The generalized 3-edge-connectivity of lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -边连通度$λ_k(G)$是边连通度概念的推广.两个图$G$和$H$的字典积，记为$G\circ H$，是一种重要的图积.本文主要研究$G \circ H$的广义3-边连通度，得到了$λ_3(G \circ H)$的上、下界.此外，所有的边界都是尖锐的。
2014-01-10 math.CO
General position problems in strong and lexicographic products of graphs
Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；School of Science, Zhejiang University of Science and Technology（浙江科技大学理学院）
本文研究强和字典序图积中的一般位置问题，确定了外积、对偶积和总积的一般位置数，并获得了若干确切值。
2024-08-28 math.CO
Hamiltonian properties in generalized lexicographic products
本文研究广义字典序积的哈密顿性质，针对路径情形给出了可追踪性、哈密顿性和哈密顿连通性的充要条件，改进并推广了已有结果。
2023-11-15 math.CO
Global Defensive Alliances in the Lexicographic Product of Paths and Cycles
图$G$的顶点集合$S$是$G$的\textit{defensive alliance}，如果对于每个$v \in S$，它保持$|N[v] \cap S| \geq |N[v]-S|$。如果联盟$S$也是支配集，则称为$global$。本文给出了路与圈的字典序积的全局防御联盟数的精确值。
2018-10-18 math.CO
Domination related parameters in the generalized lexicographic product of graphs
本文研究了图的广义字典序积（简称GLP）中与控制有关的参数（其中包括全控制数、限制控制数、全限制控制数、成对控制数、外连通控制数和全外连通控制数）.我们证明了，对于图的每一个GLP，存在几个含有这些参数的等式链。推广了两个图的标准字典序积的一些已知结果。我们还得到了图的良好$μ$ -控制GLP的结果，其中$μ$代表上述控制参数中的任何一个。特别地，当$μ$是控制数或全控制数时，给出了图的良好$μ$ -控制GLP的一个刻画.
2020-07-26 math.CO
Double domination in lexicographic product graphs
在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。一个子集$S\subseteq V(G)$称为$G$的双支配集，如果$S$支配$G$的每个顶点至少两次。$G$的所有双控制集的最小基数是双控制数。利用因子图$G$和$H$的不变量，得到了字典序积图$G\circ H$的双控制数的紧界和闭公式.
2020-08-01 math.CO
Lexicographic products and lexicographic powers of graphs -- a walk matrix approach
本文提出游走矩阵方法，推导了任意图字典积的特征多项式与谱，确立了零度大于0时主特征值的相关性质，并将结果应用于图的字典幂谱分析。
2025-06-13 math.CO
Spectra and Laplacian spectra of arbitrary powers of lexicographic products of graphs
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）；Universidade de Aveiro（阿威罗大学）；Universidade Federal Fluminense（弗鲁米嫩塞联邦大学）
本文研究了任意图的词法幂的谱和拉普拉斯谱，特别探讨了正则图和任意图的特征值特性，并通过实例展示了大规模图的谱分析方法。
2015-11-07 math.CO
A note on the packing chromatic number of lexicographic products
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的填充色数的上、下界.这两个界限在许多情况下是一致的。特别地，如果$|V(H)|-α(H)\geq {\rm diam}(G)-1$，则会发生这种情况，其中$α(G)$表示$G$的独立数。
2019-09-25 math.CO
The local metric dimension of the lexicographic product of graphs
度量维度是一个得到充分研究的图参数。最近，邻接维数和局部度量维数被引入和研究。本文给出了$n$阶连通图$G$与由$n$构成的图族$\mathcal{H}$的字典积$G \circ \mathcal{H}$的局部度量维数的一般公式.我们证明了$G \circ \mathcal{H}$的局部度量维数可以用$G$的真孪生等价类和$\mathcal{H}$中图的局部邻接维数来表示.
