On the Number of 2-Hooks and 3-Hooks of Integer Partitions
令$p_t(a,b;n)$表示$n$的分区的数目，使得$t$钩子的数目与$a \bmod{b}$全等。对于$t\in \{2, 3\}$，等差数列$r_1 \bmod{m_1}$和$r_2 \bmod{m_2}$（在其上$p_t(r_1,m_1; m_2 n + r_2)$为零）在Bringmann、Craig、Males和Ono最近的工作中使用模形式的理论建立。在这里，我们使用abaci和$t$ -核和$t$ -子的理论提供了一个直接的组合证明。
2022-06-21 math.CO math.NT
Inequalities for the number of $t$-hooks in two partition classes arising from sum-product identities
University of Florida（佛罗里达大学）；Seoul National University of Science and Technology（首尔科学技术大学）；Ewha Womans University（梨花女子大学）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究了由求和-乘积恒等式产生的两个划分类中t-hooks数量的不等式，通过生成函数和渐进行式证明了t=1,2时的不等式。
2026-03-01 math.CO math.NT
Hook-Length Biases in $t$-regular partitions
Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）；Indian Institute of Science Education and Research Kolkata（印度科学教育研究学院加尔各答分校）
本文通过生成函数方法证明了t-正则划分中钩长度相关结果，并揭示了钩长度与不同部分划分之间的新联系。
2026-01-09 math.CO math.NT
Hook Length Biases in $t$-Core Partitions
Tezpur University（特兹普尔大学）；B. Borooah College (Autonomous)（B·博鲁阿学院（自治））；Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
本研究将钩长度偏倚理论扩展到t-核心分区，发现特定长度的钩数量存在偏倚关系。
2026-03-12 math.CO math.NT
Finite analogs of partition bias related to hook length two and a variant of Sylvester's map
本文研究带最大部分上界的奇划分与不同划分中长度为二的钩子数量的偏差，利用西尔维斯特映射的变体推广已有不等式，并提出并部分证明加权计数的有限偏差猜想。
2025-04-11 math.CO math.NT
On the Maximum Number of k-Hooks of Partitions of n
令$α_k(λ)$表示分区$λ$中的$k$钩子的数量，并令$b(n,k)$是$n$的分区中的$α_k(λ)$的最大值. Amdeberhan对$b(n,1)$的生成函数提出了一个猜想。我们给出了这个猜想的一个证明。一般来说，我们得到一个公式，可以用来确定$b(n,k)$。这就导出了$b(n,k)$的母函数公式。我们引入了近$k$ -三角剖分的概念。我们发现，对于任何$n$，有一个近$k$三角分区，可以转换成一个分区的$n$，达到最大数量的$k$挂钩。转换的操作使我们能够计算数字$b(n,k)$。
2012-12-14 math.CO math.NT
Hook length biases and general linear partition inequalities
该研究对比奇分拆与互异分拆的固定长度钩数量偏差，证明2、3长钩的数量差异并提出一般猜想，同时建立互异分拆数的通用线性不等式，方法横跨解析与组合领域。
2023-08-29 math.CO math.NT
Hook lengths and 3-cores
最近，第一作者推广了Nekrasov和Okounkov的一个公式，该公式给出了某些幂级数的系数的一个关于划分的钩长的组合公式。在这个调查过程中，他证明了$A000731(n)=0$当且仅当$A033687(n)=0$。数字$A000731(n)$是根据分区的钩子长度给出的，而$A033687(n)$等于$n$的3核分区的数量。我们在这里证明这个猜想。
2008-05-16 math.CO math.NT
Congruences for hook lengths of partitions
Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学卡米耶·若当研究所）；Univ. de Tours, UMR CNRS 7013, Institut Denis Poisson（图尔大学，CNRS联合研究实验室7013，丹尼斯·普瓦松研究所）
本文通过加法定理推导并推广了整数划分中钩数的同余关系，扩展至z-非对称划分，并回顾了相关历史结果。
2025-02-11 math.CO math.NT
The inequality on the number of $1$-hooks, $2$-hooks and $3$-hooks in $t$-regular partitions
本文研究了$t$-正则分拆中钩子数量的关系，为$b_{t,2}(n)\geq b_{t,1}(n)$给出了显式界$N=O(t^5)$，并证明对所有$n\ge 4$均有$b_{t,2}(n) \geq b_{t,3}(n)$。
