On Goldfeld's Proof of Siegel's Theorem
Zihao Liu
本文详细介绍了Goldfeld对Siegel定理的证明。特别是，我们提出了完整的证明，在他的论文中提出的非平凡的假设。
In this paper, we give a detailed account of Goldfeld's proof of Siegel's theorem. Particularly, we present complete proofs of the nontrivial assumptions made in his paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A simpler proof that there are no Landau--Siegel zeros
本文简化了OpenAI提出的不存在朗道-西格尔零点的证明
A Simple Proof of Siegel's Theorem Using Mellin Transform
在本文中，我们提出了一个简单的分析证明西格尔的定理，涉及的下限$L(1,χ)$的原始二次$χ$。我们的新方法比较了一个基本下界与解析上界由$Γ(s)$的逆梅林变换。
On the Landau-Siegel Zeros Conjecture
我们提供了一个变种的Landau-Siegel零猜想的证明。
Sturm Bounds for Siegel Modular Forms
我们建立Sturm界度g西格尔模形式模一个素数p，这是至关重要的显式计算。我们的归纳证明利用Siegel模形式的Fourier-Jacobi展开和Jacobi形式到扭点的特殊化的性质。特别是，我们的方法是完全不同的证明以前已知的情况g= 1，2，不扩展到一般的情况g。
Siegel's mass formula and averages of Dirichlet L-functions over function fields
设D是F_q[t]中的无平方多项式，其中q是奇数，G是F_q[t]上行列式为D的定三元格的亏格.本文给出了G的类上本原表示数的加权和公式及G的质量公式的完备的、较初等的证明。我们的质量公式的证明显示了一个有趣的关系与某些平均的狄利克雷L函数。
A variant of Siegel's theorem for Drinfeld modules
我们完成了一个Siegel型声明的证明，由一个Drinfeld模块$Φ$的作用下，生成的$Φ$ -子模块的$\mathbb{G}_a$。
Proofs of Ibukiyama's conjectures on Siegel modular forms of half-integral weight and of degree 2
利用分裂奇特殊正交群$\SO_5$上的Arthur重数公式和亚群$\Mp_4$上的Gan-Ichino重数公式，证明了Ibukiyama关于二次半整权Siegel模形式的定理.在证明中，Jacobi群的表示论也起着重要的作用。
Sobre los teoremas de Shafarevich y Siegel
本文提供了一个新的Shafarevich定理证明，不依赖迪菲安特逼近或超越理论，为有限性迪菲安特定理提供了新切入点。
An analogue of Siegel's determinant
Siegel-Shidlovskii理论的$E$ -功能涉及到一个非零证明的行列式附加到线性形式$D^kR(t)$，衍生物的辅助功能$R(t)$。设一个非零函数$F(t)$满足$m$阶线性微分方程，我们将用微分算子$Δ=tD$来写，并设$L(t)$是导数$Δ^i F(t)$ $(i=0,...,m-1; m\ge 2)$的任何非零线性形式.附在线性形式$Δ^kL(t)$上的行列式$\det\mathcal A_k$具有某些简单的性质，使我们能够对一类微分方程（包括超几何微分方程的一个子类）给出$\det\mathcal A_k$的非零性的简短证明.
