品，我们得到了亏格$g$的自对偶曲线个数的一个闭公式。超椭圆曲线是自对偶的，如果它是$k$ -同构于它自己的超椭圆扭曲。
Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums
本文基于初等对称多项式推广了欧拉函数，并推导出涉及第二个初等对称和的欧拉函数显式乘积形式，同时探讨了使用任意jth初等对称多项式时欧拉函数的行为，以及通过二次形式的最大公约数约束解决受限线性同余问题的方法。
Counting multiplicative groups with prescribed subgroups
我们研究两个表面上看起来非常群论的计数问题，但仔细检查，原来是关于整数的限制，他们的素因子。首先，给定一个奇素数$q$和一个有限阿贝尔$q$ -群$H$，我们考虑整数集合$n\le x$使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$的Sylow $q$ -子群同构于$H$ .我们表明，这组整数的计数功能是渐近$K x(\log\log x)^\ell/(\log x)^{1/(q-1)}$的显式常数$K$和$\ell$依赖于$q$和$H$。其次，我们考虑整数集合$n\le x$，使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$是“极大非循环的”，也就是说，使得它的所有素幂子群都是初等群。我们表明，这一组整数的计数功能是渐近$A x/(\log x)^{1-ξ}$为一个明确的常数$A$，其中$ξ$是阿丁常数。事实证明，这两个群论问题都可以简化为对素数因子有限制的整数计数问题，从而可以通过解析数论的经典技术来解决。
Higher Order Dualities between Prime Ideals
本文提出了一种数环中素理想之间的高阶双射理论，并利用其推导出Chebotarev密度的新公式及相关求和估计。
Curves, dynamical systems and weighted point counting
设X是有限域k上的（光滑射影不可约代数）曲线.在k的所有有限域扩张上计算X上的点的数目不会唯一地确定曲线。实际上，泰特的一个著名定理意味着两条这样的曲线在k上具有相同的zeta函数（即，在k）的所有扩张上的相同数目的点当且仅当它们对应的雅可比行列式是同构的。我们通过证明，如果两条曲线的所有Dirichlet L-级数通过它们的Dirichlet特征群的同构而不是仅仅zeta函数相等，则曲线同构到“Frobenius扭曲”，即，直到基域的自同构。由于L-级数以“加权”的方式计算曲线上的点，我们看到加权点计数决定了曲线。在某种意义上，这个结果解决了有限域上曲线的等谱性问题（也称为“算术等价问题”）的类似问题：它说曲线是由“谱”数据确定的，即k的弗罗贝纽斯算子作用在对应于狄利克雷特征标的所有l-adic层的上同调群上的特征值。证明的方法是表明，这是等价于各自的类域理论的曲线是同构的动力系统，在某种意义上说，我们使精确。
The number of Huffman codes, compact trees, and sums of unit fractions
长度为r的霍夫曼码在长度为t的字母表上的“非等价”霍夫曼码的数量已经被频繁地研究。等价地，“不等价”的完全t-叉树的数量已经被检查。我们首先调查文献，统一几个独立的方法来解决这个问题。然后，改进以前的工作，我们证明了一个非常精确的渐近结果的计数函数，包括两个主要的条款和一个错误的条款。
Uniform estimate of Lang-Weil type for counting points of schemes over finite rings
本文针对有限环上概形点数问题，建立了与Igusa猜想和Lang-Weil估计一致的一致估计，并利用Hermite插值及p-adic分析处理奇点情形。
Entropy Inequalities for Sums in Prime Cyclic Groups
建立了置换下取值于素数阶循环群的独立随机变量和的Rényi熵的下界.我们的方法的主要成分是扩展的重排不等式在素循环群的Lev（2001），和随机序的概念。几个应用程序的开发，包括离散熵功率不等式，Littlewood-Offord问题，并计数某些线性系的解决方案。
A Combinatorial Method for Counting Smooth Numbers in Sets of Integers
在本文中，我们提出了一种方法，生产的渐近估计的整数在一个给定的S只有“小”素因子的数量。需要验证的条件比其他方法所需的条件简单，我们应用我们的结果给出了一个结果的简单证明，即{1，2，. x}总是渐近地产生x^r -光滑和a+b的期望个数，其中a在A中，b在B中。回想一下，如果一个数n的所有素除子都至多是y，则称它是y-光滑的。
Counting polynomial subset sums
