Selected topics on Toric Varieties
这篇文章是根据在京都RIMS上发表的一系列关于复曲面品种的讲座撰写的。我们首先介绍复曲面的品种，他们的基本性质，后来传递到更先进的主题，主要是组合。
2017-02-10 math.AG math.CO
Lectures on the geometry of flag varieties
这些笔记是我在巴拿赫中心迷你学校“舒伯特品种”在华沙，2003年5月18日至22日讲座的书面版本。他们的目的是给一个自我包含的阐述一些几何方面的舒伯特演算。
2004-10-09 math.AG
Birational Geometry of Toric Varieties
复曲面几何提供了一个桥梁之间的代数几何和组合的球迷和多面体。对于每一个极化复曲面簇（X，L），我们都对应一个多面体P。在这篇论文中，我们利用这个对应来研究复曲面簇的双有理几何。为此，我们解决的主题，如极小模型计划，森纤维空间，和腔室结构的锥有效因子。我们将这些理论的一些结果推广到多面体组合学中，并利用它们得到了多面体空间的结构定理。特别是，我们对待复曲面品种称为2-法诺，我们将它们归类为低维。
2012-04-17 math.AG
Lectures on zeta functions over finite fields
这些是2007年在哥廷根举办的暑期班的笔记，由北约高级研究所主办，关于有限域上的高维几何。目的是对有限域上的zeta函数做一个简单的介绍，重点是矩zeta函数和仿射复曲面的zeta函数。
2007-11-22 math.AG math.NT
Lectures on birational geometry
双有理几何课程讲义（2011年冬季在法兰西学院授课，巴黎数学科学基金会提供支持）。所涉主题：本课程简介：收缩与极值射线，对偶与奇点，Kodaira维数，极小模型程序，锥与收缩，消失，基点自由，翻转与局部有限生成，pl翻转与扩张定理，极小模型与Mori纤维空间的存在性，整体有限生成等。
2012-10-09 math.AG
Exceptional collections on toric Fano threefolds and birational geometry
Bernardi和Tirabassi证明了在假设Bondal猜想的情况下，光滑复曲面Fano $3$ -folds上存在由线丛组成的完全强例外集合，该猜想指出结构层$\mc O_X$的Frobenius推进生成光滑投射复曲面簇$X$的导出范畴$D^b(X)$。本文利用双有理几何证明了光滑复曲面Fano $3$ -折叠的Bondal猜想，并改进了其结果.
2015-01-27 math.AG
The quest for counterexamples in toric geometry
我们讨论了一个实验方法，在环面几何开放的问题：光滑的投射环面品种（一）射影正常和（二）定义的度2方程？我们讨论创建定义光滑环面品种以及算法检查性能（一）和（二）和进一步的潜在的属性，特别是一个较弱的版本（二）要求在度2的方案理论定义的格多面体。
2013-01-27 math.AG
Logarithmic degenerations of Landau-Ginzburg models for toric orbifolds and global tt^* geometry
我们讨论的行为的Landau-Ginzburg模型的环面orbifolds附近的大体积限制。这使我们能够表示镜像对称作为同构的弗罗贝纽斯流形quire对数极点沿边界因子。如果复曲面轨道折叠允许一个crepant分解，我们在B-侧构造了一个整体模空间，并证明了相应的tt^*-几何整体存在.