2025-04-30 math.CO math.NT
Distribution of hooks in self-conjugate partitions
本文证明了无限制整数分拆中 t-钩的分布可下降到自共轭分拆，并给出大小为 n 的自共轭分拆中长度为 t 的钩数渐近正态分布的均值与方差的精确公式。
2025-04-09 math.CO math.NT
Hook length biases in ordinary and $t$-regular partitions
本文研究普通分拆与 $t$-正则分拆的钩长偏差，证明普通分拆中长度 $k$ 的钩数不少于长度 $k+1$ 的钩数（除 $n=k+1$ 外），并发现 $2$-正则分拆中某些偏差与普通分拆相反，同时给出生成函数和猜想。
2024-05-29 math.CO math.NT
Distributions on partitions arising from Hilbert schemes and hook lengths
最近在代数组合学、代数几何学、数论和拓扑学的界面上的工作提供了关于整数划分的新的整数值不变量。当在同余类中按这些不变量排序时，考虑划分的分布是很自然的。我们认为突出的情况所产生的扩展Nekrasov-Okounkov钩积公式，并从贝蒂数的各种希尔伯特计划的$n$点上$\mathbb{C}^2.$对于希尔伯特计划，我们证明了同调是等分布的$n\to \infty.$对于$t$ -钩，我们证明了分布往往不是等分布的。$t\in \{2, 3\}$突出的情况，因为存在这样的计数为零的同余类。为了得到这些分布，我们得到了独立感兴趣的分析结果。我们确定了无处不在的无穷乘积$$ F_1(ξ; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-ξq^n\right), \ \ \ F_2(ξ; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-(ξq)^n\right) \ \ \ {\text {and}}\ \ \ F_3(ξ; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-ξ^{-1}(ξq)^n\right). $$在单位根附近的渐近性
2022-04-17 math.CO math.NT
Distribution properties for t-hooks in partitions
配分、配分函数$p(n)$和它们的费勒斯-杨图的钩长是组合数学、数论和表示论中的重要对象。对于正整数$n$和$t$，我们研究了$p_t^e(n)$（分别为. $p_t^o(n)$）、具有偶数的$n$的分区的数量（分别为奇数）$t$ -钩子的数量。我们研究的限制行为的比例$p_t^e(n)/p(n)$，这也给$p_t^o(n)/p(n)$，因为$p_t^e(n) + p_t^0(n) = p(n)$。对于偶数$t$，我们证明了$$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{p_t^e(n)}{p(n)} = \dfrac{1}{2},$$，对于奇数$t$，我们建立了非均匀分布$$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{p^e_t(n)}{p(n)} = \begin{cases} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{(t+1)/2}} & \text{if } 2 \mid n, \\ \\ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2^{(t+1)/2}} & \text{otherwise.} \end{cases}$$。使用Rademacher圆方法，我们找到了$p_t^e(n)$和$p_t^o(n)$的精确公式，并且这个精确公式产生了大$n$的这些分布特性。我们还表明，足够大的$n$，$p_t^e…
2021-06-25 math.CO math.NT
On hook length biases in $t$-regular partitions
针对 $t$-正则分拆中长度为 2 的钩数单调性猜想，本文证明了 $t=3$ 时 $b_{4,2}(n)\geq b_{3,2}(n)$ 对所有 $n\geq0$ 成立。
2025-01-08 math.CO math.NT
Hook length inequalities for $t$-regular partitions in the $t$-aspect
本文研究$t$-正则分拆的钩长计数问题，证明了固定钩长下不同$t$值对应的钩数不等式，并提出未来研究方向。
2025-06-17 math.CO math.NT
The size of $t$-cores and hook lengths of random cells in random partitions
修复$t \geq 2$。首先给出了$t$ -核数的某些和的渐近公式。然后，我们使用这个结果来计算整数$n$的均匀随机分区的$t$ -核心的大小的分布。我们表明，这是弱收敛到Γ分布除以$\sqrt{n}$后。结果发现，$t$核的大小与预期的$\sqrt{n}$的大小相当.然后，我们应用这个结果表明，概率$t$划分均匀随机分区中的均匀随机细胞的钩长等于$1/t$的限制。最后，我们将这一结果扩展到所有模类的$t$使用算盘表示的核心和继承人。
2023-02-26 math.CO math.NT math.PR