设$D$是有限交换环$R$的一个有单位元的子集.设$f(x)\in R[x]$是正次数$d$的多项式。对于整数$0\leq k \leq |D|$，我们研究了$k$ -子集$S\subseteq D$的个数$N_f(D,k,b)$，使得\begin{align*} \sum_{x\in S} f(x)=b. \end{align*}在本文中，我们建立了$N_f(D,k, b)$的几个渐近公式，依赖于环$R$和$f$的性质.对于$R=\mathbb{Z}_n$，令$p=p(n)$为$n$、$|D|=n-c \geq C_dn p^{-\frac 1d }+c$和$f(x)=a_dx^d +\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$与$(a_d, \dots, a_1, n)=1$的最小素因子。然后$$\left| N_f(D, k, b)-\frac{1}{n}{n-c \choose k}\right|\leq {δ(n)(n-c)+(1-δ(n))(C_dnp^{-\frac 1d}+c)+k-1\choose k},$$部分回答了Stanley \cite{St}提出的一个开放性问题，其中$δ(n)=\sum_{i\mid n, μ(i)=-1}\frac 1 i$和$C_d=e^{1.85d}$。此外，如果$n$是素数幂，则$δ(n) =1/p$和可以取$C_…
The $n$-Color Partition Function and Some Counting Theorems
本文定义n色分拆上的计数函数，将其与Möbius函数、Liouville函数等算术函数及除数和关联，并借助Erdös计数方法得到与Andrews和Deutsch结果类似的n色分拆计数定理。
Deviations of Ergodic sums for Toral Translations I : Convex bodies
我们证明了环面上的随机平移的充分规范化的差异函数相对于严格凸$\cC$的极限分布$\cD_\cC$的存在性。使用之间的对应关系的傅里叶级数的差异函数和晶格的小因子，并混合对角流的空间的晶格，我们确定$\cD_\cC$的水平集的分布定义的产品的空间的晶格与一个无限维环面的功能。我们应用我们的结果来计算晶格点在倾斜的圆柱体和时间花费在一个给定的球由一个随机测地线上的平坦环面。
Counting distinct functional graphs from linear finite dynamical systems
设$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域，对于每个正整数$n$，$A_q(n)$是由$\mathbb F_q$ -线性映射$T:\mathbb F_{q}^n\to \mathbb F_{q}^n$产生的非同构函数图的个数.在2013年，巴赫和布里迪证明了，如果$q$是固定的，并且$n$足够大，则量$\frac{\log \log A_q(n)}{\log n}$位于区间$[\frac{1}{2}, 1]$中。结合线性代数、组合数学和数论的一些思想，本文给出了函数$A_q(n)$的较精确的估计，特别地，我们证明了对每一个素数幂$q$，$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\log\log A_q(n)}{\log n}=1$都成立.
Counting isomorphism classes of superspecial curves
一条超特殊曲线是一个正特征域上的（非奇异）曲线，其雅可比簇同构于代数闭包上的超奇椭圆曲线的乘积。已知在代数闭域上，对于给定的亏格和特征线，直到同构为止，只存在100多条超特殊曲线。本文对超特殊曲线同构类的计数结果作了简要的综述。特别地，本文总结了作者和S.原下我们还调查了与Harashita和E. W. Howe，关于亏格为4的某类非超椭圆曲线中超特殊曲线的计数。
Evidence of a Gamma Distribution for Prime Powers
如果素数是伪随机分布的，那么与量子系统的类比表明，计数素数可以用非齐次泊松过程来建模。因此，假设潜在的伽玛统计，或多或少的标准启发式参数借用量子力学的背景下，功能集成允许导出的解析表达式的几个平均计数函数与素数。这些表达式是不完全Γ函数的某些总和，这些函数与积分型整函数密切相关-这反过来又是众所周知的，可以给出各种计数函数的渐近依赖性，直到误差项。应用于泛函积分的量子力学的相对广泛的成功，以及平均计数函数的解析表达式的出色的数值精度，为素数幂的Γ分布提供了强有力的证据。
Inverse Determinant Sums and Connections Between Fading Channel Information Theory and Algebra
本文主要研究了由错误概率的联合界所引起的逆行列式和，作为设计和分析代数空时分组码的一种工具。建立了研究这些和的一般框架，并研究了逆行列式和的渐近增长与分集复用增益权衡之间的联系。证明了除代数空时码逆行列式和的增长完全取决于单位群的增长。这减少了逆行列式和分析研究某些李群中的渐近积分。利用最近的遍历理论的方法，最著名的代数空时码的逆行列式和的一个完整的分类。该方法揭示了李群中分集复用增益权衡和点计数之间有趣而紧密的关系。
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