Collision-based Dynamics for Multi-Marginal Optimal Transport
Department of Mechanical Engineering, MIT, Cambridge, USA（麻省理工学院机械工程系）；Paul Scherrer Institute, Villigen, Switzerland（瑞士保罗·谢尔研究所）；Laboratory for Computational Engineering, Empa, Dübendorf, Switzerland（瑞士Empa计算工程实验室）
受玻尔兹曼动力学启发，提出基于碰撞的蒙特卡洛算法，通过随机成对交换样本索引求解多边际最优输运问题，计算复杂度与内存随样本数线性增长，在高维场景中高效且优于现有方法。
2025-08-04 cs.AI cs.LG stat.CO
A Family of Pairwise Multi-Marginal Optimal Transports that Define a Generalized Metric
Apple Inc.（苹果公司）；Suffolk University（萨福克大学）；Boston College（波士顿学院）
最优运输（OT）问题正在迅速进入机器学习。有利于它的使用是它的度量属性。许多问题的解决方案只能保证嵌入度量空间中的对象，而非度量的使用会使解决它们变得复杂。多边际OT（MMOT）将OT推广到同时运输多种分布。它捕捉了重要的关系，如果运输只涉及两个分布被错过。然而，对MMOT的研究主要集中在其存在性、唯一性、实用算法和代价函数的选择上。目前对MMOT的度量性质缺乏讨论，这限制了它的理论和实际应用。在这里，我们证明了一个家庭的成对MMOTs新的广义度量性质。我们首先通过两个否定的结果来解释证明这一点的困难。之后，我们证明了MMOT的度量性质。最后，我们证明了这个MMOTs族的广义三角不等式不能被改进。我们说明了我们的MMOTs优于其他广义指标，并在合成和真实任务的非指标。
2022-12-22 cs.DM cs.LG math.FA
Genetic column generation: Fast computation of high-dimensional multi-marginal optimal transport problems
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
我们介绍了一个简单，准确，和非常有效的方法数值求解密度泛函理论中出现的多边际最优输运（MMOT）问题。该方法依赖于（i）最优计划的稀疏性[对于每个由$\ell$网格点离散化的$N$边缘，一般Kantorovich计划需要$\ell^N$网格点，但优化器的支持大小为$O(\ell\cdot N)$ [FV 18]，（ii）根据离散优化的列生成（CG）方法，据我们所知，该方法迄今尚未在MMOT中使用，以及（iii）来自机器学习的想法。CG中的著名瓶颈在于有效地生成新的候选列;我们证明了在我们的上下文中，找到最好的新列是一个NP完全问题。为了克服这个瓶颈，我们使用了一种为MMOT量身定制的遗传学习方法，其中CG内的对偶状态扮演着“对手”的角色，与Wasserstein GANs松散相似。在一系列具有多达120个网格点和多达30个边缘的基准问题上，我们的方法总是找到精确的优化器。此外，根据经验，当$N$和$\ell$同时增加时（同时保持它们的比率固定以模拟粒子系统的热力学极限），找到它们所需的计算步骤的数量似乎仅以多项式方式缩放。
2021-03-23 cs.LG cs.NA math.NA
Estimating Latent Population Flows from Aggregated Data via Inversing Multi-Marginal Optimal Transport
Shenzhen Institute of Artificial Intelligence and Robotics for Society（深圳人工智能与机器人研究院）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
我们研究的问题，估计潜在的人口流量从聚集计数数据。当由于隐私问题或测量保真度而无法获得单个轨迹时，就会出现这个问题。相反，在离散时间点上测量聚合的观测值，用于估计州之间的人口流动。大多数相关研究通过学习时间齐次马尔可夫过程的过渡参数来解决这些问题。尽管如此，大多数现实世界的人口流动可能会受到各种不确定性的影响，如交通堵塞和天气状况。因此，在许多情况下，时间齐次马尔可夫模型是一个更复杂的人口流动的穷人近似。为了克服这一困难，我们诉诸于一个多边际最优运输（MOT）制定，可以自然地表示聚合观测约束边际，并编码时间相关的转移矩阵的成本函数。特别是，我们建议通过学习MOT框架的成本函数来估计来自聚合数据的过渡流，这使我们能够捕获随时间变化的动态模式。实验表明，在估计几种现实世界的过渡流时，所提出的算法比相关方法的准确性有所提高。
2022-12-30 cs.LG