2016-06-08 math.CO
Connected domination game: predomination, Staller-start game, and lexicographic products
连接控制博弈是最近由Borowiecki，Fiedorowicz和Sidorowicz作为控制博弈的另一种变体引入的。规则基本上是相同的，除了在游戏的所有阶段，所玩的顶点集必须连接。我们从他们的论文中回答了一个问题，关于在游戏中支配者/拖延者开始游戏的移动次数之间的关系。本文还研究了连通对策控制数与直径的关系，给出了连通对策控制数小的图。我们确定了字典序积图的值，并考虑了顶点的控制对连通对策控制数的影响。
2019-03-13 math.CO
Metric dimension of lexicographic product of some known graphs
对于一个有序集合W = {w1，w2，...，wk}和一个连通图G中的顶点v，则有序k-向量r（v| W）：=（d（v，w1），d（v，w2），.，d（v，wk））称为v关于W的（度量）表示，其中d（x，y）是顶点x和y之间的距离。集合W称为G的分解集，如果G的不同顶点关于W有不同的表示。G的分解集的最小基数是它的度量维数。本文研究了图G与H的字典序积G[H]的度量维数。
2022-02-01 math.CO
On the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs
图$G$中的顶点$x$分解$G$的两个顶点$u$、$v$，如果$u$和$x$之间的距离不等于$v$和$x$之间的距离。从$G$的顶点集到$[0,1]$的函数$g$是$G$的分解函数，如果对于任何两个不同的顶点$u$和$v$，$g(R_G\{u,v\})\geq 1$，其中$R_G\{u,v\}$是分解$u$和$v$的顶点集。实数$\sum_{v\in V(G)}g(v)$是$g$的权重。$G$的所有分解函数的最小权称为$G$的分数度量维数，用$\dim_f(G)$表示。本文将计算冠积图和字典积图的分数度量维数的问题归结为计算因子图的某些参数的问题。
2012-06-09 math.CO
Closed formulae for the strong metric dimension of lexicographic product graphs
给定一个连通图$G$，如果存在包含$v$的最短$u-w$路或包含$u$的最短$v-w$路，则顶点$w\in V(G)$强分解两个顶点$u,v\in V(G)$.一个顶点集$S$是$G$的强度量生成元，如果$G$的每一对顶点都能被$S$的某个顶点强分解. $G$的强度量生成元的最小基数称为$G$的强度量维数。本文得到了图的字典序积的强度量维数与其因子图的强度量维数之间的若干关系。
2014-02-11 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of lexicographic product of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。由$G$得到两个图$G$和$H$的字典积$G[H]$，用$H$的一个副本$H_u$代替$G$的每个顶点$u$，然后将$H_u$的所有顶点与$H_v$的所有顶点连接，如果$uv\in E(G)$ .本文给出了两个图的字典序积的可区别数和可区别指数的一些精确界。作为推论，我们证明了：如果$G$是一个连通图，且$G[G]$和$D(G)> 1$的自同构群满足一个特殊的条件，则对每个自然的$k$，有$D(G)\leq D(G^k)\leq D(G)+k-1$，其中$G^k=G[G[...]]$ .同时证明了$G$，$G^k$（$k\geq 2$）的所有字典序幂最多可由两个边标号区分.