An explicit version of Shimura's reciprocity law for Siegel modular functions
本文给出了Siegel模函数奇异值的Shimura互反律的显式版本，并据此构造了比Igusa不变量更小的四次CM域类不变量，同时为Tonghai Yang的定理提供了新证明。
Sturm bounds for Siegel modular forms of degree 2 and odd weights
本文纠正了第一作者在前一篇论文中关于Siegel模形式的Sturm界的证明，该模形式的次数为$2$，模权为素数的偶数除$2\cdot 3$ .我们也给Sturm界为他们的奇数重量的任何素数，我们证明了他们的锋利。结果涵盖了傅里叶系数是代数数的情况。
Generalised Mertens and Brauer-Siegel Theorems
在这篇文章中，我们证明了一个推广的Mertens定理的素数数域和代数簇上的有限域，注意到域的亏格（或贝蒂数的品种），以使它趋于无穷大，从而指出它之间的联系和著名的Brauer-Siegel定理。利用这一点，我们推导出一个明确的版本下GRH的广义Brauer-Siegel定理，并统一证明了这个定理的渐近精确的家庭几乎正常的数域。
Level lowering on Siegel modular threefold of paramodular level
本文采用Ribet证明Serre猜想的方法，证明了具有仿模水平结构的Siegel模三重上同调中尖点自守表示的几个水平降低结果.证明是纯粹的几何和依赖于超奇异轨迹的某些四元数酉志村品种和算术水平提高这志村品种的结果的描述。证明的核心是一个比较的维度空间的消失周期的paramodular西格尔模块三倍的四元数酉志村品种。
On the OpenAI proof that Landau-Siegel zeros do not exist
针对OpenAI关于Landau-Siegel零点不存在的工作，本文详细阐述其带显式常数的直接证明，结合Lu等人的计算得到导体相关界，核心方法为双二次域上的插值行列式论证，显式常数与表述为新内容。
Generalization of Siegel's Method to theta 1
本文用Siegel方法证明了theta函数在全模群生成元作用下的变换律，推广了Siegel方法的应用。
The motivic fundamental group of the projective line minus three points and the theorem of Siegel
本文建立了射影直线减三点的原幂幺基基本群的结构理论与丢番图几何之间的联系。特别是，我们给出了西格尔定理的p-adic证明。
Sturm type theorem for Siegel modular forms of degree 2
本文试图将Sturm证明的椭圆模形式的一个同余性质推广到Haupttypus的Siegel的2次水平模形式的同余性质。也就是说，我们给出了确定模形式的同余所需的傅里叶系数的显式界。我们给出了Sturm定理在Jacobi形式下的类比，这是证明中所需要的。在Neumypus of Siegel的模形式具有素水平的情况下，为了证明两个模形式之间的全等性，我们证明了只要检查两个傅里叶系数的全等性就足够了.最后，我们给出了我们的主要定理的两个例子。
Counting Feynman-like graphs: Quasimodularity and Siegel-Veech weight
我们证明了生成函数的拟模计数环面覆盖，有和没有Siegel-Veech重量。我们的证明是基于分析分解成水平圆柱体的平面。拟模性是由拟椭圆函数的围道积分引起的。它提供了Bloch-Okounkov、Eskin-Okounkov和Chen-Moeller-Zagier的拟模性结果的另一种证明，并推广了Boehm-Bringmann-Buchholz-Markwig关于简单分歧覆盖的结果。
Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围，这使我们能够给出一个明确的区域免费的零，或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$，区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明，西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
On the criteria for linear independence of Nesterenko, Fischler and Zudilin
1985年，于。V. Nesterenko提出了一个线性独立性的标准，这是Siegel的一个变体。Siegel在完整的形式系统上使用上界，而Nesterenko在个体形式的足够密集的序列上使用上界和下界。Nesterenko判据的证明被F. Amoroso和P. Colmez在2003年。最近，S。Fischler和W.祖迪林提出了一个改进，连同一个更简单的证明。这个新的证明建立在一个简单的论证上，我们在这里加以扩展。我们得到了一个新的结果，它包含Nesterenko准则，以及代数独立性的准则。
Appendix to "Twisting of Siegel paramodular forms"
在本附录中，我们给出了论文arXiv：1404.4596第4节的扩展版本，包括所有技术引理的证明。
On Siegel results about the zeros of the auxiliary function of Riemann
本文完整证明 Siegel 关于 Riemann 辅助函数 $\mathcal R}(s)$ 零点的结果，确定正虚部零点的左移极限并给出可解释其统计周期行为的关键项，同时阐明其与临界线上 $ζ(s)$ 零点的位置联系。
Vector Valued Siegel Modular Forms for Γ_2[2,4] and Sym^2
本文给出了Igusa子群Γ_2[2，4]的向量值Siegel模形式的两个结构定理，即由theta常数诱导的乘子系和表示Sym ^[2].在证明中，我们用P^3 \C上具有易解极点的有理张量来确定这些模形式中的一些。由此可见，模形式的观测模是由第二类4 θ级数的Rankin-Cohen括号生成的。
Shidlovsky's multiplicity estimate and Irrationality of zeta values
在本文中，我们遵循Bertrand-Beukers（以及Bertrand后来的工作）的方法，基于微分伽罗瓦论，证明了Shidlovsky引理的一个非常一般的版本，该引理适用于Pad{é}逼近问题的几个点，无论是在函数水平还是数值水平（即，在特定点处评估之前和之后）。这使我们能够得到一个新的证明球Rivoal定理的无理性的无穷多个值的黎曼ζ函数在奇数，灵感来自证明的Siegel-Shidlovsky定理的值的E-函数：Shidlovsky引理是用来取代Nesterenko的线性独立性准则与Siegel的，所以没有下界是必要的线性型的zeta值。同样的策略提供了一个新的证明，并细化，西本定理的价值的L-函数的狄利克雷字符。
Siegel's theorem via the Lawrence-Venkatesh method
在最近的论文arXiv：1807.02721中，B. Lawrence和A. Venkatesh通过研究基簇上的族的几何，发展了一种证明算术几何中有限性定理的方法。他们的结果包括一个新的证明$S$单位定理和Faltings'定理，通过构造和研究适当的交换有限家庭$\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$和超过任意曲线的亏格$\geq 2$分别获得。本文将这一策略应用于Siegel定理的再证明：在穿孔椭圆曲线上构造有限阿贝尔族，证明椭圆曲线上的$S$ -整点的有限性.
