On the Common Prime Divisors of Polynomials
具有整数系数的多项式$P$的素因子是$P(x) \equiv 0 \pmod{p}$可解的那些素数$p$。主要结果是：任意几个多项式的公共素除子恰是某个多项式的素除子。将这个结果与Ax的一个定理相结合，我们得到：对于任意整数系数多元多项式方程组$F$，$F$模$p$可解的素数集$p$是某个一元多项式的素因子集.此外，我们证明了多项式的素除子的密度的结果。本文是对代数数论和伽罗瓦论的一个简单介绍。
2020-06-01 math.NT
Dynamics on the number of prime divisors for additive arithmetic semigroups
Hua Loo-Keng Center for Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院华罗庚数学中心）
本文在有限域算术半群中推广了Bergelson和Richter的定理，并探讨了整数最大素因子分布的动态性质。
2022-03-09 math.DS math.NT
The spin of prime ideals and level-raising of even Galois representations
Aarhus University（奥胡斯大学）
本文通过扩展素理想旋量概念，证明短特征和猜想与偶Galois表示提升的素数密度关系。
2025-12-16 math.NT
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
A level raising result for modular Galois representations modulo prime powers
在这项工作中，我们提供了一个$\mod λ^n$模块化伽罗瓦表示的水平提升定理。当满足$p$上的某个局部条件时，它允许人们看到这样一个伽罗瓦表示，它是$N$级的模，权重为2，平凡Neutralypus是$Np$级的模，对于一个与$N$互质的素数$p$。它是Ribet关于$\mod \ell$伽罗瓦表示的一个结果的推广.
2012-03-29 math.NT
Galois Groups of Apéry-like Series Modulo Primes
本文研究了阿佩里型级数模素数的伽罗华群，揭示了其行为由素数的同余条件决定。
2025-10-27 math.NT
On odd prime divisors of binary perfect polynomials
给出了二元完全多项式的奇素除子集所满足的必要条件。这使我们能够得到一个新的特征的所有已知的完美的二元多项式。
2020-08-16 math.NT
Residue races of the number of prime divisors function
我们调查的分布功能$ω(n)$，不同的素除子的$n$，在剩余类模$q$自然数$q$大于2。特别是我们问“素数种族”风格的问题，建议由库恩和Dahmen在他们的论文“剩余类分布的数量素除子的整数”。
2018-06-05 math.NT
Computing Congruences of Modular Forms and Galois Representations Modulo Prime Powers
本文开始了对模形式和模素幂的模伽罗瓦表示的同余关系的计算研究。算法描述计算最大整数模，其中两个一元互质积分多项式有一个共同的根在某种意义上说，是定义。这些技巧被应用到研究的同余的模形式和模伽罗瓦表示模素幂。最后，一些计算结果的影响（非）提升的模形式模素幂和可能的推广的水平提高。
2010-01-21 math.NT
Galois extensions ramified only at one prime
给出了$\Q$和$\F_q(t)$上的扩张的伽罗瓦群只在一个有限素数上分歧的有限群的一些限制条件。在$\Q$上，我们加强了Jensen和Yui关于二面体扩张的结果，并排除了一些非可解群.给出了对称群和二面体群在$\F_q(t)$上的一个限制条件，使它们成为在$\F_q(t)$上的一个弱分歧扩张.
