PBW-degenerated Demazure modules and Schubert varieties for triangular elements
研究了Feigin，Littelmann和作者引入的正规多面体的某些面，其格点参数化了$\mathfrak{sl}_{n+1}$的PBW-退化单模的单式基.我们表明，格点在这些面参数化单式基地PBW退化Demazure模块相关的外尔群元素满足一定的封闭性，例如Kempf元素。这些面又是正规多面体，它们的Minkowski和与张量积相容，这意味着我们得到了相应的Schubert簇到PBW退化簇和环面簇的平坦退化。
2014-08-29 math.AG math.CO math.RT
The minimal degeneration singularities in the affine Grassmannians
简单单缀代数群的仿射Grassmannian中的极小退化奇点被确定为A型Kleinian奇点或幂零锥中极小轨道的闭包。利用交上同调和等变Chow群方法研究了非单系型的奇点。
2003-05-06 math.AG math.RT
${\mathbb G}_a^M$ degeneration of flag varieties
设$\Fl_λ$是嵌入到不可约$G$ -模$V_λ$的投射化中的单李群$G$的广义标志簇.我们定义了一个平面退化$\Fl_λ^a$，这是一个${\mathbb G}^M_a$品种。此外，存在作用于$\Fl_λ^a$的较大基团$G^a$，其是基团$G$的退化。$G^a$组包含${\mathbb G}^M_a$作为正常亚组。如果$G$是$A$类型，则退化的标志簇可以嵌入到格拉斯曼的乘积中，从而嵌入到投射空间的乘积中。$\Fl^a_λ$的定义理想由退化的Pl\”ucker关系集生成。证明了$\Fl_λ^a$的坐标环同构于对偶PBW-分次$\g$ -模的直和.我们还证明了存在基地的多齐次组件的坐标环，参数化的半标准PBW表，这是类似的半标准表。
2010-07-27 math.AG math.CO math.RT
On toric degenerations of flag varieties
沿着追求旗簇和球面簇的$T$ -等变平坦环面退化的历史轨迹，我们解释了代数几何和表示论中的有力工具，如规范基，Newton-Okounkov体，PBW-滤子和簇代数是如何推动这一主题向前发展的。
2016-09-05 math.AG math.CO math.RT
Birational maps, PBW degenerate flags and poset polytopes
本研究将射影空间与格拉斯曼流形间双有理映射的图闭包结果推广至PBW退化旗簇，分析其组合、代数与几何性质，验证了环面退化的普适性，并通过箭图表示刻画旗簇图闭包。
2024-07-10 math.AG math.CO math.RT
Favourable modules: Filtrations, polytopes, Newton-Okounkov bodies and flat degenerations
我们引入了复幂幺代数群的有利模的概念，它的性质是由一个相关联的多面体的组合。我们描述了模的两个滤子，一个由相应的李代数在PBW基上的全次数给出，另一个由在PBW基上固定一个齐次单项式序给出.在有利的情况下，模块的基础是参数化的正常多面体的格点。过滤诱导平坦退化相应的旗品种，其阿贝尔化的版本和复曲面品种，退化的特殊纤维是投影正常和算术科恩-麦考利。多面体本身可以恢复为牛顿-奥昆科夫体。最后，我们给出了有利的模块类的例子。
2015-06-24 math.AG math.RT
PBW degenerate Schubert varieties: Cartan components and counterexamples
