Transversal designs and induced decompositions of graphs
证明了对于任意的完全多部图$F$，在$n$的顶点上都存在非常稠密的图$G_n$，即对于任意的常数$c=c(F)$，对于所有的$n$都有尽可能多的${n\choose 2}-cn$边，使得$G_n$可以分解为与$F$同构的边不交的诱导子图.这一结果确定和结构上解释了增长率$O(n)$和$Ω(n^{3/2})$之间的差距的最小数量的非边缘图承认诱导的$F$ -分解。
2015-01-14 math.CO
Transversal Structures in Graph Systems: A Survey
Shandong University（山东大学）
本文综述了图系统中横截结构的极值问题，总结了确保存在横截结构的充分条件，并提出若干猜想和开放问题。
2026-04-14 math.CO
Block Designs with Large Transversal-Block Intersections
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
针对 Erdős 关于块设计横截与块交点数的猜想，构造反例证明当块大小为 $\Omega(\sqrt{n})$ 时，存在横截与某块交点达 $\Omega(\frac{\log n}{\log\log n})$，否定原猜想。
2026-09-09 math.CO
Geodesic packing in graphs
本文研究图中的测地线打包数与测地线横截数，证明其判定问题NP完全，并利用车图证明两者比值无小于3的常数上界，同时给出树的线性算法及路径强乘积的精确值。
2023-07-05 cs.CC math.CO
Theorems of Borsuk-Ulam type for flats and common transversals
本文证明了$\mathbb R^n$中的$k$ -平坦空间的拓扑的一些结果，类似于关于球面覆盖的Borsuk-Ulam定理.给出了关于$\mathbb R^n$中紧集族的公共断面和超平面的测度划分的一些推论。
2009-11-25 math.AT math.CO
Tight constructions for reconfigurations of independent transversals
Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文研究了独立横截面重新配置图的连通性条件，证明了在特定条件下，通过单顶点修改可将任意独立横截面转换为其他横截面，且提供了例外情况的构造性描述。
2026-04-23 math.CO
On transversal and 2-packing numbers in uniform linear systems
线性系统是一对$(P,\mathcal{L})$，其中$\mathcal{L}$是基有限集$P$上的子集族，使得对于每个$l,l^\prime \in \mathcal{L}$，$|l\cap l^\prime|\leq 1$。$P$和$\mathcal{L}$的元素分别称为点和线，如果任何一对线恰好相交于一个点，则线性系统称为相交。$P$的点的子集$T$是$(P,\mathcal{L})$的断面，如果$T$与任何直线相交，断面数$τ(P,\mathcal{L})$是断面的最小阶。另一方面，一个线性系统$(P,\mathcal{L})$的2-包装集是一个线的集合$R$，使得它们中的任何三个有一个公共点，那么$(P,\mathcal{L})$的2-包装数，$ν_2(P,\mathcal{L})$，是一个最大2-包装集的大小。已知横截数$τ(P,\mathcal{L})$由$ν_2(P,\mathcal{L})$的二次函数上界。一个公开的问题是寻找满足$τ(P,\mathcal{L})\leq λν_2(P,\mathcal{L})$的线性系族，对于某些$λ\geq1$。本文给出了满足$τ(P,\mathcal{L})=ν_2(P,\mathcal{L})$且$\mathcal{L}$的基数最小的线性系$(P,\mathcal{L})$的无穷族，以及$r$ -一致相交线性系$(P,\m…
2019-03-28 math.CO
Transversal Hamilton paths and cycles
本文研究图族中的横截哈密顿路径与圈问题，给出横截哈密顿路径存在的最小度条件，解决已有公开问题，并刻画最小度≥n/2-1时不含横截哈密顿圈（及路径）的所有图族，推动横截极值图论发展。
2024-06-20 math.CO
Domination, matching and transversal numbers for Berge-$G$ hypergraphs
该研究定义了图G的膨胀这一非均匀Berge-G超图子族，探究其控制数、匹配数与横贯数及参数间关系，推广了广义幂超图的已有结果。
2025-07-29 math.CO
On the number of $A$-transversals in hypergraphs
该研究聚焦超图中$A$-横贯的最大数量问题，先给出强独立集与$A$-横贯的定义，证明3-均匀超图极大强独立集数量的精确结果，再针对不同类型的集合$A$展开系统研究。