2007-12-11 math.NT
Prime divisors in polynomial orbits over function fields
给定一个整体函数域$K$上的多项式$ϕ$和一个游荡基点$b\in K$，给出了一个关于$ϕ$的几何条件，保证了轨道$\mathcal{O}_ϕ(b):=\{ϕ^n(b)\}_{n\geq0}$上几乎所有点都存在本原素除子
2015-04-30 math.NT
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
2019-08-14 math.NT
On Galois groups of linearized polynomials related to the general linear group of prime degree
令$L(x)$是系数在$\mathbb{F}_q$中的任何$q$线性化多项式，次数为$q^n$。考虑$\mathbb{F}_q(t)$上$L(x)+tx$的Galois群，其中$t$在$\mathbb{F}_q$上是超越的.证明了当$n$是素数时，除$L(x)=x^{q^n}$外，Galois群总是$GL(n,q)$.等价地，我们证明了$L(x)/x$的算术单值群是$GL(n,q)$。
2022-07-28 math.NT
Primitive prime divisors in the critical orbit of z^d+c
我们证明了与f（z）= z^d+c的临界轨道相关联的Zsigmondy集对于c的有理数值的有限性，通过找到该集大小的有效界。对于非递归临界轨道，Zsigmondy集是明确计算利用有效的动力学高度界。在一般情况下，我们使用Thue风格的丢番图逼近方法来限制Zsigmondy集的大小时，d >2，和复分析方法时，d=2。
2012-08-31 math.DS math.NT
Topics on modular Galois representations modulo prime powers
本文调查模块化，水平提高和水平降低问题的二维表示模素数幂的绝对伽罗瓦群的有理数。它提供了一些新的结果，并描述了算法和数据库的模形式轨道和更高的同余。
2017-07-03 math.NT
A generalization on the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$
1982年，Erdös和van Lint给出了$n$的最小和最大素除子之比的平均值的估计。在本说明中，我们应用C. H。贾氏方法给出了比率的正整数次幂的平均值的一个估计。
2019-07-15 math.NT
A Chebotarev-type density theorem for divisors on algebraic varieties
设$Z \to X$是完满域$k$上维数为$d \geq 2$的正规射影几何整的簇的有限支Galois覆盖.对于这样的覆盖，我们证明了一个Chebotarev型密度结果描述的分解行为的几何整的卡地亚因子。作为应用，我们利用固定余维$r$上的点与$0 < r < \dim X$的分解行为，在$k$上的正规几何整的簇$X$的所有有限分支覆盖中对Galois覆盖进行了分类.
2012-09-19 math.AG math.NT
Greatest Prime Divisors of Polynomial Values over Function Fields
对于函数域$K$、固定多项式$F\in K[x]$和变化多项式$f\in F$（在一定的限制下），我们给出了$F(f)$的最大素除子的次数关于$f$的高度的下界，为数论中一个经典问题的函数域模拟建立了一个强有力的结果.
2013-08-14 math.NT
Surjectivity of the adelic Galois Representation associated to a Drinfeld Module of prime rank
设$ϕ$是由$$ϕ_T=T+τ^{r-1}+T^{q-1}τ^r.$$定义的素秩$r$的$\mathbb{F}_{q}(T)$上的Drinfeld模，证明了在一定条件下，$\mathbb{F}_q$上的椭圆伽罗瓦表示$$ρ_ϕ:{\rm{Gal}}(\mathbb{F}_q(T)^{\rm{sep}}/\mathbb{F}_q(T))\longrightarrow \varprojlim_{\mathfrak{a}}{\rm{Aut}}(ϕ[\mathfrak{a}])\cong {\rm{GL_r}}(\widehat{A})$$是满射的.
2021-11-08 math.NT
Prime divisors of sequences associated to elliptic curves
我们考虑了除椭圆曲线上的一列有理点的x坐标的分母的素数。期望对于指数的每一个足够大的值，每一项都应该被一个原始的素除子整除，该因子在任何早期的项中都没有出现。这方面的证据只在少数情况下才为人所知。弱的结果，在一般的方向，使用强形式的西格尔定理和一些同余参数。我们的主要结果被应用于Somos序列的素除子的研究。
2004-04-06 math.NT
The divisor function in arithmetic progressions modulo prime powers
我们研究了用$n \equiv a \bmod q$表示的$n\le x$的除数函数$τ(n)$的平均值。已知除数函数均匀分布在所有略小于$x^{2/3}$的$q$的等差数列上。我们将展示如何去过去这个障碍时，$q=p^k$奇素数$p$和任何固定的整数$k\ge 7$。
2016-02-12 math.NT
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