近年来，Demazure模和Schubert簇的PBW退化被定义并在一些论文中得到了研究。在类型$\mathrm A$中获得了各种有趣的性质（例如自然嵌入到相应的退化表示和标志变种中的PBW退化），但仅对外尔群元素或最高权有限制。我们表明，这些属性不能持有完全的一般性，由于以下问题的定义。退化品种取决于用于定义它的最高权，而不仅仅取决于它的外尔群稳定子（如PBW退化旗品种以及经典舒伯特品种的情况）。也许令人惊讶的是，最小的反例只出现在$\mathfrak{sl}_6$上。的反例构造的帮助下，在这种情况下出现的嘉当组件的研究。
2019-11-26 math.RT
Poset polytopes and pipe dreams: toric degenerations and beyond
本文利用管道梦想构造Dynkin类型A和C的标记链序多面体的环面退化，并由此引出PBW-单项式基与Newton--Okounkov体等对象。
2024-03-15 math.AG math.CO math.RT
Linear degenerations of flag varieties
线性退化旗型品种是旗型品种的退化，如箭羽格拉斯曼品种。对于A型旗簇，我们通过秩元组得到了这些退化的平坦性、不可约性和正规性的刻画。其中一些同构于Schubert簇，并且可以实现为部分退化李代数的最高权轨道，推广了退化旗簇的相应结果.为了研究正态性，在A型等取向箭图的更广泛的背景下构建了Grassmannians的胞腔剖分。
2016-12-05 math.AG math.RT
Degenerate Schubert Varieties in Type A
在对称群中引入矩形元。在PBW退化的框架中，我们表明，在A型的退化舒伯特品种相关的矩形元素确实是一个舒伯特品种的部分旗品种的相同类型的具有较大的秩。此外，退化的Demazure模块相关的矩形元素是同构的Demazure模块为这个特定的舒伯特各种更大的秩。这推广了Cerulli Irelli，Lanini和Littelmann以前的PBW退化旗品种的结果。
2019-02-09 math.AG math.CO math.RT
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
2015-07-06 math.AG math.CO math.RT
Linear degenerations of flag varieties: partial flags, defining equations, and group actions
本文继续、推广和扩展了[G. Cerulli Irelli，X. Fang、黄毛菊E. Feigin，G.傅立叶，M. Reineke，Math. Z. 287（2017），no. 1-2，615-654]。我们实现了部分旗品种的等方向的A型箭图的Grassmannian和构造线性退化，通过改变相应的Grassmannian表示。我们证明了存在最深平坦退化和最深平坦不可约退化：前者是mf-退化旗簇的部分模拟，后者与部分PBW-退化旗簇一致.我们计算了平坦不可约轨迹中轨道数的母函数，并研究了平坦不可约轨迹退化的自然线丛族。我们还明确地描述了这些退化的约化概形结构，并推测类似的结果适用于整个平坦的轨迹。最后，我们证明了一个类似的Borel-Weil定理的平坦不可约轨迹。
2019-01-30 math.AG math.CO math.RT
Birational sequences and the tropical Grassmannian
本文介绍了Grassmannian的迭代序列，这是一类新的Fang Fourier Littelmanns双有理序列，并解释了它们如何在Speyer-Sturmfels的热带Grassmannian序列$\text{trop}(\text{Gr}(k,\mathbb C^n))$中产生点.对于$\text{Gr}(2,\mathbb C^n)$，我们表明，相关的估值诱导复曲面退化。我们递归地描述相应的Newton-Okounkov多面体，这是一个超立方体的特殊顶点，因此积分的顶点。我们进一步证明，每一个环面退化的$\text{Gr}(2,\mathbb C^{n})$构造使用热带格拉斯曼序列可以恢复。
2021-05-11 math.AG math.RT
Chain-order polytopes: toric degenerations, Young tableaux and monomial bases
