Amir Mafi, Dler Naderi, Parasto Soufivand
There are two motivation questions in \cite{MTS, MTS1} about Castelnuovo-Mumford regularity and vertex decomposable of simple graph $G$. In this paper, we disprove the questions by providing of two counterexamples.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sequentially Cohen-Macaulay bipartite graphs: vertex decomposability and regularity
设G是具有边理想I（G）的二部图，其商环R/I（G）是序列Cohen-Macaulay.我们证明：（1）G的独立复形必须是点可分解的;（2）R/I（G）的Castelnuovo-Mumford正则性可由G的不变量确定。
f-vectors implying vertex decomposability
证明了如果一个d维n面纯单纯复形在所有d维n面复形中具有最少的（d-1）维面，则它是顶点可分解的.这回答了赫尔佐格和T.日比事实上，我们证明了他们的定理使用组合方法的推广。
In attempting to understand how combinatorial modifications alter algebraic properties of monomial ideals, several authors have investigated the process of adding "whiskers" to graphs. In this paper, we study a similar construction to build a simplicial complex $Δ_χ$ from a coloring $χ$ of a subset of the vertices of $Δ$, and give necessary and sufficient conditions for this construction to produce vertex decomposable simplicial complexes. We apply this work to strengthen and give new proofs about sequentially Cohen-Macaulay edge ideals of graphs.
Vertex decomposability and regularity of very well-covered graphs
一个图$G$是好覆盖的，如果它没有孤立点，并且所有的极大独立集具有相同的基数。如果这个基数的另外两倍等于$|V(G)|$，则图$G$被称为非常好覆盖的。非常好覆盖图类包含二部好覆盖图。最近在\cite{CRT}中证明了一个非常好覆盖的图$G$是Cohen-Macaulay当且仅当它是纯可壳的。本文改进了这一结果，证明了$G$是Cohen-Macaulay的当且仅当它是纯顶点可分解的.另外，如果$I(G)$表示$G$的边理想，我们证明了$R/I(G)$的Castelnuovo-Mumford正则性等于$G$的最大3-不相交边数.这改进了Kummini关于非混合二部图的结果。
In this article, we discuss the vertex decomposability of three well-studied simplicial complexes associated to forests. In particular, we show that the bounded degree complex of a forest and the complex of directed trees of a multidiforest are vertex decomposable. We then prove that the non-cover complex of a forest is either contractible or homotopy equivalent to a sphere. Finally, we provide a complete characterization of forests whose non-cover complexes are vertex decomposable.
Shellability, vertex decomposability, and lexicographical products of graphs
我们调查的独立复杂的$G[H]$，两个图$G$和$H$的字典积，是顶点可分解或壳。作为应用，我们构造了一个无限图族，并证明了这个图族中的每一个图都具有独立复形是可壳的，但不是顶点可分解的.
Vertex decomposability and weakly polymatroidal ideals
本文研究单纯复形的顶点可分解性，证明拟阵理想情形下序列 Cohen-Macaulay、可剥壳与顶点可分解等价，并刻画二次单项式理想的弱拟阵性、线性商与顶点可分裂性。
On the Vertex Decomposability of $r$-Independence Complexes of Trees
本文证明了对于任意树 $T$ 和整数 $r \ge 1$，$r$-独立复形 $\Ind_r(T)$ 是顶点可分解的，从而解决了 Abdelmalek 等人的一个猜想。
Vertex decomposable graphs and obstructions to shellability
受最近几篇关于图G的边理想的文章的启发，我们研究了图G的独立复形的等价概念。利用几何组合学中的顶点可分解性，证明了不含无弦4-圈的5-弦图是可壳的，并且是序列Cohen-Macaulay图。我们用这个结果来表征的障碍，在国旗复杂的，扩展工作的Billera，迈尔斯，和瓦克斯。我们还展示了如何顶点可分解性可能被用来表明，某些图形结构保持壳。
Minkowski decomposability of symmetric edge polytopes
该研究刻画了有限简单图的对称边多面体为闵可夫斯基可分解的充要条件，证明仅当图为三类完全多部图时满足该性质，其余情况不可分解。