2015-04-22 math.NT
An integral representation of divisor function. An equation for prime numbers
本文提出了除数函数$τ(n)\equiv σ_{0}(n)$用复变数函数的对数留数表示的方法。该表示法为进一步研究自然数的性质提供了有用的理论工具。
2011-09-16 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
Shifted-prime divisors
本文研究由 Prachar 提出的移位素数因数计数函数 $\omega^*(n)$ 的高阶矩及相关问题。
2024-03-19 math.NT
On an additive prime divisor function of Alladi and Erdos
本文讨论了Alladi和Erd \H os于1977年提出的可加性素除子函数$A(n) := \sum\limits_{p^α|| n} α\, p$.证明了对于任意固定整数$q > 1.$，$A(n)$是均匀分布的（mod $q$
2016-06-17 math.NT
3-fold Massey products in Galois cohomology -- The non-prime case
对于$m\geq2$，设$F$是一个与$m$特征素的域，且包含$m$阶单位根，$G_F$是它的绝对伽罗瓦群.我们证明了3重Massey乘积$\langleχ_1,χ_2,χ_3\rangle$，与$χ_1,χ_2,χ_3\in H^1(G_F,\mathbb{Z}/m)$和$χ_1,χ_3$ $\mathbb{Z}/m$ -线性无关，是不必要的。这一点在以前的$m$素数中得到了证明。我们的证明是基于对$G_F$的单三角表示的研究。
2021-01-22 math.NT
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
2021-06-26 math.NT
Dynamical Galois groups of trinomials and Odoni's conjecture
我们证明Odoni猜想在所有的素数度，即，我们证明，对于每一个正素数$p$，存在一个度$p$多项式$φ\in\mathbb{Z}[x]$满射树实伽罗瓦表示。我们还表明，Vojta的猜想意味着存在这样的多项式在许多程度$d$这不是素数。
2016-10-13 math.NT
Egyptian Fractions and Prime Power Divisors
从不同的埃及分数方程，我们得到了推广的主要pseudoperfect数和Giuga数，我们称之为素数幂psuedoperfect数和素数幂Giuga数。我们证明了在OEIS中的Amarnath Murthy序列是素数幂拟完全数序列的子序列。给出了一个数是素幂伪完全数或素幂Giuga数的充分素分解条件。素因子分解的条件自然产生了一个推广的费马素数，我们称之为扩展的费马素数。
2018-04-03 math.NT
Poisson Approximation of prime divisors of shifted primes
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了移位素数的素因数分布，通过建立模型与实际素因数的总变差距离估计，证明了移位素数素因数在不相交集合中的泊松独立性，并建立了随机整数与移位素数的结构转移原理。
2026-01-19 math.NT
The Vojta conjecture implies Galois rigidity in dynamical families
我们证明了Vojta（或Hall-Lang）猜想暗示了单参数二次多项式族中的树实伽罗瓦表示是满射的当且仅当它们满射到某个有限且一致的商上.作为应用，我们利用Vojta猜想、$\mathbb{Q}(t)$上的一致性定理和Hilbert不可约性定理证明了许多二次轨道的素除子具有密度零.
2014-12-28 math.AG math.DS math.NT
The asymptotic distribution of the largest prime divisor
我们考虑Dickman函数$Ψ(x,y)$在极限下当$\ln x/\ln y\to \infty $和$\ln \ln x \ln y\to 0$ .渐近值用$x$和$ln y$的迭代长度之比表示。
2008-11-19 math.NT
Divisor problem in arithmetic progressions modulo a prime power
本文得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$中整数$n \le x$上除数函数平均值的一个渐近公式，其中$q=p^k$对素数$p\ge 3$和充分大的整数$k$成立.特别地，我们打破了这类公式的经典障碍$q \le x^{2/3}$，推广了R.~ Khan（2015），使其在$k$中统一。
2016-02-11 math.NT
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
该研究针对二元素域$\boldsymbol{\text{F}}_2$，找到了仅以梅森多项式为奇不可约因子的所有非分裂双酉完美多项式，是经典算术问题的多项式变体研究成果。
2026-08-03 math.NT
Constructing Galois representations ramified at one prime
