Convergence of an algorithm simulating Loewner curves
Schram-Loewner演化（SLE）作为统计物理中离散模型尺度极限的发展，使得直接模拟SLE成为一项重要的任务。马歇尔和罗德\cite{MR05}建议的最常见的方法是在离散时间采样布朗运动，在其间适当插值，并使用这种近似显式求解Loewner方程。该算法总是产生分段光滑的非自相交曲线，而SLE $_κ$已被证明对于$κ\in[0,4]$是简单的，对于$κ\in(4,8)$是自接触的，对于$κ\geq 8$是空间填充的。在本文中，我们证明了这一系列的曲线收敛到SLE $_κ$的所有$κ\neq 8$通过给定的条件，确定性的驱动功能，以确保超规范收敛的模拟曲线时，我们使用这种算法。
2013-03-15 math.CV math.PR
Computing the Loewner driving process of random curves in the half plane
我们模拟了几种模型的随机曲线在半平面和数值计算其随机驱动过程（如Loewner方程）。我们的模型包括模型的缩放限制是Schramm-Loewner演化（SLE）和模型，它不是。研究了驱动过程是否为布朗运动的几种检验方法。我们发现，仅仅在一个固定的时间测试的正常性的过程是不有效的，以确定是否是布朗运动。涉及布朗运动增量独立性的检验要有效得多。我们还研究了数值计算简单曲线驱动函数的拉链算法。我们给出了这个算法的一个实现，它的时间复杂度为O（N^1.35），而不是通常的O（N^2），其中N是曲线上的点数。
2008-03-03 math-ph math.MP math.PR
On Loewner chains driven by semimartingales and complex Bessel-type SDEs
本文研究半鞅驱动的前向与后向 Loewner 链，证明其迹存在且简单，并应用于 SKLE、Brown 幂函数驱动及复 Bessel 型 SDE。
2023-12-24 math.CV math.PR
Splitting algorithm and normed convergence for drawing the random Loewner curves
本文提出一种带严格范数收敛分析的分裂算法来模拟随机Loewner曲线，并将其扩展至分数阶SLE和噪声增强SLE，为分形维数等统计现象提供理论预测。
2025-07-03 math.PR
Large deviations of Dyson Brownian motion on the circle and multiradial SLE(0+)
Aalto University（阿尔托大学）；Texas State University（德克萨斯州立大学）；University of Bonn（波恩大学）
本文证明了圆上Dyson布朗运动在耦合参数β趋于无穷时的有限时间大偏差原理，刻画了其零能量与有限能量系统的长时间行为，并将结果推广到κ趋于0+时多径向SLE的有限时间大偏差。
2026-09-07 math-ph math.MP math.PR
N-sided Radial Schramm-Loewner Evolution
我们使用的Schramm-Loewner演化的解释作为一个限制的路径措施倾斜的一个循环项，以激发定义的$n$ -径向SLE去一个特定的点。为了证明这个定义，我们证明了在$n$ -路径元组上通过适当的正规化循环项得到的测度有一个极限。极限测度可以描述为由Loewner方程运动的$n$路径，其驱动项为Dyson布朗运动.虽然极限过程已被认为是以前，本文表明，为什么它自然会出现作为一个限制的配置措施，从回路措施。
2022-01-06 math.PR
Symmetric Polynomials Method for the Multiple Loewner Chains
本文将对称多项式技术引入多Loewner链研究，以Dyson布朗运动等为驱动，得到κ=4处的相变新证明与闭式表达式，还应用于确定性演化并展望了未来应用。
2026-10-20 math-ph math.CV math.MP
Rate of Convergence in Multiple SLE using Random Matrix Theory
对于$β=1$和$β=2$，我们给出了多SLE模型的Carathéodory收敛的一个收敛阶.该结果是通过将Schramm-Loewner演化领域的技术与随机矩阵的现代技术相结合而获得的。我们的方法显示了如何可以应用现代工具中使用的随机矩阵理论的普遍性的证明，在Schramm-Loewner进化领域。
2023-01-11 math.CV math.PR
Three phases of multiple SLE driven by non-colliding Dyson's Brownian motions