We say that a pure simplicial complex ${\mathbf K}$ of dimension $d$ satisfies the removal-collapsibility condition if ${\mathbf K}$ is either empty or ${\mathbf K}$ becomes collapsible after removing $\tilde β_d ({\mathbf K}; {\mathbb Z}_2)$ facets, where $\tilde β_d ({\mathbf K}; {\mathbb Z}_2)$ denotes the $d$th reduced Betti number. In this paper, we show that if the link of each face of a pure simplicial complex ${\mathbf K}$ (including the link of the empty face which is the whole ${\mathbf K}$) satisfy the removal-collapsibility condition, then the second barycentric subdivision of ${\m…
Vertex decomposable graphs, codismantlability, Cohen-Macaulayness and Castelnuovo-Mumford regularity
我们称一个（简单）图G是可余标的，如果它没有边或者它有一个余支配顶点x，这意味着x的闭邻域包含它的一个邻域的闭邻域，使得G-x可余标。我们证明了如果G是好覆盖的，并且它缺少长度为4，5，7的诱导圈，那么G的点可分解性，可压缩性和Cohen-Macaulay性都是等价的.其余的是可补图的Castelnuovo-Mumford正则性的计算。请注意，我们的方法补充和统一了许多早期的结果，二部，弦和非常好的覆盖图。
Vertex decomposable complexes of directed forests, conflict graphs and chordality
本文研究了有向森林的顶点可分解复形，通过构造冲突图并应用独立复形理论，得出了保证复形顶点可分解、壳性和序列Cohen-Macaulay性质的图论准则，并给出了相关多重有向图的分类。
Regularity and projective dimension of edge ideal of $C_5$-free vertex decomposable graphs
本文用图的不变量解释了几类图的正则性、投射维数和边理想深度。我们证明了对于一个无$C_5$的顶点可分解图$G$，$\T{reg}(R/I(G))= c_G$，其中$c_G$是$G$中3-不相交边的最大个数.此外，对于这类图，我们刻画了$\T{pd}(R/I(G))$和$\T{depth}(R/I(G))$。作为推论，我们在森林和序列Cohen-Macaulay二部图中描述了这些不变量。
Bounds for the regularity of edge ideal of vertex decomposable and shellable graphs
本文利用图的不变量给出了几类图的边理想正则性的上界。引入了两个依赖于图$G$的数$a'(G)$和$n(G)$，并证明了对于顶点可分解图$G$，$a'(G)$和$n(G)$分别为$\reg(R/I(G))\leq \min\{a'(G),n(G)\}$和$\reg(R/I(G))\leq n(G)$ .此外，它表明，对于图$G$，其中$G^c$是$d$树，我们有$\pd(R/I(G))=\max_{v\in V(G)} \{°_G(v)\}$。
Decomposition of a graph into two disjoint odd subgraphs
一个奇怪的（resp。重图中的偶）子图是其每个顶点都有奇（或偶）的子图。偶数）度。我们说一个重图可以分解成两个奇子图，如果它的边集可以划分成两个集，使两者都形成奇子图。本文给出了多重图可分解为两个奇子图的一个充要条件。我们还提出了一个多项式时间算法，找到这样的分解或显示其不存在。我们还处理的情况下，分解成一个偶数子图和一个奇数子图。
The complex of $r$-co-connected subgraphs, chordality and Fröberg's theorem
本文研究了 r-连通子图复形的拓扑与代数性质，揭示了其与图类 co-chordality 的关系，并扩展了 Fröberg 定理。
We give a new approach to handling hypergraph regularity. This approach allows for vertex-by-vertex embedding into regular partitions of hypergraphs, and generalises to regular partitions of sparse hypergraphs. We also prove a corresponding sparse hypergraph regularity lemma.
Decomposition of degree-regular graphs into quasi-random pairs without the Regularity lemma
本文提出一种替代Szemerédi正则引理的顶点划分框架，适用于密度趋于零且顶点集较小的图，并将其应用于二分图打包问题。
Three invariants of geometrically vertex decomposable ideals
本文研究几何顶点可分解理想的三个不变量，证明它们可通过几何顶点分解过程递归计算，并应用于证明$a$-不变量非正及二部图toric理想的相关结果。
Algebraic Invariants of Edge Ideals Under Suspension
本文研究了边理想在悬垂操作下的代数不变量变化，发现正则性和项目维数的变化规律，以及独立多项式和a-不变量的特性。
Let $G$ be a finite simple graph and $I(G)$ denote the corresponding edge ideal. In this paper, we obtain upper bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity of $I(G)^q$ in terms of certain combinatorial invariants associated with $G$. We also prove a weaker version of a conjecture by Alilooee, Banerjee, Beyarslan and Hà on an upper bound for the regularity of $I(G)^q$ and we prove the conjectured upper bound for the class of vertex decomposable graphs. Using these results, we explicitly compute the regularity of $I(G)^q$ for several classes of graphs.
