A classification of finite $p$-groups with a unique $\mathcal{A}_2$-subgroup
Jixia Gao, Dandan Zhang, Haipeng Qu
具有唯一$\mathcal{A}_2$ -子群的有限$p$ -群被分类为同构.解决了Berkovich和Janko提出的一个问题。
Finite $p$-groups with a unique $\mathcal{A}_2$-subgroup are classified up to isomorphism. A problem proposed by Berkovich and Janko is solved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On normal subgroupoids
本文给出了子群胚与正规子群胚的一些代数性质。我们定义了一个宽子群$\mathcal{H}$的正规化子，并证明了，在群的情况下，正规化子是最大宽子群的广群$\mathcal{G}$，其中$\mathcal{H}$是正常的。给出了中心和交换子的定义，证明了它们都是正规子群胚，即$\mathcal{G}$的所有各向同性群之并的第一个子群胚和$\mathcal{G}$的第二个子群胚.最后，我们引入了$\mathcal{G}$的内同构的概念，证明了$\mathcal{G}$的所有内同构的集合是一个正规子群胚，它通过它的中心$\mathcal{Z}(\mathcal{G})$同构于$\mathcal{G}$的商群胚，从而推广了群中一个著名的结果.
The class $\mathcal{MN}$ of groups in which all maximal subgroups are normal
研究了具有所有极大子群正规性质的群类$\mathcal{MN}$.类$\mathcal{MN}$出现在安德鲁斯-柯蒂斯猜想的潜在反例的研究框架中。本文给出了$\mathcal{MN}$中群的各种结构性质，并给出了$\mathcal{MN}$中群和$\mathcal{MN}$中群的例子.
On $\mathcal{M}$-supplemented subgroups
设$G$是有限群，$p^k$是素数幂除$|G|$ .如果存在$G$的子群$K$，使得$H$的每个极大子群$H_i$都有$G=HK$和$H_iK<G$，则称$G$的子群$H$在$G$中是$\mathcal{M}$ -可补的.本文完成了有限群$G$的分类，其中所有$p^k$阶子群都是$\mathcal{M}$ -可补的。特别是，我们表明，如果$k\geq 2$，那么$G/\mathrm{O}_{p'}(G)$是超可解的正常Sylow $p$ -子群和循环$p$ -补。
Cyclic Subgroups of Belk-Hyde-Matucci Group $V\!\mathcal{A}$
本文证明Belk-Hyde-Matucci群$V\!\mathcal{A}$不包含具有扭曲循环子群的子群。
The Hall property $\mathcal{D}_π$ is inherited by overgroups of $π$-Hall subgroups
设$π$是素数的集合。我们说有限群$G$是$\mathcal{D}_π$ -群，如果$G$的极大$π$ -子群是共轭的.本文对“Kourovka笔记本”中的问题17.44（b）给出了肯定的回答，即证明了在$\mathcal{D}_π$ -群中，$π$-Hall子群的扩群总是$\mathcal{D}_π$ -群.