2016-05-28 math.AG
Lectures on Lagrangian torus fibrations
这是一本针对辛几何研究生和研究人员的书，基于我在2019年教授的一门课程。主要的信息是拉格朗日环面纤维化的基础继承了一个积分仿射结构，你可以用它来“读出”全空间的许多有趣的几何形状。涵盖的主题包括：作用角坐标，辛减少，复曲面流形，可见和热带拉格朗日，几乎复曲面系统，Milnor纤维的循环商奇点，突变的多边形，非复曲面爆破，几乎复曲面的看法Lisca的分类填充的透镜空间，决议的尖点奇点，马尔可夫三元组和Vianna托里。这本书以一个简短的未决问题清单结束。在整个过程中，都强调例子，并有一些练习与解决方案。
2022-10-28 math.AG math.DG math.GT
Lower bounds in real algebraic geometry and orientability of real toric varieties
稀疏多项式方程组的实解可以实现为来自复曲面簇的投影映射的纤维。当复曲面簇是可定向的时，这个映射的次数是方程组实解个数的下界。我们加强以前的工作时，环面品种的特点是定向。这是基于中山和西村的工作，他们的特点是光滑的真正的环面品种的定向性。
2013-03-13 math.AG
Sanya lectures : geometry of spherical varieties
这些是在三亚讲授的球面簇的几何学的扩充笔记。我们回顾了球面簇的几何的一些方面。我们首先描述了$B$ -轨道的结构。利用局部结构定理描述了Picard群和Weyl因子群，并给出了光滑性的必要条件.我们稍后考虑$B$ -稳定曲线，并详细描述了Chow曲线群的结构以及曲线和因子之间的配对。基于这些结果，我们给出了一个明确的$B$稳定的典范除子的任何球形品种。
2017-05-29 math.AG
On toric geometry and K-stability of Fano varieties
我们提出了复曲面Fano簇的变形理论在Fano簇的K-（半/多）稳定性中的一些应用。首先，我们提出了两个例子，K-多稳定的环面Fano 3-折叠的阻碍变形。在一种情况下，K-模空间和栈在与复曲面Fano 3-fold相关联的闭点附近是可约的，而在另一种情况下，它们在与复曲面Fano 3-fold相关联的闭点附近是不可约的。其次，我们通过构造到K-多稳定复曲面Fano 3-折叠的退化，研究了光滑Fano 3-折叠的两个变形族的一般成员的K-稳定性。
2021-05-03 math.AG
On the birational geometry of toric Fano 4-folds
我们宣布一个因式分解结果的等变双有理态射之间的环面4倍，其源是法诺：这样的态射总是一个复合材料的爆破沿光滑不变中心。此外，我们用一个反例表明，与三维情况不同，即使源和目标都是Fano，中间品种也不能选择Fano。
2001-04-23 math.AG
Logarithmic geometry, minimal free resolutions and toric algebraic stacks
在本文中，我们将引入一种类型的态射的对数计划（在意义上的Fontaine，Illusie，和加藤），并研究其模。然后，应用这一点，我们定义了一个概念的环面代数堆栈在任意计划，这可能被视为环面嵌入的框架内的代数堆栈，并研究了一些基本性质。此外，我们还研究了环面嵌入的堆叠理论模拟。
2009-08-29 math.AG
Toric ideals, real toric varieties, and the algebraic moment map
这是一个关于复曲面变体的某些方面的教程，这些方面与它们在几何建模中的潜在用途有关。我们讨论了投射环面簇及其理想，以及真正的环面簇和代数矩映射。特别地，我们解释了线性精度和代数矩映射之间的关系。这建立在大卫·考克斯对复曲面品种的介绍基础上：什么是复曲面品种？网址：http://www.cs.amherst.edu/~dac/lectures/tutorial.ps
2008-04-18 cs.CG math.AG
Toric Birational Geometry and Applications to Lattice Polytopes
复曲面几何在多面体理论和代数几何之间架起了一座桥梁：人们可以将每个格多面体与一个极化复曲面簇联系起来。在这篇论文中，我们探索这种对应分类光滑格多面体有小的程度，扩展了Dickenstein，迪罗科和Piene提供的分类。我们的方法包括在解释的程度多面体作为一个几何不变的相应的极化品种，然后应用技术从伴随理论和森理论。在相反的方向，我们使用组合的球迷来描述的极值射线的几个锥的圈的投射环面品种X。这些圆锥之一是移动曲线的圆锥，即由在扫掠X的族中移动的曲线类生成的圆锥的闭合。这个锥在射影簇的双有理分类问题中起着重要的作用。
