arXiv 2506.034802025-06-04math.ACmath.CO

边理想的有界幂：强交换性质

Bounded powers of edge ideals: The strong exchange property

Takayuki Hibi, Seyed Amin Seyed Fakhari

AI总结：

本文研究边理想有界幂的极小生成元系何时具有强交换性质，并给出其等价于 Veronese 型的判定条件。

摘要：

设 $S=K[x_1, \ldots,x_n]$ 表示域 $K$ 上 $n$ 个变量的多项式环，$I \subset S$ 是一个单项式理想。给定向量 $\mathfrak{c}\in\mathbb{Z}_{>0}^n$，理想 $I_{\mathfrak{c}}$ 是由 $I$ 中那些指数向量逐分量不超过 $\mathfrak{c}$ 的单项式生成的理想。设 $δ_{\mathfrak{c}}(I)$ 是使得 $(I^q)_{\mathfrak{c}}\neq 0$ 成立的最大整数 $q$。设 $I(G) \subset S$ 表示顶点集为 $V(G) = \{x_1, \ldots, x_s\}$ 的有限图 $G$ 的边理想。在我们之前的工作中，已证明 $(I(G)^{δ_{\mathfrak{c}}(I)})_{\mathfrak{c}}$ 是一个多拟阵理想。设 $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ 表示 $(I(G)^{δ_{\mathfrak{c}}(I)})_{\mathfrak{c}}$ 的极小单项式生成元系。由此可知 $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ 满足对称交换性质。本文研究了 $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ 何时具有强交换性质，或等价地，何时 $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ 是 Veronese 型的问题。

英文摘要：

Let $S=K[x_1, \ldots,x_n]$ denote the polynomial ring in $n$ variables over a field $K$ and $I \subset S$ a monomial ideal. Given a vector $\mathfrak{c}\in\mathbb{Z}_{>0}^n$, the ideal $I_{\mathfrak{c}}$ is the ideal generated by those monomials belonging to $I$ whose exponent vectors are componentwise bounded above by $\mathfrak{c}$. Let $δ_{\mathfrak{c}}(I)$ be the largest integer $q$ for which $(I^q)_{\mathfrak{c}}\neq 0$. Let $I(G) \subset S$ denote the edge ideal of a finite graph $G$ on the vertex set $V(G) = \{x_1, \ldots, x_s\}$. In our previous work, it is shown that $(I(G)^{δ_{\mathfrak{c}}(I)})_{\mathfrak{c}}$ is a polymatroidal ideal. Let $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ denote the minimal system of monomial generators of $(I(G)^{δ_{\mathfrak{c}}(I)})_{\mathfrak{c}}$. It follows that $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ satisfies the symmetric exchange property. In the present paper, the question when $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ enjoys the strong exchange property, or equivalently, when $\mathcal{W}(\mathfrak{c},G)$ is of Veronese type is studied.

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AI总结：

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