Hierarchical Multi-Marginal Optimal Transport for Network Alignment
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Amazon（亚马逊）；Meta
针对多网络对齐解空间大且缺高阶度量的问题，提出HOT框架，通过FGW barycenter分解网络并推广FGW距离至多边际设置实现联合对齐，实验证明其在有效性和可扩展性上显著优于现有技术。
2024-02-10 cs.AI cs.LG
Approximative Algorithms for Multi-Marginal Optimal Transport and Free-Support Wasserstein Barycenters
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
计算求解多边际最优输运（MOT）的平方欧几里德成本的$N$离散概率测度最近引起了相当大的关注，部分原因是它的解决方案与Wasserstein- $2$重心，这在数据科学中有许多应用。一般来说，这个问题是NP难的，需要实用的近似算法。虽然熵正则化已经成功地应用于近似Wasserstein重心，但这失去了最优解的稀疏性，使得由于维数灾难而难以在实践中直接解决MOT问题。因此，为了获得重心，人们通常诉诸于对网格的固定支撑限制，然而，这在更高的环境维度$d$中是禁止的。本文在分析了MOT与重心的关系后，提出了两种直接逼近MOT的算法，该算法只需$N-1$标准的两边缘OT计算。因此，它们速度快，内存效率高，易于实现，可以作为黑盒与任何稀疏OT求解器一起使用。此外，他们产生稀疏的解决方案，并显示有前途的数值结果。我们从理论上分析了这些算法，证明了相对逼近误差的上界和下界。
2022-02-02 cs.LG cs.NA math.NA
Optimal and Scalable MAPF via Multi-Marginal Optimal Transport and Schrödinger Bridges
Amazon Robotics（亚马逊机器人技术）
本文将匿名多智能体路径规划问题转化为具有马尔可夫结构的多边际最优传输问题，通过概率框架和薛定谔桥方法实现线性规划，从而在保持最优性的同时显著降低计算复杂度。
2026-05-11 cs.LG cs.MA cs.RO
Privacy-preserving data release leveraging optimal transport and particle gradient descent
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；MIT CSAIL（麻省理工学院计算机科学与人工智能实验室）
本文提出PrivPGD方法，利用最优传输和粒子梯度 descent进行差分隐私数据合成，在多个数据集上优于现有方法，具备高可扩展性和领域约束灵活性。
2024-07-29 cs.CR cs.LG
Constructing Cell-type Taxonomy by Optimal Transport with Relaxed Marginal Constraints
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Duke University（杜克大学）
本文提出一种结合松弛边际约束的最优传输（OT-RMC）与多样本聚类同时对齐的新系统，用于构建跨样本的细胞类型分类法，解决了样本间聚类比例差异及部分聚类缺失的问题，在二十多个数据集上实现了高精度的细胞类型注释和样本分类。
2025-01-29 cs.LG q-bio.GN stat.ML
Statistical Optimal Transport posed as Learning Kernel Embedding
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海得拉巴分校）；Microsoft IDC（微软IDC）
统计最优运输（OT）的目标是仅使用来自给定源和目标边际分布的样本来一致地估计最优运输计划/地图。这项工作采取了新的方法，提出统计OT的学习交通计划的核心均值嵌入基于样本的边缘嵌入的估计。建议的估计控制过拟合采用最大均值差异的正则化，这是互补的$ϕ$ -发散（熵）的正则化流行采用现有的估计。一个关键的结果是，在非常温和的条件下，$ε$ -最佳的恢复的运输计划以及基于重心投影的运输地图是可能的样本的复杂性是完全无量纲的。此外，核均值嵌入中的隐式平滑实现了样本外估计。一个适当的表示定理证明导致核化凸公式的估计，然后可以潜在地用于执行OT，即使在非标准域。实证结果表明，所提出的方法的有效性。
2020-11-10 cs.LG stat.ML
Unbalanced W-Flow: Unbalanced Wasserstein Drifting under Finite-Batch Marginal Fluctuations
Yonsei University（延世大学）；KAIST（韩国科学技术院）