2013-07-04 math.AG
Lectures on D-branes, Gauge Theories and Calabi-Yau Singularities
这些讲座是在中国科学院为北京/杭州国际数学物理暑期学校举办的，目的是向弦论和数学物理的初学者介绍从局部卡-丘空间构造的D-膜规范理论这一丰富而美丽的课题。主题，如orbifolds，复曲面奇点，德尔佩佐表面以及混乱的对偶将被覆盖。
2004-08-18 hep-th math.AG
Toric geometry and integral affine structures in non-archimedean mirror symmetry
研究了真C（（t））-簇X沿特殊纤维的复曲面层的积分dlt模型.我们证明了相关的Berkovich收缩-从X的非阿基米德分析到模型的对偶复形-是一个仿射环面纤维化周围的单形对应的复曲面层，从Nicaise-Xu-Yu延伸的结果。这使我们能够构建新类型的非阿基米德收缩的最大退化家庭的四次K3曲面和五次3倍，通过胶合几个非阿基米德SYZ纤维化，每一个环面沿余维一层。然后，我们表明，新的回缩诱导相同的奇异积分仿射结构上出现的复曲面退化的Gross-Siebert计划，以及家庭的Gromov-Hausdorff限制。
2023-01-10 math.AG
Toric Geometry and the Semple-Nash modification
本文提出了一些材料对理论的一般复曲面品种没有正规性的假设。它们的组合描述涉及一个扇，扇上附有一组满足胶合条件的半群。特别是它包含了一个组合建设的爆破层的单项理想的复曲面品种。在第二部分中，它表明，在一个代数封闭的基域的零特征的Semple-Nash修改的一般环面品种是同构的爆破层的对数雅可比理想，并在任何特征，这种爆破是同构的当且仅当环面品种是非奇异的。在第二部分中，我们证明了最大秩单项式（复曲面赋值）格上的序是通过迭代Sempla-Nash修改而一致化的。
2013-02-18 math.AG
Algebra and Geometry of Irreducible toric vector bundles of rank $n$ on $\mathbb{P}^n$
本文构造了 $\mathbb{P}^n$ 上秩 $n$ 不可约环面向量丛射影化的 Cox 环表示，并据此证明其总满足 Fujita 自由性与丰富性猜想。
2023-08-17 math.AG
Introduction to Equivariant Cohomology in Algebraic Geometry (IMPANGA 2010)
这些是IMPANGA 2010暑期学校的讲义。讲座调查的一些主要特点等变上同调在入门级。第一部分是概述，包括基本定义和例子。在第二堂课中，我将讨论该理论最有用的一个方面：在不丢失信息的情况下定位于不动点的可能性。第三讲主要讨论Grassmannian环，介绍了最近关于其等变上同调环的一些正性结果。
2011-12-06 math.AG
Versality in toric geometry
我们研究仿射复曲面簇的变形。这些奇点的整个变形理论都是由所谓的“奇异变形”编码的。本文的主要目的是构造它的某次-R的齐次部分，即对于给定的特征标R，具有指定的切空间T^1（-R）的最大变形。为了这个目的，我们使用的多面体通过切割的有理锥定义的仿射奇异与超平面定义的[R=1]。在此多面体棱线长度的假设下，我们给出了原度数R的双曲变形。
2022-06-10 math.AG
PCMI lecture notes: Motivic explorations in enumerative geometry
基于动机同伦理论，介绍在任意域上进行枚举几何的方法，包括贝祖定理和光滑三次曲面上直线计数等经典问题，并利用热带几何提供工具。
2026-06-09 math.AG
Real Toric Varieties: Interactions between their Geometry and their Topology
本文研究实环带簇的拓扑，特别关注环面不可分裂的情形，通过典型纤维化、贝蒂数计算、完全代数同调及可定向性判据的推广，并给出了三维不可分裂环面等变嵌入的拓扑分类。
2025-10-17 math.AG
Equivariant Burnside groups and toric varieties
研究复曲面簇的$G$ -等变双有理几何，其中$G$是有限群.