Normalizers and centralizers of $p$-subgroups in normal subsystems of fusion systems
假设$\mathcal{E}$是$S$上饱和融合系统$\mathcal{F}$的正规子系统。如果$X\leq S$是完全$\mathcal{F}$规范化的，那么Aschbacher定义了$N_{\mathcal{F}}(X)$的一个规范子系统$N_{\mathcal{E}}(X)$。在这篇短文中，我们用定域理论重新讨论并推广了这个结果。我们的更一般的方法特别地导致用于完全$\mathcal{F}$集中的每个$X\leq S$的$C_{\mathcal{F}}(X)$的正常子系统$C_{\mathcal{E}}(X)$。
The $\mathcal{X}$-series of a $p$-group and complements of abelian subgroups
本文引入并研究 $p$-群的 $\mathcal{X}$-序列，利用其交性质给出交换子群存在补群的判据，并得到正规补群情形下的逆向等式。
Explicit construction of benign subgroup for Higman's reversing operation
本文针对Higman翻转运算显式构造良性子群的有限表示母群与子群，为将递归群嵌入有限表示群的通用算法开发推进了一步。
The planar $3$-colorable subgroup $\mathcal{E}$ of Thompson's group $F$ and its even part
本研究探讨汤普森群F的平面3-可着色子群及其偶部，给出偶部的二进有理数稳定子群描述，证明其在Golan和Sapir意义下闭，并分析三个相关拟正则表示的可约性。
On the subgroup separability of the free product of groups
本文研究了群的自由积的子群可分性问题，在剩余根类群的自由积框架下，证明了满足非平凡恒等式子群的根类可分性判定准则，并推广至群簇并集子群的可分性描述。
Finite $p$-groups all of whose subgroups of index $p^3$ are abelian
设$G$是有限$p$ -群.如果$G$的下标$p^t$的所有子群都是阿贝尔群，并且$G$的下标$p^{t-1}$的至少一个子群不是阿贝尔群，则$G$称为$\mathcal{A}_t$ -群。本文得到了关于$\mathcal{A}_t$ -群的一些信息，并对$\mathcal{A}_3$ -群进行了完全分类.这解决了Berkovich和Janko在他们的书中提出的{ \it老问题}。给出了关于$\mathcal{A}_3$ -群的丰富信息。
Maximal subgroups in torsion branch groups
本研究针对分支群的极大子群展开，得到判定特定脊柱群属于有限指数极大子群类的准则，构造出该类内具新性质的分支群，还给出类外分支群实例及一个周期分支群。
Subgroup decomposition in $\text{Out}(F_n)$, Part IV: Relatively irreducible subgroups
这是第四个和最后一个系列的四篇论文（与研究公告张贴在此arXiv），开发了一个分解理论的子群$\text{Out}(F_n)$。本文研究了$\text{Out}(F_n)$在$F_n$的线空间上作用的一般乒乓技术。使用这些技术，我们证明了研究公告中所述的主要结果，定理C及其特例定理I，其中后者说，对于$\text{Out}(F_n)$的任何生成的子群$\mathcal H$，其对$\mathbb{Z}/3$系数的同调作用平凡，对于任何不包含以下内容的自由因子系统$\mathcal F$，（共轭类）$F_n$或秩$n-1$自由因子的自由因子的互补对，如果$\mathcal H$相对于$\mathcal F$是完全不可约的，则$\mathcal H$具有相对于$\mathcal F$是完全不可约的元素。定理J在$\mathcal H$与$\mathcal F$几何相对的条件下，描述了$\mathcal H$与曲面的映射类群之间的强关系. v3和v4：加强了主要定理的陈述，突出了有限生成假设的作用，并提供了一个备择假设。加强了叠层乒乓的证明，并加强了定理J中的结论，以便进一步应用。
On weakly $sigma$-permutable subgroups of finite groups
设G是有限群，σ = {σ_i，\in I}是素数集\mathbb{P}的一个划分. G的子群集合\mathcal{H}有1个\in \mathcal{H}称之为G的完全Hall σ-集，如果\mathcal{H}的每个非恒等成员都是G的Hall σ_i-子群.称G的子群H是σ-可置换的，如果G有一个完备的Hall σ-集\mathcal{H}，使得对所有的A \in \mathcal{H}和所有的x \in G，HA^x = A^xH.我们称G的子群H在G中弱σ-置换，如果存在G的σ-次正规子群T使得G = HT且H \cap T \leq H_σG.其中H_σG是H的子群，它由G中H的所有σ-置换子群生成。利用这个新概念，我们建立了群G是σ-可解群和超可解群的一些新的判别准则，并给出了群G的正规子群是超循环嵌入群的条件.