该研究针对W-Flow在有限批量波动下的缺陷，提出UW-Flow模型，用非平衡Sinkhorn散度替代平衡Sinkhorn能量，经理论分析与实验验证，在多数据集生成任务中提升了性能。
2026-10-14 cs.CV cs.LG
Distributionally-Constrained Policy Optimization via Unbalanced Optimal Transport
Rutgers University-Newark（罗格斯大学纽瓦克分校）
我们考虑强化学习中的约束策略优化，其中约束以状态访问和全局动作执行的边缘形式存在。鉴于这些分布，我们制定政策优化的空间占用措施的不平衡最优运输。我们提出了一个通用的RL目标的基础上Bregman分歧，并使用Dykstra的算法进行优化。该方法允许一个演员批评算法时，状态或动作空间是大的，只有样本的边缘。我们讨论了我们的方法的应用程序，并提供演示，以显示我们的算法的有效性。
2021-02-15 cs.LG
Efficient Discretizations of Optimal Transport
Rutgers University（罗格斯大学）
当边界空间是连续的时，获得最优运输（OT）问题的解通常是棘手的。最近的研究集中在近似连续的解决方案与离散化方法的基础上i.i.d.抽样，并已证明收敛的样本量增加。然而，获得具有大样本量的OT解决方案需要密集的计算工作，这在实践中可能是禁止的。在本文中，我们提出了一种算法，计算离散化与给定数量的点的边缘分布，通过最小化（熵正则化）Wasserstein距离，并导致计划，是可比的，获得了更大数量的i.i.d.样品此外，这种离散化，这是并行大规模应用程序的本地版本提出。我们证明了我们的近似范围，并展示了广泛的问题上的性能。
2021-02-16 cs.LG math.OC
Inference with Aggregate Data: An Optimal Transport Approach
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
我们认为推理（过滤）问题的概率图模型与聚合数据产生的一个大的人口的个人。提出了一种新的树结构图上的有效的置信传播算法，该算法具有多项式计算复杂性和全局收敛性保证。这与以前的方法相反，这些方法要么随着人口的增长而表现出令人望而却步的复杂性，要么不保证收敛。我们的方法是基于最优运输，或更具体地说，多边际最优运输理论。特别是，我们考虑一个推理问题与总的意见，可以被看作是一个结构化的多边际最优运输问题的成本函数分解根据底层图。因此，著名的Sinkhorn/迭代缩放算法的多边际最优运输可以利用标准的信念传播算法一起建立一个有效的推理方案，我们称之为Sinkhorn信念传播（SBP）。我们进一步专门的SBP算法的情况下，由于其控制和估计的意义与隐马尔可夫模型。我们证明了我们的算法的应用程序，如推断人口流动的聚集观察的性能。我们还表明，在特殊的情况下，观察是由一个单独的，我们的算法自然减少到标准的信念传播算法。
2020-10-03 cs.LG cs.SY eess.SY
On The Chain Rule Optimal Transport Distance
Sony Computer Science Laboratories Inc（索尼计算机科学实验室股份有限公司）；CSIRO’s Data61（英联邦科学与工业研究组织数据61研究所）
我们定义了一类新的统计多元分布之间的距离建模的最佳运输问题的边缘相对于地面距离定义在他们的条件。这些新的距离是度量的边缘之间的地面距离是一个度量，推广离散的措施和最近推出的度量统计混合物之间的距离之间的Wasserstein距离，并提供了一个上限统计混合物之间的联合凸距离。通过对最优输运进行熵正则化，得到了一个快速可微的Sinkhorn型距离。我们通过量化统计混合物之间的几个联合凸距离的上界，并通过提出一种新的有效方法来学习高斯混合模型（Gestival），通过简化核密度估计相对于我们的距离，实验评估我们的新家庭的距离。我们的GMM学习技术在实验上比{\tt MNIST}和{ \tt Fashion MNIST}数据集上的{\tt sklearn}的EM实现有显著的改进。
2020-11-02 cs.LG stat.ML
Joint Metric Space Embedding by Unbalanced OT with Gromov-Wasserstein Marginal Penalization
针对无对应异构数据的无监督对齐，提出带 Gromov-Wasserstein 边缘惩罚的非平衡最优传输联合嵌入方法，证明极小元存在性与极限收敛性，并给出可块坐标下降求解的松弛及数值验证。
2025-05-13 cs.LG
The GenCol algorithm for high-dimensional optimal transport: general formulation and application to barycenters and Wasserstein splines
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文将高维多边际最优传输的遗传列生成算法从对称问题扩展至一般问题，并应用于计算精确的无网格Wasserstein重心和三次Wasserstein样条。
