顶点可分解性与弱拟阵理想
Vertex decomposability and weakly polymatroidal ideals
AI总结：
本文研究单纯复形的顶点可分解性，证明拟阵理想情形下序列 Cohen-Macaulay、可剥壳与顶点可分解等价，并刻画二次单项式理想的弱拟阵性、线性商与顶点可分裂性。
摘要：
设 $K$ 为一个域，$R=K[x_1,\ldots,x_n]$ 为域 $K$ 上含 $n$ 个变量的多项式环。设 $\Delta$ 是定义在 $n$ 个顶点上的单纯复形，$I=I_\Delta$ 是其 Stanley-Reisner 理想。本文证明：若 $I$ 是拟阵理想，则下列条件等价：$(i)$ $\Delta$ 是序列 Cohen-Macaulay 的；$(ii)$ $\Delta$ 是可剥壳的；$(iii)$ $\Delta$ 是顶点可分解的。此外，若 $I$ 由 $u_1,\ldots,u_s$ 极小生成，且满足 $s\leq 3$，或对所有 $i\neq j$ 都有 ${\rm supp}(u_i)\cup {\rm supp}(u_j)=\{x_1,\ldots,x_n\}$，则 $\Delta$ 是顶点可分解的。进一步地，我们证明：若 $I$ 是次数为 $2$ 的单项式理想，则 $I$ 是弱拟阵理想，当且仅当 $I$ 具有线性商，当且仅当 $I$ 是顶点可分裂的。
英文摘要：
Let $K$ be a field and $R=K[x_1,\ldots, x_n]$ be the polynomial ring in $n$ variables over a field $K$. Let $Δ$ be a simplicial complex on $n$ vertices and $I=I_Δ$ be its Stanley-Reisner ideal. In this paper, we show that if $I$ is a matroidal ideal then the following conditions are equivalent: $(i)$ $Δ$ is sequentially Cohen-Macaulay; $(ii)$ $Δ$ is shellable; $(iii)$ $Δ$ is vertex decomposable. Also, if $I$ is a minimally generated by $u_1,\ldots,u_s$ such that $s\leq 3$ or ${\rm supp}(u_i)\cup {\rm supp}(u_j)=\{x_1,\ldots,x_n\}$ for all $i\neq j$, then $Δ$ is vertex decomposable. Furthermore, we prove that if $I$ is a monomial ideal of degree $2$ then $I$ is weakly polymatroidal if and only if $I$ has linear quotients if and only if $I$ is vertex splittable.
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