Faster Exact and Approximate Algorithms for $k$-Cut
在$k$ -割问题中，我们给出一个边权图$G$和一个整数$k$，并且必须去掉一组总权最小的边，使得$G$至少有$k$连通分支.目前最好的算法是Karger和Stein提出的$O(n^{(2-o(1))k})$随机算法和Thorup提出的$\smash{\tilde{O}}(n^{2k})$确定性算法。此外，几个$2$近似算法是已知的问题（由于Saran和Vazirani，Naor和Rabani，以及Ravi和Sinha）。如何提高精确算法的运行时间和获得更好的近似算法一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们提出了一个$O(k^{O(k)} \, n^{(2ω/3 + o(1))k})$ -时间算法的$k$ -削减。此外，我们展示了一个$(1+ε)$近似算法，运行在时间$O((k/ε)^{O(k)} \,n^{k + O(1)})$，和一个$1.81$近似固定参数的时间$O(2^{O(k^2)}\,\text{poly}(n))$。
2019-03-21 cs.DS
Faster Algorithms for Parametric Global Minimum Cut Problems
参数全局最小割问题涉及一个图$G = (V,E)$，其中每条边的代价是某个固定维数$d$的参数$μ\in \mathbb{R}^d$的仿射函数。我们考虑在给定方向上寻找下一个断点的问题，以及寻找具有最大最小割值的参数值的问题。我们为这些问题开发了强多项式算法，比Megiddo参数搜索技术的简单应用更快。我们的结果表明，下一个断点问题比最大值问题更容易。
2019-11-26 cs.DM cs.DS
Faster All-Pairs Minimum Cut: Bypassing Exact Max-Flow
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文提出一种新的无向图最小s,t-割算法，通过构造保最小s,t-割的稀疏化方法，在多种计算模型下实现了更高效的全部对最小割算法。
2026-04-06 cs.DS
A Faster Algorithm for Independent Cut
本研究改进了独立割存在性判定问题的算法，将原最快的$\n\nmathcal{O}^*(1.4423^n)$时间复杂度降至$\n\nmathcal{O}^*(1.4143^n)$，给出最大度受限图的更精细复杂度界，并证明该问题在高最小度图上为固定参数可解。
2025-05-21 cs.DS
Friendly Cut Sparsifiers and Faster Gomory-Hu Trees
我们设计了新的切割稀疏因子，与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化相关[Jummica，1992]，这是一种算法，给定$n$节点上的未加权图$G$和参数$k$，计算具有$O(nk)$边的子图，该子图保留$k$的所有切割值。我们提出了友好切割稀疏因子的概念，它是$G$的一个未成年人，它保留了$k$的所有友好切割值，其中$G$中的切割被称为友好的，如果每个节点有更多的边将其连接到切割的自己一侧而不是另一侧。我们提出了一个算法，给定一个简单的图$G$，计算在几乎线性时间的友好切割稀疏与$\tilde{O}(n \sqrt{k})$边缘。使用类似的技术，我们还展示了如何，另外一个终端集$T$，人们可以计算在几乎线性时间的终端稀疏，它保留了最小的$st$ -削减之间的每对终端，与$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$边缘。将这些稀疏器插入到最近的用于构造简单图的Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法中，以及用于处理不友好的最小割的相对简单的过程，我们改进了中等密集图的运行时间（例如，具有$m=n^{1.75}$边缘）。特别地，假设线性时间最大流算法，新的Gomory-Hu树的最新技术是我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$和已知的$m n^{1/2+o(1)}$之间的最小值。我们进一步研究这种方法的局限性和更好的稀疏化的可能性。…
2021-10-29 cs.DS
A Distanced Matching Game, Decremental APSP in Expanders, and Faster Deterministic Algorithms for Graph Cut Problems
扩张图在图论和算法中起着核心作用。随着围绕它们开发的许多强大的算法工具，例如切割匹配游戏，扩展器修剪，扩展器分解，以及扩展器中的递减所有对最短路径（APSP）算法，仅举几例，扩展器在图形算法设计中的使用已经变得无处不在。我们感兴趣的具体应用是快速确定性算法的静态图中的切割问题，和算法的动态距离为基础的图形问题，如APSP。不幸的是，在这些环境中使用扩张器会导致许多缺点。例如，目前已知的最好的用于常数度扩展器中的递减APSP的算法对于任何$ε$只能实现具有$n^{1+O(ε)}$总更新时间的$(\log n)^{O(1/ε^2)}$近似。所有目前已知的算法切割匹配游戏中的切割球员要么是随机的，或提供相当弱的保证。这反过来又导致了几个中心切割问题的算法保证有些弱：例如，目前最好的几乎线性时间确定性算法的Sparling-Cut只能实现近似因子$(\log n)^{ω(1)}$。最后，当依赖于扩展器在基于距离的问题，如动态APSP，通过目前的方法，似乎不可避免的是，一个必须解决的近似因子，至少是$Ω(\log n)$。在本文中，我们提出了使用良好的连接图，并介绍了一个新的算法工具包，这样的图，在某种意义上说，反映了上述算法工具的扩展。这些新工具之一是距离匹配游戏，一个类似于切割匹配游戏的良好连接图。我们通过为上述几个问题获得更好的结果来展示这些新工具的强大功能。
