用于守恒律系统的紧致近似泰勒（CAT）方法由Carrillo和Pares在2019年引入。这些方法基于一种策略，允许一个扩展的高阶Lax-Wendroff方法的非线性系统，而不使用Cauchy-Kovalevskaya程序，具有任意偶数阶的精度2 p和使用（2 p + 1）-点拉伸，其中p是一个任意的正整数。最近在2021年，Carrillo，Macca，Pares，Russo和Zorio引入了一种策略来消除CAT方法产生的不连续性附近的虚假振荡。这种策略导致了所谓的自适应CAT（ACAT）方法，其中精度的顺序，从而宽度的stentrum，适应于局部光滑的解决方案。本文的目标是将CAT和ACAT方法推广到平衡律系统。为此，源项被写为其不定积分的导数，该不定积分被形式上视为通量函数。的方法以及平衡的属性进行了讨论，并提出了一个变种，允许在原则上保持任何固定的解决方案。所得到的方法，然后应用到一些系统，从一个线性标量守恒律的二维欧拉方程与重力，通过Burgers方程与源项和一维浅水方程：在几个数值试验的顺序和良好的平衡性能进行检查。
英文摘要：
Compact Approximate Taylor (CAT) methods for systems of conservation laws were introduced by Carrillo and Pares in 2019. These methods, based on a strategy that allows one to extend high-order Lax-Wendroff methods to nonlinear systems without using the Cauchy-Kovalevskaya procedure, have arbitrary even order of accuracy 2p and use (2p + 1)-point stencils, where p is an arbitrary positive integer. More recently in 2021 Carrillo, Macca, Pares, Russo and Zorio introduced a strategy to get rid of the spurious oscillations close to discontinuities produced by CAT methods. This strategy led to the so-called Adaptive CAT (ACAT) methods, in which the order of accuracy, and thus the width of the stencils, is adapted to the local smoothness of the solution. The goal of this paper is to extend CAT and ACAT methods to systems of balance laws. To do this, the source term is written as the derivative of its indefinite integral that is formally treated as a flux function. The well-balanced property of the methods is discussed and a variant that allows in principle to preserve any stationary solution is presented. The resulting methods are then applied to a number of systems going from a linear scalar conservation law to the 2D Euler equations with gravity, passing by the Burgers equations with source term and the 1D shallow water equations: the order and well-balanced properties are checked in several numerical tests.
A simplified Cauchy-Kowalewskaya procedure for the implicit solution of generalized Riemann problems of hyperbolic balance laws
Cauchy-Kowalewskaya（CK）程序是基于时间上的泰勒级数展开的广义黎曼问题（GRP）求解器设计中的关键构建块。CK方法允许我们用纯空间导数来表示时间导数。这是一个非常麻烦的过程，通常需要使用软件操纵器。在本文中，在GRP的隐式泰勒级数展开的背景下，针对[Journal of Computational Physics 303（2015）146-172]的框架中的双曲平衡定律，提出了CK过程的简化。推导了CK过程的递推公式，并直接用计算代码实现。建议的GRP求解器中使用的ADER方法的上下文中，并解决了几个一维问题，以证明本计划的适用性和效率。在效率方面的增强，获得。此外，达到了预期的理论精度，调和精度和稳定性。
Well-balanced high order schemes on non-uniform grids and entropy residuals
Dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia Università dell’Insubria（因苏布里亚大学科学与技术系）；Dipartimento di Matematica “G. Peano” Università di Torino（都灵大学G.佩阿诺数学系）
Jacobian-free explicit multiderivative Runge-Kutta methods for hyperbolic conservation laws
基于求解双曲守恒律的无雅可比性Lax-Wendroff（LW）方法的最新发展[Zorio，Baeza和Mulet，Journal of Scientific Computing 71：246-273，2017]，[Carrillo和Parés，Journal of Scientific Computing 80：1832-1866，2019]，本工作提出了一种新的双曲守恒律显式无雅可比性多级多导数求解器集合。与泰勒时间积分方法相比，多导数Runge-Kutta（MDRK）技术不仅通过过度添加更高的时间导数，而且通过添加Runge-Kutta型阶段来实现更高阶的一致性。这为时间积分增加了更多的灵活性，从而可以确定更稳定和更有效的方案。新的方法允许MDRK计划的实际应用。在它们的原始形式中，它们很难利用，因为高阶通量导数必须解析计算。在这里，我们克服了这一点，采用雅可比自由近似的这些衍生物。在本文中，我们分析了新方法的顺序的一致性和稳定性。我们发现，线性CFL数的变化显着与所使用的衍生物的数量。几个代表性的测试案例的结果进行了数值验证。
A high-order velocity-based discontinuous Galerkin scheme for the shallow water equations: local conservation, entropy stability, well-balanced property, and positivity preservation