研究了带参数$κ\in (0,8]$的多重Schram-Loewner演化的性质.具体地说，我们考虑的解决方案的多Loewner方程驱动的戴森的布朗运动在非碰撞制度的时变。虽然人们通常认为解的一些性质可以通过交换关系和绝对连续性来研究，但这种方法只适用于交换SLE生成的曲线是分离的情况。在这个限制之外，甚至不明显的是，多重Loewner方程的解生成多条曲线。为了克服这个困难，我们采用高斯自由场和多个SLS的耦合。因此，我们证明了长期的猜想，解决方案确实产生多个连续曲线。此外，这些多重曲线是（i）当为$κ\in (0,4]$时的简单不相交曲线，（ii）当为$κ\in (4,8)$时的相交曲线，以及（iii）当为$κ=8$时的空间填充曲线。
2021-06-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Multi-time Loewner energy: rate function for large deviation
Tsinghua University（清华大学）
本文研究了半水母SLE和多径SLE的大偏差原理，引入多时间Loewner能量作为率函数，并推导了其边界扰动性质。
2026-02-24 math.PR
Defining SLE in multiply connected domains with the Brownian loop measure
利用布朗环测度定义了多连通域上kappa \leq 4的Schramm-Loewner演化（SLE）.我们表明，在环的情况下，这是相同的措施，最近获得的大鹏詹。我们使用的环路配方给一个不同的推导偏微分方程的分拆函数的环。
2011-08-22 math.PR
Cadlag curves of SLE driven by Levy processes
Schramm Loewner演化（SLE）是由布朗运动驱动的Loewner方程定义的随机增长壳。已知的是，增加的壳由连续曲线生成。当驱动过程为\sqrt κ B+θ^{1/α}S时，对布朗运动B和对称α稳定过程S（κ不等于4和8），我们证明了相应的增壳是由Cadlag曲线生成的.
2008-09-05 math-ph math.MP math.PR
Algebraic properties of CFT coset construction and Schramm-Loewner evolution
Schramm-Loewner演化是晶格模型中界面在临界点处的标度极限。这些模型的临界行为可以用共形场论的极小模型来描述。某些CFT关联函数是关于SLE的鞅。本文将李群$G$上带附加布朗运动的Schramm-Loewner演化推广到因子空间$G/A$上.然后，我们研究了临界行为的SLE描述与共形场论陪集模型之间的联系。为了保持一致性，这种构造应该为某些组的选择给出极小模型。
2011-12-19 math-ph math.MP math.PR
Splitting algorithm and normed convergence for drawing the random fractal Loewner curves
该研究提出用Ninomiya-Victoir分裂算法逼近$SLE_κ$迹线，证明其依概率依上确界范数一致收敛，还研究了$L^p$范数收敛性，并验证了基于布朗驱动力线性插值方案的一致收敛性。
2024-08-18 math.PR
Two-loop Loewner potentials
本文推广了Schramm-Loewner演化环测度，引入双环Loewner势的四个等价定义并证明其有限性条件，发现其最小化子为圆周对但势无界，进而结合CFT配分函数提出推广方法以弥补发散问题。
2024-11-04 math-ph math.CV math.MP
An asymptotic radius of convergence for the Loewner equation and simulation of $SLE_k$ traces via splitting
本文研究了由布朗运动驱动的倒向Loewner微分方程的Taylor逼近在原点附近的收敛性。更具体地说，每当向后Loewner方程（位于上半平面）的初始条件是小的，并具有$Z_{0} = \varepsilon i$的形式，我们表明这些近似表现出$O(\varepsilon)$错误提供的时间范围是$\varepsilon^{2+δ}$ $δ> 0$。这个定理的陈述将使用粗糙路径和$L^{2}(\mathbb{P})$估计给出。此外，在$\varepsilon^{2-δ}$的时间范围内，我们将看到，对于小的$\varepsilon$，泰勒展开中的“高次”项变得比“低次”项大。在这个意义上，近似值是精确尺度的时间范围，如$\varepsilon^{2}$。当增长的向量场导数与布朗运动的衰减迭代积分相平衡时，这种缩放自然来自Loewner方程。以及被理论上的兴趣，这种缩放可以被用来作为一个指导原则，用于开发自适应步长策略，有效地执行附近的原点。此外，这一结果突出了使用随机泰勒方法（如Euler-Maruyama和Milstein方法）来近似$SLE_κ$迹线的局限性。由于Loewner方程的解析易处理的向量场，我们将展示二宫Victoir（或Strang）分裂特别适合SLE模拟。由于原点处的奇异性会导致较大的数值误差，因此我们将采用Tom Kennedy提出的自适应步长来使用这种分裂离散$…