2022-12-08 cs.DS
Faster Parallel Multiterminal Cuts
我们给出了一个改进的分支定界求解器的多端切割问题的基础上，最近的工作Henzinger等人。我们贡献了新的，高效的数据简化规则，将图转换为一个更小的等效实例。此外，我们提出了一个局部搜索算法，可以显着提高一个给定的解决方案的多端切割问题。与Henzinger等人的最新算法相比，我们的精确算法能够对更多更难的问题给出精确解;并为超过三分之二的问题提供更好的解决方案，这些问题太大而无法解决最优性。此外，我们给出了一个不精确的启发式算法，计算高质量的解决方案非常困难的情况下，在合理的时间。
2020-04-24 cs.DS math.CO
Faster Algorithms for All-Pairs Bounded Min-Cuts
所有对最小割问题（又称所有对最大流）要求为所有顶点对$s,t$计算最小$s$-$t$割（或仅计算其值）。我们在有向图中研究这个问题，单位边/顶点容量（对应于边/顶点连通性）。我们的重点是在$k$有界的情况下，该算法必须找到所有对最小割值小于$k$，并报告只有这些。最基本的情况$k=1$是传递闭包（TC）问题，该问题可以在具有$n$顶点和$m$边的图中按时间$O(mn)$组合求解，也可以按时间$O(n^ω)$求解，其中$ω<2.38$是矩阵相乘指数。这些时间界限被证明是最优的。我们提出了新的算法和条件下界，推进边境较大的$k$，如下：（一）一个随机算法的顶点容量，运行时间$O((nk)^ω)$。(ii)两个确定性算法的边缘容量（这是更普遍的），工作在DAG和进一步报告每对的最小切割。第一种算法是组合的（不涉及矩阵乘法），并且在时间$O(2^{O(k^2)}\cdot mn)$中运行。第二种算法在密集DAG上可以更快，并且在时间上运行$O((k\log n)^{4^k+o(k)} n^ω)$。(iii)在$4$ -Clique猜想下，$n^{ω-1-o(1)} k^2$时间的第一个超立方下界，即使在最简单的单位顶点容量的DAG情况下也成立。它改进了以前的（基于SETH的）下限，即使在无界设置$k=n$。对于组合算法，我们的减少意味着一个$n^{2-o(1)} k^2$条件下界。因此，我…
2019-02-21 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
Faster Minimum k-Cut II: Improved Randomized and Deterministic Algorithms for Weighted Graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出加权图 Minimum k-Cut 的随机化和确定性算法，时间复杂度为 k^{O(k^2)} n^{k-1}，匹配条件下界，其中 k=3 时达到 O(n^2 log^2 n) 随机时间和 O~(n^2) 确定时间。
2026-09-24 cs.DS
Local Flow Partitioning for Faster Edge Connectivity
研究了简单无向图的最小割问题，给出了一个确定性的$O(m \log^2 n \log\log^2 n)$时间算法。这改进了$O(m \log^{12} n)$（Kawarabayashi和Thorup，STOC 2015）的最佳先前已知的确定性运行时间和$O(m \log^{3} n)$（Karger，J.ACM 2000）的最佳先前已知的随机化运行时间，尽管Karger的算法可以进一步应用于加权图。此外，我们的结果扩展到平衡有向图，其中有向图的平衡捕获图是如何接近欧拉的。我们的方法是使用Kawarabayashi和Thorup图压缩技术，反复发现低电导削减。为了找到这些切口，他们使用基于扩散的局部算法。相反，我们使用基于流的本地算法，并适当地调整其框架，以与我们的基于流的子例程。基于流动和扩散的方法都有很长的历史，被应用于寻找低电导切割。扩散算法有几种变体，它们自然是局部的，而使流方法局部化则更复杂。一些先前的工作已经证明了基于局部流的算法在改善或清除低电导切割方面的良好特性。然而，我们的流量子程序是第一个既本地又产生低电导切割的子程序。因此，它可能具有独立利益。
2019-11-08 cs.DS
Faster MAX-CUT on Bounded Threshold Rank Graphs
MIT EECS and CSAIL（麻省理工学院电气与计算机科学系及计算机科学与人工智能实验室）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
针对有界阈值秩图上的2CSP近似问题，结合子空间枚举与半定规划设计新算法，得到首个poly(1/ε)时间的MAX-CUT(1+O(ε))近似方案，将2CSP运行时间提升至近线性。
2025-11-14 cs.DS
Minimum Cut of Directed Planar Graphs in O(nloglogn) Time
本文给出了一个计算加权有向平面图的最小割（或等价地，最短圈）的$O(n \log \log n)$时间算法。这改进了以前最快的$O(n\log^3 n)$解决方案。有趣的是，虽然在无向平面图中，最小割和最小$st$ -割都有$O(n \log \log n)$解，但在有向平面图中，我们的结果使最小割比最小$st$ -割更快，目前需要$O(n \log n)$。
2016-11-12 cs.DS
Faster connectivity in low-rank hypergraphs via expander decomposition