Mean value theorems for the S-arithmetic primitive Siegel transforms
本文发展了本原幺模 $S$-算术格的理论，给出了 $S$-本原 Siegel 变换的均值与二阶矩公式，并将其应用于格点计数、定量 Khintchine--Groshev 定理及幂流的 $S$-算术对数律。
A Proof of the Thue-Siegel Theorem about the Approximation of Algebraic Numbers for Binomial Equations
本文通过推广二项级数的连分数展开并构造代数逼近函数及相应积分，在不使用鸽巢原理的情况下，为二项方程代数数证明了带 Siegel 指数的 Thue 定理。
A note on Fourier coefficients of Poincaré series
本文给出了经典模形式和Siegel尖点形式的Poincaré级数的傅里叶系数的渐近正交性的一个简短而“软”的定性证明.
L-functions of $S_3(\G_2(2,4,8))$
van Geemen和van Straten在数学计算中研究了权$3$关于同余子群$\G_2(2,4,8)$的次数$2$的Siegel尖形空间. { \bf 61}（1993）。他们证明了这个空间是由Igusa $þ$ -常数的六元组乘积生成的，并且它们都是Hecke特征形。他们猜想的明确描述的Andrianov $L$ -功能。J.数论{ \bf 125}（2007），我们证明了一些结果，通过显示一些产品是由吉田提升，西格尔本征形的建设。但是，其他产品不是由吉田电梯，我们的技术没有工作。本文给出了这类乘积的证明。因此，我们确定了O（6）的自守表示，并给出了SU（2，2）的权为$4$的厄米特模形式.进一步给出了Siegel三重上关于$\G_2(2,4,8)$的非全纯微分三重形式.
Spiraling of approximations and spherical averages of Siegel transforms
我们考虑的问题，如何近似满足狄利克雷定理螺旋周围的向量在$\mathbb{R}^d$。我们给逐点的几乎处处结果（只使用Birkhoff遍历定理的空间格）。此外，我们还证明了对于$\textit{every}$么模格，平均而言，在$d-1$维单位球面上，近似螺旋的方向是均匀分布的.对于第二个结果，我们采用了Marklof和Strömbergsson \cite{MS3}的最近证明，以显示$\operatorname{SL}_{d+1}(\mathbb{R})/\operatorname{SL}_{d+1}(\mathbb{Z})$上西格尔变换的球形平均结果。我们的技术是初级的。这类结果可以追溯到Eskin-Margulis-Mozes \cite{EMM}和Kleinbock-Margulis \cite{KM}的工作，并具有广泛的应用。我们还明确地构造了方向不均匀分布的例子。
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开，扩展其有效范围并确定无零点区域，同时完整证明 Siegel 的部分论断，还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
Pillowcase covers: Counting Feynman-like graphs associated with quadratic differentials
我们证明了拟模块化的生成函数计数枕套盖，有和没有Siegel-Veech重量。类似于以前的工作环面覆盖，证明是基于分析分解的半平移表面到水平的圆柱体。这为Eskin-Okounkov的拟模性结果提供了另一种证明，并为面积Siegel-Veech常数的计算提供了一种实用的方法.一个主要的新的技术工具是2-orbifold Hurwitz数的拟多项式的结果与完成的周期。
Le théorème d'André-Chudnovsky-Katz « au sens large »
西格尔的$E$ -和$G$ -函数被定义为两个在数学上等价的意义，严格和广义。通过采用和完成安德烈的草图，我们陈述并证明了安德烈-丘德诺夫斯基-卡茨定理的广义类比，这是关于广义$G$ -算子（它们是严格意义上抵消$G$ -函数的微分算子）的结构定理。我们由此推出了广义$E$ -算子的一个结构定理，广义$E$ -算子是消去广义$E$ -函数的微分算子.作为这一定理的应用，我们给出了André关于广义$E$ -函数值的代数独立性的Siegel-Shidlovskii定理的一个推广的新证明.