2022-09-19 cs.LG cs.NA math.NA
A Benamou-Brenier formulation for the multi-marginal optimal transport problem with infimal convolution cost
本文提出了一种基于Wasserstein重心理论的多边际最优传输问题动态公式化，利用下确界卷积成本并关联到Pass和Shenfeld的方法。
2025-12-14 math.OC
Unbalanced Multi-Marginal Optimal Transport
熵正则化最优输运及其多边缘推广在各种应用中引起了越来越多的关注，特别是由于用于计算最优输运计划的高效Sinkhorn类算法。然而，人们往往希望的是，边缘的最优输运计划不完全匹配给定的措施，这导致了所谓的不平衡最优输运的介绍。由于不平衡的方法没有检查到目前为止的多边缘设置，我们在本文中解决这个问题。更准确地说，我们引入了不平衡多边际最优输运问题及其对偶，并证明了一个唯一的最优输运计划存在温和的假设。进一步，我们推广了正则化不平衡最优输运的Sinkhorn算法到多边缘环境，并证明了它的收敛性。如果费用函数按照树进行迭代，则迭代可以被有效地计算。最后，我们讨论了我们的框架的三个应用，即两个重心问题和转移算子的方法，我们建立了一个适当的树结构的费用函数的重心问题和多边际最优输运之间的关系。
2022-09-29 math.OC
Smoothing operators in multi-marginal Optimal Transport
给定$N$在$\mathbb{R}^d$上具有Sobolev正则性的绝对连续概率$ρ_1, \dotsc, ρ_N$，以及给定一个具有边值$ρ_1, \dotsc, ρ_N$的运输计划$P$，我们给出了一个用具有相同边值的Sobolev正则运输计划逼近$P$的通用方法.此外，我们证明了一个尖锐的控制的能量和一些连续性的逼近家庭。
2019-03-25 math.OC math.PR
Multi-marginal optimal transport on the Heisenberg group
考虑Heisenberg群上多个紧支边的对齐的多边最优输运，使总成本最小，总成本取为边点到重心的Carnot-Carathéodory距离的平方和.在一定的技术假设下，证明了最优映射的存在性和唯一性。我们还指出了几个相关的开放性问题。
2020-06-19 math.AP math.OC
Optimal transportation with infinitely many marginals
我们提出并研究了一个具有无穷多个边际的最优运输问题;这是Gangbo和Swiech（1998）研究的多边际问题的自然扩张。我们证明了优化器的存在性、唯一性和特征，这些结果是Gangbo和Swiech结果的自然扩张。这个证明依赖于这个问题和在Wasserstein空间中寻找重心的问题之间的关系，这是Agueh和Carlier（2011）首次在许多边缘上观察到的联系。
2012-06-24 math.AP math.OC
Multi-marginal optimal transport: theory and applications
在过去的五年中，多边际最优输运，一个推广的著名的最优输运问题的Monge和Kantorovich，已开始引起相当大的关注，部分原因是各种各样的新兴应用。在这里，我们调查这个问题，解决基本的理论问题，包括解决方案的唯一性和结构。这些问题的（部分）答案揭示了一个令人惊讶的分歧，从经典的两个边际设置，并反映了一个微妙的依赖于费用函数。我们先描述多边际问题的两个应用。
2014-09-11 math.AP math.OC
Monge solutions and uniqueness in multi-marginal optimal transport: weaker conditions on the cost, stronger conditions on the marginals
我们建立了一个一般条件的费用函数获得的唯一性和Monge解决方案的多边际最优输运问题，假设一个给定的收集的边际是绝对连续的局部坐标。当只有第一个边际假设是绝对连续的，我们的条件是等价的分裂集条件在[23]中找到的扭曲。此外，它是满足特殊的费用函数在我们的早期工作[32，33]，当绝对连续性施加在某些其他的边缘集合。我们还提出了几个新的例子，费用函数违反了分裂集条件的扭曲，但满足新的条件介绍这里，因此，我们获得蒙赫解决方案和唯一性结果，这些费用函数，在正则性条件下的适当子集的边缘。
2022-02-14 math.OC
Continuum-marginal optimal transport: a mesh-free kernel method
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对连续边缘最优传输问题，提出了一种基于再生核希尔伯特空间的无网格求解器，通过弱连续性方程嵌入和线性参数化速度场，实现了高精度漂移恢复和边缘一致性。