2016-06-27 math.CO
The generalized 3-connectivity of Lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$，由Chartrand等人引入，是（顶点）连通性概念的自然和良好的推广。本文证明了对任意两个连通图$G$和$H$，$κ_3(G\circ H)\geq κ_3(G)|V(H)|$ .给出了$κ_3(G\Box H)$和$κ_3(G\circ H)$的上界.此外，所有的边界都是尖锐的。
2013-08-12 math.CO
Monophonic position sets of Cartesian and lexicographic products of graphs
Department of Mathematics, Mahatma Gandhi College, University of Kerala（喀拉拉大学马哈特玛甘地学院数学系）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理和力学研究所）；Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Open University（开放大学数学与统计学院）
本文针对图的笛卡尔积与字典积，研究将一般位置问题中最短路径替换为诱导路径的单音位置问题，推导两类积图单音位置数的相关结论与计算公式。
2025-11-17 math.CO
On the super domination number of lexicographic product graphs
图$G$的顶点$v$的邻域是$G$中与$v$相邻的所有顶点的集合$N(v)$。对于$D\subseteq V(G)$，我们定义$\overline{D}=V(G)\setminus D$。一个集合$D\subseteq V(G)$称为超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{D}$，存在$v\in D$使得$N(v)\cap \overline{D}=\{u\}$ . $G$的超控制数是$G$中所有超控制集的最小基数。本文利用字典序乘积图的因子图的不变量，得到了字典序乘积图的超控制数的闭公式和紧界。作为研究的结果，我们证明了寻找图的超控制数的问题是NP-Hard的。
2017-03-17 math.CO
AVD Total Colorings of Subdivision Graphs, Joins, and Deleted Lexicographic Products
Eötvös Loránd University（罗兰大学）
本文验证了正则图、完全二部图等中心图满足AVD全染色猜想，并确定了细分图的AVD全色数，给出了图并的AVD全染色新结果。
2026-11-10 math.CO
Independence Complex of the Lexicographic Product of a Forest
研究了森林$G$与图$H$的字典积$G[H]$的独立复形.证明了对于不受单点支配的森林$G$，如果$H$的独立复形同伦等价于球面的楔形和，则$G[H]$的独立复形同伦等价于球面的楔形和.我们提供两个显式计算的例子。作为第一个例子，我们确定了$L_m [H]$的独立复形的同伦类型，其中$L_m$是$m$顶点上没有分支的树，对于任何正整数$m$，当$H$的独立复形同伦等价于$d$维球面的$n$拷贝的楔形和时。第二类是对森林$G$和完全图$K$，用$G$的独立控制数刻画了$G[K]$的独立复形的同调连通性.
2021-09-09 math.CO
The Metric Dimension of Lexicographic Product of Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的分解集的最小基数是它的度量维数。本文研究了图$G$和$H$的字典积的度量维数，即$G[H]$ .首先，我们引入了一个新的参数，称为图的邻接度量维数。然后，根据$G$的阶和$H$的邻接度量维数，得到了$G[H]$的度量维数.
2011-03-17 math.CO
The Simultaneous Metric Dimension of Families Composed by Lexicographic Product Graphs
设${\mathcal G}$是定义在公共（标记）顶点集$V$上的图族。一个集合$S\subseteq V$被称为${\cal G}$的同时度量生成器，如果对于每个$G\in {\cal G}$和每对不同的顶点$u,v\in V$，存在$s\in S$使得$d_{G}(s,u)\ne d_{G}(s,v)$，其中$d_{G}$表示测地距离。用于${\cal G}$的同时邻接生成器是在度量$d_{G,2}(x,y)=\min\{d_{G}(x,y),2\}$下的同时度量生成器。${\cal G}$的最小基数同时度量（邻接）生成器是同时度量（邻接）基，其基数是${\cal G}$的同时度量（邻接）维数。在同时邻接维数的基础上，研究了字典序乘积图族的同时度量维数。
2015-04-02 math.CO
A note on the Thue chromatic number of lexicographic products of graphs
如果一个序列没有一个序列形成重复，则该序列被称为非重复序列（序列$r_1,r_2,\dots,r_{2n}$使得所有$1\leq i \leq n$的$r_i=r_{n+i}$）。设$G$是一个顶点着色的图。如果图$G$中每条路径上的颜色序列是不重复的，则图$G$的着色$φ$是不重复的。图厄色数，用$π(G)$表示，是$G$的非重复着色的最小颜色数。本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的Thue色数关于因子的一般上界.当$G$是完全多部图而$H$是任意图时，这个上界被用来导出$π(G\circ H)$的精确值.