我们设计了一个计算超图连通性的算法，该算法在时间上运行$\hat O_r(p + \min\{λ^{\frac{r-3}{r-1}} n^2, n^r/λ^{r/(r-1)}\})$（$\hat O_r(\cdot)$隐藏了主参数中的次多项式项和仅依赖于$r$的项），其中$p$是超图的大小，$n$是顶点数，$r$是超图的秩。当秩为常数且连通度$λ$为$ω(1)$时，该算法比现有算法更快.在我们的算法的核心是一个结构性的结果，在简单超图的最小割。我们展示了一个权衡之间的超边的数量参加所有的最小切割和最小切割的较小的一面的大小。这个结构结果可以看作是简单图的一个著名结构定理的推广[Kawarabayashi-Thorup，JACM 19]。为了证明这个结构性结果，我们将扩展分解的框架扩展到简单超图。我们还对结构性结果进行了构造性证明，从而得到了我们的超图连通性快速算法。
2021-11-14 cs.DS
Parameterized Algorithms for Maximum Cut with Connectivity Constraints
本文研究了\textsc{Maximum Cut}的两个变体，我们称之为\textsc{Connected Maximum Cut}和\textsc{Maximum Minimal Cut}。在这些问题中，给定一个未加权图，目标是计算满足某些连通性要求的最大割。这两个问题都是NP完全的，即使在平面图上，而平面图上的\textsc{Maximum Cut}在多项式时间内是可解的。我们首先证明了这些问题是NP-完全的，即使在平面二部图和分裂图。然后，我们给出了参数化算法，使用图的参数，如树的宽度，树的宽度，和双覆盖数。最后，我们得到FPT算法的解决方案的大小。
2019-08-09 cs.DS
Faster Algorithms for Global Minimum Vertex-Cut in Directed Graphs
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）；University of Haifa（海法大学）
本文提出了一种更高效的有向图全局最小顶点割算法，时间复杂度为O(mn^{0.976}·polylog W)，并改进了无权版本的算法。
2025-12-30 cs.DS
Improved Analysis of a Max Cut Algorithm Based on Spectral Partitioning
Trevisan [SICOMP 2012]提出了一种基于频谱分割技术的最大切割算法。这是第一个近似保证严格大于1/2的Max-Cut算法，它不是基于半定规划的。Trevisan证明了它的近似比至少为0.531。在本文中，我们将这个界限提高到0.614247。我们还定义和扩展这一结果更一般的最大色割问题。
2014-12-02 cs.DS
Approximation Algorithms for Connected Maximum Cut and Related Problems
连通最大割问题的一个实例由一个无向图G =（V，E）组成，目标是找到一个顶点子集S $\subseteq$ V，该子集最大化割δ（S）中的边数，使得导出图G[S]是连通的。利用新的技巧给出了一般图的连通最大割问题的第一个非平凡Ω（1/log n）近似算法。然后，我们将我们的算法扩展到边加权的情况下，得到一个多对数近似算法。有趣的是，与经典的最大割问题形成鲜明对比的是，我们表明，连接的最大割问题仍然是NP-困难的，即使在未加权，平面图。在积极的一面，我们得到了一个多项式时间的近似计划的平面图和更一般的图有界亏格的连通最大割问题。
2015-07-02 cs.DS
Tree-Packing Revisited: Faster Fully Dynamic Min-Cut and Arboricity
TU Graz（格拉茨工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文重新审视树打包与最小割的关系，证明只需维护Θ(λ³ log m)棵贪心树即可保证1-尊重割或平凡割，并基于此给出确定性全动态精确最小割算法，最坏情况更新时间为Õ(λ^{5.5}√n)，同时首次给出全动态分数树密度的(1+ε)-近似算法。
2026-08-20 cs.DS
Complex Semidefinite Programming and Max-k-Cut
在第二篇关于半定规划在图分割问题中的应用的开创性论文中，戈曼斯和威廉姆森展示了如何制定和舍入一个复杂的半定规划，以给出迄今为止最著名的Max- $3$ -Cut的.836008近似保证。(This近似比也由De Klerk等人独立获得）。Goemans和Williamson留下了如何将他们的技术应用于一般$k$的Max- $k$ -Cut的问题。他们指出，对于一般的Max- $k$ -Cut问题，似乎不容易甚至不可能制定一个高质量的复半定规划，这对他们的技术的进一步应用构成了障碍。本文给出了$k$ -Cut的标准半定规划松弛的一个简单的舍入算法，并证明了它与$3$ -Cut的Goemans和Williamson的舍入算法是等价的.这使我们能够将Goemans和Williamson对Max-3-Cut的优雅分析转移到Max- $k$ -Cut。对于$k \geq 4$，得到的近似比大约比最好的已知保证差$.01$。最后，我们提出了一个概括我们的舍入算法和猜想（基于计算观察），它匹配最知名的保证德克勒克等人。
2018-12-27 cs.DS
The Maximum Cut Problem in Co-bipartite Chain Graphs
一个\emph{co-bipartite chain}图是一个共二部图，其中每个团中的顶点的邻域可以关于包含线性排序。已知共二部图的最大割问题（MaxCut）是NP-难的。我们考虑在co-bipartite链图的MaxCut。我们首先考虑双自由的情况下，并提出了一个明确的解决方案。然后，我们表明，MaxCut是多项式时间在这个图形类可解。