2026-11-03 cs.NA math.NA math.OC
Multi-marginal Monge-Kantorovich transport problems: A characterization of solutions
我们将提出一个测量理论的方法，连同Kantorovich对偶提供了一个有效的工具来研究最优输运问题。具体来说，我们研究的支持最优计划的费用函数不满足经典的扭曲条件，在两个边缘的问题，以及在多边缘的情况下，扭曲度是有限的某些子集。
2014-11-20 math.AP math.OC
Multi-marginal Entropy-Transport with repulsive cost
本文研究了具有排斥费用函数的熵输运泛函的理论性质。给出了一类度量空间中极小元存在的充分条件，并证明了具有排斥代价的多边际最优输运问题的熵运输泛函的$Γ$ -收敛性.我们还证明了熵正则化版本的Kantorovich对偶。
2019-07-18 math-ph math.AP math.MP
Existence and uniqueness of Monge minimizers for a Multi-marginal Optimal Transport problem with intermolecular interactions cost
本文研究源自密度泛函理论强相互作用极限解离模型的多边际最优传输问题，在至少两个边际绝对连续条件下证明了Monge解的存在唯一性，并说明该正则性条件是必要的。
2024-01-15 math.AP math.OC
Non-existence of optimal transport maps for the multi-marginal repulsive harmonic cost
我们给出了一个绝对连续的措施$μ$ $\mathbb R^d$的例子，对于任何$d \ge 1$，这样就没有最小的$3$ -边际谐波排斥成本与所有边际等于$μ$支持在第一个变量的图。
2018-05-01 math-ph math.AP math.MP
Monge solutions and uniqueness in multi-marginal optimal transport with hierarchical jumps
提出层次跳跃多边缘输运（HJMOT）框架，通过增广孤立点允许质量在中间空间“跳跃”，在Polish空间上保证Kantorovich解存在，并在序列可微性和扭曲条件下证明Monge解的存在唯一性，可推广至光滑黎曼流形。
2026-06-26 math.DG math.OC math.PR
Duality theory for multi-marginal optimal transport with repulsive costs in metric spaces
在本文中，我们扩展的对偶理论的多边际最优输运问题的费用函数依赖于一个减函数的距离（不一定有界）。这类费用函数出现在由M.赛德尔
2018-05-02 math-ph math.AP math.MP
A dynamical formulation of multi-marginal optimal transport
本文针对（半）凸成本函数提出了多边际最优传输问题的原始-对偶动态表述，拓展了经典动态方法的适用范围，将其转化为凸优化问题以求解拟 Monge 解，并用近端分裂方法进行了数值验证。
2025-10-10 math.AP math.OC math.PR
A deep learning approach to multi-marginal optimal transport via Hilbert space embeddings of probability measures
本文提出一种基于概率测度Hilbert空间嵌入和最大均值差异惩罚技术的深度学习数值方法，高效求解多边际Monge问题，并通过合成数据实验验证了其有效性。
2025-07-12 math.OC
Multi-marginal Optimal Transport with a Tree-structured cost and the Schrödinger Bridge Problem
最优输运问题最近已发展成为一个强大的框架，各种应用的估计和控制。最优输运理论和应用的许多最新进展都是基于用熵项正则化问题，将其与薛定谔桥问题联系起来，从而与随机最优控制联系起来。此外，熵正则化使得即使对于大规模设置，在其他方面计算要求高的最优输运问题也是可行的。这导致了在广泛领域中基于最优输运的方法的加速发展。这些应用中的许多都具有底层图结构，例如信息融合和跟踪问题可以用树来描述。在这项工作中，我们考虑多边际最优输运问题的费用函数，根据一个树结构。熵正则化的多边际最优输运问题可以看作是薛定谔桥问题的一个推广，它具有相同的树结构，利用这些联系，我们扩展了经典最优输运问题的计算方法，以便有效地求解结构化的多边际最优输运问题.特别是，该算法只需要相对较小维度的矩阵向量乘法。我们表明，多边缘正则化引入较少的扩散，相比常用的成对正则化，因此更适合于许多应用。数值例子说明了这一点，我们最后应用所提出的框架跟踪一个不可区分的代理人的合奏。