2014-09-17 math.CO
F-index of graphs based on four operations related to the lexicographic product
图的遗忘拓扑指数或F-指数被定义为图的所有顶点的度的立方之和。本文研究了Sarala等人[D. Sarala，H. Deng，S.K. Ayyaswamya和S. Balachandrana，基于与词典产品相关的四个新操作的图的萨格勒布指数，\textit{Applied Mathematics and Computation}，309（2017）156- 169。
2017-06-01 cs.DM math.CO
Rainbow domination in the lexicographic product of graphs
设k是正整数，f是V（G）到{1，2，3，.，k}。函数f称为G的k-彩虹控制函数，只要u是G的顶点使得f（u）是空集，则对{1，2，3，.，k}存在u的近邻x使得f（x）包含r。G的k-彩虹控制数是G的k-彩虹控制函数所指定的子集的基数的最小和（在G的所有顶点上）。G的k-彩虹控制数是G与k阶完全图的笛卡儿积的普通控制数。本文主要研究了图的字典积的2-彩虹控制数，并证明了这个数的精确下界和上界。实际上，我们证明了G与H的字典积的2-彩虹控制数的精确值，除了当H的2-彩虹控制数为3且存在H的最小2-彩虹控制函数使得H中的某个顶点被赋予标号{1，2}的情况。
2013-03-13 math.CO
Quantum automorphism group of the lexicographic product of finite regular graphs
研究了两个有限正则图的字典序积图的量子自同构群，给出了Sabidussi关于这类图的自同构群的结构定理的量子推广。
2015-04-22 math.CO math.OA math.QA
Maker-Breaker resolving game played on lexicographic products of graphs
St. Paul’s College（圣保罗学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学物理力学研究所）；University of Maribor（马里博尔大学）；Pavanatma College（帕瓦纳塔玛学院）
本文研究了在图的字典序积上进行Maker-Breaker解析游戏的策略，证明了在特定条件下Spoiler或Resolver的必胜策略，并确定了相应的解析数。
2025-11-30 math.CO
Shannon Capacity and Related Graph Invariants for Lexicographic Products
Faculty of Mathematics, Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院数学学院）
该研究分析图字典积下的Lovász θ函数、分数Haemers数和香农容量，证明相关乘性、超乘性性质，确定多类图乘积的香农容量并提出开放问题。
2026-09-01 cs.IT math.CO math.IT
Nonrepetitive colorings of lexicographic product of graphs
一个图$G$的顶点的着色$c$是不重复的，如果不存在路$v_1v_2\ldots v_{2l}$，其中对所有$1\le i\le l$都有$c(v_i)=c(v_{l+i})$.给定图$G$和$H$与$|V(H)|=k$，字典积$G[H]$是通过将$G$的每个顶点替换为$H$的副本，并将$G$的每条边替换为$K_{k,k}$的副本而获得的图。我们的主要结果如下。我们证明了，对于一个足够长的路径$P$，$P[K_k]$的非重复着色至少需要$3k+\lfloor k/2\rfloor$颜色。如果是$k>2$，那么我们只需要$2k+1$的颜色来不重复地给$P[E_k]$着色，其中$E_k$是$k$顶点上的空图。如果我们进一步要求$E_k$的每个副本都是彩虹色的，并且路径$P$足够长，则$P[E_k]$所需的最小颜色数至少是$3k+1$，至多是$3k+\lceil k/2\rceil$。最后，我们定义了图的分数非重复着色，并考虑了这个概念和上述结果之间的联系。
2013-09-16 math.CO
Rees products and lexicographic shellability