2023-08-29 math.CO
Kempe Chains and Rooted Minors
一个划分的（最小）断面是一个集合，它只包含来自划分的每个成员的一个元素，没有其他元素。一个图的着色是将它的顶点集划分成若干个反顶点，即两两不相邻的顶点集。我们研究以下问题：给定某个图$G$的一个真染色$\mathfrak{C}$的横截$T$，是否存在将$V(G)$的子集划分为连通集的划分$\mathfrak{H}$，使得$T$是$\mathfrak{H}$，并且如果来自$T$的两组$\mathfrak{H}$的对应顶点在$G$中通过路径连接，仅使用两种颜色？第一作者曾建议研究以下问题：对于某个图$G$的$k$阶着色$\mathfrak{C}$的任何横截$T$，使得任何一对色类诱导连通图，是否存在这样一个具有成对相邻集的划分$\mathfrak{H}$（这将证明唯一最优可着色图类的Hadwiger猜想）？这对于小的$k \geq 5$是开放的，本文给出了$k=5$与由$T$导出的子图连通的证明.此外，我们还证明了对于$k\geq 7$，仅仅强制任意两个横截顶点通过一条2-色路连接是不足以使$\mathfrak{H}$存在的。
2022-11-29 math.CO
On Geodesic Leech Labeling of Some Graph Classes
该文研究图的测地Leech标号问题，证明n≥5的圈为非测地Leech图、正则完全二部图中至多3个是测地Leech图，指出度序列无法刻画该类图，还求出轮图的测地路径数并给出W₅、W₆的对应标号。
2025-02-23 math.CO
A Matroid Generalization of a Result on Row-Latin Rectangles
设A是一个m \times n矩阵，其中每行的元素都是不同的。Drisko表明，如果m \ge 2 n-1，那么A有一个横截：一组n个不同的条目，没有两个在同一行或列。我们将其推广到具有拟阵元素的矩阵。对于这样一个矩阵A，我们证明了如果A的每一行形成一个独立集，那么我们可以要求断面也是独立的。我们确定的算法的复杂性的基础上证明这个结果。最后，我们观察到，m \ge 2 n-1似乎迫使不仅存在一个，但许多横截。我们讨论了一些与此有关的观察（其中一些涉及拟阵，其中一些不）。
1998-07-08 math.CO
Computing Subset Transversals in $H$-Free Graphs
通过将输入限制为无$H$图，即不包含固定图~ $H$作为导出子图的图，研究了两个著名的图的横切问题，即子集反馈顶点集和子集奇圈横切问题的计算复杂性.通过结合已知的和新的结果，我们确定了这两个问题的计算复杂性的$H$ -free图的每一个图$H$，除了当$H=sP_1+P_4$的一些$s\geq 1$。作为我们的方法的一部分，我们介绍了子集顶点覆盖问题，并证明了它是多项式时间可解的$(sP_1+P_4)$ -自由图的每一个$s\geq 1$。
2021-10-26 cs.DM cs.DS math.CO
Reconfiguration of Independent Transversals
本文研究最大度为Δ的图中独立横贯的重构问题，证明当块大小t≥2Δ+1时所有独立横贯可通过单顶点修改互相变换，并刻画了t=2Δ时仅在完全二分图K_{Δ,Δ}副本的不交并上失效。
2024-07-05 cs.DS math.CO
Geodesic Growth of some 3-dimensional RACGs
本文给出了直角Coxeter群（RACG）的测地线增长级数的显式公式，RACG是基于一个无4-团（即无四面体）的链-正则图
2021-12-21 math.CO math.GR
Cover and variable degeneracy
设$f$是图的顶点集上的非负整数值函数。一个图是\textbf{strictly $f$-degenerate}，如果每个非空子图$Γ$有一个顶点$v$，使得$\mathrm{deg}_Γ(v) < f(v)$。本文定义了严格$f$ -退化断面的概念，它推广了列表染色、符号染色、DP-染色、$L$ -森林染色和$(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{s})$ -划分.图$G$的\textbf{cover}是具有顶点集$V(H) = \bigcup_{v \in V(G)} X_{v}$的图$H$，其中$X_{v} = \{(v, 1), (v, 2), \dots, (v, s)\}$ ;边集$\mathscr{M} = \bigcup_{uv \in E(G)}\mathscr{M}_{uv}$，其中$\mathscr{M}_{uv}$是$X_{u}$和$X_{v}$之间的匹配。顶点集$R \subseteq V(H)$是$H$的一个\textbf{transversal}，如果每个$v \in V(G)$有$|R \cap X_{v}| = 1$。如果$H[R]$是严格$f$ -简并的，则横截$R$是\textbf{strictly $f$-degenerate transversal}。本文的主要结果是一个度型结果，它推广了Brooks定理、Gallai定理、度可…
2021-12-27 cs.DM math.CO
