Regularity comparison of symbolic powers, integral closure of powers and powers of edge ideals
Arvind Kumar, Rajiv Kumar
研究了边理想的小符号幂的正则性和小符号幂的整闭包。我们还证明了至多有两个奇圈的图的边理想的幂的整闭包的正则性与它们的幂的正则性相同。
We study the regularity of small symbolic powers and integral closure of small powers of edge ideals. We also prove that the regularity of integral closure of powers of edge ideals of graphs with at most two odd cycles is the same as the regularity of their powers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Closure-theoretic proofs of uniform bounds on symbolic powers in regular rings
给出了正则环中理想的符号幂增长的一致界的闭包理论证明。作者最近证明了这些边界的混合特征使用各种版本的perfectoid/大科恩-麦考利测试理想，与特殊情况下获得的马和Schwede。在混合特征中，我们使用Heitmann的全扩展加（epf）闭包，Jiang的弱epf（wepf）闭包和R.G.的结果闭包运算，导致大Cohen-Macaulay代数。我们的策略也适用于任何满足R.G.的代数公理和Briançon-Skoda型定理，从而给出了这些结果的新的证明，这些结果的一致界的增长的理想的符号权力的正则环的所有特征。同样，这些关于符号权力的结果也是由艾因-拉扎斯菲尔德-史密斯、霍赫斯特-胡内克、高木-吉田和约翰逊得出的。
Regularity and symbolic defect of points on rational normal curves
本文研究了射影平面和射影$ 3 $ -空间中有理正态曲线上点的理想。我们给出了Castelnuovo-Mumford正则性的普通幂的值的一个显式公式。此外，我们比较了这种理想的$ m $ -th符号和普通的权力，以显示每当$ m $ -th符号缺陷是非零的。
Castelnuovo-Mumford regularity and Ratliff-Rush closure
我们建立强有力的Castelnuovo-Mumford正则性和Ratliff-Rush封闭的理想之间的关系。我们的结果有几个有趣的后果计算的Ratliff-Rush封闭，Ratliff-Rush过滤的稳定性，减少数的不变性，和计算的Castelnuovo-Mumford正则性的Rees代数和纤维环。特别是，我们证明了Castelnuovo-Mumford正则的Rees代数和纤维环是相等的大项理想在两个变量的类，从而验证了一个猜想的艾森巴德和乌尔里希在这些情况下。
Differences in regularities of a power and its integral closure and symbolic power
本文证明无平方单项式理想的符号二次幂和二次幂整闭包的正则性可与普通二次幂相差任意大整数。
Regularity of Powers and symbolic powers of edge ideals of cubic circulant graphs
本文计算了所有三次循环图的边理想的幂与符号幂的正则性，并证明了三次循环图情形下的Minh猜想。
Regularity of Symbolic Powers of Edge Ideals
本文证明了几类图的边理想的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性与它们的普通幂的Castelnuovo-Mumford正则性是一致的。
Regularity of integral closures of edge ideals of weighted oriented graphs
本文证明了任意加权有向图的边理想在取积分闭包后正则性不增，揭示了该代数操作对正则性的单调影响。
Symbolic powers and integral closures via extremal ideals
本文通过极值理想计算平方自由单项式理想幂和符号幂的积分闭包，并提供精确的不变量界。
Upper bounds for the regularity of symbolic powers of certain classes of edge ideals
设$G$是有限单图，$I(G)$表示域$\mathbb{K}$上多项式环中相应的边理想.本文给出了一类边理想的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性的上界.我们还证明了几类图的边理想的符号幂的正则性与它们的普通幂的正则性是一致的。
Multi-symbolic Rees algebras and strong F-regularity
设I是强F-正则环R的除理想. Watanabe提出了符号Rees代数R_s（I）是Noether代数时是否是Cohen-Macaulay代数的问题。本文提出了多符号Rees代数的概念，并利用它证明了：只要R上的某个辅助环是双生成的，则R_s（I）确实是Cohen-Macaulay代数。
Regularity of quasi-symbolic and bracket powers of Borel type ideals
本文证明了Borel型$I$的单项式理想的q次拟符号幂$I^{((q))}$的正则性和$q$次括号幂$I^{[q]}$的正则性分别满足关系$reg(I^{((q))})\leq q \cdot reg(I)$，$reg(I^{[q]})\geq q\cdot reg(I)$ .同时，我们还给出了$reg(I^{[q]})$的一个上界.
Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
本文通过t-可接受子图确定图的覆盖理想t次符号幂的正则性，并应用于双部单环图的覆盖理想幂的正则性计算。
Generalized test ideals and symbolic powers
Hochster和Huneke在\cite{HH5}中证明了正则环中理想的符号幂的精细行为，使用紧闭包理论。在本文中，我们使用广义测试理想，这是一个特征$p$模拟乘子理想，给Hochster-Huneke的结果略有推广。
Regularity of symbolic powers and Arboricity of matroids
设$Δ$是拟阵$M$的单纯复形.本文利用拟阵$M$的组合数据，明确地计算了Stanley-Reisner理想$I_Δ$的所有符号幂的正则性.为了做到这一点，我们提供了$M$的荫度和它的对偶$M^*$的周长之间的严格界限。
Regularity of symbolic powers of edge ideals of unicyclic graphs
设$G$是具有边理想$I(G)$的单圈图.对于任何整数$s\geq 1$，我们用$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂。证明了对于每个$s\geq 1$，都有${\rm reg}(I(G)^{(s)})={\rm reg}(I(G)^s)$.
Comparision between regularity of small symbolic powers and ordinary powers of an edge ideal
设$G$是一个单图，$I$是它的边理想.证明了$${\rm reg}(I^{(s)}) = {\rm reg}(I^s)$$对于$s = 2,3$，其中$I^{(s)}$是$I$的$s$次符号幂.作为结果，我们证明了以下界限\begin{align*} {\rm reg} I^{s} & \le {\rm reg} I + 2s - 2, \text{ for } s = 2,3, {\rm reg} I^{(s)} & \le {\rm reg} I + 2s - 2,\text{ for } s = 2,3,4. \end{align*}
Tight closure, coherence, and localization at single elements
本文提出开放持续性与可粘合性条件，证明满足二者的闭包运算在单元素局部化与保持拟凝聚性之间等价，并将其用于紧闭问题，引入半 F-正则性。
Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals
研究了无平方因子的单项理想的符号幂的正则性。证明了如果$I = I_Δ$是单纯复形$Δ$的Stanley-Reisner理想，则$\reg(I^{(n)}) \leqslant δ(n-1) +b$对所有的$n\geqslant 1$，其中$δ= \lim\limits_{n\to\infty} \reg(I^{(n)})/n$，和$b = \max\{\reg(I_Γ) \mid Γ\text{ is a subcomplex of } Δ\text{ with } \F(Γ) \subseteq \F(Δ)\}$ .该界限对于任何$n$都是尖锐的。当$I = I(G)$是简单图$G$的边理想时，我们得到了一般的线性上界$\reg(I^{(n)}) \leqslant 2n + \ordmatch(G)-1$，其中$\ordmatch(G)$是$G$的有序匹配数.
Asymptotic regularity of powers of ideals of points in a weighted projective plane
本文研究了加权射影平面中点的理想的符号幂的正则性的渐近性质。根据Cutkosky，Ein和Lazarsfeld的结果，这种幂的正则性表现为渐近的线性函数.我们研究了这种幂的正则性与这种线性函数的正则性之间的区别。在某些条件下，我们证明这个差是有界的，或者最终是周期性的。作为推论，我们证明了，如果存在一条负曲线，则单项空间曲线的符号幂的正则性最终是一个周期线性函数。我们给出了Nagata猜想在不存在负曲线方面成立的一个判据。
The regularity of monomial ideals and their integral closures
本文研究了单项式理想及其整数闭包的正则性，证明了闭包的正则性不高于原理想，并给出了正则性等于度数的充要条件。
Regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
设$G$是一个图，它属于下列任一类：（i）二部图，（ii）纯图，或（iii）无爪图.假设$J(G)$是覆盖理想$G$，而$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了$$k{\rm deg}(J(G))\leq {\rm reg}(J(G)^{(k)})\leq (k-1){\rm deg}(J(G))+|V(G)|-1.$$。我们还确定了图族的上述不等式是平等的。
On the Regularity of squarefree part of symbolic powers of edge ideals
假设$G$是一个具有边理想$I(G)$的图。对于每一个整数$s\geq 1$，我们用$I(G)^{\{s\}}$表示$I(G)$的$s$次符号幂的无平方部分。当$G$是弦图时，我们确定了$I(G)^{\{s\}}$正则性的一个上界.如果$G$是Cameron-Walker图，我们用$G$的导出匹配数来计算${\rm reg}(I(G)^{\{s\}}$.此外，对于任何图$G$，我们提供了尖锐上界为${\rm reg}(I(G)^{\{2\}})$和${\rm reg}(I(G)^{\{3\}})$。
Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs
Cameron-Walker图是匹配数和导出匹配数相同的图。设$G$是一个Cameron-Walker图，其边理想为$I(G)$，$\ind-match(G)$为$G$的导出匹配数.证明了对每一个整数$s\geq 1$，都有等式${\rm reg}(I(G)^{(s)})=2s+\ind-match(G)-1$，其中$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂.