In this paper we unify several existing regularity conditions for graphs, including strong regularity, $k$-isoregularity, and the $t$-vertex condition. We develop an algebraic composition/decomposition theory of regularity conditions. Using our theoretical results we show that a family of non rank 3 graphs known to satisfy the $7$-vertex condition fulfills an even stronger condition, $(3,7)$-regularity (the notion is defined in the text). Derived from this family we obtain a new infinite family of non rank $3$ strongly regular graphs satisfying the $6$-vertex condition. This strengthens and ge…
Intersections of Leray complexes and regularity of monomial ideals
对单纯复形X和域K，设h_i（X）= \dim \tilde{H}_i（X;K）.证明了：若X，Y是同一顶点集上的复形，则对所有k个h_{k-1}（X \cap Y）\leq \sum_{σ\in Y} \sum_{i+j=k} h_{i-1}（X[σ]）\cdot h_{j-1}（\lk（Y，σ））.单纯复形X是K上的d-Leray，如果对所有诱导子复形Y \subset X和iPDMATHABMY d，h_i（Y）=0.设L_K（X）表示最小d使得X是K上的d-Leray。上面的定理意味着：如果X，Y是同一顶点集上的单纯复形，则L_K（X \cap Y）\leq L_K（X）+L_K（Y）.将这个不等式用交换代数的形式加以改写，得到了Terai所证明的结果：如果I，J是S=K[x_1，…，x_n]，则reg（I+J）\leq reg（I）+reg（J）-1其中reg（I）表示I的Castelnuovo-Mumford正则性.
An algebraic-combinatorial framework for finding the average hitting times in graphs with high regularity
本文提出一种代数-组合方法，用于计算高正则性有限图中顶点间的平均到达时间，并应用于多种图类。通过最大熵随机游走与权重均衡划分的联系，扩展了已知结果。
Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs
设$\H$是顶点集$[n]$上的幺模超图，$J(\H)$是多项式环$R=K[x_1,\ldots,x_n]$中$\H$的覆盖理想.我们发现，$\reg J(\H)^s$是一个线性函数，在$s$的所有$s\geqslant r\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil+1$，其中$r$是排名的$\H$。此外，对于每个$i$，$a_i(R/J(\H)^s)$也是$s$中对于$s \geqslant n^2$的线性函数。
The regularity of binomial edge ideals of graphs
本文证明了几类图的二项式边理想的Castelnuovo-Mumford正则性的上界的两个新结果。本文证明了Matsuda和Murai关于有割边或单纯顶点的图的猜想，从而也证明了弦图的猜想。本文利用原图的正则性，确定了图的联的二项式边理想的正则性，从而证明了Matsuda和Murai关于这类图的猜想，进而证明了完全$t$ -部图的猜想.我们还推广了Schenzel和Zafar关于完全$t$ -部图的一些结果.对于一类弦图，我们也证明了作者的猜想。
The minimum vertex degree for an almost-spanning tight cycle in a $3$-uniform hypergraph
本文证明了最小顶点度至少为$\left(\frac{5}{9} + o(1) \right)\binom{n}{2}$的$3$-一致超图存在几乎生成紧圈，即不含$o(n)$顶点的紧圈.顶点度的界是渐近最佳可能的。我们的证明使用超图正则性方法，特别是最近版本的超图正则性引理证明艾伦，Böttcher，库利和麦考夫。
Chordal bipartite graphs, biclique vertex partitions and Castelnuovo-Mumford regularity of $1$-subdivision graphs
本文研究1-细分图的正则性与双团顶点划分数之间的关系，证明了一般图的下界不等式，并针对弦二部图建立了等式，同时刻画了其独立复形的同伦类型。
Let $G$ be a finite simple graph on $n$ vertices, that contains no isolated vertices, and let $I(G) \subseteq S = K[x_1, \dots, x_n]$ be its edge ideal. In this paper, we study the pair of integers that measure the projective dimension and the regularity of $S/I(G)$. We show that if the projective dimension of $S/I(G)$ attains its minimum value $2\sqrt{n}-2$ then, with only one exception, the its regularity must be 1. We also provide a full description for the spectrum of the projective dimension of $S/I(G)$ when the regularity attains its minimum value 1.