On the separability of subgroups of nilpotent groups by root classes of groups
设$\mathcal{C}$是一类只由周期群组成的群，而$\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$是素数的集合，其中每个素数都不整除$\mathcal{C}$ -群的任何元素的阶。群$X$的子群$Y$称为a）$\mathcal{C}$ -在这个群中可分离的，如果对于每个$x \in X \setminus Y$，存在$X$到来自$\mathcal{C}$的群上的同态$σ$，使得$xσ\notin Yσ$ ; b）$\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$ -在$X$中孤立的，如果对于任何$x \in X$，$q \in \mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$，包含$x^{q} \in Y$暗示$x \in Y$。很容易看出，如果$Y$在$X$中是$\mathcal{C}$ -可分离的，那么它在该组中是$\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$ -分离的。假设$X$具有性质$\mathcal{C}\mbox{-}\mathfrak{Sep}$，如果它的所有$\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$ -孤立子群都是$\mathcal{C}$ -可分的。我们找到了一个条件，该条件足以使幂零群$N$具有性质$\mathcal{C}\mbox…
Rank 2 Amalgams and Fusion Systems
我们对融合系统$\mathcal{F}$进行了分类，其中$O_p(\mathcal{F})=\{1\}$，并且存在两个$\mathrm{Aut}_{\mathcal{F}}(S)$ -不变本质子群，它们的正规化系统生成$\mathcal{F}$ .我们采用汞齐的方法，并作为奖金，获得$p$局部特征的某些秩$2$组汞齐的抛物子群涉及强$p$嵌入子群。
Certain residual properties of HNN-extensions with central associated subgroups
设$G$是一个群，$H$和$K$是$G$的真同构中心子群，$\mathfrak{G}$是$G$的HNN-扩张，其子群为$H$和$K$ .我们证明了$\mathfrak{G}$是剩余的$\mathcal{C}$ -群的充分必要条件，其中$\mathcal{C}$是一类在取子群、扩张、同态像和笛卡尔积的形式$\prod_{y \in Y}X_{y}$下封闭的群，其中$X, Y \in \mathcal{C}$和$X_{y}$是每个$y \in Y$的$X$的同构拷贝。
Relative Dehn fuctions, hyperbolically embedded subgroups and combination theorems
本文针对群在有限图上的分裂，证明了双曲嵌入子群和相对Dehn函数良定义性在组合下的保持性，并给出相对Dehn函数的上下界，推广了已有结果。
Transverse properties of parabolic subgroups of Garside groups
设$G$是一个具有非平凡单元素生成集$\mathcal{S}$的Garside群，$H$是$G$的一个抛物子群.我们确定一个横向$T$的$H$在$G$，使每个$θ\in T$是最小的长度在其右陪集，$H θ$，相对于$\mathcal{S}$的字长。我们证明了在$\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{-1}$上存在一个正则语言$L$和一个对所有$U \in L$都满足$\mathrm{lg} (U) = \mathrm{lg}_\mathcal{S}( \mathrm{ev}(U))$的双射$\mathrm{ev} : L \to T$.由此推论出$G$中$H$的陪集增长级数是有理的.最后，我们证明了$G$在$H$上有同胞投影，但在$H$上没有有界投影。
Elementary abelian subgroups in some special p-groups
设$P$是有限$p$ -群，$p$是奇素数.设$\mathcal{A}_p(P)_{\geq2}$是由秩至少为2的初等交换子群组成的偏序集。如果导出子群$P'\cong C_p\times C_p$，则出现在$\mathcal{A}_p(P)_{\geq2}$中的球都具有相同的维数。
The structure of infinite 2-groups with a unique 2-element subgroup
证明了具有唯一二元子群的无限2-群同构于拟循环2-群或广义四元数的无限群。