Note on a theorem of Professor X
之间抵达法兰克福在$1922$和他的证明，他著名的有限性定理的积分点在$1929$，西格尔没有出版物。他没有，但是，写了一封信给莫德尔在$1926$中，他解释了证明有限的积分点的超椭圆曲线。认识到这一论点的重要性（以及西格尔对出版的看法），莫德尔将相关摘录以笔名“X”发表。本文的目的是解释如何优化Siegel的$1926$技术以获得以下界限。设$K$是数域，$S$是$K$的有限位集，$f\in \mathfrak{o}_{K,S}[t]$是$d\geq 5$的度幺半群，具有判别式$Δ_f\in \mathfrak{o}_{K,S}^\times$.然后：$$\#|\{(x,y) : x,y\in \mathfrak{o}_{K,S}, y^2 = f(x)\}|\leq 2^{\mathrm{rank}\,\mathrm{Jac}(C_f)(K)}\cdot O(1)^{d^3\cdot ([K:\mathbb{Q}] + \#|S|)}.$$这分别从$1986$和$2006$改进了Evertse-Silverman和Berrieri-Gubler的界。我们改进的要点是，非正式地说，我们坚持"在只有一个根（而不是三个）的情况下执行下降，直到最后一刻"。
On the Hodge embedding for PEL type integral models of Shimura varieties
给出了Kottwitz的PEL型Shimura簇积分模型允许Siegel积分模型的闭嵌入的一个简单证明。我们还表明，Rapoport的和Kottwitz的积分模型同意与Kisin的积分模型的相关志村数据。
The Stéphanois theorem with only prime isogenies
本文改进了Stéphanois定理的证明，仅使用素数度的模多项式，简化了证明工具并限制了素数的算术序列。
Geometric Invariant Theory and Roth's Theorem
我们提出了一个证明Thue-Siegel-Roth定理（及其最近的变体，如朗的数域和Vojta的“移动目标”）作为几何不变理论（GIT）的应用。Roth定理是由半稳定点的高度与其在GIT商上的投影高度的一般公式推导出来的。在这种情况下，出现在经典证明中的零估计的作用是由我们应用公式的点的几何半稳定性发挥的。
Dyson's theorem for curves
设$\scriptstyle K$是数域，$\scriptstyle X_1$和$\scriptstyle X_2$是定义在其上的两条光滑射影曲线，本文证明了乘积$\scriptstyle X_1 \times X_2$的Dyson定理的一个类似.如果$\scriptstyle X_i = {\bb P}_1$，我们发现经典的戴森定理。在一般情况下，这将意味着一个独立的和简单的证明西格尔定理的积分点的双曲曲线，它会给一些洞察力的有效性。这种证明是新的，避免了使用Roth和Mordell-Weil定理，对数中的线性型理论和Schmidt子空间定理。
Integral Eisenstein cocycles on GLn, II : Shintani's method
我们使用Shintani的方法定义了Gln上的一个上循环。它与Solomon和Hill早先定义的上循环密切相关，但不同之处在于上循环性质是通过引入辅助扰动向量Q来实现的。作为我们结果的推论，我们得到了Diaz y Diaz和Friedman关于符号基本区的一个定理的新证明，并给出了Shintani关于全实域的部分zeta函数的Klingen-Siegel合理性定理的证明的上同调改写.其次证明了我们的Shintani上循环所代表的上同调类与Schzech所引入的Eisenstein上循环所代表的上同调类本质上是相等的.这推广了Schzech和Solomon在n=2的情况下的一个结果。最后，我们引入了一个积分版本的Shintani上循环平滑辅助素细胞。应用本系列第一篇论文的形式主义，我们证明了光滑类的某些特殊化产生全实数域的p进L-函数。结合我们的上同调结构与一个定理的Spiess，我们表明，这些p-adic L-函数的消失的顺序是至少一样大的格罗斯猜想所预测的。
Explicit Chabauty-Kim theory for the thrice punctured line in depth two
令$X= \mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$和令$S$表示素数的有限集合。在2005年的一篇文章中，Minhyong Kim给出了$X$的西格尔定理的一个新证明：$X$的$S$ -整点的集合$X(\mathbb{Z}[S^{-1}])$是有限的。证明依赖于一个'nonabelian'版本的经典Chabauty方法。它的核心是一个模块化的解释unipotent $p$ -adic霍奇理论，由塔的态射$h_n$之间的某些$\mathbb{Q}_p$ -品种。我们着手更好地了解$h_2$。它的神秘部分是$2|S|$变量的多项式。我们的主要定理指出，这个多项式是二次的，并给出了一个程序，写其系数的$p$ -adic矩阵和diamonds。
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