2015-04-14 cs.DS
Bilu-Linial Stable Instances of Max Cut and Minimum Multiway Cut
我们研究了Bilu和Linial提出的稳定性概念。我们得到了一个精确的多项式时间算法的$γ$稳定的最大割实例与$γ\geq c\sqrt{\log n}\log\log n$的一些绝对常数$c > 0$。我们的算法是鲁棒的：它永远不会返回错误的答案;如果实例是$γ$ -稳定的，它会找到最大切割，否则，它要么找到最大切割，要么证明实例不是$γ$ -稳定的。我们证明了，没有强大的多项式时间算法的$γ$稳定的情况下，最大切割时，$γ< α_{SC}(n/2)$，其中$α_{SC}$是最佳逼近因子的非均匀需求的稀疏切割。我们的算法是基于半定规划。我们证明了最大割的标准SDP松弛（具有$\ell_2^2$三角不等式）是积分的，如果$γ\geq D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$，其中$D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$是每个负型$n$点度量空间嵌入到$\ell_1$中的最小失真.在消极的一面，我们表明，SDP弛豫是不完整的，当$γ< D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n/2)$。此外，当$γ< α_{SC}(n/2)$时，对于最大割的$γ$稳定实例，不存在易处理的凸松弛。这表明用$γ=o(\sqrt{\log n})$解决$γ$稳定实例可能很困难或不可能。我们的结果显着改善以前已知的结果。最大切割的$γ$稳定实例的最佳已知算法要求$γ\geq …
2013-11-11 cs.DS
A Fixed-Parameter Algorithm for the Max-Cut Problem on Embedded 1-Planar Graphs
我们提出了一个固定参数的易于处理的算法的\textsc{Max-Cut}问题的嵌入1-平面图参数的交叉数$k$的给定嵌入。一个图称为1-平面图，如果它可以画在平面上，每条边最多有一个交叉。我们的算法递归减少1-平面图，最多$3^k$平面图，使用边缘删除和节点收缩。的\textsc{Max-Cut}的问题，然后解决了平面图使用已建立的多项式时间算法。我们证明了在给定的1-平面图中的最大割可以从平面图的解导出。我们的算法计算一个嵌入的1-平面图的最大割$n$节点和$k$边交叉时间$\mathcal{O}(3^k \cdot n^{3/2} \log n)$。
2018-05-30 cs.DS
Fixed-Parameter Algorithms for the Weighted Max-Cut Problem on Embedded 1-Planar Graphs
对于嵌入1-平面图上的加权最大割问题，我们提出了两个固定参数的易处理算法，其参数是给定嵌入的交叉数$k$.一个图称为1-平面图，如果它可以画在平面上，每条边最多有一个交叉。我们的算法递归减少1-平面图，最多$3^k$平面图，使用边缘删除和节点收缩。然后，我们的主要算法使用Liers和Pardella [23]引入的FCE-MaxCut解决平面图的Max-Cut问题。在非负边权重的情况下，我们提出了一个变体，允许用任何平面最大切割算法来解决平面实例。我们证明了在给定的1-平面图中的最大割可以从平面图的解导出。我们的算法计算一个嵌入的加权1-平面图的$n$节点和$k$边交叉时间$O(3^k \cdot n^{3/2} \log n)$的最大割。
2020-11-30 cs.DS
Deterministic Min-cut in Poly-logarithmic Max-flows
我们给出了一个确定性的算法，找到最小（重量）削减的$n$顶点和$m$边缘使用$\text{polylog}(n)$调用任何最大流子程序的无向图。使用目前最好的确定性最大流算法，这产生的总运行时间为$\tilde O(m \cdot \min(\sqrt{m}, n^{2/3}))$的加权图，和$m^{4/3+o(1)}$的非加权（多）图。这标志着第一次改善这个问题，因为运行时间界的$\tilde O(mn)$是由几篇论文在20世纪90年代初建立。我们的全球最小切割算法得到的最小施泰纳切割算法的推论，其中最小施泰纳切割是一个最小（重量）的边缘，其删除断开至少一对顶点之间的指定的一组终端顶点。我们的确定性最小Steiner切割算法的运行时间匹配的全局最小切割算法上述。使用随机化，运行时间提高到$m^{1+o(1)}$，因为一个更快的最大流子程序;这也提高了最小Steiner切割问题的最佳已知随机化算法。我们主要的技术贡献是一种新的工具，我们称之为“隔离切割”。给定一组顶点$R$，这需要找到将每个单独的顶点$v\in R$与其余顶点$R\setminus \{v\}$分开（或隔离）的最小权重的切割。简单地说，这可以使用$|R|$最大流调用，但我们表明，只要$O(\log |R|)$足以找到隔离切割的任何一组顶点$R$。我们称之为“孤立割引理”（isolating cut lemma）。
2022-05-28 cs.DS
Local Guarantees in Graph Cuts and Clustering