A sharply 2-transitive group without a non-trivial abelian normal subgroup
证明了任意群$G$都包含在某个不含非平凡交换正规子群的2-传递群$\mathcal{G}$中.这回答了一个长期悬而未决的问题。我们构造的群$\mathcal{G}$中的对合没有不动点。
Finite index subgroups without unique product in graphical small cancellation groups
本文构造了无唯一乘积的挠自由双曲群，其子群在给定的有限指数以下都是非唯一乘积群。这是通过将Comerford的构造推广到图形化的小取消表示来实现的，表明对于图形化的小取消组的每个子组$H$，存在自由群$F$，使得$H*F$允许图形化的小取消表示。
A generalization of Alperin fusion theorem and its applications
本文推广了Alperin融合定理，引入关于强闭子群的本质子群概念，证明了分解定理与正规性准则，并发展了拟饱和与半饱和融合系统理论。
Unique product groups and congruence subgroups
证明了不含非交换自由子群的一致pro-p群存在一个带无挠交换因子的正规列.我们将结合独特的产品组来讨论这一点。我们也考虑Hantzsche-Wendt群的推广。
Root group data (RGD) systems of affine type for significant subgroups of isotropic reductive groups over $k[t,t^{-1}]$
针对连通各向同性约化k-群𝒢，利用相对pinning映射为其k[t,t⁻¹]点群的重要子群构造仿射型RGD系统，验证公理并说明其在附加条件下可扩展至整个群。
Fusion systems over a Sylow $p$-subgroup of $\mathrm{G}_2(p)$
对于$S$一个Sylow $p$ -子群的组$\mathrm{G}_2(p)$为$p$奇数，直到同构的融合系统，我们确定所有饱和的融合系统$\mathcal{F}$上的$S$与$O_p(\mathcal{F})=1$。对于$p \ne 7$，所有这样的融合系统都是由有限群实现的，而对于$p=7$，存在$29$饱和融合系统，其中$27$是奇异的。
Permutability degrees of finite groups
给定一个有限群$G$，我们引入$G$的\textit{permutability degree}，作为$$pd(G)=\frac{1}{|G| \ |\mathcal{L}(G)|} {\underset{X \in \mathcal{L}(G)}\sum}|P_G(X)|,$$，其中$\mathcal{L}(G)$是$G$的子群格，$P_G(X)$是$G$中子群$X$的置换子，即$G$的所有循环子群与$X\in \mathcal{L}(G)$置换生成的子群.数字$pd(G)$使我们能够找到对$G$的一些结构限制。接着，我们研究了$pd(G)$，$G$的交换子群$sd(G)$的概率和$G$的交换元素$d(G)$的概率之间的关系.证明了$pd(G)$，$sd(G)$和$d(G)$之间的一些不等式，并将这些概念联系起来.
Computation of endo-fixed closures in free-abelian times free groups
本文研究自由阿贝尔乘自由群自同态不动子群的行为，提出一种结合组合与代数方法的算法，用于判定有限生成子群是否为某自同态族的不动子群并构造该族。
Some results related to finiteness properties of groups for families of subgroups
对于群$G$，我们考虑虚循环子群族的分类空间$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$.我们证明了Artin群容许$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$的有限模型当且仅当它是虚循环的。这解决了Juan-Pineda和Leary的一个猜想和Lück-Reich-Rognes-Varisco关于Artin群的一个问题。研究了CAT（0）群的共轭增长，证明了若CAT（0）群包含秩为2的自由阿尔贝群，则其共轭增长严格快于线性增长.这也给出了另一个证明，证明了CAT（0）立方体群允许$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$的有限模型当且仅当它是虚循环的。我们的最后一个结果涉及商空间$B_{\mathcal{VC}yc}(G) = E_{\mathcal{VC}yc}(G)/G$的同伦型。证明了对于聚$\mathbb Z$ -群$G$，$B_{\mathcal{VC}yc}(G)$同伦等价于有限CW-复形当且仅当$G$是循环的.