We develop a sparse graph regularity method that applies to graphs with few 4-cycles, including new counting and removal lemmas for 5-cycles in such graphs. Some applications include: * Every $n$-vertex graph with no 5-cycle can be made triangle-free by deleting $o(n^{3/2})$ edges. * For $r \geq 3$, every $n$-vertex $r$-graph with girth greater than $5$ has $o(n^{3/2})$ edges. * Every subset of $[n]$ without a nontrivial solution to the equation $x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$ has size $o(\sqrt{n})$.
Weighted Regularity Lemma with Applications
我们证明了一个扩展的正则引理与顶点和边的重量，可以适用于一个大类的图。应用程序涉及随机图和一个加权版本的Erdens-Stone定理。我们还提供了处理不受控制的异常集的方法。
Results on the regularity of square-free monomial ideals
在2008年的一篇论文中，第一作者和Van Tuyl证明了图G的边理想的正则性至多比G的匹配数大大于一。在本文中，我们将这个结果推广到任何无平方根的单项理想。我们定义一个简单超图中的2-拼贴是一个边的集合，其性质是对于超图的任何边E，拼贴中存在一条边F，使得|英、法|< 2。简单超图的边理想的Castelnuovo-Mumford正则性被2-拼贴的最小尺寸的倍数上界。我们还给出了一个计算点可分解超图正则性的递归公式。最后，我们证明了在图的情况下，正则性是有界的基于非退化星形子图的最大填装的一定的统计。
Regularity and separation for Sierpiński products of graphs
本文研究图的Sierpiński积，给出高阶连通性的充要条件，并完全分类正则平面（含多面体）Sierpiński积及平面字典序积，引入带色平面图类作为证明工具。
Walk entropy and walk-regularity
一个图称为游走正则的，如果对于每个$\ell \geq 1$，每个顶点包含在相同数目的长度为$\ell$的闭游走中。我们构造了一个$24$ -顶点图$H_4$，它不是行走正则的，但具有最大化行走熵，$S^V(H_4,β) = \log 24$，对于某些$β>0$。这个图是Benzi [线性代数应用]~的一个猜想的反例443（2014），395- 399，猜想3.1]。我们还证明了存在无穷多个温度$β_0>0$使得$S^V(G,β_0)=\log n_G$当且仅当图$G$是行走正则的.
On the Total Regularity of Almost Mixed Moore Graphs
本文解决了几乎混合摩尔图的全正则性开放问题，证明了3个直径至少为3的已知几乎混合摩尔图是仅有的此类混合图，相关成果可应用于网络设计领域。
An edge labeling of graphs from Rados partition regularity condition
本文基于 Rados 划分正则性条件定义并研究图的 AR-标号与 AR-图，要求各顶点关联边标号的所有子集和互异。
On regularity lemmas and their algorithmic applications
Szemerédi的正则性引理及其变体是组合数学中一些最强大的工具。在本文中，我们建立了几个结果周围的正则引理。首先，我们证明，无论我们是否包括的条件，所需的顶点划分的正则性引理是公平的分区的部分的数量上的影响最小。其次，我们使用的（弱）Frieze-Kannan正则引理的算法版本，给一个更快的确定性近似算法计算子图在一个图。以前，只有一个指数依赖的运行时间上的错误参数是已知的，我们改进它的多项式依赖。第三，我们重新审视了寻找算法正则性引理的问题，给出了几个co-NP-complete问题的近似算法。我们展示了如何使用弱Frize-Kannan正则引理来近似一对顶点子集的正则性。我们还展示了如何快速找到，为每个$ε'>ε$，一个$ε'$定期分区与$k$部分，如果存在一个$ε$定期分区与$k$部分。最后，给出了置换正则引理的一个简单证明，该引理将以往证明中的部件个数的塔型界改进为一个指数界。
Inheritance of expansion and oriented Hamilton cycles in robust expanders: a regularity-free proof
本文通过修改 Häggkvist 和 Thomason 的证明，给出了 Taylor 定理（关于鲁棒外出扩张图包含所有定向哈密顿圈）的免正则引理证明，并推广到哈密顿连通性与链结，应用替代正则引理于最小半度或总度条件下的有向图结果。
We introduce a notion of a girth-regular graph as a $k$-regular graph for which there exists a non-descending sequence $(a_1, a_2, \dots, a_k)$ (called the signature) giving, for every vertex $u$ of the graph, the number of girth cycles the edges with end-vertex $u$ lie on. Girth-regularity generalises two very different aspects of symmetry in graph theory: that of vertex transitivity and that of distance-regularity. For general girth-regular graphs, we give some results on the extremal cases of signatures. We then focus on the cubic case and provide a characterisation of cubic girth-regular g…
