The average-case complexity of the Word Problem for groups of matrices over~$\mathbb{Q}$ is linear
Univ. Sorbonne Paris Nord（索邦巴黎北大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；LIPN（计算机科学与网络实验室）；Univ. Gustave Eiffel（古斯塔夫·埃菲尔大学）；LIGM（信息与计算科学实验室）；ReLaX（Relax研究所）；Siruseri, India（印度锡鲁塞里）
本文证明在位复杂度模型与输入字均匀随机选取的假设下，$\textsf{GL}_d(\mathbb{Z})$ 有限生成子群的字问题可在线性平均情况复杂度内解决，并推广至 $\textsf{GL}_d(R)$。
2026-10-14 math.GR
Algorithmic theory of free solvable groups: randomized computations
针对自由可解群中的计算问题，我们设计了新的确定性和随机化算法。特别地，我们证明了字问题和幂问题可以在拟线性时间内求解，共轭问题可以在拟四次时间内求解。
2014-07-07 math.GR
Improved Parallel Algorithms for Baumslag Groups
本文改进了简化幂电路的操作，证明了Baumslag群 $G_{p, pq}$ 的字问题可在 $\mathsf{uTC}^1$ 中解决，共轭问题强泛型地在 $\mathsf{uTC}^1$ 中，并给出了压缩输入下Baumslag-Solitar群字问题的复杂度结果。
2024-04-24 math.GR
Nearly-linear solution to the word problem for 3-manifold groups
Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）
本文提出了一种近线性时间算法，用于解决3维流形群的字问题，并展示了该方法在非几何图流形和自由积中的应用。
2026-01-15 math.GR math.GT
Groups with decidable word problem that do not embed in groups with decidable conjugacy problem
证明了具有可判定字问题的无挠群的存在性，这些群不能嵌入任何具有可判定共轭问题的有限生成群中。这回答了柯林斯在20世纪70年代初提出的一个著名问题。
2019-11-28 math.GR math.LO
Growing words in the free group on two generators
本文研究了Aut F_2下F_2中词的等价类的最小长度表示。我们给出了一个简单的不等式，它刻画了在其等价类中最小长度的字。我们考虑一个从其他单词中“生长”单词的操作，增加长度，我们研究根单词--不能从其他最小单词中生长出来的最小单词。根词是“尽可能最小的”，在这个意义上，他们的特征是最小不等式的边界情况。作为一个词根词的属性是由等价类尊重的，每个词根词的长度都可以被4整除。
2012-12-09 math.GR
Recognizing geometric 3-manifold groups using the word problem
Adyan和Rabin证明了群的大多数性质不能仅仅从有限表示中被算法识别。我们证明，如果一个也给出了解决方案的字问题，然后类的基本群封闭，几何3-流形是算法识别。在我们的术语中，几何3-流形群的类是“递归模字问题”。
2012-10-07 math.GR math.GT
On the probability of satisfying a word in a group
证明了对任意有限群$G$和任意$d$，存在字$w\in F_{d}$使得$G$中的$d$ -元组满足$w$当且仅当它生成可解子群.特别地，如果$G$本身是不可解的，则它不能作为一个关系子组$F_{d}/<w>$的商来获得。作为一个推论，一个词在一个固定的非可解群中满足的概率可以任意小，回答了阿隆·阿米特的一个问题。
2005-05-03 math.GR
Compressed word problems for inverse monoids
关于一个由M生成的幺半群M的压缩字问题，它问M的生成元上的两个给定的压缩字是否表示M的同一个元素。对于字符串压缩，直线程序，即，上下文无关的语法，生成一个单一的字符串，在本文中使用。证明了有限秩至少为2的自由逆幺半群的压缩字问题对于Pi^p_2（多项式时间层次的第二泛层）是完备的.此外，它表明，存在一个固定的有限幂等表示（即，涉及自由逆幺半群的幂等元的关系的有限集），其中对应的商幺半群具有PSPACE完全压缩的字问题。它表明以前，普通的未压缩的字问题，这样的商可以解决在对数空间。最后，给出了一个检查自由逆幺半群的给定元素是否属于给定有理子集的PSPACE算法。这个问题也被证明是PSPACE-完全的（即使是一个固定的非线性生成的子幺半群，而不是一个可变的有理子集）。