2022-09-04 math.PR
Random planar curves and Schramm-Loewner evolutions
我们回顾了近年来关于二维随机曲线的共形不变性、标度极限和性质的一些结果。特别是，我们描述了直观的想法，导致定义的Schramm-Loewner演化SLE，我们定义这些对象，研究其各种属性，显示如何计算（概率，临界指数）使用SLE，SLE与平面布朗运动（即确定的临界指数），平面自避免行走，临界渗流，循环擦除随机游动和均匀生成树。
2003-03-27 math-ph math.MP math.PR
Multiple Schramm-Loewner evolutions for conformal field theories with Lie algebra symmetries
我们提供了多个Schramm-Loewner演化（SLEs）来描述具有李代数对称性的临界晶格模型中多个界面的标度极限。模型的临界行为由Wess-Zumino-Witten（WZW）模型描述。在李群和直线上引入多重布朗运动，构造了具有附加李代数对称性的多重SLE。通过WZW模型中的关联函数所满足的SLE鞅，可以理解所得到的SLE与WZW模型之间的联系。由于SLE迹之间的相互作用，这些布朗运动具有漂移项，该漂移项由相应WZW模型的配分函数确定。作为一个具体的例子，我们将该公式应用于su（2）k-WZW模型.利用模型中的融合规则，我们推测在配分函数和SLE迹的拓扑不等价配置之间存在一一对应。此外，通过求解Knizhnik-Zamolodchikov方程，我们精确地计算了三重SLE迹的某些配置的发生概率（即交叉概率）。
2012-10-31 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Multiple SLEs and Dyson Brownian motion: transition density and Green's function
本文研究 $κ\in(0,4]$ 的多重弦 SLE，证明在公共时间参数化下其驱动函数的转移密度可由 Dyson 布朗运动的转移密度与 Green 函数表示。
2026-10-23 math.PR
Large deviations of radial SLE$_{\infty}$
本文导出了含参数$\operatorname{SLE}$的单位圆盘上径向Schramm-Loewner演化的大偏差原理。在时间区间$[0,1]$的限制下，良率函数仅在单位圆上由绝对连续概率测度$\{ϕ_t^2 (ζ)\, dζ\}_{t \in [0,1]}$驱动的一类Loewner链上是有限的，且良率函数等于$\int_0^1 \int_{S^1} |ϕ_t'|^2/2\,dζ\,dt$ .我们的证明依赖于大偏差原则的长时间平均的布朗占领措施由Donsker和Varadhan。
2020-07-31 math.CV math.PR
Phase transition for parking blocks, Brownian excursion and coalescence
在本文中，我们考虑散列表与线性探测的散列表有m个地方，n个项目（n < m），和l = m<n空的地方。对于一个没有计算机科学头脑的读者，我们将使用n辆汽车停在m个地方的比喻：每辆汽车随机选择一个地方，如果这个地方k被占用，汽车依次尝试k+1，k+2，.直到它找到一个空的位置（按照惯例，位置m+1实际上是位置1）。Pittel [42]证明了当l/m达到某个正极限a < 1时，最大的连续车厢块的大小是O（log m）。在本文中，我们研究在哪一个水平n相变发生的最大块之间的连续汽车O（m）和O（m）。中间的情况下，揭示了一个有趣的行为的大小块，相关的标准添加剂聚结的随机图的连接组件的大小是相关的乘法聚结以同样的方式。
2005-01-05 math.PR
On the rate of convergence of loop-erased random walk to SLE(2)
我们导出了平面环擦除随机游动的Loewner驱动函数在单位圆上向速度为2的布朗运动的收敛速度收敛速率，即径向SLE的Loewner驱动函数（2）.证明使用一个新的估计之间的差异的离散和连续的格林函数，这是一个改进现有的结果，我们考虑的域类。使用驱动过程收敛的速率以及关于SLE（2）的附加信息，我们还获得了路径相对于Hausdorff距离的收敛速率。