2021-12-09 math.AG
Toric geometry of path signature varieties
在随机分析中，研究路径的标准方法是使用其签名。这是一个不同阶数的张量序列，以紧凑的形式对路径信息进行编码。当路径变化时，这样的签名将张量空间中的代数簇参数化。这些签名品种的研究建立了代数几何和随机之间的桥梁，并允许技术，思想，知识和解决方案的富有成效的交流。在本文中，我们研究了两类截然不同的路径的签名变体。粗糙路类是分段光滑路类的自然扩张。它在随机学中起着核心作用，它的标志性变体是复曲面。类轴平行的道路有一个特殊的组合味，我们证明，它是复曲面在许多情况下。
2020-08-13 math.AG
A toric proof of Bézout's theorem for weighted projective spaces
利用复曲面几何证明了加权射影空间的一个Bézout型定理。
2016-04-08 math.AG
Lectures on Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
这些课堂讲稿提供了非负多项式和平方和理论的非正式介绍。我们强调的历史和一些最近的发展，特别是新的连接与经典（复）代数几何和交换代数。我们简要地讨论连接到半定规划和应用。我们希望读者熟悉代数和代数几何的基本原理，在研究生课程的水平上，并知道关于正半定矩阵的基本事实。
2021-05-29 math.AG
Lectures on shifted Poisson geometry
这些都是扩大笔记，从讲座上给予的研究学院讲习班“派生代数几何和相互作用”。这些笔记作为一个新兴的泊松结构理论的介绍派生堆栈。
2017-09-22 math.AG math.SG
Secant cumulants and toric geometry
利用适合于割线簇的特殊累积量坐标，研究了射影空间的Segre积的割线簇。我们表明，割线品种是由开放正常复曲面品种。证明了在累积量坐标系下，它的理想由二项二次型生成。我们提出了割线簇的局部结构的新结果。特别是，我们证明了它有理性的奇异性，我们给奇异轨迹的描述。我们还对所有属于Gorenstein的割线变种进行了分类。此外，推广（Sturmfels和Zwiernik 2012），我们得到了切簇的类似结果。
2013-01-29 math.AG
Lectures on Noncommutative Geometry
这些讲座基于作者2003年在芝加哥大学讲授的一门关于非交换几何的课程。讲座包含一些标准的材料，如泊松和Gerstenhaber代数，变形，Hochschild上同调，塞尔函子等，我们还讨论了许多鲜为人知的，以及一些新的结果，特别是，非交换的陈威理论，非交换辛几何，非交换微分形式和双切线丛。
2005-06-29 math.AG math.QA
Recent developments in toric geometry
这篇论文将发表在1995年圣克鲁斯夏季研究所的会议记录上。本文综述了复曲面簇理论的最新发展，包括复曲面簇的新构造以及与辛几何、组合数学和镜像对称的关系。
1996-06-25 alg-geom math.AG
Lectures on Local Systems in Algebraic-Arithmetic Geometry
这些笔记是我在2022年秋季在纽约哥伦比亚大学发表的塞缪尔·艾伦伯格讲座上的。我感谢所有直接或间接参与其阐述的数学家。它们将作为Springer Lecture Notes出版。这个arXiv版本与最终版本不完全相同。
2023-03-10 math.AG math.NT
Seven Lectures on the Universal Algebraic Geometry
代数几何的某些概念可以定义为任意代数簇。这导致了普遍的代数几何。提出的理论的主要思想是考虑代数，逻辑和代数几何之间的相互作用，从一个给定的各种代数。
2002-04-19 math.AG math.GM
Birational morphisms in quantum toric geometry
本文研究量子刻面几何中由加权吹胀和边界关系诱导的合理映射，探讨其在刻面堆中的应用与特性。
2026-01-14 math.AG math.CO
Two points of the boundary of toric geometry
这说明提出了两个意见，其中有共同之处，他们在边界的复曲面几何。第一个是因为它涉及仿射环面簇到非环面芽的变形，以了解如何避免在正特征的局部单值化研究中出现的一些分歧问题，第二个是因为它使用环面簇的等变双有理映射的投影系统的极限来研究$r\geq 2$的${\mathbf Z}^r$上的加法前序空间。
2018-07-11 math.AC math.AG