本文将Gelfand--Tsetlin偏序集标记链序多面体的环面簇实现为旗簇的Gröbner退化，并利用pipe dreams将标准单项式理论与PBW-单项式基推广至任意MCOP，同时引入半无穷pipe dreams构造半无穷Grassmannian的环面退化族。
2024-06-27 math.AG math.CO math.RT
Families of Gröbner Degenerations, Grassmannians and Universal Cluster Algebras
设$V$是由加权齐次理想$J$定义的加权射影簇，$C$是$m$射线在$J$的Gröbner扇中的极大锥.我们在$\mathbb A^m$上构造了一个平坦族，它集合了与$C$的所有面相关的$V$的Gröbner退化.这是经典的单参数Gröbner退化与权重的多参数推广。我们解释了如何我们的家庭可以从卡维-曼侬最近的工作的分类复曲面平面家庭复曲面品种：它是拉回的复曲面家庭定义的里斯代数与基地$X_C$（复曲面品种相关联的$C$）沿通用torsor $\mathbb A^m \to X_C$。我们将这种构造应用于具有Plücker嵌入的Grassmannian ${\rm Gr}(2,\mathbb C^n)$和具有簇嵌入的Grassmannian ${\rm Gr}\big(3,\mathbb C^6\big)$。在每种情况下，都存在唯一的极大Gröbner锥，其相关的初始理想是簇复形的Stanley-Reisner理想。我们表明，相应的集群代数与通用系数出现的代数定义的平坦家庭与这个锥。此外，对于${\rm Gr}(2,\mathbb C^n)$，我们展示了如何Escobar-Harada的牛顿-Okounkov体的突变可以恢复为热带化的簇突变。
2021-06-10 math.AC math.AG math.RT
Gelfand--Tsetlin degenerations of representations and flag varieties
我们的主要目标是表明，Gelfand-Tsetlin复曲面退化的A型旗品种可以得到一个退化的表示理论框架内类似的PBW退化的理论。事实上，我们提供了这样的框架之间的旗品种和GT复曲面品种中间的所有Gröbner退化。这些退化被证明会导致不可约表示上的过滤，并且相关的分次空间受到某种结合代数的作用。为了实现我们的目标，我们构造嵌入我们的Gröbner退化到投影说，相关的分次空间在这个行动。我们还得到了一个明确的描述，参数化的Gröbner退化，我们认为在热带旗品种的最大锥。在附录中，我们提出了一个替代解决方案的问题，依赖于过滤和分级的非阿贝尔有序半群。
2020-10-05 math.AG math.RT
Degenerations of maps to projective spaces
本文研究光滑射影簇线性系退化产生的箭图表示，刻画了双分支情形下余维1子空间箭图Grassmann流形的几何结构，证明其为约化局部完全交且分支有理同维，并揭示其作为射影空间极限与Mustafin簇特殊纤维的联系。
2025-07-01 math.AG math.RT
On the cohomology of quiver Grassmannians for acyclic quivers
对于一个非循环的代数，我们建立了代数$U_q^-(\mathfrak{g})$的上同调和对偶标准基之间的联系，其中$U_q^-(\mathfrak{g})$是与代数相关的量子化包络代数的负半部分.为了达到这一目的，我们利用Lusztig范畴研究了Grassmannian算子的上同调。因此，我们明确地描述了严格的Poincaré多项式的Grassmannian的对偶正则基，这被视为量子洗牌代数的元素的系数。利用这一结果，我们给出了关于Grassmanian算子的奇上同调消灭定理的另一个证明。同时，对于Dynkin箭图，我们证明了刚性Grassmannian的Poincaré多项式是代数$U_q^-(\mathfrak{g})$的对偶PBW基的系数.