相关聚类是一个优雅的模型，它可以捕获基本的图切割问题，例如组合优化中广泛研究的最小$s-t$切割，多路切割和多切割。这里，我们给出一个图，其边标记为$+$或$-$，目标是产生尽可能与标签一致的聚类：聚类内的$+$边和聚类间的$-$边。相关聚类（和其他图切割问题）的经典方法是优化全局目标。我们离开这一点，并研究当地的目标：最大限度地减少分歧的边缘事件在一个单一的节点，和类似的最大最小协议的目标。这自然会产生一个家庭的基本最小最大图切割问题。一个典型的代表是最小最大$s-t$切割：找到一个$s-t$切割，最大限度地减少任何节点上的切割边的最大数量。我们提出以下结果：$(1)$是求解最小化任意结点上不一致边的最大总权问题的一个$O(\sqrt{n})$ -近似（从而提供了第一个已知的近似上述家庭的最小最大图切割问题），$(2)$一个非常简单的$7$ -近似最小化局部分歧完全图（在$48$的先前最佳已知近似的基础上进行改进），以及$(3)$是用于最大化入射在任何节点上的一致边的最小总权重的$1/(2+\varepsilon)$近似，从而改进了$1/(4+\varepsilon)$ -近似，该近似是从切割和政党联盟博弈中的近似纯纳什均衡的研究中得出的。
2017-04-02 cs.DS
Faster Minimum k-Cut I: Simple and Sparse Weighted Graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对简单图的最小 k 割问题，提出首个亚二次指数时间算法，结合权重扰动、树分解与边界/岛屿框架，实现 c<1 的常数指数改进。
2026-09-24 cs.DS
Faster Maximium Priority Matchings in Bipartite Graphs
最大优先级匹配是无向图中的匹配，其最大化关于给定顶点优先级定义的优先级分数。早期的一篇论文展示了如何在未加权图中找到最大优先级匹配。本文介绍了一种算法的二分图，是更快的不同的优先级类的数量是有限的。对于具有$k$不同优先级类别的图，它在$O(kmn^{1/2})$时间内运行，其中$n$是图中的顶点数，$m$是边数。
2015-12-31 cs.DS
Subexponential LPs Approximate Max-Cut
我们发现，对于每一个$\varepsilon > 0$，度$n^\varepsilon$ Sherali-Adams线性规划（与$\exp(\tilde{O}(n^\varepsilon))$变量和约束）近似的最大切割问题的$(\frac{1}{2}+\varepsilon')$的一个因素内，一些$\varepsilon'(\varepsilon) > 0$。我们的结果提供了一个令人惊讶的逆已知的下界对所有线性规划松弛的最大割，因此解决了扩展的复杂性近似最大割近似因子接近$\frac{1}{2}$（高达功能$\varepsilon'(\varepsilon)$）。以前，只有半定程序和谱方法被称为产生近似因子优于$\frac 12$的最大切割时间$2^{o(n)}$。我们还表明，常数度Sherali-Adams线性规划（$\text{poly}(n)$变量和约束）可以解决最大切割的逼近因子接近$1$的小阈值秩的图：这是第一个连接，我们知道阈值秩和线性规划算法之间。我们的结果分离的权力Sherali-Adams与Lovász-Schrijver层次近似最大切割，因为它是已知的，$(\frac{1}{2}+\varepsilon)$近似最大切割需要$Ω_\varepsilon (n)$轮在Lovász-Schrijver层次。我们还提供了一个次指数时间近似霍特的独特的游戏问题：我们表明，…
2020-04-17 cs.DS
Deterministic Edge Connectivity and Max Flow using Subquadratic Cut Queries
本文提出首个在割查询模型中以 \widetilde{O}(n^{5/3}) 次查询求简单图全局最小割的确定性算法，并给出相应最大流算法及扩展器分解、孤立割的高效实现。
2024-10-24 cs.DS
Streaming Max-Cut in General Metrics
Peking University（北京大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究了在一般度量空间中流式处理最大割问题，提出了一种仅需对数空间的近似算法，并在动态流式设置中给出了多项式空间的下界，展示了与欧几里得空间的不同之处。
2026-04-30 cs.DS
Streaming Lower Bounds for Approximating MAX-CUT
本文研究了流计算模型中图的最大割值的估计问题。在一个极端情况下，对于该问题存在仅使用$O(\log n)$空间的平凡$2$ -近似，即，计算边缘的数量并输出该值的一半作为最大切割值的估计。在另一个极端，如果允许$\tilde{O}(n)$空间，则可以通过存储基本上保留最大割的$\tilde{O}(n)$大小的稀疏化器来获得最大割值的近最优解。一个有趣的问题是，多对数空间是否足以获得最大截值的非平凡近似（即，击败因子$2$）。最近的研究表明，估计图中最大匹配的大小的问题允许在多对数空间中的非平凡近似。我们的主要结果是，任何流算法，打破$2$近似障碍需要$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间，即使输入图的边缘是随机顺序。我们的结果是通过展示分布图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离二部，并建立$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间是必要的，以区分这两种情况。因此，作为一个直接的推论，我们得到，$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间也是必要的，以测试，如果一个图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离是二部。我们还表明，对于任何$ε> 0$，任何流算法，获得一个$(1 + ε)$ -近似的最大切割值时，边缘到达敌对的顺序需要$n^{1 - O(ε)}$空间，这意味着$Ω(n)$空间是必要的，以获得一个任意好的近似的最大切割值。