2013-01-12 math.CV math.PR
Using the Schramm-Loewner evolution to explain certain non-local observables in the 2d critical Ising model
我们提出了一个数学证明的理论预测阿尔甘和圣奥班，以及鲍尔，伯纳德和Kytola，通过结合Smirnov最近证明的临界Ising界面的标度极限可以用弦SLE（3）描述的事实以及Kozdron和Lawler关于相互避免的弦SLE路径的构型测度，讨论了临界状态下二维伊辛模型的某些非局部可观量。作为这个结果的推广，我们还计算了SLE（k）路径，k在（0，4]中，和布朗运动行程不相交的概率。
2009-05-14 math-ph math.MP math.PR
Multiradial Schramm-Loewner evolution: Infinite-time large deviations and transience
Aalto University（阿尔托大学）；Texas State University（德克萨斯州立大学）；University of Cologne（科隆大学）
本文研究多径SLE(κ)在无限时间内的大偏差原理及瞬时性，改进了证明方法，并推导了多径SLE(κ)曲线的逃逸概率估计，证明了κ≤8/3时曲线在公共终端点瞬时性。
2026-04-15 math-ph math.MP math.PR
Reversed radial SLE and the Brownian loop measure
布朗环测度是在研究Schramm-Loewner演化（SLE）时提出的平面环上的共形不变测度。当域中的SLE曲线从内点演化时，自然会考虑到达曲线并离开域的循环，但它们的度量是无限的。我们表明，有一个相关的归一化量是有限的和不变的莫比乌斯变换下的平面。我们估计这个量时，曲线是小的和域简单连接。然后，我们使用这个估计证明了一个公式的Radon-Nikodym衍生物的反向径向SLE相对于全平面SLE。
2013-12-30 math.PR
Stochastic Komatu-Loewner evolutions and SLEs
设$D={\mathbb H}\setminus \bigcup_{j=1}^N C_j$为标准狭缝域，其中${\mathbb H}$为上半平面，$C_j,1\le j\le N,$为${\mathbb H}$中相互不相交的水平线段。在\cite{CF}中引入了一个随机Komatu-Loewner演化，记作${\rm SKLE}_{α,b}$，作为一个具有$F_t\subset D$的随机增长壳族$\{F_t\}$，该随机增长壳族由$\partial {\mathbb H}$上的扩散过程$ξ(t)$驱动，该扩散过程由定义在所有标记的标准狭缝域的空间${\cal S}$上的某些连续齐次函数$α$和$b$确定.我们的目的是确定一个适当的重新参数化的${\rm SKLE}_{α,b}$的分布与${\mathbb H}$上的Loewner演化驱动的路径的某个连续半鞅，从而与前者的分布${\rm SLE}_{α^2}$时$α$是一个常数。然后，我们证明了，当$α$是一个常数，${\rm SKLE}_{α,b}$一些随机命中时间和模的时间变化具有相同的分布${\rm SLE}_{α^2}$下适当的Girsanov变换。我们进一步表明，一个重新参数化的${\rm SKLE}_{\sqrt{6},-b_{\rm BMD}}$具有相同的分布${\rm SLE}_6$，其中$b_{\rm BMD}$是…
2016-04-28 math.PR
Scaling limits of branching Loewner evolutions and the Dyson superprocess
结合分支过程与弦Loewner演化，提出以Dyson布朗运动粒子系统为驱动测度的共形过程构造，证明图嵌入定理并表征其标度极限为Dyson超过程。
2025-06-12 math.PR
Values of Brownian intersection exponents I: Half-plane exponents
本文证明了物理文献中关于半平面内布朗运动的交指数的一些定理。例如，假设B和B'是两个独立的平面布朗运动，它们从半平面H上的不同点出发。然后，作为$t \to \infty$，$$ P [ B[0,t] \cap B'[0,t] = \emptyset, B[0,t] \cup B'[0,t] \subset H ] = t^{-5/3 + o(1)}.$$的证明使用的思想和工具，作者在以前的论文。我们证明了一个随机Loewner演化过程（参数为6，我们称之为SLE_6，它已被证明对应于临界渗流集团边界的标度极限）满足“共形约束性质”.本文建立了SLE_6的Cardy公式（渗流簇与矩形相交）的一个推广，由此导出了SLE_6的相交指数的精确值。由于该过程满足共形约束性质，因此布朗相交指数可以由SLE_6相交指数确定。关于整个平面上的相交指数的结果出现在随后的论文中。
