The fractional Calderón problem
本文综述了分数阶Calderón问题的最新研究进展，该问题是由解的外部测量值确定分数阶薛定谔方程中的未知系数。该方程具有显著的唯一性和逼近性质，在相关的反问题中得到了强有力的结果。
2018-02-15 math.AP
Nachman's reconstruction for the Calderon problem with discontinuous conductivities
我们表明，纳赫曼的积分方程的卡尔德龙问题，推导出的电导率在$W^{2,p}(Ω)$，仍然成立的$L^\infty$电导率是$1$在附近的边界。我们还证明了散射变换的收敛性光滑近似的散射变换的$L^\infty$电导率。我们依赖于Astala-Päivärinta对Calderón问题的表述，作为这些收敛结果有意义的框架。
2018-09-25 math.AP
The Calderón Problem For The Fractional Magnetic Operator
引入了一个含有磁势和电势的分数阶磁算符。我们制定了一个反问题的分数磁算子。利用Runge近似的性质，我们从Dirichlet-to-Neumann映射的外部部分测量确定了电势。
2020-04-02 math.AP
Exponential instability in the fractional Calderón problem
本文证明了分数阶Calderón问题的指数不稳定性，从而证明了由\cite{RS17}得到的对数稳定性估计的最优性.为了推导这个结果，我们遵循Mandache在\cite{M01}中为标准Calderón问题引入的策略。在这里，我们利用分数卡尔德龙问题和经典的泊松算子之间的密切关系。此外，通过构造一个合适的规范正交基，我们还证明了在\cite{RS17}中得到的分数拉普拉斯算子的Runge逼近结果的（几乎）最优性.最后，在一维空间中，我们证明了分数阶Calderón问题与截断希尔伯特变换之间的密切关系.
2017-11-13 math.AP
The Poisson embedding approach to the Calderón problem
我们介绍了一种新的方法，各向异性卡尔德龙问题的基础上，称为泊松嵌入，确定了一个黎曼流形的点与分布在其边界上的地图。在实解析情形下，我们给出了一大类拟线性方程的Calderón型反问题的一个新的唯一性结果.这种方法也导致了Lassas和Uhlmann（2001）解决实解析黎曼流形上的Calderón问题的结果的新证明。证明使用泊松嵌入，以确定调和函数在流形上的调和态射。该方法还包括线性椭圆型方程的各种Runge逼近结果。
2018-06-13 math.AP
The Calderón problem for a space-time fractional parabolic equation
本文研究了时空分数抛物算子$(\partial_t-Δ)^s+Q$的反问题，其中$0<s<1$在任意空间维上都是.我们从无限多个外部Dirichlet-to-Neumann型测量中唯一地确定了未知的有界势$Q$。这依赖于Runge近似和所考虑的方程的对偶全局弱唯一连续性质。在讨论我们的算子的弱唯一延续时，我们的论点的一个主要特征依赖于相关分数抛物Caffarelli-Silvestre扩展的Carleman估计。此外，我们还讨论了建设性的单次测量结果的近似和唯一的连续性的基础上的方程。
2019-05-21 math.AP
Lamb modes and Born approximation for small shape defects inversion in elastic plates
这项工作的目的是提出理论工具来研究弹性波导中的波传播，并进行多频散射反演，以重建在二维和三维弹性板的小形状缺陷。给定表面多频波场测量，我们使用玻恩近似来重建板的几何形状中的局部缺陷。为了证明这种近似，我们引入了一个严格的框架来研究由任意源产生的弹性波场的传播。通过研究非均匀Lamb模序列的衰减率，证明了二维和三维平面波导中弹性波传播的偏微分方程的适定性。我们还描述了临界频率的兰姆分解是无效的。利用这些结果，我们已经开发的声波波导的形状重建方法推广到2D弹性波导，并提供了一个稳定的重建方法的基础上的模式由模式的空间傅立叶反演给出的散射场。
2022-10-04 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness for the fractional Calderón problem with quasilocal perturbations
研究了具有拟局部扰动的分数阶薛定谔方程.这是一类在无穷远处消失的非局部扰动，例如对施瓦茨函数的卷积。我们证明了在充分衰减的假设下，定性的唯一连续性和龙格近似性质成立。这两个结果的定量版本也通过传播的小分析Caffarelli-西尔维斯特扩展。结果，然后使用适当的几何假设下，从DN数据恢复的quasilocal扰动的反问题中显示的唯一性。我们的工作推广了最近关于局部扰动分数Calderón问题的结果。
2021-10-21 math.AP
The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation
我们证明了分数阶薛定谔方程反问题的全局唯一性：有界区域中的未知势由解的外部测量唯一确定。我们还显示了全球唯一性的部分数据的问题，其中的测量是在任意开放的，可能不相交的，外部的子集。结果适用于任何维度的$\geq 2$，并基于一个强大的近似性质的分数方程，扩展早期的工作。非局部方程的这一特性使得相关反问题的分析与传统的Calderón问题完全不同。