2014-09-07 cs.DS
Faster exact solution of sparse MaxCut and QUBO problems
最大割问题是组合优化的基本问题之一。随着量子计算机的出现，最大割和等价的二次无约束二元最优化问题近年来引起了人们的极大兴趣。本文旨在通过在数字计算机上使用数学规划技术来推进这两个问题的精确解的最新技术水平。主要的重点在于稀疏的问题实例，虽然也可以解决密集的问题。我们增强了几个算法组件，如减少技术和切割平面分离算法，并将它们结合在一个精确的分支和切割求解器。此外，我们提供了一个并行的实现。新的求解器显着优于现有的最先进的软件稀疏MaxCut和QUBO实例。此外，我们还改进了第七届DIMACS挑战赛和QPLIB中几个实例的最佳边界，并首次将其中一些解决为最优。
2022-02-04 cs.DM cs.DS math.OC
Streaming and Massively Parallel Algorithms for Euclidean Max-Cut
本文研究海量数据模型下的欧几里得最大割，基于并行、子采样的贪心框架，给出常数轮 MPC 与动态流式算法，并解决流式算法无法访问近似最优割的开放问题。
2025-03-18 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Local algorithms for the maximum flow and minimum cut in bounded-degree networks
提出一种确定性常数时间局部算法，在有界度、有界容量的多源多汇网络中构造近似最大流与最小分数割，并推广至单模随机网络及最大流最小割定理。
2023-11-02 cs.DS
Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut
本文研究第二最小容量 (s,t)-割，提出仅需 O(√n) 次最大流计算的有向图算法，并给出 O(m) 时间计算 Minimum+1 (s,t)-割及 O(m) 空间 DAG 刻画方法，进而在简单图上突破对偶边敏感性预言机的 Ω(n^2) 空间下界。
2025-07-02 cs.DS
Improved Minimum Cuts and Maximum Flows in Undirected Planar Graphs
本文研究平面图的最小割和最大流问题，包括静态和动态两种情况。首先，我们提出了一个算法，给定一个无向平面图计算任何两个给定的顶点之间的最小割在O（n log log n）的时间。其次，我们展示了如何实现相同的O（n log log n）界的问题，计算最大流在无向平面图。据我们所知，这是这两个问题的第一个算法，它打破了O（n log n）的障碍，这个障碍已经存在了超过25年。第三，我们提出了一个完全动态的算法，它能够维护平面图中最小割和最大流的信息（即，我们的算法能够在O（n^（2/3）log^3 n）时间内插入边，删除边，并回答任何一对顶点之间的最小割和最大流查询。这个结果是基于一个新的动态最短路径算法的平面图，这可能是独立的利益。我们注意到，这是第一个已知的非平凡算法的最小切割和最大流问题的动态设置。
2010-11-22 cs.DS
On the Approximability of Max-Cut on 3-Colorable Graphs and Graphs with Large Independent Sets
Indiana University（印第安纳大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Northwestern University（西北大学）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
研究3染色图和大独立集图的最大割问题，发现其近似性受限于图的染色结构，提出最大割在3染色图上α_GW难于近似，且大独立集图存在更优近似算法。
2026-11-10 cs.DS
On the cut-query complexity of approximating max-cut
研究加权无向图cut-query模型下的近似max-cut复杂度，通过扩展cut dimension证明下界，提出基于稀疏化的随机算法，并揭示了c=1/2处的相变现象。
2024-04-23 cs.DS
Max Cut and the Smallest Eigenvalue
我们描述了一个新的近似算法的最大切割。我们的算法运行在$\tilde O(n^2)$的时间，其中$n$是顶点的数量，并实现了$.531$的近似比。在最优解切割$1-ε$边缘分数的情况下，我们的算法找到切割$1-4\sqrtε + 8ε-o(1)$边缘分数的解决方案。我们的主要结果是一个变种的频谱分割，它可以在近线性时间内实现。给定一个图，其中最大切割最优是边缘的$1-ε$分数，我们的谱分割算法找到一组$S$的顶点和$S$的二分区$L,R=S-L$，使得至少一个$1-O(\sqrt ε)$分数的边缘事件在$S$有一个端点在$L$和一个端点在$R$。(This可以被视为图的邻接矩阵的最小特征值的Cheeger不等式的模拟。）迭代此过程产生上述近似结果。一种不同的、更复杂的谱划分变体导致$\tilde O(n^3)$时间算法，该算法在最优值为$1/2 + ε$的图中切割边缘的$1/2 + e^{-Ω(1/\eps)}$部分。
2008-12-08 cs.DS
Sublinear-Time Algorithms for Max Cut, Max E2Lin$(q)$, and Unique Label Cover on Expanders