2021-03-11 math.OC
An ODE characterisation of multi-marginal optimal transport with pairwise cost functions
本文提出一种求解多边际最优输运的新数值方法，通过构造使复杂度从指数降为线性的单参数代价函数族，将原问题转化为关于参数的常微分方程，并用欧拉和龙格-库塔格式求解。
2023-08-05 cs.NA math.NA math.OC
Optimal martingale transport between radially symmetric marginals in general dimensions
我们确定了\emph{Martingale transport problem}中径向对称初始律和终结律$μ, ν$之间耦合的最佳结构，并证明了优化器的唯一性。这里最优性意味着这样的解将最小化泛函$\E |X-Y|^p$，其中$0<p \leq 1$和维数$d$是任意的。
2018-02-16 math.OC math.PR q-fin.MF
Mass splitting in the time-discrete generalized Euler equations and non-Monge solutions in multi-marginal optimal transport
本文研究了时间离散广义欧拉方程中的质量分裂现象，通过一维例子证明其存在非蒙日解，并揭示了背后的机制。
2026-01-06 math.AP math.OC
Centroids for weak optimal transport with barycentric cost
University of Toronto（多伦多大学）
本文从Wasserstein距离推广到重心代价的弱最优传输，提出多边际公式及其对偶，其中边际在凸序下受约束，为质心计算提供新框架。
2026-09-17 math.OC math.PR
Geometry of Kantorovich Polytopes and Support of Optimizers for Repulsive Multi-Marginal Optimal Transport on Finite State Spaces
考虑有限状态空间上具有均匀边际约束的对称多边际Kantorovich最优输运问题。这些问题包括最小化一个线性目标函数的高维多面体，这里称为康托洛维奇多面体。所提出的结果是分裂的性质，计算和理论。在计算部分内，仅考虑少量的边缘$N$和边缘位点$\ell$。这种限制使我们能够计算确定的Kantorovich多面体的所有极端点，并调查他们中有多少是符合在最优输运典型的蒙赫anterior。挑选出的结果$\ell=3$离散点和成对对称的费用函数，使我们能够直观地比较康托洛维奇的蒙格的anomaly空间的不同数量的边缘。最后，我们提出了一个必要的支持条件的优化，这是启发的见解说，模型问题的三个网站提供。该结果不限于$\ell=3$站点的情况，并且适用于对角条目位于成本特定阈值之上的对称对成本。在$N$和$\ell$显示某些关系的情况下，所讨论的条件提供了一个优化的Monge形式，并暗示其唯一性作为所考虑的Kantorovich最优输运问题的解决方案。
2021-10-28 math.AP math.OC
On a class of optimal transportation problems with infinitely many marginals
我们证明了一类最优运输问题的解的存在性和唯一性结果，无穷多个边缘，支持在真正的线。我们还提供了一个明确的公式的解决方案的特征。然后，我们证明了这个结果意味着一个无穷维的重排不等式，并使用它来获得上界的解决方案，抛物型偏微分方程通过Feynman-Kac公式。这一结果可以用来提供数学金融中某些衍生品价格的模型独立边界。作为另一个应用，我们得到了量子物理中的精细相空间边界。
2012-06-24 math.AP math.OC math.PR
Scalable computation of dynamic flow problems via multi-marginal graph-structured optimal transport
在这项工作中，我们开发了一个新的框架，动态网络流问题的基础上最优输运理论。我们证明了动态多商品最小费用网络流问题可以表示为一个多边际最优输运问题，其中的费用函数和边际上的约束与一个图结构相关联。通过利用这些结构，并建立在最优输运理论的最新进展，我们开发了一个有效的方法，这样的熵正则化最优输运问题。特别是，图结构被用来有效地计算相应的Sinkhorn迭代所需的投影，我们到达一个计划，这是计算效率高，易于实现。为了说明我们的算法的性能，我们将其与最先进的线性规划（LP）求解器进行比较。我们实现了良好的近似的解决方案至少一个数量级的速度比LP求解器。最后，我们展示了大量的商品的交通路由问题的方法。
2021-06-28 math.OC