2017-03-10 math.AP
On the transfer of stability from the local to the fractional anisotropic Calderón problem with exterior measurements
University of Bonn（波恩大学）
研究经典到分数Calderón问题的唯一性定量转移，基于外部数据推导出无Liouville变换下的主部稳定性估计，利用定量唯一延续和Runge逼近估计解决无界几何和维度不匹配的挑战。
2026-04-12 math.AP
Lipschitz stability for the Finite Dimensional Fractional Calderón Problem with Finite Cauchy Data
本文讨论了有限维分数阶薛定谔方程的Calderón问题在有限个测量下的条件稳定性问题。更准确地说，我们假设方程$((-Δ)^s+ q)u = 0 \mbox{ in } Ω\subset \mathbb{R}^n$中的未知势$q \in L^{\infty}(Ω) $满足先验假设，即它包含在$L^{\infty}(Ω)$的有限维子空间中。在此条件下，我们利用依赖于$q$的多个Cauchy数据证明了分数阶Calderón问题的Lipschitz稳定性估计.我们允许零的可能性是相关的分数薛定谔方程的狄利克雷本征值。我们的结果依赖于分数阶薛定谔方程的强龙格逼近性质。
2018-05-02 math.AP
On some partial data Calderón type problems with mixed boundary conditions
本文考虑了（退化）椭圆型方程模型中具有不可及边界的（退化）导电介质的体势和边界势的同时恢复问题。这连接了本地和非本地卡尔德龙类型的问题。我们证明了这类问题的两个主要结果：一方面，我们推导出同时体和边界的龙格近似结果。在此基础上，我们推导出局部体积和边界电位的唯一性。另一方面，我们构造了一族与相应方程相关联的CGO解。这些使我们能够推导出任意有界的唯一性结果，不一定是本地化的体积和边界电位。CGO解决方案的对偶构造一个新的Carleman估计。
2020-06-17 math.AP
A Calderón type inverse problem for the active scalar equations with fractional dissipation
针对环面上带分数阶耗散的主动标量方程反问题，采用二阶线性化关联线性分数阶扩散方程，利用分数阶Laplacian唯一延拓性等非局部性质求解，揭示无散结构的关键作用。
2025-09-03 math.AP
Riemannian and Lorentzian Calderón problem under Magnetic Perturbation
Department of Mathematics, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了磁扰动下黎曼和洛伦兹卡德龙问题的唯一确定性及共形类构造。
2025-12-17 math.AP math.DG
Optimal Runge approximation for nonlocal wave equations and unique determination of polyhomogeneous nonlinearities
本文为线性非局部波动方程建立$L^2(0,T;\widetilde{H}^s(Ω))$中的Runge型逼近，扩展极弱解理论，并据此证明多重齐次非线性Calderón问题的唯一确定性结果。
2025-09-16 math.AP
The fractional Calderón problem: low regularity and stability
分数阶薛定谔方程的Calderón问题在\cite{GSU}的工作中被引入，在部分数据的情况下也给出了整体唯一性结果。本文从两个方面改进了这个结果。首先，我们证明了一个定量的唯一性结果，表明该反问题在适当的先验界下具有对数稳定性。其次，我们证明了这些结果对标度不变的$L^p$或负序索伯列夫空间中的势是有效的。一个关键点是分数阶方程的解的定量逼近性质，通过结合仔细传播的小分析的Caffarelli-Silvestre扩展和对偶参数。
2019-05-12 math.AP
Direct numerical reconstruction of conductivities in three dimensions
提出了一种基于复几何光学解和非线性散射变换的直接三维EIT重建算法，并实现了对球对称电导率分布的三维EIT重建。散射变换计算与玻恩近似和从比较的目的，从向前的问题。重建计算几个测试问题。连接卡尔德龙的线性重建算法的建立，并使用这两种方法重建进行了比较。
2010-03-19 math.AP
The Calderón problem for piecewise polynomial anisotropic conductivities on partitions with many flat faces
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
针对n≥3维分段多项式各向异性电导率，通过平面界面逐步恢复和Runge逼近，证明局部Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定所有多项式块，并具有Hölder稳定性。
2026-08-25 math.AP