我们使用的理论词典shellability提供各种例子中的秩的同源性的里斯产品的两个偏序集列举了一些组合对象的集合，也许根据一些自然的统计集。这些例子中的许多都推广了J. Jonsson的一个结果，即一个截断次数为$n$的布尔代数和一个长度为$n-1$的链的Rees积的唯一非平凡同调群的秩是$§_n$中的错位数。
2012-03-05 math.AC math.CO
The $k$-metric dimension of the lexicographic product of graphs
给定一个简单连通图$G=(V,E)$和一个正整数$k$，一个集合$S\subseteq V$被称为是$G$的$k$ -度量生成元，如果对于任何一对不同的顶点$u,v\in V$，至少存在$k$顶点$w_1,w_2,\ldots,w_k\in S$，使得对于每个$i\in \{1,\ldots,k\}$，都有$d_G(u,w_i)\ne d_G(v,w_i)$，其中$d_G(x,y)$表示$x$和$y$之间的距离. $k$度量生成器的最小基数是$G$的$k$度量维数.如果任意两个不同的顶点$x,y\in V(G)$满足$|((N_G(x)\triangledown N_G(y))\cup\{x,y\})\cap S|\ge k$，则集合$S\subseteq V$是$G$的$k$ -邻接生成器，其中$N_G(x)\triangledown N_G(y)$是$x$和$y$的邻域的对称差。任何$k$ -邻接生成器的最小基数是$G$的$k$ -邻接维数。本文利用因子图的$k$ -邻接维数得到了图的字典积的$k$ -度量维数的紧界和封闭公式。
2015-10-26 math.CO
Perfect domination, Roman domination and perfect Roman domination in lexicographic product graphs
本文研究字典序乘积图的完美控制数、罗马控制数和完美罗马控制数，给出前两者的闭式公式，为完美罗马控制数提供界限及达到条件，并刻画完美罗马图。
2022-04-26 cs.DM math.CO
On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs
一个图$G=(V,E)$的顶点$v$被称为关于一个函数$f: V \longrightarrow \{0,1,2\}$是不设防的，如果对于每个与$v$相邻的顶点$u$，有$f(v)=0$和$f(u)=0$。我们称函数$f$为弱罗马控制函数，如果对于每个$v$，使得$f(v)=0$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u)\in \{1,2\}$和由$f'(v)=1$，$f'(u)=f(u)-1$和$f'(z)=f(z)$定义的函数$f': V \longrightarrow \{0,1,2\}$，对于每个$z\in V \setminus\{u,v\}$，没有不设防的顶点。$f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V(G) }f(v)$。图$G$的弱罗马控制数，记作$γ_r(G)$，是$G$上所有弱罗马控制函数中的最小权。Henning和Hedetniemi [Discrete Math.266（2003）239-251]表明，计算$γ_r(G)$的问题是NP难的，即使限制在二分图或弦图上。这表明找到$γ_r(G)$的特殊类的图或获得良好的界限，这个不变。本文利用因子图的不变量，得到了字典序积图的弱罗马控制数的封闭公式和紧界。
2018-03-19 math.CO
On the zero forcing number of corona and lexicographic product of graphs
图$G$的迫零数，记作$Z(G)$，是一个黑色顶点集合$S$的最小基数（其中$V(G)\setminus S$中的顶点被着色为白色），使得$V(G)$在多次应用$"$之后变为黑色，颜色变化规则$"$：如果一个白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则它变为黑色。本文研究了两个图$G$和$H$的冠积$G\odot H$和字典积$G\circ H$的迫零数。证明了若$G$和$H$分别是$n_{1}\geq2$和$n_{2}\geq2$阶连通图，则有$Z(G\odot ^{k}H)=Z(G\odot ^{k-1}H)+n_{1}(n_{2}+1)^{k-1}Z(H)$，其中$G\odot^{k}H=(G\odot^{k-1}H)\odot H$ .此外，它表明，对于一个连通图$G$的顺序$n\geq 2$和任何图$H$包含$l\geq 1$组件$H_{1},H_{2}, \cdots,H_{l}$与$|V(H_{i})|=m_{i}\geq 2$，$1\leq i\leq l$，$(n-1)l+\sum\limits_{i=1}^l m_{i}\leq Z(G\circ H)\leq n(\sum\limits_{i=1}^{l}m_{i})-l$。