2000-10-23 math.CV math.PR
Complex Generalized Integral Means Spectrum of Drifted Whole-Plane SLE and LLE
给出了两类由Lévy过程驱动的全平面Loewner演化的复广义积分平均谱的新结果：-具有连续轨迹的Lévy过程，对应于布朗驱动函数中含有漂移项的Schramm-Loewner演化（SLE）.一个自然的路径来访问标准的积分平均谱漂移的存在下，通过引进复杂的广义积分平均谱，这是通过所谓的刘维量子引力。- 对称Lévy过程，我们推广了Loutsenko和Yermolayeva最近的结果。
2023-03-18 math-ph math.CV math.MP
Onsager-Machlup functional for $\text{SLE}_κ$ loop measures
本文建立 Brown 环路测度两种重整化的联系，并据此将 Loewner 能量表述为 $\text{SLE}_κ$ 及同中心荷 MKS 环路测度的 Onsager–Machlup 泛函。
2024-05-09 math-ph math.CV math.MP
Girsanov's transformation for SLE(kappa,rho) processes, intersection exponents and hiding exponents
通过arXiv：math.PR/0209343中引入的Schramm-Loewner演化过程SLE（kappa，rho）的双参数族，我们将给出布朗（和其他）相交指数的公式与不同维数的Bessel过程之间的绝对连续关系联系起来.这还允许计算与SLE和平面布朗运动相关的一些新指数（"隐藏指数“）的值。
2003-02-11 math-ph math.MP math.PR
The $p$-$θ$ relation in mating of trees and its application to skew Brownian permutons
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学中心）；New York University（纽约大学）
本文针对树配对方法中耦合两对布朗运动的参数$p$（描述布朗运动）与$θ$（描述LQG曲面上的SLE曲线），推导了二者的精确关系，并将其应用于计算偏置布朗置换子的统计量。
2026-09-01 math.PR
Regularity of SLE in $(t,κ)$ and refined GRR estimates
经典地研究了由$\sqrtκ$乘布朗运动驱动的、半平面容量参数化的Schramm-Loewner演化（SLEPDMATHABMM）.这产生（半平面）值随机场$γ= γ(t, κ; ω)$。（Hölder）regularity of $γ(\cdot,κ;ω$），a.k.a.从Rohde-Schramm（2005）开始，许多作者都考虑了SLE痕迹。随后，Johansson Viklund，Rohde和Wong（2014）显示了a.s.对于$κ< 8(2-\sqrt{3})$，该随机场的Hölder连续性。本文改进了他们的结果，使其在$κ< 8/3$上具有联合Hölder连续性.此外，我们表明，SLE $_κ$跟踪$γ(\cdot,κ)$（作为一个连续的路径）是随机连续的$κ$在所有$κ\neq 8$。我们的证明依赖于Garsia-Rodemich-Rumsey（GRR）不等式的一个新的变化，这是独立的利益。
2021-04-17 math.CV math.PR
Disconnection probability of Brownian motion on an annulus
本文推导了圆环上布朗路径不断开边界分量的精确概率公式，基于与SLE的联系及与刘维尔量子引力的耦合，并揭示了停止布朗运动与SLE$_{8/3}$环测度及LQG曲面间的精确关系。
2025-09-17 math-ph math.MP math.PR
The expected area of the filled planar Brownian loop is Pi/5