The Calderón problem for the logarithmic Schrödinger equation
本文研究对数 Schrödinger 型算子的 Calderón 问题，利用对数 Laplacian 的非局部性质（如唯一延拓和 Runge 逼近），通过 Dirichlet-to-Neumann 映射及单调性方法实现了对有界势的唯一确定与构造性唯一性，且结果适用于任意空间维度。
2024-12-23 math.AP
$L^p$-Taylor approximations characterize the Sobolev space $W^{1,p}$
本文介绍了Calderón和Zygmund的$L^p$ -可微性-一个\emph{$L^p$-Taylor approximation}概念的一个变体。我们的第一个结果是索伯列夫空间$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中的函数具有一阶$L^p$ -Taylor逼近.这与Calderón和Zygmund关于Sobolev函数的$L^p$ -可微性的结果类似。事实上，我们在这里宣布的主要结果是，一阶$L^p$ -Taylor逼近刻画了索伯列夫空间$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，因此蕴涵了$L^p$ -可微性.我们的方法建立了索伯列夫空间的一些特征之间的联系，由于斯旺森使用Calderón-Zygmund类与其他由于Bourgain，Brezis和Mironescu使用非局部泛函与作者和Mengesha使用非局部梯度的其他人。索伯列夫空间的任何两个特征是相关的并不奇怪，然而，我们的分析的一个结果是一个简单的条件，用于确定是否有界变差函数是在一个索伯列夫空间。
2015-01-27 math.AP math.FA
Boundary Control and Calderón type Inverse Problems in Non-local heat equation
Harish-Chandra Research Institute, A CI of Homi Bhabha National Institute（哈里什-昌德拉研究所，霍米·巴巴国立学院下属机构）
本文研究了非局部热方程的边界控制与Calderón型反问题，利用Pohozaev恒等式分析解的性质及势函数的恢复。
2025-12-28 math.AP
The Calderón problem for space-time fractional parabolic operators with variable coefficients
本文研究了变系数时空分数阶抛物算子的反问题，利用全局弱唯一延拓性质与Runge型逼近论证，结合新建立的Carleman估计，实现了从外部测量数据对势函数的唯一恢复，并扩展至带漂移算子的情形。
2023-07-03 math.AP
Calderón problem for nonlocal viscous wave equations: Unique determination of linear and nonlinear perturbations
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
本文研究非局部粘性波方程的Calderón反问题，证明线性和非线性扰动可通过Dirichlet到Neumann映射唯一确定。
2026-01-05 math.AP
Quantitative Runge Approximation and Inverse Problems
在这个简短的说明中，我们提供了一个定量版本的经典龙格逼近性质的二阶椭圆算子。这依赖于定量的唯一连续结果和对偶参数。我们表明，这些估计基本上是最优的。作为一个模型应用，我们提供了一个新的证明的结果\cite{F07}，\cite{AK12}的稳定性的卡尔德龙问题与当地的数据。
2017-08-21 math.AP
Semiclassical analysis for Hamiltonian in the Born-Oppenheimer approximation
本文的目的是证明算子\begin{equation*} H\left(h\right) =-h^{2}Δ_{x}-Δ_{y}+V\left(x,y\right), \end{equation*} % $V$是连续的（或$V\in L^{2}\left(\mathbb{R}_{x}^{n}\times \mathbb{R}%_{y}^{p}\right) $），而作为$% \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \rightarrow \infty,$的$V\left(x,y\right) \rightarrow \infty $具有纯离散谱.我们给出了谐振子的一个应用。
2013-04-17 math.AP
Calderón problem for Yang-Mills connections
研究了由紧致黎曼流形上的连通Laplacian $\nabla^*\nabla$的Dirichlet-to-Neumann（DN）映射确定Hermite向量丛上的酉Yang-Mills连通$\nabla$的问题.利用几何分析方法，在光滑范畴中平凡线丛和解析范畴中高秩情形下，我们建立了直到规范等价的唯一性联系.此外，通过使用龙格型近似参数沿曲线恢复holonomy，我们能够唯一地确定的束结构和连接，但在成本有更多的测量。证明了DN映射是一个在向量丛约束下的一阶椭圆型伪微分算子，它的满符号决定了任意联络、度量和边界势的完备Taylor级数.