2016-07-14 math.CO
Total mutual-visibility in graphs with emphasis on lexicographic and Cartesian products
本文研究了连通图的完全互见性数，给出了基于直径、阶数和连通控制数的界限与图刻画，并确定了字典序积的精确值及笛卡尔积图的界限与闭式公式。
2023-06-27 math.CO
On Signed Distance in Product of Signed Graphs
有符号图是指每条边都有正号或负号的图。本文首先刻画了连通符号图的距离相容性，并讨论了符号图的笛卡儿积、字典积和张量积的距离相容准则。利用因子图的距离矩阵，我们还讨论了符号图的笛卡儿积、字典积和张量积的距离矩阵。
2020-09-18 math.CO
Toll number of the Cartesian and the lexicographic product of graphs
Toll凸性是所谓的区间凸性的变化。$u$和$G$中的$v$之间的收费漫步$T$是$T: u,w_1,\ldots,w_k,v,$形式的漫步，其中$k\ge 1$，其中$w_1$是$T$中$u$的唯一邻居，$w_k$是$T$中$v$的唯一邻居。与测地或单声道凸性一样，$u,v\in V(G)$之间的toll间隔是一个集合$T_G(u,v)=\{x\in V(G)\,:\,x \textrm{ lies on a tolled walk between } u \textrm{ and } v\}$。一个顶点集$S$是toll凸的，如果对所有$u,v\in S$都有$T_{G}(u,v)\subseteq S$。本文第一部分重新研究了笛卡尔积图中凸集的刻画。证明了任意两个图的笛卡尔积的Toll数和Toll壳数均为2。第二部分讨论图的字典序积。证明了若$H$不同构于完全图，则$tn(G \circ H) \leq 3\cdot tn(G)$ .我们给出了$tn(G \circ H) = 3\cdot tn(G)$的一些充要条件。此外，如果$G$至少有两个极端的顶点，一个完整的刻画。还图与$tn(G \circ H)=2$的特点-这是情况下，当$G$有一个通用的顶点和$tn(H)=2$。最后，给出了$tn(G \circ H)$的公式-它是用所谓的toll支配三元组来描述的。
2016-08-26 math.CO
A note on local antimagic chromatic number of lexicographic product graphs
设$G = (V,E)$是连通简单图.一个双射$f: E \rightarrow \{1,2,\ldots,|E|\}$称为$G$的一个局部反魔标号，如果$f^+(u) \neq f^+(v)$对任意两个相邻顶点$u$和$v$成立，其中$f^+(u) = \sum_{e\in E(u)} f(e)$和$E(u$）是与$u$关联的边的集合。一个图$G$称为局部反魔性，如果$G$至少允许一个局部反魔性标号。局部反魔性色数，记作$χ_{la}(G)$，是在$G$的局部反魔性标记上获得的诱导色的最小数目。设$G$和$H$是两个不相交的图。图$G[H]$是由$G$和$H$的字典积得到的。本文给出了$χ_{la}(G[H])\leq χ_{la}(G)χ_{la}(H)$可解的充分条件.因此，我们给出了$G$和$H$的例子，使得$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$，其中$χ(G)$是$G$的色数。我们猜想：（i）有无穷多个图$G$和$H$使得$χ_{la}(G[H])=χ_{la}(G)χ_{la}(H) = χ(G)χ(H)$，（ii）对于$k\ge 1$，$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$当且仅当$χ(G)χ(H) = 2χ(H) + \lceil\frac{χ(H)}{k}\rceil$，其中$2k+1$是$G$中最短奇圈的长度.