我们显示子线性时间算法的最大切割和最大E2林$(q)$扩展器的邻接表模型，区分实例的最佳值超过$1-\varepsilon$的最佳值小于$1-ρ$的$ρ\gg \varepsilon$。Max Cut和Max $2$ Lin $(q)$的时间复杂度分别为$\widetilde{O}(\frac{1}{ϕ^2ρ} \cdot m^{1/2+O(\varepsilon/(ϕ^2ρ))})$和$\widetilde{O}(\mathrm{poly}(\frac{q}{ϕρ})\cdot {(mq)}^{1/2+O(q^6\varepsilon/ϕ^2ρ^2)})$，其中$m$是底层图中的边数，$ϕ$是其电导。然后，我们给出了一个次线性时间算法的唯一标签覆盖的扩展$ϕ\gg ε$在有界度模型。我们的算法的时间复杂度是$\widetilde{O}_d(2^{q^{O(1)}\cdotϕ^{1/q}\cdot \varepsilon^{-1/2}}\cdot n^{1/2+q^{O(q)}\cdot \varepsilon^{4^{1.5-q}}\cdot ϕ^{-2}})$，其中$n$是变量的数量。我们补充这些算法的结果表明，测试$3$ -colorability需要$Ω(n)$查询，即使在扩展器。
2022-10-23 cs.DS
Max Cut with Small-Dimensional SDP Solutions
Dartmouth University（达特茅斯学院）；Indiana University（印第安纳大学）；University of Michigan（密歇根大学）
研究在SDP解具有低维表示时的最大割问题，提出在小维情况下改进的多项式时间舍入算法，实现比Goemans-Williamson算法更好的近似比。
2026-04-15 cs.DS
Fixed Parameter Approximation Scheme for Min-max $k$-cut
我们考虑图$k$ -划分问题下的最小-最大目标，称为最小最大$k$ -割。这里的输入是具有非负边权重$w:E\rightarrow \mathbb{R}_+$和整数$k\geq 2$的图$G=(V,E)$，目标是将顶点划分为$k$非空部分$V_1, \ldots, V_k$，以便最小化$\max_{i=1}^k w(δ(V_i))$。虽然最小化和目标$\sum_{i=1}^k w(δ(V_i))$，称为最小和$k$ -切，已在文献中广泛研究，很少有人知道最大目标。本文首先研究了Minmax $k$ -割问题，证明了当用$k$参数化时，Minmax $k$-割问题是NP-难的和W[1]-难的;我们的参数化近似方案的主要成分是一个精确的算法，最小最大$k$ -切割运行的时间$(λk)^{O(k^2)}n^{O(1)}$，其中$λ$是最佳值和$n$是顶点数。我们的算法技术建立在Lokshtanov，Saurabh和Surianarayanan（FOCS，2020）的技术基础上，他们对Minsum $k$ -cut显示了类似的结果。我们的算法技术是更一般的，可以用来获得参数化的近似计划，最小化$\ell_p$ -范数措施的$k$ -分区为每个$p\geq 1$。
2020-11-06 cs.DS
Faster Parametric Shortest Path and Minimum Balance Algorithms
参数最短路问题是在图中寻找最短路，其中边的代价是w_ij+lambda的形式，其中每个w_ij是常数，lambda是一个变化的参数。问题是为每个可能的lambda值找到最短路径树。最小平衡问题是找到顶点的“权重”，以便通过顶点权重调整边成本产生一个图，其中对于每个切割，在一个方向上穿过切割的任何边的最小权重等于在另一个方向上穿过切割的任何边的最小权重。本文提出了这两个问题的快速算法。时间复杂度为O（n^2 log n）。本文还描述了随机图的算法的实证研究，表明找到一个最小平均周期（这两个问题的一个重要的特殊情况）的预期时间是O（n log（n）+ m）。
2002-05-18 cs.DM cs.DS
Max-Cut and Max-Bisection are NP-hard on unit disk graphs
证明了单位圆盘图的最大割和最大二分问题是NP-难的。我们还证明了当$λ$ > 1 / \sqrt{2} $时，$λ$ -精度图是平面图.
2006-09-22 cs.CC cs.DS
A linear time algorithm for a variant of the max cut problem in series parallel graphs
给定一个图$G=(V, E)$，一个连通边割$(U, V\backslash U)$或$δ(U)$是连接U的所有顶点到$V\backslash U$的所有顶点的E的边的集合，使得导出子图$G[U]$和$G[V\backslash U]$是连通的。给定一个定义在$E$上的正权函数$w$，最大连通边割问题（MAX CS CUT）就是寻找一个连通边割$Ω$，使得$w(Ω)$最大. MAX CS CUT是NP难的。本文给出了一个求解串并行图的MAX CS CUT的线性时间算法。我们推导出一个线性时间算法，在同一类图的最小割问题，而无需计算最大流。
2017-03-18 cs.DS math.CO
Faster exponential algorithms for cut problems via geometric data structures
本文针对d-Cut、Internal Partition和(α,β)-Domination等割问题，通过结合split and list技术与计算几何中的正交范围搜索工具，提出了运行时间低于2^n的指数级精确算法，并适用于判定、优化、计数及多种扩展变体。
2025-06-27 cs.CG cs.DS