Introduction to Tropical Geometry (notes from the IMPA lectures in Summer 2007)
这些压缩笔记处理热带几何的一些基本概念（品种，周期，修改，等价）。这些主题将被扩展，说明和包括到即将到来的图书项目http://www.math.toronto.edu/mikha/book.pdf。
2007-09-07 math.AG math.GT
Lectures on the Geometry and Modular Representation Theory of Algebraic Groups
这些说明提供了一个简明的介绍表示论的约化代数群的积极特征，重点是Lusztig的特征公式和几何表示论。它们是基于第一作者的笔记，来自第二作者于2019年8月在西蒙斯几何和物理中心发表的系列讲座。我们希望他们补充更详细的治疗。
2020-04-30 math.AG math.RT
Diophantine geometry and toric varieties
我们提出了一些结果的投射环面品种是相关的丢番图几何。我们解释和研究几个不变量附加到这些品种的几何和组合方面。我们还给出了一个Bézout定理的Chow重量的投影品种和应用定理的连续极小。
2005-01-18 math.AG math.NT
The geometry of toric schemes
研究了由幺半群的胶合代数得到的概型的几何性质，包括分离性、有限性、不可约性、正规性、链性、维数以及Serre性质（S_k）和（R_k）.这是用来显示一个复曲面方案的几何形状在一个任意的基础是如何影响的几何基础。
2012-10-08 math.AC math.AG
Quiver representations in toric geometry
这篇文章是基于我在犹他大学（2007年6月）和华威大学（2007年9月）暑期学校的课堂笔记。我们提供了一个明确的方法，在研究模空间的复曲面几何中产生的表示和导出范畴。第一个主要目标是通过箭图给出半投射环面簇的非交换几何方法。为了实现这一点，我们使用几何不变的理论来构建半投射环面品种和模空间的双曲表示。第二个主要目标建立在第一个介绍了明确的方法在导出范畴的相干层复曲面几何。我们回顾的概念，倾斜束的例子，并描述了麦凯对应作为一个衍生等价在一定程度上详细以下Bridgeland，国王和里德。我们还描述了扩展他们的结果超出了$G$ -希尔伯特计划的其他罚款模空间的有界表示。
2008-07-14 math.AG math.RT
Lectures on Geometry and Topology of Polynomials - Surrounding the Jacobian Conjecture
仿射代数几何的最新发展，特别是开代数曲面理论，为系统地研究二元多项式的几何和拓扑性质提供了手段。尽管如此，即使在两个变量的情况下，仍然存在一个无法克服的问题，这是自1939年以来一直没有解决的问题，即雅可比猜想。这些都是作者的讲座的几何和拓扑的多项式和雅可比猜想交付在波尔多第一大学和大坂大学于2003年。
2015-04-27 math.AC math.AG
Lectures on stabilized ellipsoid embeddings
本讲义基于瑞士研讨会的迷你课程，解释了D. McDuff与作者对（受限）稳定椭球嵌入问题的近期解决，还介绍了半尖点曲线等相关概念以阐明背景并暗示推广可能。
2025-11-17 math.AG math.SG
On the geometry of toric arrangements
我们介绍环面安排，基本上是有限的家庭余维1 subtori的环面或其陪集，作为一个周期性的推广超平面安排，计算上同调的补充，这样的安排和应用理论给出几何解释的公式的Brion-Szenes-Vergne计数的整数点的多面体。
2005-06-08 math.AG math.CO
Edinburgh Lectures on Geometry, Analysis and Physics
这些课堂讲稿是基于我在2008/2009年在爱丁堡所做的一组六次讲座，它们涵盖了几何和物理之间的一些接口主题。其中涉及到一些尚未解决的问题和困惑，希望能引起读者的探讨。
2010-09-24 hep-th math.AG math.AT
Lecture Notes on Quiver Representations and Moduli Problems in Algebraic Geometry
这些课堂讲稿包括代数几何中模空间的介绍，重点放在与代数表示理论相关的例子上。我们的目标是提供必要的背景，以了解建设的模空间的稳定和半稳定的表示，由于国王，Nakajima的numerous品种，以及一些'numerous版本'现有的模空间的代数几何对象。