Feedback Vertex Set and Even Cycle Transversal for H-Free Graphs: Finding Large Block Graphs
证明了$H$ -free图（即不包含固定图$H$作为导出子图的图）的反馈顶点集和偶圈变换的新的复杂性结果.特别是，我们证明了，对于每一个$s\geq 1$，这两个问题是多项式时间可解的$sP_3$ -免费的图形和$(sP_1+P_5)$ -免费的图形，在这里，图形$sP_3$表示$s$路径的不相交的联盟上的三个顶点和图形$sP_1+P_5$表示$s$孤立的顶点和路径上的五个顶点的不相交的联盟。我们关于反馈顶点集的新结果扩展了$H$ -free图上反馈顶点集的所有已知多项式时间结果，即对于$sP_2$ -free图[Chiarelli et al.，TCS 2018]，无$(sP_1+P_3)$图[Dabrowski等人，图2020]和无$P_5$的图[Abrishami等人，SODA 2021]。总之，新的结果还表明，这两个问题表现出相同的行为$H$ -免费的图形（受一些开放的情况下）。这在一定程度上是由于我们设计了一个新的通用算法，用于在一个无（$sP_3)$）或无$(sP_1+P_5)$的图$G$中找到一个最大的导出子图，该子图的块属于某个有限类${\cal C}$.我们还比较了我们的结果与最先进的奇循环transmittance问题的结果，这是已知的表现不同的$H$ -免费的图形。
2022-01-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Minimum Connected Transversals in Graphs: New Hardness Results and Tractable Cases Using the Price of Connectivity
本文系统地研究了三个相关的横截问题：顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈横截的连通变体的计算复杂性。就像它们的原始对应物一样，这些变体对于一般图是NP完全的。一个图$G$对某个图$H$是无$H$的，如果$G$不包含与$H$同构的导出子图.如果$H$包含爪或圈，则即使对于无$H$的图，连通点覆盖也是NP-完全的.我们表明，其他两个连接的变种也保持NP完全，如果$H$包含一个周期或爪。在其余情况下，$H$是线性森林。我们证明了对于每个常数$s\geq 1$，$sP_2$ -free图的连通顶点覆盖，连通反馈顶点集和连通奇循环translation是多项式时间可解的。为了证明这些结果，我们使用已知的顶点覆盖，反馈顶点集，奇循环断面的连通性的价格的结果。这是第一个应用程序的价格连接，导致多项式时间算法。
2017-09-21 cs.CC cs.DM cs.DS
On transversality of bent hyperplane arrangements and the topological expressiveness of ReLU neural networks
Boston College（波士顿学院）
设F：R^n -> R是一个前馈ReLU神经网络。众所周知，对于任何参数的选择，F是连续的和分段（仿射）线性的。我们为系统研究F的体系结构如何影响其可能的二元分类任务决策区域的几何和拓扑奠定了一些基础。遵循微分拓扑中光滑函数的经典进展，我们首先定义了通用的横向ReLU神经网络的概念，并证明几乎所有的ReLU网络都是通用的和横向的。然后，我们定义了一个部分定向的线性1-复域的F和确定的属性，这个复杂的决策区域的有界连通分量的存在产生的障碍。我们使用这个障碍来证明一个通用的，横向的ReLU网络F：R^n -> R的决策区域具有一个维度为（n + 1）的单个隐藏层，可以有不超过一个有界连通分量。
2021-12-02 cs.CG cs.LG math.CO
Algorithms for weighted independent transversals and strong colouring
本文提出一种广泛适用的随机化算法，基于Graf-Haxell的确定性方法，为图的强色数相关两个问题提供高效解法，缩小了非构造性界与算法界之间的差距。
2021-08-21 cs.DM cs.DS math.CO
Reducing graph transversals via edge contractions
对于图不变$π$，收缩（$π$）问题在于，给定图$G$和两个正整数$k,d$，决定是否可以收缩$G$的至多$k$边以获得其中$π$至少下降了$d$的图。Galby等人[ISAAC 2019，MFCS 2019]最近研究了$π$是最小支配集的大小的情况。我们专注于图不变量定义为一个顶点集的最小大小，击中所有出现的图在一个集合${\cal H}$根据一个固定的包含关系。我们证明了在${\cal H}$中的图上的一些假设下的co-NP-hard结果，特别是当$π$是最小反馈顶点集或奇圈断面的大小时，即使对于固定的$k=d=1$，收缩（$π$）也是co-NP-hard的.与此形成鲜明对比的是，我们表明，当$π$是一个最小顶点覆盖的大小，问题是在XP参数化的$d$。
2021-03-22 cs.CC cs.DS math.CO