2020-12-05 math.AG math.RT
Normality of Schubert varieties in affine Grassmannians
本文分类了任意域上半单群仿射格拉斯曼流形中的正规Schubert簇，特别关注小正特征，通过切空间计算、Levi引理和极小退化分类给出初等证明。
2025-07-09 math.AG math.RT
Computing toric degenerations of flag varieties
我们计算环面退化所产生的热带化的全旗品种$\mathcal{F}\ell_4$和$\mathcal{F}\ell_5$嵌入产品的格拉斯曼。对于$\mathcal{F}\ell_4$和$\mathcal{F}\ell_5$，我们比较环面退化所产生的字符串多面体和FFLV多面体与那些从热带化的旗品种。我们还提出了一个一般的程序，找到环面退化的情况下，所产生的初始理想的一个锥的热带化的品种是不是素数。
2018-02-03 math.AC math.AG math.CO
Symplectic Grassmannians and Cyclic Quivers
本文将箭图Grassmann流形方法推广到辛Grassmann簇退化情形，构造胞腔分解、计算Euler示性数与Poincaré多项式，并证明不可约分支数等于经典辛Grassmann流形的Euler示性数。
2024-10-04 math.AG math.CO math.RT
Flat degenerations of flag supermanifolds for basic Lie superalgebras
本文将经典旗簇退化方法推广至超设定，通过调整表示基与滤波技术，构造了基本李超代数旗超流形的平坦退化，并探讨了退化至环面超簇的条件。
2025-04-28 math.AG math.RT
Essential bases and toric degenerations arising from birational sequences
我们提出了一种新的方法来构建$T$ -等变平坦环面退化的旗簇和球面簇，结合的想法来自牛顿-Okounkov体的理论与思想最初源于PBW-过滤。对于由双有理序列和单项式序组成的每一对$(S,>)$，我们给仿射簇$G/\hskip -3.5pt/U$附加一个幺半群$Γ=Γ(S,>)$。作为副作用，我们得到$\mathbb C[G/\hskip -3.5pt/U]$的向量空间基$\mathbb B_Γ$，元素由$Γ$索引。基$\mathbb B_Γ$具有与对偶正则基非常相似的乘法性质。一旦知道幺半群$Γ$是连续生成的和饱和的，这就可以把阿列克谢耶夫和布里昂的方法\cite{AB}转移到这个更一般的设置上。
2017-03-13 math.AG math.RT
FFLV-type monomial bases for type $B$
我们在每一个有限维不可约$\mathfrak{so}_{2n+1}$ -模中给出了一个组合单项基（或者更精确地说，一族单项基）。这些碱基在许多方面类似于$A$和$C$型的FFLV碱基。它们也通过在某些三角网格中的Dyck路径上的求和组合地定义。然而，我们的求和涉及的权重取决于相应根的长度。因此，我们的基地也诱导基地在某些退化的模块，但这些退化不是从过滤PBW度，但通过其加权版本。
2018-08-29 math.CO math.RT
Cycles relations in the affine grassmannian and applications to Breuil--Mézard for G-crystalline representations
本文通过仿射Grassmannian中的闭子概形圈关系实现了$\widehat{G}$-表示的Grothendieck群恒等式，并将其与$G$-值晶体表示模空间几何相联系，推导出小Hodge类型下Breuil--Mézard猜想的一个方向。
2025-05-02 math.AG math.NT math.RT
Some Lagrangian quiver Grassmannians for the equioriented cycle
本文证明等定向循环箭图格拉斯曼簇的辛子簇 $X(n,2n)^{sp}$ 上轨道闭包序与辛抛接模式序一致，计算轨道维数，并证明其 GKM 性质。
2025-10-08 math.AG math.CO math.RT
Toric degenerations: a bridge between representation theory, tropical geometry and cluster algebras