Dismantlable classifying space for the family of parabolic subgroups of a relatively hyperbolic group
设$G$是一个相对于有限子群集$\mathcal P$的双曲群.设$\mathcal F$是子群族，由$\mathcal P$中所有子群的共轭、它们的所有子群和所有有限子群组成。然后给出了$E_{\mathcal F} G$的协紧模型。这一结果在无扭转情况下是已知的。在扭转的存在下，一个新的方法是必要的。我们的方法是利用不确定性的概念。讨论了一些示例应用程序。
On independent families of normal subgroups in free groups
考虑一个演示$\mathcal{P}=<{\bf x}\mid{\bf \bigcup_{i=1}^n r_i}>$。设${\bf R_i}$是自由群${\bf F}$中集合${\bf r_i}$的正规闭包，其基为${\bf x}$，$\mathcal{P}_i=<{\bf x}\mid{\bf r_i}>$，${\bf N_i} = \prod_{j\neq i}{\bf R_j}$.在本文中，使用图像的几何技术，从$π_2(\mathcal{P})$的$\{\mathcal{P}_i\mid i=1,..., n\}$上的一组生成器获得用于$\frac{{\bf R_i}\cap {\bf N_i}}{[{\bf R_i}, {\bf N_i}]}$的生成器$i=1,...,n$。作为推论，我们得到了族$\{{\bf R_1},...,{\bf R_n}\}$独立的一个充分条件。
Subgroups of $E$-unitary and $R_1$-injective special inverse monoids
本文研究了$E$-酉和$\mathcal{R}_1$-内射特殊逆幺半群的极大子群结构，证明其极大子群受单位群严格控制，并构造证明了任意有限群均可作为极大子群出现。
Weakly finitely presented infinite periodic groups
由表示$G = < \mathcal A \| \mathcal R >$给出的群$G$被称为弱表示的，如果由$\mathcal A^{\pm 1}$中的某些词（的像）生成的$G$的每个弱表示生成的子群自然同构于群$G_0 = < \mathcal A_0 \| \mathcal R_0>$的子群，其中$\mathcal A_0 \subseteq \mathcal A$，$\mathcal R_0 \subseteq \mathcal R$是有限的，由相同的词（的像）生成。本文构造了非局部有限的弱可表示周期群.
Hyperbolic HHS I:Factor Systems and Quasi-convex subgroups
本文给出了一个在双曲空间上获得非平凡HHS结构的方法。特别地，我们证明了给定双曲群$G$的拟凸子群的有限集合$\mathcal{F}$，在$G$上存在与$\mathcal{F}$相容的HHG结构.我们将使用这一点来提供明确的描述Gromov边界的双曲HHS和HHG，我们恢复结果从Hamenstädt，曼宁，庄的情况下，$G$是双曲相对于$\mathcal{F}$。在新的HHG建设的进一步应用将在随后的文件。
Schlichting's Theorem for Approximate Subgroups
证明了近似子群的Schlichting定理：若$\mathcal{X}$是某个环境群中的一致可分解近似子群族，则存在一个不变近似子群可与$\mathcal{X}$分解.
Freiheitssatz for amalgamated products of free groups over maximal cyclic subgroups
1930年，Wilhelm Magnus引入了所谓的Freiheitsmann：设$F$是一个具有基$\mathcal{X}$的自由群，且$r$是$F$的一个循环约化元素，其中包含一个基元素$x \in \mathcal{X}$，则$r$在$F$中的正规闭包的每个非平凡元素都包含基元素$x$。等价地，由$\mathcal{X} \backslash \{x\}$自由生成的子群正则地嵌入商群$F / \langle \! \langle r \rangle \! \rangle_{F}$。本文对自由群$A$和$B$的混合积$G=A \ast_{U} B$引入了一个Freiheitscheme，其中$U$是$A$和$B$中的极大循环子群：如果$G$的元素$r$既不与$A$的元素共轭，也不与$B$的元素共轭，则因子$A$，$B$正则嵌入$G / \langle \! \langle r \rangle \! \rangle_{G}$ .