On the hook length biases of the $2$- and $3$-regular partitions
本文证实了关于3-正则分拆钩数差的正性猜想，并指出2-正则分拆钩数单调性猜想在奇数情形无穷多次失效，但在k=4和6时成立，同时提出偶数情形的修正猜想。
2025-01-23 math.CO math.NT
Eichler integrals of Eisenstein series as $q$-brackets of weighted $t$-hook functions on partitions
我们考虑由$$ f_{a,t}(λ):=t^{a-1} \sum_{h\in \mathcal{H}_t(λ)}\frac{1}{h^a}, $$定义的分区$f_{a,t}: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{C}$上的$t$钩子函数，其中$\mathcal{H}_t(λ)$是分区钩子数的多重集合，这些钩子数是$t$的倍数. Bloch-Okounkov $q$ -括号$\langle f_{a,t}\rangle_q$包括经典Eisenstein级数的Eichler积分。对于偶$a\geq 2$，我们表明，这些$q$括号是自然件的重量$2-a$倍调和和谐波马斯形式，而对于奇$a\leq -1,$，我们表明，他们是全纯量子模形式。我们利用这些结果得到了新的Chowla-Selberg型公式，以及涉及Riemann zeta函数和Bernoulli数的渐近展开式。我们利用工作的伯恩特，汉和吉，和Zagier。
2021-02-22 math.NT
On conjectures regarding the Nekrasov--Okounkov hook length formula
Nekrasov-Okounkov钩长公式提供了划分理论和戴德金η函数的幂系数之间的基本联系。在本文中，我们研究了Amdeberhan提出的三个假设。第一个猜想是一个精致的Nekrasov-Okounkov公式涉及钩平凡腿。我们证明了这个猜想。第二个猜想是关于基本的D'Arcais多项式的根的性质。我们给出一个反例，并提出一个新的猜想。第三个猜想是关于所涉及的多项式系数的单峰性。证明了该猜想的多项式阶数为$1000$.
2018-10-04 math.CO math.NT
On Integral Forms of Specht Modules Labelled by Hook Partitions
本文研究了特征$0$域上对称群的单模的积分形式。在Plesken和Craig工作的基础上，对于每一个奇素数$p$，我们给出了一组由划分$(n-k,1^k)$标记的简单$\mathbb{Q}_p \mathfrak{S}_n$ -模的$\mathbb{Z}_p$ -形式的同构类的代表，其中$n\in\mathbb{N}$和$0\leq k\leq n-1$ .我们也解决了类似的问题，为$p=2$，假设$n\not\equiv 0\pmod{4}$和$k\in\{2,n-3\}$。因此，这导致了一组代表的同构类的$\mathbb{Z}$ -形式的简单$\mathbb{Q}\mathfrak{S}_n$ -模块标记为$(n-2,1^2)$和$(3,1^{n-3})$，再次假设$n\not\equiv 0\pmod{4}$。
2018-09-08 math.NT math.RT
A Nekrasov-Okounkov Type formula for $\widetilde{C}$
2008年，Han在$\widetilde{A}$型仿射根系的框架下，利用著名的Macdonald恒等式重新发现了Nekrasov和Okounkov的Dedekind $η$函数的幂的扩展（实际上同年由Westbury首次证明）。本文利用$\widetilde{C}$型的Macdonald恒等式和整数坐标向量与整数划分的$t$ -核子集之间的一个新的双射，得到了$η$的幂的关于划分钩长的新的组合展开式.作为应用，我们得到了一个辛钩子公式和$\widetilde{C}$，$\widetilde{B}$和$\widetilde{BC}$型Macdonald恒等式之间的一个意想不到的关系.我们还推广这些扩展通过Littlewood分解，特别是推导出许多新的加权生成函数的子集的整数分区和改进的钩子公式。
2015-09-15 math.CO math.NT
A Prime-Power Dichotomy for Nekrasov--Okounkov Hook Lengths and $t$-Core Partitions
Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
本文证明：Nekrasov--Okounkov 钩长系数与 $t$-核分拆系数模 $t$ 同余对所有 $n$ 成立，当且仅当 $t$ 为素数幂；素数时加强为模 $p^2$，非素数幂时同余失败。
2026-10-02 math.NT
Zeros of Hook Polynomials and Related Questions
本文研究分拆统计量构造的钩子多项式的零点，证明其在环带外及 theta 函数孤立零点处的渐近性质，并讨论开放问题及其他多项式族的数据。
2025-04-23 math.CO math.NT
A bijection between self-conjugate and ordinary partitions and counting simultaneous cores as its application
给出了自共轭分拆集与普通分拆集之间的一个双射。利用双射给出了自共轭划分与相应划分的钩长之间的关系。作为一个推论，我们给出了新的组合的Catalan数和Motzkin数的自共轭同时核心分区的解释。