Transversals via regularity
本文将正则性膨胀方法推广到横截图问题，建立适用于可分有界度图的横截膨胀引理，并据此推广线性 3-一致超图的稠密嵌入结果。
Castelnuovo-Mumford regularity of the closed neighborhood ideal of a graph
该研究围绕图的闭邻域理想的同调不变量展开，证明了森林情形下其Castelnuovo-Mumford正则度等于匹配数（证实Sharifan与Moradi的猜想），给出任意图下该正则度的匹配数下界，还证明含单纯顶点时理想有Betti分裂，且森林与单圈图的投射维数也以匹配数为下界。
Regularity of the vanishing ideal over a bipartite nested ear decomposition
研究了边集具有分解的二部图上消失理想的Castelnuovo-Mumford正则性。证明了在一定条件下，由一个图附加一条长为$\ell$的路得到的二部图的消失理想的正则性增加了$\lfloor \frac{\ell}{2}\rfloor (q-2)$，其中$q$是系数域的阶.我们利用这个结果证明了具有弱巢耳分解的二部图$G$的消失理想的正则性等于$$\textstyle \frac{|V_G|+ ε-3}{2}(q-2),$$，其中$ε$是分解的偶数长耳和悬垂边的数目.作为推论，我们证明了对于二部图，从一个顶点开始的套耳分解中偶数长耳的数目是常数。
Highly regular vertex-transitive graphs are globally rigid
该研究证明了高度规则的顶点传递图在任何维度下都是全局刚性的，并展示了规则常数的最优性。
A proof of the stability of extremal graphs, Simonovits' stability from Szemerédi's regularity
证明了图兰定理的下列锐化。设$T_{n,p}$表示具有最大边数的$n$阶完全$p$-部图.若$G$是一个有$e(T_{n,p})-t$边的$n$ -顶点$K_{p+1}$ -自由图，则存在（至多）一个$p$ -色子图$H_0$使得$e(H_0)\geq e(G)-t$ .利用这个结果，我们提出了一个简洁的，当代的证明（即，一个应用Szemerédi的正则性引理）的经典稳定性结果的Simonovits。
Pseudo-distance-regularised graphs are distance-regular or distance-biregular
图的顶点伪距离正则性是标准距离正则性在非正则图中的自然推广。本文证明了一个围绕其每个顶点的伪距离正则图是距离正则图或距离双正则图。Godsil和Shawe-Taylor利用组合的方法对围绕其每个顶点的距离正则图也得到了同样的结论。因此，我们的证明，这是一个代数性质，也可以被看作是一个替代的证明戈西尔和肖-泰勒定理。
Regularity method for hypergraphs with $4$-cycle-free links
该研究将超图正则性方法扩展到顶点链接不含C₄的稀疏3-均匀超图，针对不含K₁,₂,₂且边数为O(|V|^(5/2))的此类超图，建立了七顶点紧圈减一边移除引理的稀疏类似物。
The number of hypergraphs and colored Hypergraphs with hereditary properties
作为Szemeredi正则引理的一个应用，Erdos-Frankl-Rodl（1986）证明了顶点集{1，2，. n}的n阶图的最大边数是$2^{(1+o(1))ex(n,P)n^2/2}$，其中$ex(n,P)$是无子图的n阶图的最大边数，P. Kohayakawa等人（2003）将其从单调图推广到遗传图，从图推广到3-一致超图.我们将其推广到一般超图。这可能是一个简单的例子，说明如何应用最近超图正则引理的作者。
Growth of regular partitions 3: strong regularity and the vertex partition
本文研究3-均匀超图强正则分解的顶点划分增长函数$T_{\n\b\b{H}}$的渐近增长率，证明其可分为常数、多项式、指数、至少wowzer四类，不同层级对应不同增速的$ε_2$参数选择。
On the path ideals of chordal graphs
本文推广了弦图边理想的正则性与投射维数公式，给出了弦图 $3$-路径理想的组合公式，证明了树的 $3$-路径理想 Alexander 对偶顶点可分裂性以解决相关猜想，并将正则性公式扩展至毛毛虫图。
Hilbert Coefficients and Regularity of Binomial Edge Ideals
该研究通过分析双曲系数与正则性之间的关系，展示了二项式边理想中希尔伯特系数和正则性之间无固有联系的结论。
Starting with a graph, two players take turns in either deleting an edge or deleting a vertex and all incident edges. The player removing the last vertex wins. We review the known results for this game and extend the computation of nim-values to new families of graphs. A conjecture of Khandhawit and Ye on the nim-values of graphs with one odd cycle is proved. We also see that, for wheels and their subgraphs, this game exhibits a surprising amount of unexplained regularity.