设B_t是一个平面布朗环（一个条件为B_0 = B_1的布朗运动）.我们考虑通过填充所有的洞而得到的紧壳，即R^2 \B [0，1]的唯一无界分量的补。我们证明了这个壳的期望面积是Pi/5。这个证明使用了Schramm Loewner Evolution（SLE），这也许并不奇怪。利用Yor关于布朗环的指数律的结果，证明了非零指数n的区域的期望面积等于1/（2 Pi n^2）.因此，我们发现循环内索引为0的区域的期望面积是Pi/30;这个值不能直接使用Yor的索引描述来获得。
2005-04-25 math-ph math.MP math.PR
Gaussian free fields for mathematicians
d维高斯自由场（GFF），也称为（欧几里德玻色子）无质量自由场，是布朗运动的d维时间模拟。正如布朗运动是简单随机游动的极限（当时间和空间被适当缩放时），GFF是d维网格上许多递增变化的随机函数的极限。我们提出了一个概述的GFF和一些有用的属性，在最近的GFF和Schramm-Loewner进化之间的连接。
2006-11-23 math-ph math.MP math.PR
Quantum Loewner Evolution
平面内扩散限制聚集（DLA）的标度极限是多少？这是一个古老而著名的难题。可以用两种方式概括该问题：首先，可以考虑{ \em介电击穿模型} $η$ -DBM，DLA的概括，其中粒子位置从调和测度的$η$次幂而不是调和测度本身采样。第二，不是将注意力限制在确定性晶格上，而是可以考虑已知或相信的随机图上的$η$ -DBM，其规律收敛于具有参数$γ\in [0,2]$的刘维尔量子引力（LQG）表面。在这种普遍性，我们提出了一个标度限制的候选人称为量子Loewner演化，QLE $(γ^2, η)$。QLE是根据径向Loewner方程定义的，就像径向SLE一样，除了它是由从LQG导出的测量值扩散$ν_t$驱动，而不是由标准布朗运动的倍数驱动。我们正式的动态$ν_t$使用SPDE。对于每一个$γ\in (0,2]$，有两个或三个特殊的$η$值，我们建立了这些动态的解决方案的存在性，并明确描述了平稳规律的$ν_t$。我们还解释了我们的建设，涉及DLA循环擦除随机游走和伊甸园模型的渗透离散版本。一个特定的“重新洗牌”技巧（其中同心环形区域随机旋转，就像老虎机卷轴一样）有助于显式计算。我们提出QLE $(2,1)$作为DLA在随机生成树装饰平面地图上的标度极限，QLE $(8/3,0)$作为Eden模型在随机三角剖分上的标度极限。我们建议使用QLE $(8/3,0)$赋予纯LQG的距离函数，通过解释…
2013-12-19 math-ph math.CV math.MP
Bessel process, Schramm-Loewner evolution, and Dyson model
Bessel过程被定义为布朗运动在$D$维空间中的径向部分，并被认为是由$D$，BES $^{(D)}$索引的一维扩散过程的单参数族.众所周知，$D_{\rm c}=2$是临界尺寸。Bessel流是一个概念，使得我们把具有固定$D$的BES $^{(D)}$看作一个单参数初值族。存在另一个临界尺寸$\bar{D}_{\rm c}=3/2$，并且在$D$的中间值$\bar{D}_{\rm c} < D < D_{\rm c}$中，贝塞尔流的行为是高度非平凡的。维度D=3是特殊的，因为除了BES $^{(3)}$是三维BM的径向部分的方面之外，它还有另一个方面作为保持正的条件BM。讨论了概率论和统计力学中的两个主题：Schramm-Loewner演化（SLE）和Dyson模型（带参数$β=2$的Dyson BM模型）。SLE $^{(D)}$被引入作为上半复平面上贝塞尔流的“复化”。Dyson模型是BES $^{(3)}$的多元扩展。我们解释了BES $^{(D)}$和SLE $^{(D)}$的“亲子关系”，以及BES $^{(3)}$和Dyson模型的亲子关系。结果表明，复分析是研究平衡态和非平衡态随机过程和统计力学模型的有效方法。
2011-03-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Stochastic Komatu-Loewner evolutions and BMD domain constant
设$D={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k$为标准狭缝域，其中${\mathbb H}$为上半平面，$C_k$、$1\leq k\leq N$为$H$中相互不相交的水平线段。给定从$\partial H$开始的Jordan弧$γ\subset D$，令$g_t$是从$D\setminusγ[0,t]$到满足无穷远流体动力学归一化的标准狭缝域$D_t={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k(t)$的唯一共形映射。最近已经建立，$g_t$满足一个常微分方程称为Komatu-Loewner方程的复泊松核的布朗运动与织补（BMD）$D_t$。我们随机约旦弧$γ$根据一个系统的概率措施的家庭的等价类约旦弧享有域马尔可夫财产和一定的共形不变性财产。我们证明了诱导过程$(ξ(t), {\bf s}(t))$满足马尔可夫型随机微分方程，其中$ξ(t)$是$\partial {\mathbb H}$上的运动，${\bf} s(t)$表示狭缝$\{C_k(t),\; 1\le k\le N \}.$端点的运动。相反，给定具有局部Lipschitz连续性的函数$α$和$b$，相应的随机微分方程存在唯一解$(ξ(t), {\bf s}(t))$。后者通过Komatu-Loewner方程产生随机共形映射$g_t(z)$。由共形映…