设$n>1$，$e\geq 0$和一个素数$p\geq 2^{n+2+2e}+3$，使得$p$的正则性指数为$\leq e$ .证明了在所有素数$l\neq p$上有无穷多个不可约的伽罗瓦表示$ρ: Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow {GL}_n(\mathbb{Q}_p)$是不可分歧的.此外，这些表示所示的图像包含一个固定的有限指数子群的${SL}_n(\mathbb{Z}_p)$。这样的表示是通过提升合适的残差表示$\barρ$与图像中的对角环面在${GL}_n(\mathbb{F}_p)$，全局变形问题是通畅的。
2021-06-05 math.NT
On degrees of modular common divisors and the Big prime gcd algorithm
我们考虑在$\Z[x]$中多项式的大素数模块化$\gcd$算法的一些修改。我们的修改是基于模公因数的多项式的程度的界限，估计的结果和寻找初步的界限上的程度的公因数使用辅助素数的素因子。这些修改是用来建议改进的算法$\gcd$计算和互质多项式检测。为了说明的想法，我们适用于构造算法的某些多项式，特别是多项式从克努特的例子中间表达膨胀。
2014-07-22 math.NT math.RA
Stability of torsion subgroups of elliptic curves over non-Galois extensions of odd prime degree
本文研究了椭圆曲线在非伽罗瓦扩张下的扭子群稳定性，通过伽罗瓦理论条件和模ℓ循环同源特征像的关系，细化了Gonzalez-Jimenez的结果。
2025-12-09 math.NT
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
2019-07-31 math.NT
On Galois Groups of Prime Degree Polynomials with Complex Roots
设$f$是$\QQ$上的一个素数阶不可约多项式，它具有精确的复根$k$对.利用Jens Höchsmann（1999）的结果，我们证明了如果$p\geq 4k+1$，则$\Gal(f/\QQ)$同构于$A_{p}$或$S_{p}$。这改进了A。作者声明：by T.如果这样的多项式$f$可由根式求解，则它的伽罗瓦群是p次的弗罗贝纽斯群。相反，任何p次的偶数阶弗罗贝纽斯群都可以实现为$\QQ$上的具有复根的不可约多项式$p$的伽罗瓦群。
2007-09-18 math.GR math.NT
A summation of the number of distinct prime divisors of the lcm
令$x$为正整数。给出了$ω(\operatorname{lcm}(m,n))$对所有正整数$m$和$n$与$mn \le x$求和的渐近结果.这回答了最近一篇论文中提出的一个悬而未决的问题。
2021-01-18 math.NT
Prime number decomposition of the Fourier transform of a function of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，如果相对于单位的原根的相同阶进行，这是众所周知的事实。因此，变换可以表示为自变量的素因子，本文证明了其显式形式。随后，它示出了如何可以推广到离散傅里叶变换的函数的最大公因数的过程。从这个表示中，建立了关于欧拉函数及其推广的一些有趣的关系。
2014-10-08 math.NT
On the largest prime divisor of $n!+1$
对于整数$m >1$，我们用$P(m)$表示$m$的最大素除子。我们证明了$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+1)/n \geqslant 1+9\log 2>7.238$，改进了Stewart的一个结果.更一般地说，对于任何非零多项式$f(X)$与整数系数，我们表明，$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+f(n))/n \geqslant 1+9\log2$。这改进了Luca和Shparlinski的结果。这些改进来自于对上述工作的额外组合思想。
2021-03-27 math.NT
On the number of ramified primes in specializations of function fields over $\mathbb{Q}$
本文研究了$\mathbb{Q}$的有限Galois扩张中分歧素数的个数，通过特殊化$\mathbb{Q}(T)$的有限Galois扩张得到了$\mathbb{Q}$的有限Galois扩张.我们的主要结果是一个中心极限定理。我们也给出了伽罗瓦的一些理论应用。
2018-09-27 math.NT
Gaps between prime divisors and analogues in Diophantine geometry
Erdwords认为第二时刻的差距计数函数的素除子在1946年，并证明了一个上界，是不是正确的数量级。我们证明了所有时刻的渐近性。此外，我们证明了一个概括说明，素数$p$之间的差距，没有$\mathbb{Q}_p$ -点上的随机品种是泊松分布。
2022-10-27 math.NT math.PR
Galois Towers over Non-prime Finite Fields
在本文中，我们构造了任何非素有限域$\mathbb F_{\ell}$上具有良好渐近性质的伽罗瓦塔，即，构造亏格递增的$\mathbb F_{\ell}$上的函数域序列$\mathcal{N}=(N_1 \subset N_2 \subset \cdots)$，使得所有的扩张$N_i/N_1$都是Galois扩张，且这些函数域的有理位置数随亏格线性增长.塔的极限满足相同的下界作为目前已知的最好的下界为非素有限域的Ihara常数。具有这些性质的塔在包括编码理论和密码学的各种领域中的应用是重要的。