Connected max cut is polynomial for graphs without $K_5\backslash e$ as a minor
给定一个图$G=(V, E)$，连通割$δ(U)$是E的边的集合，它将U的所有顶点连接到$V\backslash U$的所有顶点，使得导出子图$G[U]$和$G[V\backslash U]$是连通的。给定一个定义在$E$上的正权函数$w$，连通最大割问题（CMAX CUT）就是寻找一个连通割$Ω$，使得$w(Ω)$在所有连通割中最大. CMAX CUT是NP-难的，即使是平面图。本文证明了对于没有$K_5\backslash e$作为子图的图，CMAX割是多项式的。我们推导出了一类图的最小割问题的一个二次时间算法，而不需要计算最大流。
2019-04-23 cs.DS math.OC
Local max-cut in smoothed polynomial time
1988年，Johnson、Papadimitriou和Yannakakis写道：“几乎所有的经验证据都会让我们得出结论，找到局部最优解比解决NP难问题要容易得多。从那时起，经验证据继续积累，但这一现象的正式证据仍然难以捉摸。一个典型的（实际上是完整的）例子是局部最大割问题，它没有多项式时间方法。在一篇突破性的论文中，Etscheid和Röglin证明了局部最大割的平滑复杂度是准多项式的，即，如果随机扰动任意有界权重，则可以在$n^{O(\log n)}$步骤中找到局部最大值。本文证明了局部最大割的光滑多项式复杂性，从而证实了寻找局部最大割的局部最优解比求解它要容易得多。
2017-04-10 cs.DS math.PR
Fast Computation of Small Cuts via Cycle Space Sampling
我们描述了一种新的基于采样的方法来确定无向图中的割。对于一个图（V，E），它的圈空间是E的所有子集的族，这些子集在每个顶点都有偶数度。我们证明，以高概率，采样的循环空间确定的削减的图。这导致了简单的新的线性时间顺序算法，找到所有的切割边缘和切割对（一组2个边缘，形成一个切割）的图。在图G=（V，E）中的分布式计算模型中，我们的方法对几个问题产生了更快的算法。G的直径用Diam表示，最大度用Delta表示。我们得到简单的O（直径）时间分布算法，找到所有的切割边缘，2-边连接组件，并削减对，匹配或改进以前的时间界限。在自然条件下，这些新算法是普遍最优的-即一个欧米茄（直径）时间下界举行的每一个图。我们得到了一个O（直径+Delta/log V）-时间分布式算法寻找割顶点，这是快于最好的以前的算法时，三角洲，直径= O（sqrt（V））。一个简单的扩展，我们的工作产生的第一个分布式算法与3-边连接组件的次线性时间。基本的分布式算法是蒙特卡洛，但它们可以在不增加渐近复杂性的情况下被拉斯维加斯。在EREW PRAM上的并行计算模型中，我们的方法产生了一个简单的算法，具有最佳的时间复杂度O（log V），用于寻找割对和3-边连接组件。
2010-07-21 cs.DC cs.DS
The Quantum and Classical Streaming Complexity of Quantum and Classical Max-Cut
我们研究了两个图流问题的空间复杂性：最大割和它的量子模拟，量子最大割。Kapralov和Krachun以前的工作解决了\emph{classical}问题的经典复杂性，表明任何$(2 - \varepsilon)$ -近似都需要$Ω(n)$空间（$2$ -近似对于$\textrm{O}(\log n)$空间是微不足道的）。我们推广这两个限定符，演示$Ω(n)$空间下界的$(2 - \varepsilon)$近似最大割和量子最大割，即使该算法被允许保持一个量子态。由于平凡的近似算法的量子最大割只给出了一个$4$ -近似，我们显示紧密的算法，返回一个$(2 + \varepsilon)$ -近似的量子最大割值的图在$\textrm{O}(\log n)$空间。我们利用$\textrm{o}(n)$空间解决了量子和经典Max-Cut的量子和经典逼近问题。我们证明我们的下界通过布尔傅立叶分析的技术。我们给出了这些方法在顺序单向量子通信中的第一个应用，其中每个参与者从前一个参与者接收量子消息，然后可以在将其发送给下一个之前对其执行任意量子操作。为此，我们展示了如何傅立叶分析技术可以用来理解的应用程序的量子信道。
2022-09-20 cs.DS quant-ph
Faster Approximation of Max Flow for Directed Graphs
我扩展的方法在“电气流，拉普拉斯系统，和更快的近似无向图中的最大流，与保罗·克里斯蒂亚诺，乔纳森·凯尔纳，丹尼尔·斯皮尔曼，和尚华滕”有向图与文件中的框架的变化，这导致一个算法，近似解决有向最大流问题在近线性时间。
2012-11-18 cs.DM cs.DS
Generalized max-flows and min-cuts in simplicial complexes
我们在单纯复形的设置中考虑最大流和最小割问题的高维变体，并提供算法和硬度结果。通过观察流和切拓扑的单纯（共）边界算子，我们可以把这些问题作为线性规划，并表明它们是对偶的。与图不同，具有整数容量约束的复形可能具有分数最大流。我们表明，计算最大积分流是NP难的。此外，我们给出了一个组合的定义，似乎更自然的优化问题的背景下，计算这样的削减是NP-难的单纯削减。然而，我们提供的条件时，单纯复杂的线性规划发现的削减是一个组合削减。对于嵌入到$\mathbb{R}^{d+1}$中的$d$维单纯复形，我们提供了在对偶图上操作的算法：计算最大流与计算最短路径是对偶的，计算最小割与计算最小成本循环是对偶的。最后，我们研究了单纯复形上的Ford-Fulkerson算法，证明了它的正确性，并提供了一个启发式，保证它停止。
2021-06-27 cs.DS math.AT