2022-08-31 math.CO
Lexicographic products and the power of non-linear network coding
我们介绍了一种技术，用于建立和放大网络编码和索引编码的参数之间的差距。该技术使用线性规划，建立分离的组合和编码理论参数和应用超图字典的产品，以放大这些分离。这需要结合字典序被乘数的对偶解，并证明它们是乘积的有效对偶。我们的结果是一般的，足以适用于一个大家庭的线性规划。这种线性规划和字典序积的混合提供了一种构造组合或编码理论参数之间的差距是多项式大的硬实例的方法。我们发现多项式间隙的情况下，最大的先前已知的差距只有小的常数因子或完全未知。最值得注意的是，我们展示了线性和非线性网络编码率之间的多项式分离。这涉及到利用拟阵和索引编码之间的联系，以建立线性和非线性索引编码速率之间的先前未知的分离。我们还构造索引编码问题的广播速率和平凡的下限之间的多项式差距，没有差距是以前已知的。
2011-08-11 cs.IT math.CO math.IT
Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs
本文通过引入不可约支配集概念，刻画了字典序乘积图的最小支配集，并给出良支配图的特征刻画，包括支配数为2时的多项式可检验条件，以及支配数有界图类中的多项式时间识别算法。
2017-08-18 cs.DM math.CO
On local antimagic chromatic number of lexicographic product graphs
设$G = (V,E)$是一个连通的简单图，其阶为$p$，大小为$q$。一个图$G$被称为局部反魔，如果$G$允许局部反魔标记。一个双射$f : E \to \{1,2,\ldots,q\}$称为$G$的一个局部反魔术标号，如果对于任意两个相邻的顶点$u$和$v$，我们有$f^+(u) \ne f^+(v)$，其中$f^+(u) = \sum_{e\in E(u)} f(e)$和$E(u)$是关联到$u$的边的集合。因此，如果顶点$v$被赋予颜色$f^+(v)$，则任何局部反魔术标记都会导致$G$的正确顶点着色。局部反魔性色数，记作$χ_{la}(G)$，是$G$的局部反魔性标记上的最小诱导色数。设$G$和$H$是两个顶点不相交的图。$G$和$H$的{ \it字典积}，记为$G[H]$，是顶点集为$V(G) \times V(H)$的图，如果是$(u,v)\in E(G)$，或者如果是$u=v$和$u'v'\in E(H)$，则$(u,u')$在$G[H]$中与$(v,v')$相邻。本文得到了$χ_{la}(G[O_n])$的一个精确上界，其中$O_n$是$n\ge 1$阶的零图.还得到了偶正则二部图和三部图$G$具有$χ_{la}(G)=3$的充分条件。因此，我们成功地确定了局部反幻色数的无限多（连接和断开）的正则图，部分支持存在$r$ -正则图$G$的顺序$p$，使得（i）$χ…
2022-03-30 math.CO
Isolation number: Cartesian and lexicographic products and generalized Sierpiński graphs
本文研究隔离数在笛卡尔积、字典序积和广义谢尔宾斯基图等图运算下的行为，证明多个上下界，并得到超立方体棱柱及经典谢尔宾斯基图的精确隔离数值。
2025-08-22 math.CO
From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs
本文证明了字典序积图$G\circ H$的意大利控制数可以用$G\circ H$的五个不同的控制参数来表示。这些参数可以在以下统一的方法下定义，该方法包括几个众所周知的支配参数的定义并引入新的支配参数。令$N(v)$表示$v\in V(G)$的开邻域，并且令$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是非负整数的向量，使得$ w_0\ge 1$。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$，$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$的$w$ -控制数，记为$γ_{w}(G)$，是$G$上所有$w$ -控制函数中的最小权.如果我们在需要时对$G$的最小度施加限制，则在这种方法下，我们可以定义例如控制数、总控制数、$k$ -控制数、$k$ -元组控制数、$k$-元组总控制数、意大利控制数、总意大利控制数和$\{k\}$ -控制数。具体来说，我们表明，$γ_{I}(G\circ H)=γ_{w}(G)$，其中$w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$和$l\in \{2,3\}$。关于等式是否对$w_0,\dots,w_l$的特定值成立…
2021-05-11 math.CO
Orientable domination in product-like graphs
图$G$的可定向控制数${\rm DOM}(G)$是图$G$在所有定向上的最大控制数。本文研究了不同乘积图的${\rm DOM}$及其相关的图运算。确定了任意电晕积的可定向控制数，同时证明了笛卡尔积和字典积的精确上、下界上界。通过对任意正整数$n_1,n_2$和$n_3$建立${\rm DOM}(K_{n_1,n_2,n_3})$的值，扩展了Chartrand等人1996年的结果。在考虑字典序积图的可定向控制数时，我们否定地回答了[Domination in digraphs and their direct and笛卡儿积，J. Graph Theory 99（2022）359-377]中提出的关于无圈有向图的控制数和堆积数的问题.