2013-11-07 math.AG math.NT
Constructing Certain Special Analytic Galois Extensions
对于每个满足类群$\text{Cl}(\mathbb{Q}(μ_p))$上一定条件的素$p\geq 5$，我们构造了无限分圆扩张$\mathbb{Q}(μ_{p^{\infty}})$的$p$ -进解析Galois扩张，并给出了它的一些特殊的分歧性质.更详细地说，这个扩张在$p$以上的素数上是无分歧的，在1000个有理素数上是有分歧的，并且同构于$\text{SL}_2(\mathbb{Z}_p)$的一个包含主同余子群的有限指数子群。对于素数$107,139,271$和$379$，这种扩展首先由Ohtani和Blondeau构造。产生这些特殊的扩展在一个丰富的素数的策略是通过提升二维可约伽罗瓦表示，这是对角时，限制到$p$。
2019-07-11 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
On a sum of the error term of the Dirichlet divisor function over primes
本文研究素数上Dirichlet除数函数误差项平方的求和问题，并证明了该和式存在渐近公式。
2024-10-01 math.NT
Modular forms and some cases of the inverse Galois problem
我们证明了新的情况下，逆伽罗瓦问题考虑的残留伽罗瓦表示所产生的一个固定的newform。具体选择权$3$新形式将表明，存在$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群$PSL_2(\mathbb{F}_p)$用于所有素数$p$，$PSL_2(\mathbb{F}_{p^3})$用于所有奇素数$p \equiv \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 \pmod{13}$。
2015-08-31 math.NT
On the number of prime factors of values of the sum-of-proper-divisors function
令$ω(n)$（分别$Ω(n)$）表示素因子的数量（分别为自然数$n$的复数。1917年，Hardy和Ramanujan证明了$ω(n)$的正规阶是$\log\log n$，$Ω(n)$也是如此;粗略地说，一个典型的自然数$n$大约有$\log\log n$素因子。我们证明了一个类似的结果为$ω(s(n))$，其中$s(n)$表示$n$的真因子之和：对于任何$ε> 0$和所有$n \leq x$不属于一个集的大小$o(x)$，\[ |ω(s(n)) - \log\log s(n)| < ε\log\log s(n) \]和相同的是真实的$Ω(s(n))$。
2015-09-14 math.NT
All even (unitary) perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
讨论了环$\F_2[x]$中与因子和函数的不动点有关的一个算术问题。研究了二元多项式$A$，使得$σ(A)/A $仍是二元多项式.从技术上讲，我们证明了唯一的（酉）完全多项式在$\F_2$是产品的$x$，$x+1$和梅森素数正好是九个（分别.九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$ .
2022-02-13 math.NT
The set of stable primes for polynomial sequences with large Galois group
令$K$是一个具有整数环$\mathcal O_K$的数域，令$\{f_k\}_{k\in \mathbb N}\subseteq \mathcal O_K[x]$是一个一元多项式序列，使得对于每个$n\in \mathbb N$，组合$f^{(n)}=f_1\circ f_2\circ\ldots\circ f_n$是不可约的.在本文中，我们表明，如果$f^{(n)}$的伽罗瓦群的大小是足够大的（在一个精确的意义上）作为$n$的函数，那么一组素数$\mathfrak p\subseteq\mathcal O_K$，使每个$f^{(n)}$是不可约模$\mathfrak p$有密度为零。证明了使得$f^{(n)}$的伽罗瓦群足够大的多项式序列子集在适当意义下在所有多项式序列的集合内具有密度1.
2017-04-07 math.NT
Ergodic averages with prime divisor weights in $L^{1}$
我们证明了$ { ω}(n)$和$ { Ω}(n)$，$n$的不同素因子的个数和$n$的不同素因子的个数根据重数是$L^{1}$中逐点遍历定理的好的权函数.也就是说，如果$g$表示这些函数之一并且$S_{g,K}=\sum_{n\leq K}g(n)$，则对于每个遍历动力系统$(X, { { \cal A } },μ, { τ})$和每个$f\in L^{1}(X)$ $$\lim_{K\to { \infty }} \frac{1}{S_{g,K}}\sum_{n=1}^{K} g(n)f( { τ}^{n}x)=\int_{X}fdμ\text{ for $μ$ a.e. }x\in X. $$，这回答了C提出的问题。Cuny和M. Weber在$L^{p}$和$p>1$中显示了这一结果。
2016-10-03 math.CA math.DS math.NT