2021-05-16 math.AG math.RT
Generalized Laurent monomials in nonrational toric geometry
本文将洛朗单项式推广到环面拟折叠，从而把单纯环面簇扩展到非有理情形。
2022-12-21 math.AG math.DG math.SG
Algebraic geometry and projective differential geometry, Seoul National University concentrated lecture series, 1997
这是我1997年9月在汉城国立大学发表的系列演讲的扩展和更新版本。从某种意义上说，它是1979年格里菲斯和哈里斯论文的更新，标题类似。我讨论：齐次簇，拓扑和后果，投影微分不变式，退化高斯像的簇，何时可以一个uniruled簇光滑？，对偶簇，有界和常数秩的线性系，割线和切向簇，具有切向缺陷的二次曲面系统，识别uniruled簇，识别二次曲面的交叉，识别齐性空间，完全交叉。这是一个初步的版本，所以请给我的意见，更正和问题。
1998-09-30 math.AG math.DG
Toric Degenerations and tropical geometry of branching algebras
我们在约化群的态射的分支代数上构造了多面体赋值族。这就建立了研究分支问题的组合规则与分支代数的热带几何之间的联系。在特殊情况下，当分支问题来自于包含一个Levi子群或一个对角子群，我们使用Lusztig和Kashiwara的对偶标准基来建立分支代数的环面变形。
2012-08-27 math.AG math.RT
Toric geometry of cuts and splits
与任何图相关联的是一个环面理想，它的生成元记录了图的割之间的关系。我们研究这些理想和相应的复曲面品种的几何。我们的定理和图解将图的组合结构和相应的割多面体与理想的代数性质联系起来。割理想推广了遗传学和列联表研究中出现的环面理想。
2007-02-12 math.AC math.AG math.CO
Valuations, Deformations, and Toric Geometry
研究具有给定赋值的Noether局部整环与其相应的关于赋值的分次环之间的关系，在某些情况下，分次环是本质环面簇，可能具有无限嵌入维数，但具有有限的克鲁尔维数。后的估值扩展到一个合适的完成（其存在性是不成立的文件）的关系变得更加精确，并建议一种可能的方式来建立局部单值化的一个优秀的等特征局部域的代数封闭的剩余域，通过变形的部分环面嵌入决议的基本环面谱相关的分次环。
2003-03-17 math.AC math.AG
Toric degenerations: a bridge between representation theory, tropical geometry and cluster algebras
本文研究了投射簇的环面退化。我们比较不同的结构，以了解如何以及为什么它们是相关的，作为发展一个全球框架的第一步。重点是从表示论，热带几何和集群代数环面退化。通常这些依赖于估值和牛顿-奥肯科夫体理论。复曲面退化可以看作是原始对象的组合阴影。因此，我们的目标是理解为什么不同的理论是如此密切相关，通过理解他们首先产生的环面退化。我们选择Grassmannian、Flag变体和Schubert变体作为出发点，因为这里有许多不同的结构适用。我们的一个主要结果给出了一个充分条件，当环面退化获得满秩估值，独立于这些是如何构建的，可以实现使用热带几何。
2018-06-06 math.AG math.RT
Rational tensegrities through the lens of toric geometry
一个经典的张拉整体模型包括一个嵌入在一个向量空间中的图，用刚性杆表示边，并将应力分配给每个边，使得在图的每个顶点处应力之和为零。张拉整体框架最近已从二维图形的情况下，多维设置。我们使用复曲面几何的工具研究多维张量。对于给定的有理张拉整体框架$\mathcal{F}$，我们构造了一个胶合复曲面$X_\mathcal{F}$。证明了$\mathcal{F}$上张量的阿贝尔群同构于Chow群$A^1(X_\mathcal{F};\QQ)$的子群.在平面框架的情况下，我们展示了如何明确地进行计算的tensegrities通过经典的工具，复曲面几何。
2022-12-29 math.AG math.CO
Geometry of multigraded rings and embeddings of toric varieties
我们使用齐次谱的多阶环的一个大家庭的投影品种，保持一些双有理几何的基础品种，推广了著名的建设相关联的森梦空间的环面嵌入。
2019-12-09 math.AC math.AG math.RT