2018-11-26 math.CO math.NT
Asymptotic Properties of Maximal $p$-Core $p'$-Partitions
对于素数$p$，我们研究了$p$ -核心$p'$ -划分（没有钩长度或部分可被$p$整除的划分）的最大可能大小。McDowell最近证明了最大值是通过一个唯一的划分达到的，比如说$Λ_p$。使用他的$Λ_p$的图论描述，我们证明了$p > 10^6$，\[\frac{1}{24}p^6 - p^5\sqrt{p} < |Λ_p| < \frac{1}{24}p^6 - \frac{1}{200}p^5\sqrt{p},\]，这表明$|Λ_p| \sim p^6/24$作为$p \to \infty$。
2022-08-21 math.CO math.NT
Cores and quotients of partitions through the Frobenius symbol
Frobenius符号最早由Frobenius于1900年引入，作为一种对整数分区进行编码的方法。1941年，受到对称群的模表示理论的启发，中山提出了p-核分区的概念，对于p素数，使用钩子移除。在接下来的十年里，罗宾逊、利特尔伍德、斯塔尔和法拉哈特使用星图的变体，编纂了这种划分的$p$-商。自20世纪70年代以来，国际上的惯例是以珠算结构为基础，建立核心与结果理论。James.在本文中，我们回到了前面的观点。首先，我们证明了对任意正整数t，整数分拆的t-核和t-商可以直接由它的Frobenius符号得到。该论证也在相反的方向上起作用：即，给定t核的Frobenius符号和Frobenius符号的$t$元组，可以恢复对应分区的Frobenius符号。一个直接的应用是从核和商的弗罗贝纽斯符号计算相关分区的杜菲数。在1991年，J. Scopes收集了$p$-核心划分成家庭，以证明多诺万的猜想持有的对称群在素数p。我们描述，使用我们的方法，行动的仿射Weyl群W_p的类型$A$对Frobenius符号，并使用此参数化和计算显式数量的Scopes家庭。特别是，我们列举了无限和有限范围的家庭。核心划分也吸引了最近的兴趣在数论。通过构造显式和组合双射，我们重新审视了一些著名的身份最初获得使用复杂的方法。最后，我们仔细研究了商中的某些钩子和相关分区中的某些钩子之间的关系。
2019-11-27 math.CO math.NT math.RT
Fixed perimeter analogues of some partition results
本文受 Euler 奇偶分拆恒等式及 Straub 固定周长结果启发，研究若干经典分拆结论在固定最大 hook（周长）条件下的类比形式。
2025-02-18 math.CO math.NT
On Stanley's Partition Function
Stanley将分拆函数t（n）定义为n的分区$λ$的数量，使得$λ$的奇数部分的数量与共轭分区$λ'$的奇数部分的数量以4为模全等。我们证明了t（n）等于n的具有偶数个偶数长度钩子的划分数。我们导出了p（n）-t（n）的生成函数的封闭形式公式。因此，我们看到t（n）与普通的分拆函数p（n）对任何n都具有相同的奇偶性。还提供了一个简单的组合解释这一事实。
2010-06-27 math.CO math.NT
Distributions of Hook Lengths Divisible by Two or Three
对于固定的$t = 2$或$3$，我们研究了$\{Y_t(n)\}$的统计特性，$\{Y_t(n)\}$是对应于$n$的分区之间可被$t$整除的钩长度的数量的随机变量序列。我们表征的支持$Y_t(n)$，并显示，按照经验观察，支持是消失的大$n$小。此外，我们还证明了$Y_2(n)$和$Y_3(n)$的质量函数的非零值近似连续函数。最后，我们证明，虽然质量函数未能收敛，累积分布函数的$\{Y_2(n)\}$和$\{Y_3(n)\}$逐点收敛到移位伽玛分布，完成了表征发起的格里芬-小野-蔡$t \geq 4$。
2022-11-11 math.CO math.NT math.PR
Rectangle partitions generalizing integer partitions
该研究提出分拆函数的几何推广形式，聚焦边长为整数的矩形块构成的矩形分拆计数问题，规定分拆仅由块的多重集决定、与几何排列无关。
2025-10-01 math.CO math.NT
On the Asymptotic Formula for the Number of Plane Partitions of Positive Integers
本文讨论了大正整数平面分拆数的渐近公式。
2006-01-24 math.CO math.NT
Refinements of Beck-type partition identities
富兰克林的恒等式推广了欧拉恒等式，并指出，具有$j$不同部分的$n$可被$r$整除的分区数等于具有$j$重复部分的$n$的分区数。在这篇文章中，我们给出了当$j=1$ .我们证明了富兰克林的身份时，$j=1$，$r=2$分区与固定周长，即，固定最大的钩子。我们还推导出一个贝克型恒等式的分区与固定的周长：部分的数量在所有分区成奇数部分周长$M$超过部分的数量在所有分区成不同部分周长$M$等于分区的周长$M$的偶数部分的集合是一个单例。我们提供分析和组合证明我们的结果。
2022-03-31 math.CO math.NT
Integer partitions with large Dyson rank
整数分区的戴森秩是它的最大部分与它包含的部分的数量之间的差。利用Fine-Dyson对称性，给出了n中秩大于n/2的分拆个数的计算公式，并证明了固定剩余类中大秩分拆个数的恒等式.