Arithmetic subgroups of Chevalley group schemes over function fields II: Conjugacy classes of maximal unipotent subgroups
本文研究函数域上 $\mathcal{S}$-算术子群的极大幂单子群共轭类，利用 Picard 群与群秩加以参数化，并通过 Bruhat–Tits 建筑扇形稳定子刻画其结构。
Algebraic characterisation of relatively hyperbolic special groups
这篇文章致力于刻画Haglund和Wise的特殊群的相对双曲性。更确切地说，我们引入了一种新的组合形式主义来研究（虚拟）特殊群，我们证明了，给定一个上紧特殊群$G$和一个有限子群集合$\mathcal{H}$，则$G$相对于$\mathcal{H}$是双曲的当且仅当（i）$\mathcal{H}$的每个子群是凸-上紧的，（ii）$\mathcal{H}$是几乎反常的集合，（iii）$G$的每个非虚循环阿贝尔子群包含在$\mathcal{H}$的某个群的共轭中.作为应用，我们证明了一个虚余紧特殊群是相对于交换子群的双曲群当且仅当它不包含$\mathbb{F}_2 \times \mathbb{Z}$。
Various spectra and energies of subgroup generating bipartite graph
本文研究了二面体群和二面群的子群生成双图的谱与能量，计算了其各种能量特性，并验证了E-LE猜想。
Finitely generated normal pro-$\mathcal C$ subgroups in right angled Artin pro-$\mathcal C$ groups
研究直角Artin pro-C群的非平凡有限生成正规满pro-C子群，证明其商群为有限被阿贝尔群的扩张，并在pro-p情形下给出子群FP_n型的判别准则及相关等价刻画。
Finite index subgroups of mapping class groups
设$g\geq3$和$n\geq0$，${\mathcal{M}}_{g,n}$为亏格为$g$且具有$n$边界分支的曲面的映射类群.证明了${\mathcal{M}}_{g,n}$包含唯一的共轭指数$2^{g-1}(2^{g}-1)$子群和唯一的共轭指数$2^{g-1}(2^{g}+1)$子群，并且${\mathcal{M}}_{g,n}$的其它真子群的指数都大于$2^{g-1}(2^{g}+1)$ .特别地，${\mathcal{M}}_{g,n}$的真子群的最小指数是$2^{g-1}(2^{g}-1)$。
Linear Groups, Conjugacy Growth, and Classifying Spaces for Families of Subgroups
给定一个群$G$和一族子群$\mathcal{F}$，我们考虑它的分类空间$E_{\mathcal F}G$关于$\mathcal{F}$ .当$\mathcal F = \mathcal{VC}yc$是虚循环子群族时，Juan-Pineda和Leary证明了一个群在这个分类空间上有一个有限模型当且仅当它是虚循环的。通过建立与共轭增长的联系，我们可以证明这个猜想对线性群成立。我们调查了一个类似的问题，提出了由吕克-赖希-Rognes-Varisco的家庭循环子群。最后，我们构建了一个具有野生内部自同构的群，但承认$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$的0-骨架是有限的模型。
Groups with 5 nontrivial conjugacy classes of non self-normalizing subgroups are solvable
本研究针对Bianchi等人提出的关于$\mathcal{D}_5$（恰有5个非平凡非自正规子群共轭类的有限群族）由导出长度不超过3的可解群组成的猜想，完成验证并证实该猜想成立。
Separating subgroups of mapping class groups in homological representations
设$Γ$是亏格为$\geq 2$的闭曲面的映射类群，或秩为$\geq 3$的自由群的自同构群。给定$Γ$的任意同调表示$ρ$对应于一个有限覆盖，以及Johnson滤子的任意项$\mathcal{I}_k$，我们证明了$ρ(\mathcal{I}_k)$在$Γ$的Torelli子群$ρ(\mathcal{I})$中具有有限指数.由于$[\mathcal{I}: \mathcal{I}_k] = \infty$用于$k > 1$，这意味着例如没有这样的表示是忠实的。
The $Σ$-invariants of $S$-arithmetic subgroups of Borel groups