Multi-marginal optimal transportation problem for cyclic costs
本文研究了一个多边际最优运输问题，其费用函数为$c(x_{1}, \ldots,x_{m})=\sum_{k=1}^{m-1}|x_{k}-x_{k+1}|^{2} + |x_{m}- F(x_{1})|^{2}$，其中$F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ .当$m=4$，$F$是恒同映射的正倍数，且第一个和最后一个边值关于勒贝格测度绝对连续时，我们建立了Kantorovich问题的任何解都是由一个映射导出的，因此解是唯一的.我们继续表明，这个结果在某种意义上是尖锐的。确切地说，我们展示的例子表明，康托洛维奇解决方案可能集中在一个更高的维度集，如果以下任何一个举行：1）$F$是任何线性映射以外的一个积极的标量多的身份，2）最后的边际是不是绝对连续的勒贝格测度，或3）边际数$m \geq 5$，即使当$F$是恒同映射。
2020-01-09 math.OC
Robust risk management via multi-marginal optimal transport
我们研究了一个给定的输出函数的谱风险测度的最大化问题，该输出函数依赖于几个潜在的变量，其个体分布是已知的，但其联合分布是不。我们建立和利用这个问题和多边际最优输运问题之间的等价关系。我们使用这种重新建立明确的，封闭形式的解决方案时，底层变量是一维的，一个大类的输出函数。对于更高的维度的基础变量，我们确定条件下的输出函数和边缘分布的解决方案集中在第一个变量的图形是唯一的，和一般的输出函数，我们发现上界的支持的解决方案的尺寸。当输出函数、边缘分布和谱函数扰动时，我们还建立了最大值和最大化联合分布的稳定性结果;此外，当变量为一维时，我们证明了对于一类输出函数，最优值对边缘分布具有Lipschitz依赖性.最后，我们表明，等价于一个多边际最优输运问题延伸到最大相关措施的多维风险，在这种情况下，我们再次建立的条件下，解决方案集中在一个图上的第一个边际。
2022-11-14 math.OC math.PR
An Homogeneous Unbalanced Regularized Optimal Transport model with applications to Optimal Transport with Boundary
本文研究了在不平衡最优输运（OT）模型中引入熵正则项后，如何改变模型的输入测度的均匀性。我们观察到，在常见的设置（包括平衡OT和不平衡OT与Kullback-Leibler分歧的边缘），虽然最优输运成本本身是不均匀的，最优输运计划和所谓的Sinkhorn分歧确实是均匀的。然而，在更一般的不平衡正则化最优输运（UROT）模型中，例如那些使用全变差作为边缘发散的模型，同质性并不成立。我们建议修改熵正则化项来检索均匀的UROT模型，同时保留标准UROT模型的大多数属性。我们展示了使用我们的齐次UROT（HUROT）模型的重要性，当它涉及到正则化最优输运与边界，运输模型涉及空间变化的分歧的边缘，标准（非齐次）UROT模型将产生不适当的行为。
2022-01-06 math.OC stat.ML
Convergence Rates for Regularized Optimal Transport via Quantization
本文研究散度正则化最优传输在正则化参数趋于零时的收敛速率，提出基于量化与鞅耦合的新方法，适用于非紧致边际，并获得了熵正则化2-Wasserstein距离的尖锐首阶项。
2023-06-21 math.OC math.PR stat.ML
Multi-Marginal Optimal Mass Transport with Partial Information
近几十年来，最优质量输运理论和方法有了很大的发展。在这项工作中，我们考虑多边缘问题，其中每个边缘只有部分信息可用，这是许多反问题中常见的设置，例如，成像和光谱估计。通过考虑原运输问题的熵正则化近似，我们提出了一个算法对应的块坐标上升的对偶问题，其中牛顿算法被用来解决的子问题。为了使这种计算易于处理的大规模设置，我们利用张量结构，在实际问题中出现的，允许计算预测的多边际运输计划只使用相对较小的矩阵的矩阵向量运算。作为说明的例子，我们将得到的方法应用到跟踪和重心问题的空间谱估计。特别是，我们表明，最佳的质量传输框架允许融合信息从不同的时间步长，以及从不同的传感器阵列，也当传感器阵列没有联合校准。此外，我们表明，通过将知识的基础动态跟踪的情况下，可以达到准确的光谱估计，以及忠实的重建光谱对应于未观察到的时间点。
2019-05-09 eess.SP math.OC
Monge solutions and uniqueness in multi-marginal optimal transport via graph theory