2011-06-06 math.GR
A series of word-hyperbolic Coxeter groups
对于每个正整数$k$，我们给出了Coxeter系统$(G_k,S_k)$的一个例子，使得$G_k$是一个字双曲Coxeter群，对于任意两个生成反射$s,t\in S_k$，乘积$st$具有有限阶，并且$S_k$的Coxeter图具有等于$k$的负惯性指数.特别地，对于任何$n$，$G_k$不能被嵌入到伪正交群$O(n,k-1)$中作为反射群，其中生成集是关于. $(G_k,S_k)$
2005-10-12 math.GR
Orbit-blocking words in free groups
本文通过强化自由群中原语阻断字的已知结果，证明了有限秩自由群中任意非平凡元素存在无法作为其循环归约自同构像子字的字，并指出这对 Whitehead 问题变体的平均情况复杂度有影响。
2025-08-08 cs.CC math.GR
Parallel algorithms for power circuits and the word problem of the Baumslag group
2012年，Myasnikov、Ushakov和Won引入了幂电路，作为支持算术运算加法和$(x,y) \mapsto x\cdot 2^y$的非初等压缩整数的数据结构。同样的作者应用功率电路给出了一个多项式时间的解决方案的字问题的鲍姆斯拉格群，其中有一个非初等的德恩函数。在这项工作中，我们研究电源电路和字问题的Baumslag组并行复杂性方面。特别是，我们建立的字问题的Baumslag组可以解决在NC -即使一个重要的步骤是比较两个整数给出的电源电路，这在一般情况下，被证明是P-完成。关键的观察是，发生的功率电路的深度是对数的，这样的功率电路可以在NC中进行比较。
2022-06-15 cs.CC math.GR
Polycyclic groups: A new platform for cryptology?
提出了一种基于多环群的密码体制。该密码系统是基于这样一个事实，即字问题可以有效地解决在多环群，而已知的解决方案的共轭问题是效率低得多。
2004-11-03 math.GR
On the complexity of the Whitehead minimization problem
Whitehead极小化问题是在有限秩自由群中的一个字、一个循环字或一个循环生成子群的自守轨道中寻找一个最小元。我们给出了解决这个问题的第一个完全多项式算法，即在输入字长和自由群秩上都是多项式的算法。早期的算法在自由群的秩中具有指数依赖性。由此可见，判断一个词是否是自由群的某个基的元素的非线性问题和自由因子问题也可以在多项式时间内解决。
2006-11-03 math.GR
A New Algorithm for Solving the Word Problem in Braid Groups
关于一个群体最有趣的问题之一是它的字问题是否能解决以及如何解决。辫群中的字问题是拓扑学家、代数学家和几何学家特别感兴趣的问题，也是当前深入研究的目标。我们从拓扑的观点（而不是几何的观点）来看待辫群。辫群是由一个穿孔圆盘的基本群上的双同态的作用定义的。利用辫群的拓扑定义，给出了解决辫群字问题的一种新方法。我们的算法是更快的，与已知的算法相比，对于短的辫子字相对于结合辫子的发电机的数量，它几乎是独立的辫子中的字符串的数量。此外，该算法是基于一个新的计算机表示的基本群的穿孔磁盘的元素。该表示也可以用于其他算法。
2001-01-07 math.AG math.GR math.GT
Verbal width in anabelian groups
Anabel群类$A$定义为不含交换合成因子的有限群的集合。证明了当$p$为奇数时，换位子字$[x_1,x_2]$和幂字$x_1^p$在$A$中具有有界宽度.相比之下，单词$x^{30}$在$A$中没有有界宽度。另一方面，对于$A$中的那些组，任何给定的词$w$都具有有界宽度，这些组的合成因子作为$w$的函数足够大。在证明过程中，我们建立了足够大的几乎单群不能满足$w$作为陪集恒等式。
2015-06-26 math.GR
On Dehn functions of infinite presentations of groups
我们引入了两种新的类型的Dehn函数的群表示，似乎更适合（比标准的Dehn函数）的无限群介绍和证明之间的基本等价性的可解性的字问题定义的一组介绍的一个可判定的定义字和属性的可计算的一个新引入的功能（这种等价性失败的标准Dehn函数）。详细阐述了这个等价性，并利用这个功能，我们得到了一个表征的有限生成群的字问题，可以解决在非确定性多项式时间。我们还给出了这些功能的上界，以及标准的Dehn函数，为两个著名的周期群，其中之一是一个无限的2-群的中间增长和其他是一个自由的伯恩赛德组足够大的指数。