Hereditary quasirandomness without regularity
Simonovits和Sós的一个结果指出，对于任何固定图$H$和任何$ε> 0$，存在$δ> 0$使得如果$G$是一个$n$ -顶点图，且每个$S \subseteq V(G)$包含$H$的$p^{e(H)} |S|^{v(H)} \pm δn^{v(H)}$标记拷贝，则$G$是拟随机的，因为每个$S \subseteq V(G)$包含$\frac{1}{2} p |S|^2 \pm εn^2$边.这个结果的原始证明大量使用了正则性引理，导致$δ^{-1}$上的一个界，它是$ε^{-1}$中高度多项式的一个2的塔。我们给出了这个定理的另一种证明，它避免了正则引理，并表明，$δ$可以被认为是线性的$ε$时，$H$是一个团和多项式的$ε$一般$H$。这回答了Simonovits和Sós提出的一个问题。
On saturation problems for matchings with regularity constraints
本文研究正则图中匹配饱和的极值问题，对所有可能情形确定了正则 $n$ 顶点 $(m+1)K_2$-饱和图的最小边数，并给出相应无 $(m+1)K_2$ 正则图的最大边数。
Over recent years there has been much interest in both Turán and Ramsey properties of vertex ordered graphs. In this paper we initiate the study of embedding spanning structures into vertex ordered graphs. In particular, we introduce a general framework for approaching the problem of determining the minimum degree threshold for forcing a perfect $H$-tiling in an ordered graph. In the (unordered) graph setting, this problem was resolved by Kühn and Osthus [The minimum degree threshold for perfect graph packings, Combinatorica, 2009]. We use our general framework to resolve the perfect $H$-tilin…
Down-left graphs and a connection to toric ideals of graphs
本文引入 down-left 图族，证明其具有 well-covered、无 $C_5$ 及顶点可分解等性质，并得出相关边理想正则度等于诱导匹配数，进而为特定弦二部图的环面理想正则度提供组合解释。
Algebraic characterizations of regularity properties in bipartite graphs
一般图的正则和距离正则刻画是众所周知的。特别地，谱过剩定理指出一个连通图G是距离正则的当且仅当它的谱过剩（一个可以从谱中计算出来的数）等于平均过剩（距离每个顶点极值距离处的顶点数的平均值）。本文的目的是得到更严格的二部图族的正则性和距离正则性的新刻画。在这种情况下，利用每个部集的平均度和Hoffman多项式给出了（双）正则二部图的一些刻画.此外，它表明，在这样的图的距离正则性的条件可以放宽时，与一般的图。最后，给出了二部图谱过剩定理的一个新的形式。
Shellability in Clique-Free Complexes of Graphs
本文研究了$t$-无团复形的壳性，证明了特定条件下的复形可分解且壳性，并引入了团附加操作以构造壳性复形，同时扩展了团尾巴的概念并建立了弦性与线性解的关系。
A fast new algorithm for weak graph regularity
我们提供了一个确定性的算法，发现，在$ε^{-O(1)} n^2$时间，一个$ε$正规Frieze-Kannan分区的图上的$n$顶点。该算法将给定图的近似输出为$ε^{-O(1)}$许多完全二部图的加权和。作为一个推论，我们给出了一个确定性的算法，估计$H$的副本数的$n$顶点图$G$最多$εn^{v(H)}$的添加剂误差，在时间$ε^{-O_H(1)}n^2$。
For a graph $F$, we say that another graph $G$ is $F$-saturated, if $G$ is $F$-free and adding any edge to $G$ would create a copy of $F$. We study for a given graph $F$ and integer $n$ whether there exists a regular $n$-vertex $F$-saturated graph, and if it does, what is the smallest number of edges of such a graph. We mainly focus on the case when $F$ is a complete graph and prove for example that there exists a $K_3$-saturated regular graph on $n$ vertices for every large enough $n$. We also study two relaxed versions of the problem: when we only require that no regular $F$-free supergraph …
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