2016-04-27 math.PR
Cutting $γ$-Liouville quantum gravity by Schramm-Loewner evolution for $κ\not\in \{γ^2, 16/γ^2\}$
本文将 SLE 与 LQG 的切割定理推广到 $κ\not\in \{γ^2, 16/γ^2\}$ 的情形，通过引入辅助虚几何场使中心荷之和为 26，证明切割后曲面在给定辅助场值时条件独立，并给出其他路径的类似结果。
2024-04-30 math-ph math.MP math.PR
Continuity in $κ$ in $SLE_κ$ theory using a constructive method and Rough Path Theory
关于$SLE_κ$迹线和图在$κ$中的连续性的问题在SLE研究中非常自然地出现。为了研究第一个问题，我们考虑SLE迹线的自然耦合：对于不同的$κ$值，我们使用相同的布朗运动。假设概率为1，$SLE_κ$连续依赖于$κ$是非常自然的。证明$SLE$在Carathéodory意义上是连续的是相当容易的，但证明$SLE$迹线在均匀意义上是连续的要困难得多。本文证明了对给定序列$κ_j\toκ\in (0, 8/3)$，几乎对所有布朗运动$SLE_κ$迹局部一致收敛. Friz、Tran和Yuan最近也用不同的方法得到了这个结果。在我们的分析中，我们提供了一个建设性的方法来研究的$SLE_κ$迹为不同的参数$κ\in (0, 8/3)$。该论点是基于一个新的动力学观点的近似SLE曲线驱动的曲线逐段平方根近似的布朗运动。第二个问题可以在粗糙路径理论的框架下自然地得到回答。利用这一理论，我们证明了由$\sqrtκB_t$驱动的倒向Loewner微分方程的解在参数$κ$中的$p$ -变分拓扑中从原点出发是连续的，对所有的$κ\in \mathbb{R}_+$
2020-02-19 math.CV math.PR
Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
Mating of trees for critical Liouville quantum gravity
在一项开创性的工作中，Duplantier，Miller和Sheffield证明了亚临界Liouville量子引力（LQG）与Schramm-Loewner演化（SLE）的耦合可以通过两个连续随机树的配对来描述。在本文中，我们考虑他们的结果的对应临界LQG和SLE，即，对于当$γ^2=κ=16/κ=4$ .我们证明，当一个人在亚临界环境中发送$κ\downarrow 4$时，磁盘中的空间填充SLE $_κ$退化为Werner和Wu引入的CLE $_4$探索，以及i.i.d.硬币投掷由探索的分支点索引。此外，在$κ=16/γ^2\downarrow 4$极限下，连续随机树对坍缩成单个连续随机树，并且我们观察到，在取极限之前对编码布朗运动应用适当的仿射变换，我们得到收敛到一对独立的布朗运动$(A,B)$。布朗运动$A$编码从CLE环到磁盘边界的LQG距离，而布朗运动$B$编码CLE $_4$环的边界长度。与亚临界设置相反，$(A,B)$不能确定CLE修饰的LQG表面。
2022-08-31 math.PR
Berry-Esseen bound for the Parameter Estimation of Fractional Ornstein-Uhlenbeck Processes
对于分数布朗运动驱动的具有Hurst指标$H\in [\frac12,\frac34]$的Ornstein-Uhlenbeck过程，给出了漂移参数最小二乘估计的Berry-Schléen界.我们使用的方法的基础上Malliavin演算金和公园\cite{kim 3}。
2019-08-15 math.PR
Values of Brownian intersection exponents II: Plane exponents