研究了一类具有剩余$b(x_{1}, \ldots, x_{m})=\sum_{\{i,j\}\in P} x_{i}\cdot x_{j}$的多边际最优输运问题，其中$P\subseteq Q:=\{\{i,j\}: i, j \in \{1,2,...m\}, i \neq j\}$ .我们重新制定了这个问题，通过关联这种类型的每个盈余与图的$m$顶点，其边集的索引由$P$。然后，我们建立了两个一般类的盈余函数的唯一性和Monge解的结果。在许多其他示例中，这些类封装了Gangbo和Eschwiffich盈余[12]以及本作者在早期工作中研究的盈余$\sum_{i=1}^{m-1}x_{i}\cdot x_{i+1} + x_{m}\cdot x_{1}$ [23]。
2021-11-09 math.OC
Accelerating the Sinkhorn algorithm for sparse multi-marginal optimal transport by fast Fourier transforms
利用Sinkhorn算法研究了离散多边际最优输运问题的数值解。在一般情况下，Sinkhorn算法遭受的边缘数的维数灾难。如果MOT费用函数按照树或圆进行迭代，则其复杂度与边际测度的数量成线性关系。在这种情况下，我们通过非均匀快速傅立叶方法加快了Sinkhorn算法中所需的径向核的卷积。所提出的具有树结构费用函数的加速Sinkhorn算法的每个步骤具有$\mathcal O(K N)$的复杂度，而不是用于直接矩阵向量运算的经典$\mathcal O(K N^2)$，其中$K$是边缘的数量，并且每个边缘测量在最多$N$点上被支持。在圆形结构费用函数的情况下，复杂度从$\mathcal O(K N^3)$提高到$\mathcal O(K N^2)$。数值实验证实了这一点。
2023-02-21 cs.NA math.NA math.OC
On deterministic solutions for multi-marginal optimal transport with Coulomb cost
本文研究了平面$\R^2$上库仑成本的三边际最优公共运输问题。关键问题是所谓的Seidl映射的最优性，首先由Colombo和Stra反驳。我们推广了Colombo和Stra的部分正结果，给出了径向库仑代价与一个简单得多的代价相一致的充要条件，该代价对应于三个粒子都成一直线的情形.此外，我们产生了一个无限类的定期反例，这一家庭的最优性的地图。
2021-12-01 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Inverse Optimal Transport: Identifiability of the Transport Cost from its Marginals and Optimal Values
本文研究仅由边际分布与最优值恢复传输代价的非线性逆问题，证明最优势梯度值域可唯一确定代价，并给出势函数可识别条件及一元情形的统计完备性联系。
2024-06-20 math.OC
Quantitative Stability of Regularized Optimal Transport and Convergence of Sinkhorn's Algorithm
研究了熵正则化最优输运关于边界的稳定性。在包含二次代价和无界边缘的一般条件下，得到了$p$ -Wasserstein距离中的值的Lipschitz连续性和最优耦合的Hölder连续性.结果的值扩展到正则化的任意发散。作为一个应用，我们证明了Sinkhorn算法在Wasserstein意义下的收敛性，包括对二次成本的收敛性.提出了两种技术：第一个比较了最佳耦合与其所谓的阴影，耦合诱导其他边际显式建设。第二种方法通过改变坐标来变换一组边缘值，从而将不同边缘值的比较简化为相同边缘值下不同费用函数的比较。
2022-07-05 math.AP math.OC math.PR
Computation of Robust Option Prices via Structured Multi-Marginal Martingale Optimal Transport
该研究提出一种结合熵正则化、利用序列鞅结构的高效计算框架，求解含大量边际的多边际鞅最优输运问题，可快速计算回望、亚式等期权的稳健价格区间。
2025-03-20 math.OC math.PR q-fin.CP
Convergence proof for the GenCol algorithm in the case of two-marginal optimal transport
本文证明了双边际最优传输下GenCol算法在$β\geq2$时总能收敛到精确解，并将其数据复杂度从$O(\ell^2)$严格降至$O(\ell)$。
2023-09-13 cs.NA math.NA math.OC
On the existence of Monge solutions to multi-marginal optimal transport with quadratic cost and uniform discrete marginals
本文研究二次代价下多边缘最优传输的 Monge 解存在性，构造 N=3、d=2、m=3 的反例，并证明这些参数已是最小可能值。
2024-01-23 math.OC