给定经典型Chevalley群$\mathcal{G}$和Borel子群$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{G}$，计算$S$ -算术群$\mathcal{B}(\mathbb{Z}[1/N])$的$Σ$ -不变量，其中$N$是足够大素数的乘积.为此，我们让$\mathcal{B}(\mathbb{Z}[1/N])$作用于由与$\mathcal{G}$相关联的Bruhat-Tits建筑物$X_p$的乘积给出的欧几里得建筑物$X$，其中$p$运行在素数上划分$N$。在证明过程中，我们引入了$\mbox{CAT(0)}$ -空间上凸函数连续的充要条件。我们应用这些条件相关联的每个单形在无穷大$τ\subset \partial_{\infty} X$其所谓的抛物线建筑物$X^τ$，我们从几何的角度来研究。此外，我们引入新的技术组合莫尔斯理论，这使我们能够利用的概念，基本$n$ -连接，而不是实际的$n$ -连接。我们的大多数建筑理论的结果证明在一般框架的球形和欧几里得建筑。例如，我们证明了在一个球形建筑$Δ$中的每个腔室对面的复合体包含一个公寓，只要$Δ$足够厚，并且$\mbox{Aut}(Δ)$在$Δ$上传递作用于腔室。
Centralizers of normal subgroups and the $Z^*$-Theorem
Glauberman的$Z^*$ -定理和奇素数的类似陈述表明，对于任何素数$p$和任何具有Sylow $p$ -子群$S$的有限群$G$，$G/O_{p^\prime}(G)$的中心由融合系统$\mathcal{F}_S(G)$确定。建立在这些结果，我们显示一个声明，似乎先验更一般：对于任何正常的子群$H$的$G$与$O_{p^\prime}(H)=1$，中心化$C_S(H)$表示的融合系统$\mathcal{F}_S(H)$和它的正常子系统引起的$H$。
On regularity and the word problem for free idempotent generated semigroups
所有幂等元生成半群的范畴都具有其幂等元$E$的规定结构$\mathcal{E}$（称为双序集），其始对象称为$\mathcal{E}$上的自由幂等元生成半群，由字母表$E$上的表示定义，记为$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$。近年来，人们对$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$形式的半群的结构，特别是它们的极大子群的结构进行了大量的研究.在本文中，我们采取这些调查在一个新的方向，考虑$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题。我们证明了两个主要结果，一个积极的和一个消极的。我们表明，对于一个有限的双序集$\mathcal{E}$，它是可判定的一个给定的字$w \in E^*$是否代表一个正则元素，如果另外一个假设，所有的极大子群$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$有可判定的字的问题，那么字问题在$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$限制到正则字是可判定的。另一方面，我们证明了一个由有限幂等半群$S$产生的双序$\mathcal{E}$，使得$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题是不可判定的，即使所有的极大子群都有可判定的字问题。这是通过将$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题与子组成员资格问题相关联来实现的。
The influence of weakly $SΦ$-supplemented subgroups on fusion systems of finite groups
本文研究了在子群弱 $SΦ$-补充条件下有限群融合系统的结构，获得了融合系统超可解性的若干新刻画。
Inclusion graph of subgroups of a group
对于有限群$G$，我们定义$G$的子群包含图，记为$\mathcal I(G)$，它是以$G$的所有真子群为顶点的图，且$\mathcal I(G)$中的两个不同顶点$H$和$K$相邻当且仅当$H \subset K$或$K \subset H$ .本文对子群包含图为完全、二部、树、星、路、圈、不连通、无爪之一的有限群进行了分类。并对子群包含图为平面的有限阿贝尔群进行了分类。对任意给定的有限群，我们估计了它的子群包含图的团数、色数、围长;对有限阿贝尔群，我们估计了它的子群包含图的直径。在其它结果中，我们证明了某些群可以由它们的子群包含图来确定
On the $3$-colorable subgroup $\mathcal{F}$ and maximal subgroups of Thompson's group $F$
本文研究 Thompson 群 $F$ 的 $3$-可着色子群 $\mathcal{F}$，证明相关拟正则表示不可约，并构造三个新的无限指数极大子群。
Pro-$\mathcal{C}$ RAAGs