本文研究了投射簇的环面退化。我们比较不同的结构，以了解如何以及为什么它们是相关的，作为发展一个全球框架的第一步。重点是从表示论，热带几何和集群代数环面退化。通常这些依赖于估值和牛顿-奥肯科夫体理论。复曲面退化可以看作是原始对象的组合阴影。因此，我们的目标是理解为什么不同的理论是如此密切相关，通过理解他们首先产生的环面退化。我们选择Grassmannian、Flag变体和Schubert变体作为出发点，因为这里有许多不同的结构适用。我们的一个主要结果给出了一个充分条件，当环面退化获得满秩估值，独立于这些是如何构建的，可以实现使用热带几何。
2018-06-06 math.AG math.RT
Linear degenerations of Schubert varieties
RPTU University Kaiserslautern-Landau（凯泽斯劳滕-兰道莱布尼茨技术大学）
本文通过特殊箭形 Grassmannian 类定义 Schubert 变种的线性退化，并提供了两种轨道参数化方法，其中一种描述了轨道上的偏序关系。
2026-02-14 math.RT
Quantum dimensions and their non-Archimedean degenerations
本文给出了不可约$M_F$ -球面$K_F$ -表示的显式维数公式，其中$K_F$是局部域$F$上一般线性群$GL(d,F)$的极大紧子群，$M_F$是$K_F$的闭子群，使得$K_F/M_F$实现了$F^d$的$n$ -维$F$ -子空间的Grassmannian.我们探讨的事实是，$(K_F,M_F)$是一个Gelfand对，其相关的带状球函数识别与各种退化的多变量小$q$ -雅可比多项式。其结果是，我们导致考虑广义尺寸定义的评价和二次规范的多变量小$q$ -雅可比多项式，其中插在各种经典的尺寸。广义尺寸本身具有表示论的解释，量子尺寸的不可约的球形量子表示与量子复杂的格拉斯曼。
2006-11-08 math.QA math.RT
GKM-Theory for Torus Actions on Cyclic Quiver Grassmannians
我们定义和调查代数环面行动的幂零表示的等向循环的Grassmannian。这种簇的例子是$\tt A$型旗簇、它们的线性退化、$GL_n$ -仿射旗簇和仿射格拉斯曼簇的有限维近似。我们表明，这些Grassmannian，配备了我们的环面行动，GKM品种和他们的时刻图承认的组合描述的系数的基本的Grassmannian表示。通过调整Gonzales的设置结果，我们能够证明矩图技术可以应用于构造上述Grassmannian的等变上同调的模基。
2023-01-02 math.RT
Bruhat order for two subspaces and a flag
经典的Ehresmann-Bruhat序描述了有限维向量空间V中一对旗的可能退化;或者等价地，描述了作用于两个全旗簇的直积的群GL（V）的轨道的闭合。对于V中由两个子空间和一个部分旗组成的三元组，我们得到了类似的结果;这等价于描述GL（V）-轨道在两个格拉斯曼簇和一个旗簇的乘积中的闭包。我们给出了一个秩准则来检验这样一个三元组是否可以退化为另一个三元组，并对最小退化三元组进行了分类。我们的方法只涉及初等线性代数和组合数学的图形（起源于Auslander-Reiten箭图）。
2007-04-23 math.AG math.CO math.RT
Dynkin abelianisations of flag varieties
本文引入Dynkin锥参数化经典李代数的阿贝尔化，将Cerulli Irelli和Lanini关于A、C型旗簇PBW退化为Schubert簇的结果推广到所有源自Dynkin锥的度向量退化情形，并计算了所有经典类型中退化单模的定义关系。
2024-04-08 math.AG math.RA math.RT
Laumon parahoric local models via quiver Grassmannians
本文利用箭图表示理论研究类型 A 中任意仿抛物子群的 Laumon 局部模型特殊纤维，刻画其不可约分支、自然分层和胞腔分解，并证明奇点消解与仿抛物子群间自然投影相容。
2023-07-03 math.AG math.RT
On parabolic Whittaker functions II
我们推导出一个Givental型的固定相位整表示的指定$\Gr_{m,N}$ -Whittaker函数中引入的\cite{GLO2}，这大概描述了$S^1\times U_N$ -等变Gromov-Witten不变量的格拉斯曼簇$\Gr_{m,N}$。我们的主要工具是推广的Whittaker模型的主列$\CU(\frak{gl}_N)$ -模块。特别是，我们的建设包括一个表示论解释Batyrev-Ciocan Fontanine-金-范斯特拉顿环面退化的格拉斯曼，提供了一个直接的连接之间的环面退化的$\Gr_{m,N}$和总的正幂单矩阵。
2011-07-15 math.AG math.RT
Orbit closures and rational surfaces