2018-06-12 math.AP math.DG
Inverse problems for nonlinear Helmholtz Schrödinger equations and time-harmonic Maxwell's equations with partial data
在$\R^n$中考虑一类非线性Helmholtz薛定谔方程和Maxwell方程在有界区域上的Calderón反边值问题.主要方法是对相应方程的Dirichlet-to-Neumann映射进行高阶线性化。利用\cite{DKSU}得到了线性化部分数据Calderón反问题的局部唯一性.龙格逼近性质和唯一连续原理使我们能够扩展到全球的情况。作为应用，给出了同时恢复某些未知腔体$/$边界和系数的方法。
2022-06-30 math.AP
Fractional Calderón problems and Poincaré inequalities on unbounded domains
本文将分数阶 Calderón 问题的唯一性理论推广至具非空外部的无界区域，刻画部分数据反问题的唯一性与非唯一性，并证明 Poincaré 不等式、Runge 逼近及外部确定结果。
2022-03-04 math.AP math.FA
Optimal Runge approximation for damped nonlocal wave equations and simultaneous determination results
本文针对阻尼非局部波动方程的Calderón型反问题，通过扩展非常弱解理论得到最优Runge逼近定理，进而证明了线性和半线性情形下的同时确定结果，建立了新的唯一性结果。
2024-12-03 math.AP
The spectrum of Dirichlet-to-Neumann maps for radial conductivities
Université Marie et Louis Pasteur, CNRS, LmB (UMR 6623)（玛丽和路易·巴斯德大学）；CNRS – Université de Montréal CRM – CNRS（法国国家科学研究中心-蒙特利尔大学数学研究中心）；Universidad Politécnica de Madrid, ETSI Navales（马德里理工大学）；Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, UMR CNRS 6629（让·勒雷数学实验室）
本文研究了径向电导率的Dirichlet到Neumann映射的谱特性，证明其谱由边界电导率决定的通用项和Born近似组成，并展示了该映射的局部唯一性和稳定性。
2026-01-30 math.AP math.SP
Full discretization and regularization for the Calderón problem
本文考虑具有间断电导率的电导率反问题。我们表明，在一个严格的方式，通过收敛性分析，可以构建一个完全离散的最小化问题，其解决方案是一个很好的近似的反问题的解决方案。最小化问题包含一个正则化项，该正则化项由全变差罚函数给出，并由正则化参数表征。离散化涉及在同一时间的边界测量，通过使用完整的电极模型，未知的电导率和解决方案的直接问题。电极的特征在于与其尺寸相关的参数，该参数进而控制要使用的电极的数量。离散化的未知和解决方案的直接问题的特点是由另一个参数有关的大小的网格。在我们的分析中，我们展示了如何精确地选择正则化，电极尺寸和网格步长参数相对于噪声水平的离散正则化问题的解决方案是有意义的。特别是，我们得到的电极和网格步长参数应衰减多项式的噪声水平。
2021-12-21 cs.NA math.AP math.NA