2022-11-04 math.CO
Odd Hadwiger number and graph products
Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；National Institute of Informatics（日本信息学研究所）
本文研究了两个图积的奇Hadwiger数大小，针对四种标准图积给出最优下界。
2026-07-02 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
Regularity and separation for Sierpiński products of graphs
本文研究图的Sierpiński积，给出高阶连通性的充要条件，并完全分类正则平面（含多面体）Sierpiński积及平面字典序积，引入带色平面图类作为证明工具。
2025-06-20 math.CO
On indicated coloring of lexicographic product of graphs
指示着色是一个图着色游戏，其中两个玩家共同着色图的顶点如下。在每一轮中，第一个玩家（Ann）选择一个顶点，然后第二个玩家（Ben）使用一组固定的颜色对其进行适当的着色。Ann的目标是实现整个图的适当着色，而Ben则试图阻止该项目的实现。在图$G$上，Ann赢得比赛所需的最小颜色数（与Ben的策略无关）称为$G$的指示色数，记为$χ_i(G)$。本文证明了对任何图$G$和$H$，$G[H]$对所有$k\geq\mathrm{col}(G)\mathrm{col}(H)$都是$k$ -指示可着色的.我们还证明了对任何图$G$和某些类具有$χ(H)=χ_i(H)=\ell$的图$H$，$G[H]$是$k$ -指示可着色的当且仅当$G[K_\ell]$是$k$ -指示可着色的.作为这个结果的结果，我们已经证明了，对于某些特定的图族$G$和$H$，$G[H]$是$k$ -指示可着色的每一个$k\geq χ(G[H])$。这是对A. \cite{and}中的Grzesik。另外，如果$G$是一个二分图或$\{P_5,K_3\}$ -free图（或）$\{P_5,Paw\}$ -free图，并且$H$来自同一个图族，那么我们证明了$χ_i(G[H])=χ(G[H])$ .
2020-02-04 math.CO
Notes On Group Distance Magicness of Product Graphs
本文给出了两个图的字典积和直积的群距离幻标号的一些结果。证明了图是群距离幻图的一些必要条件，并给出了树是群距离幻树的一个刻划。
2018-08-05 math.CO
Lower bounds for the spanning tree numbers of two graph products
对于任何阶为$n$的图$G$，生成树堆积数\emph{$STP(G)$}是$G$中包含的边不相交生成树的最大数目。本文给出了笛卡儿积图和字典积图的生成树数的几个精确的下界。
2013-07-09 math.CO
Seymour-tight orientations
Korteweg-de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学柯帝格-德弗里斯数学研究所）
研究Seymour第二邻域猜想的几乎反例，探讨Seymour紧导向的性质及其在勒克西克图形积中的封闭性，并构造反例。
2026-03-31 math.CO
The reducibility of optimal 1-planar graphs
本文研究了最优1-平面图的可约性，通过刻画其作为字典积的结构特征，解决了Bucko和Czap于2015年提出的关于图与两个孤立顶点字典积的1-平面性判定问题。
2024-12-19 math.CO
On the isolation numbers in graph products
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Furman University（弗曼大学）
本文在前期笛卡尔积、字典积隔离数研究基础上，研究四类图乘积的隔离数与$\boldsymbol{\textit{F}}$-隔离数，推导相关上下界并确定多族图乘积的精确值，扩展了笛卡尔积的对应研究结果。
2026-08-27 math.CO
Vector valued switching in the products of signed graphs
本文研究了符号图在笛卡尔积、字典序积、张量积和强积下的平衡维数，基于向量值切换概念，探讨了这些乘积的平衡性质。
2023-06-16 math.CO