2022-06-28 math.CO math.NT
On the number of missing integers in partitions
Pt. Chiranji Lal Sharma Government College（Pt. Chiranji Lal Sharma 政府学院）；Birla Institute of Technology and Science Pilani（比拉理工科学研究所皮拉尼分校）
本文研究了分区中缺失正整数的整体情况，探讨了给定缺失整数数量的分区数目，并提出了三个关于相关函数的偏差不等式猜想。
2026-04-14 math.CO math.NT
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
2025-01-29 math.CO math.DS math.NT
The Eichler integral of $E_2$ and $q$-brackets of $t$-hook functions
对于分区上的函数$f: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{C}$，Bloch和Okounkov定义了一个幂级数$\langle f\rangle_q$，它是$f$的“加权平均”。作为$q=e^{2πi z}$中的傅立叶级数，这样的$q$ -括号生成拟模形式的环，以及作为戴德金的η-函数的幂的模形式。使用Berndt和Han的工作，我们从$t$的倍数的分区钩子数上的$$ f_t(λ):= t\sum_{h\in \mathcal{H}_t(λ)}\frac{1}{h^2}, $$加权和构建模块化对象。我们发现，$\langle f_t \rangle_q$是Eichler积分的$(1-E_2(tz))/24,$，我们修改，以构建一个功能$M_t(z)$，享有重量0的模块化属性。因此，非模傅立叶级数$$H_t^*(z):=\sum_{λ\in \mathcal{P}} f_t(λ)q^{|λ|-\frac{1}{24}} $$继承了权重$-1/2$模块性属性。这些都足以意味着一个Chowla-Selberg型的结果，概括了这样一个事实，即在判别$D<0$点$τ$评估的权重$k$代数模形式是$Ω_D^k,$的代数倍数，$k$次幂的规范周期。如果我们让$Ψ(τ):=-πi \left(\frac{τ^2-3τ+1}{12τ}\right)-\frac{\log(…
2020-08-03 math.NT
Optimal transport for some symmetric, multidimensional integer partitions
本文推广Hohloch关于整数划分与对称划分间最优传输映射的结果至多维情形，利用Kantorovich形式研究高维划分与对称划分的匹配。
2023-10-16 math.CO math.NT math.OC
On integer partitions corresponding to numerical semigroups
数值半群是自然数的余有限加法子幺半群。在2011年，Keith和Nath说明了从数值半群到整数划分的注入。我们探讨分区和数值半群之间的这种联系，重点对出现在数字半群注入图像中的分区进行分类。特别是，我们计数的分区，对应于数值半群的亏格，Frobenius数，和多重性，有一定的限制。
2023-02-16 math.CO math.GR math.NT
On the integer partitions recursive structure
Stowers Institute for Medical Research（Stowers医学研究所）
本文通过Sylvester波的递归性质，揭示了整数划分的结构特征。
2026-03-06 math.NT
Separable Integer Partition Classes
将经典的剖分母函数方法发展成为一种具有广泛应用的工具。著名定理的新的扩展推导，并提出了新的结果分区与n副本n。
2020-08-14 math.NT
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
2018-04-23 cs.DM math.NT