本文研究了代数闭域上有限维代数$Λ$的有限生成投射模$P$内部给定维数的子模的Grassmann性质.轨道的这样一个子模块$C$的作用下的$\mathrm{Aut}_Λ( P )$的格拉斯曼编码信息退化的$P/C$，并已被认为是由一些作者。本文的目标是约束的几何二维轨道闭包的代表性理论的数据。给出了几个例子来说明之间的相互作用的几何投影表面的出现和相应的偏序集退化。
2014-01-20 math.RT
Degenerate coordinate rings of flag varieties and Frobenius splitting
最近E. Feigin介绍了半单代数群的$\mathbb G_a^N$ -退化及其相关的退化旗簇。Feigin、Finkelberg和Littelmann已经证明，类型$A_n$和$C_n$的退化旗型变种是Frobenius分裂的。本文构造了所有类型的经典旗簇的齐次坐标环的伴随退化，并证明了这些环在大多数类型下是Frobenius分裂的。因此，退化旗型品种$A_n$、$C_n$和$G_2$是Frobenius分裂型。特别是，我们得到了另一个证明分裂类型$A_n$和$C_n$ ;情况$G_2$是以前不知道的。我们还给出了PBW-分次版本的Weyl模的一个表示论条件，它等价于经典标志簇的Frobenius分裂的存在，最大限度地兼容分裂的身份。
2013-08-12 math.AG math.RT
Tropical symplectic flag varieties: a Lie-theoretic approach
本文用李理论方法研究辛旗簇的热带化，显式刻画了一个极大素锥，并证明其内点对应的格罗布纳退化为FFLV多胞体相关的环面簇，关键工具是双有理序列。
2023-02-20 math.AG math.RT
Toric degenerations of cluster varieties and cluster duality
本研究引入带系数的Y-模式与簇X-变体，实现斜对称可约特殊完备化簇X-变体到g-扇环面变体的平坦退化，证明其分层结构与簇对偶性，并给出Grassmannian退化等同及镜像对称中簇对偶与Batyrev-Borisov对偶关联两个应用。
2024-09-11 math.AG math.CO math.RA
Degenerate flag varieties of type A: Frobenius splitting and BW theorem
设$\Fl^a_\la$为$A_{n-1}$型旗叶品种的PBW退化。这些变种是奇异的，并与退化李群$SL_n^a$作用。证明了$\Fl^a_\la$具有有理奇点，是正规的局部完备交，并构造了$\Fl^a_\la$的去奇异化$R_\la$.变种$R_\la$可以被看作是连续的$\bP^1$纤维化的塔，从而提供了经典的Bott-Samelson-Demazure-Hansen去奇异化的类似物。证明了簇$R_\la$是Frobenius分裂的.这给了我们Frobenius分裂退化旗品种，并允许证明$\Fl^a_\la$的Borel-Weyl型定理。利用$R_\la$的Atiyah-Bott-Lefschetz公式，我们计算了最高权$\msl_n$ -模的$q$ -特征标.
2012-09-26 math.AG math.RT
Tropical totally positive cluster varieties
我们研究了一个集群品种的整数热带点之间的关系（满足充分的Fock-Goncharov猜想）和全积极的一个理想的热带化提出相应的集群代数。假设我们给出了一个由Khovanskii基表示的簇代数，该簇代数是一个与几个由突变相关的种子相关联的${\bf g}$ -向量赋值的集合。在存在一个满秩的完全扩展的交换矩阵，我们构造的射线的完全积极的部分的热带化的理想，符合组合与子图的交换图的集群代数对应的种子的集合的子扇。此外，Gross-Hacking-Keel-Kontsevich的复曲面退化与种子的几何信息得到确定的Gröbner复曲面退化从最大锥的热带化。作为应用，我们证明了一个猜想之间的关系Rietsch-Williams的估值格拉斯曼所产生的plabic图\cite{RW17}的Kaveh-Manon的工作的估值从热带化的理想\cite{KM16}。在第二个应用程序中，我们给出了部分答案的问题，如果费根傅立叶Littelmann-Vinberg退化的全旗品种类型$\mathtt A$是同构的退化得到的集群结构。
2022-11-27 math.AC math.AG math.RT
Degenerating products of flag varieties and applications to the Breuil--Mezard conjecture
本文通过退化旗簇乘积构造仿射格拉斯曼流形中的闭子概型，并将其与GL_2表示论及Emerton-Gee栈中低权重晶体子空间的几何相联系，进而证明二维Breuil-Mézard猜想的新情形。
2023-05-09 math.AG math.NT math.RT