我们推导出平面布朗运动或随机游动之间相交指数的精确值，证实了Duplantier和Kwon从理论物理学的预测。设B和B'是平面上独立的布朗运动（或简单的随机游动），从不同的点出发.我们证明了路径B[0，t]和B '[0，t]不相交的概率像t^{-5/8}一样衰减。更准确地说，存在常数c>0，使得如果|B（0）-B '（0）|=1，对于所有t \ge 1，c^{-1} t^{-5/8} \le <$[ B[0，t] \cap B '[0，t] = \emptyset ] \le c t^{-5/8}。一个结果是B[0，1]的截点集几乎必然具有豪斯多夫维数3/4。其他指数的值也被导出。使用解析性结果，这将在即将发表的论文中建立，它遵循B[0，1]的外边界的豪斯多夫维数是4/3，由Mandelbrot证明。证明是基于对最近发现的SLE_6（随机Loewner演化，参数为6）过程的研究，该过程实质上是临界渗流集团边界的标度极限。计算了SLE_6的指数，它们与物理学家对临界渗流和自回避行走指数的预言一致。由SLE_6指数导出布朗交指数。
2000-12-13 math-ph math.MP math.PR
Numerical simulations of the spread from the mean of the SLE and Multiple SLE dynamics
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
通过欧拉方法数值模拟SLE和多重SLE的Loewner微分方程，研究固定时刻动力学与均值偏离的分布，发现SLE在起点近原点时呈双峰分布，远原点时呈钟形分布，而多重SLE始终呈钟形分布。
2026-06-11 cond-mat.stat-mech cs.NA math.NA
Basic properties of SLE
SLE是一个基于Loewner方程的随机增长过程，其驱动参数是一个以速度$κ$运行的一维布朗运动。这个过程是密切相关的逾渗集群的标度限制和布朗运动的外边界，并被证明对应于其他几个离散过程的标度限制在两个维度。本文首次对系统性红斑狼疮进行系统研究。证明了对所有$κ\ne 8$，SLE迹是一条路;对$κ\in[0,4]$，SLE迹是一条简单路;对$κ\in(4,8)$，SLE迹是一条自相交路;对$κ>8$，SLE迹是空间填充的.还证明了SLE迹的Hausdorff维数为a.s.最多$1+κ/8$，并且在有界集合内覆盖它所需的大小为$\eps$的盘的预期数量对于沿着某个序列$\eps\to 0$的$κ\in[0,8)$至少为$\eps^{-(1+κ/8)+o(1)}$。类似地，对于$κ\ge 4$，SLE外壳的外边界的Hausdorff维数是a.s.至多$1+2/κ$，并且对于序列$\eps\to 0$，覆盖它所需的半径$\eps$的预期盘数至少为$\eps^{-(1+2/κ)+o(1)}$。
2004-01-20 math-ph math.CV math.MP
SLE and alpha-SLE driven by Levy processes
以布朗运动B的重sqrt（kappa）B为驱动过程的随机Loewner演化（SLE）是随机平面曲线（若kappa<=4）或由曲线生成的增长紧集（若kappa>4）。在这里，我们认为更一般的Levy过程作为驱动过程，并获得期望看起来像随机树或树生成的紧集，分别进化。我们证明了当驱动力的形式为sqrt（kappa）B+theta^（1/alpha）S时，对于对称的α稳定Levy过程S，根据kappa<=4或kappa>4，簇具有零或正的勒贝格测度.我们还给出了数学证据，在α =1的进一步相变是由于驾驶列维过程的复发/瞬态dychotomy。我们引入一类新的进化，我们称之为α-SLE。它们具有α稳定Levy驱动过程的α自相似性质。我们表明，在临界系数θ = θ_0（α）的相变类似的kappa=4相变。
2006-06-27 math.PR
On Chordal and Bilateral SLE in multiply connected domains
我们讨论了可能的候选人共形不变的随机非自相交曲线的边界上的一个多连通的平面域，并满足马尔可夫型属性。我们考虑这两种情况，当曲线连接一个边界分量到它自己（弦）的情况下，当曲线连接两个不同的边界分量（双边）的情况下。我们建立适当的扩展Loewner方程的多连通域的两种情况。我们表明，在域中的曲线引起的边界上的运动，这种运动是足够的，首先恢复域的模量的运动，然后，第二，在内部的曲线。对于随机曲线的内部，我们表明，诱导的随机运动的边界上不是马尔可夫，如果该区域是多连通的，但边界上的随机运动与随机运动的模一起形成一个马尔可夫过程。在弦的情况下，我们表明，这个马尔可夫过程满足布朗尺度，并讨论如何限制可能的共形不变的随机非自相交曲线。我们表明，可能的候选人被标记的一个真正的常数和一个函数均匀度减一，它描述的随机曲线与边界的相互作用。证明了当相互作用项为零且实参数为6时，随机曲线具有局部性。
2005-03-09 math-ph math.MP math.PR