设$\mathcal{C}$是一类有限群在取子群、子群和扩张下闭的交换核群.直角Artin pro- $\mathcal{C}$群$G_Γ$（简称pro- $\mathcal{C}$ RAAG）是与有限单纯图$Γ$相关联的直角Artin群$G(Γ)$的pro- $\mathcal{C}$完备化。在第一部分中，我们描述了前- $\mathcal{C}$ RAAGs的结构性质。其中，我们描述了一个元素的中心化，并表明，亲$\mathcal{C}$ RAAGs满足山雀的替代，标准子群是孤立的，2生成的亲$p$的亲$\mathcal{C}$ RAAGs的子群是自由亲$p$或自由阿贝尔亲$p$。在第二部分中，我们用定义图的方法给出了pro- $\mathcal{C}$ RAAG的分裂。更准确地说，我们证明了亲$\mathcal{C}$ RAAG $G_Γ$分裂为一个非平凡的直积当且仅当$Γ$是一个连接，它分裂一个阿贝尔亲$\mathcal{C}$组当且仅当一个连通组件的$Γ$是一个完全图或它有一个完全断开子图。然后，我们用这个特性来描述一个亲$\mathcal{C}$ RAAG的阿贝尔JSJ分解，在Guirardel和Levitt的意义。
Relative hyperbolicity for automorphisms of free products
我们证明了，对于一个自由产品$G$与自由因子系统$\mathcal{G}$，任何自同构$ϕ$保持$\mathcal{G}$，atoroidal（在某种意义上相对于$\mathcal{G}$），没有其权力发送两个不同的共轭的子群在$\mathcal{G}$上的共轭本身由同一个元素，产生一个半直积$G\rtimes_ϕ\mathbb{Z}$，这是相对于双曲的悬浮液组在$\mathcal{G}$。我们恢复了Gautero-Lustig和Ghosh的一个定理，即如果$G$是一个自由群，$ϕ$是$G$的自同构，而$\mathcal{G}$是它的多项式增长子群族，那么由$ϕ$得到的半直积相对于这些子群的悬置是双曲的.我们将第一个结果应用于阿贝尔群的自由积的某些自同构（环面和环面）的共轭问题。
Proportion of Simple Subgroups in Finite Groups and Their Applications
引入函数 V(G) 研究有限群中单子群占所有子群的比例，分析 p-群等结构模式。
Characterized subgroups on the unit circle
研究单位圆上\(\mathcal{I}\)-特征子群，通过整数序列\(a\)定义\(\mathsf{H}_{a}(\mathcal{I})\)子群，给出其拓扑复杂度上界，证明理想约化与子群族包含关系，分析理想性质并回答文献中开放问题。
Finite groups with a certain number of elements pairwise generating a non-nilpotent subgroup
设$n>0$是一个整数，$\mathcal{X}$是一类群。我们说一个群$G$满足条件$(\mathcal{X},n)$，只要在$G$的每个具有$n+1$元素的子集中存在不同的元素$x,y$，使得$<x,y>$在$\mathcal{X}$中。设$\mathcal{N}$和$ \mathcal{A}$分别是幂零群和阿贝尔群的类。在这里，我们证明：（1）若$G$是满足条件$(\mathcal{N},n)$的有限半单群，则对某个常数$c$，有$|G|<c^{2[\log_{21}n]n^2} [\log_{21}n]!$. (2)有限不可解群$G$满足条件$(\mathcal{N},21)$当且仅当$\frac{G}{Z^*(G)}\cong A_5$是5次交错群，其中$Z^*(G)$是$G$的超中心。(3)有限非幂零群$G$满足条件$(\mathcal{N}, 4)$当且仅当$\frac{G}{Z^*(G)}\cong S_3$是3次对称群. (4)不溶性基团$G$满足条件$(\mathcal{A},21)$当且仅当$G\cong Z(G)\times A_5$，其中$Z(G)$是$G$的中心。(5)如果$d$是满足条件$(\mathcal{A},n)$的可解群的导出长度，则$d=1$是$n\in \{1,2\}$，$d\leq 2n-3$是$n\geq 2$。
On closure operations in the space of subgroups and applications
本文研究群的 URS 与陪集拓扑之间的联系，定义并刻画 URS 的拓扑闭包，并据此分析最大 amenable URS 及单点判据。
The saturated fusion systems on a Sylow 2-subgroup of $Ω^+_8 (2)$
研究$Ω^+_8(2)$的Sylow 2-子群上的饱和融合系统，其中$O_2(\mathcal F)=1$，探讨其结构与性质，包括例子分析。
The uniqueness of $PSU_3(8)$ in the Monster
作为一个贡献的最终解决问题的确定的极大子群的怪物，我们表明，有一个独特的共轭类的子群同构$PSU_3(8)$。这个论证依赖于各个子群中的一些计算，而不是Monster本身的计算。
Residually finite groups that do not virtually have the unique product property
本文构造了一个余有限但不虚拟具有唯一乘积性质的有限生成群，通过展示每个有限指数子群包含同构于Promislow群的子群来证明其结论。
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