2009-02-09 math.GR
A Logspace Solution to the Word and Conjugacy problem of Generalized Baumslag-Solitar Groups
Baumslag-Solitar群在1962年由Baumslag和Solitar引入，作为非霍普夫双生成元群的例子。从那时起，它们就成为各种目的的榜样。由于Baumslag-Solitar群是HNN的扩展，因此在群的图方面有一个自然的推广。关于广义Baumslag-Solitar群的算法方面，已知几个可判定性结果。事实上，标准算法的直接应用导致了字问题（生成元上的某个字是否代表了组的身份）的多项式时间解。共轭问题（两个给定的词是否代表共轭群元素的问题）更为复杂;安谢尔和斯特贝已经为普通的鲍姆斯拉格-索利塔群建立了可判定性，而洛克哈特和比克则独立地为广义的鲍姆斯拉格-索利塔群建立了可判定性。然而，到目前为止，还没有精确的复杂性估计。在这项工作中，我们给出了一个LOGSPACE算法这两个问题。更准确地说，我们描述了一个统一的TC ^0多-一减少字问题的自由群的字问题。然后，我们完善了已知的共轭问题的技术，并表明它可以在LOGSPACE中解决。此外，对于普通的Baumslag-Solitar群，共轭也是AC^0-图灵可约为自由群的字问题。最后，我们考虑单词和共轭问题的统一版本（其中群的图也是输入的一部分）：虽然单词问题在LOGSPACE中仍然是可解的，但共轭问题变得EXPSPACE完全。
2016-02-29 cs.CC cs.DM math.GR
On Word Representations and Embeddings in Complex Matrices
Liverpool John Moores University（利物浦约翰摩尔斯大学）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
研究词结构嵌入到低维复数矩阵半群中的方法，开发新的技术构建欧几里得比昂奇群的词表示，为分析2x2矩阵半群的基本决策问题提供框架。
2026-04-16 cs.DM cs.FL math.GR
Efficient algorithms for highly compressed data: The Word Problem in Generalized Higman Groups is in P
本文延续了Diekert、Ushakov和作者2012年STACS的贡献。我们以两种方式扩展了在会议记录中发表的结果。首先，我们证明了电力电路的数据结构可以推广到任意基q>=2。这导致了一个可以容纳巨大整数的数据结构，通过迭代形成q的幂而产生。我们表明，已知的电源电路的性质为q=2转化为一般情况下。这种推广是不平凡的，需要额外的技术来保持对于q=2的情况所示的算术运算的时间界限。扩展的电源电路模型使我们能够在Baumslag-Solitar群BS（1，q）中进行操作，就像在BS（1，2）中一样有效。这使我们能够解决Higman群的推广H_4（1，q）中的字问题，Higman群是Baumslag-Solitar群BS（1，q）的四个拷贝的合并积，而不是原来形式的BS（1，2）。作为第二个结果，我们允许BS（1，q）的拷贝数f>=4，从而得到Higman群H_f（1，q）的更一般化的概念.我们证明了后者的字问题仍然可以在H_4（1，2）的O（n^6）时间范围内得到解决。
2012-08-09 cs.DS math.GR
The Power Word Problem in Graph Products
群$G$的幂字问题询问表达式$u_1^{x_1} \cdots u_n^{x_n}$是否等于$G$的恒等式，其中$u_i$是$G$和$x_i$二进制编码整数的生成元的有限集合上的字。它是压缩字问题的限制，其中输入字由直线程序表示（即，$G$上的代数电路）。我们首先展示一些关于幂字问题的简单结果。特别是，一个组$G$的幂字问题是$NC^1$ -多-一可约化为一个$G$的有限指数子群的幂字问题。对于我们的主要结果，我们考虑不具有二阶元素的群的图积。我们证明了固定的图积中的幂字问题是$AC^0$ -图灵可约化为自由群$F_2$的字问题和基本群的幂字问题.此外，我们研究了图积中的一致幂字问题，其中依赖图和基本群是输入的一部分。给定一类不含二阶元素的群$\mathcal{C}$，图积中的一致幂字问题可在$\mathsf{AC^0(C_=L^{UPowWP(\mathcal{C})})}$中求解，其中$UPowWP(\mathcal{C})$表示$\mathcal{C}$类中群的一致幂字问题.作为我们的结果的结果，直角Artin群中的一致背包问题是NP-完全的。本文件是这两份会议文件的综合。在[StoberW 22]和本文以前的迭代中，我们关于图乘积的结果被错误地陈述，而没有额外的假设，即基本群没有二阶元素。在本书中，我们纠正了这个错误。虽然我们强烈推测前面所述的结果是正确的，但我们的证明依赖…
2023-01-12 cs.CC math.GR