Regularity of Symbolic Powers of Co-Chordal Edge Ideals
该研究针对有限简单余弦图的边理想，证明其符号幂的正则性公式为reg I(G)^(s)=2s，还指出这类符号幂未必是分量wise线性的，归约与论证过程结合了Takayama公式、团树等方法。
A comparison of the regularity of certain classes of monomial ideals and their integral closures
本文针对某些类的单项式理想，证明了 Küronya 和 Pintye 关于齐次理想整闭的 Castelnuovo-Mumford 正则性不超过原理想正则性的猜想。
Regularity of symbolic powers of certain graphs
令$G_{n,r}$表示具有循环顺序的$n$顶点$\{x_1,\ldots,x_n\}$的图，并且对于每个顶点$x_i$，考虑集合$A_i=\{x_{i-r},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots, x_{i+r}\},$，其中$x_{i-j}$是顶点$x_{n+i-j}$，无论何时$i<j$和$0\leq r\leq \Bigl\lfloor\dfrac{n}{2}\Bigr\rfloor -1$。在$G_{n,r}$中，每个顶点$x_i$与$V(G_{n,r})\backslash A_i$的所有顶点相邻。设$I=I(G_{n,r})$是$G_{n,r}$的边理想.我们表明，明的猜想是正确的$I,$，即规律的普通权力和象征权力的$I$是平等的。我们计算了整个类的Waldscherk常数和复苏。
Regularity under Integral Closure: A General Criterion and a Sharp Counterexample
研究提出一个等生成的单项式理想，其积分闭包的正则性大于原理想，挑战了Küronya-Pintye猜想的多项式环形式。
On the ordinary and symbolic powers of fiber products
本文研究了不相交变量集中两个齐次理想的纤维积，在已知各因子符号幂的前提下完全确定了其符号幂的深度与正则度，并推广先前工作为普通幂提供了精确且与特征无关的公式。
Integral closures of monomial ideals and Fulkersonian hypergraphs
本文证明了无平方项理想I的幂的整闭包等于符号幂当且仅当I是Fulkersonian超图的边理想。
Regularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals
设$I$是域上多项式环中的齐次理想.令$I^{(n)}$为$I$的$n$次符号幂。受有关$I$的普通幂的结果的启发，我们研究了当$I$是单项理想时正则函数$\text{reg}~ (I^{(n)})$和最大生成度函数$ω(I^{(n)})$的渐近性态.已知这两个函数最终都是拟线性的。此外，我们证明了序列$\{\text{reg}~ I^{(n)}/n\}_n$和$\{ω(I^{(n)})/n\}_n$收敛到相同的极限，这可以组合描述。我们构造了一个等维的，高度为2平方自由单项式理想$I$的$ω(I^{(n)})$和$\text{reg}~ (I^{(n)})$最终不是线性函数的例子。对于最后一个目标，我们介绍了一种新的方法来建立理想的分量线性。这种方法使我们能够确定一类新的单项理想的符号权力是分量线性。
Comparisons between ordinary and symbolic powers of edge ideals with respect to regularity and depth
本文研究边理想普通幂与符号幂在正则性和深度上的差异，证明单纯图情形下二者正则性一致，并给出深度不等式成立条件及差异模的Krull维数图论公式。
Ordinary and symbolic Rees algebras for ideals of Fermat point configurations
费马理想定义了平点构形，这些构形与特定曲线束的成员的相交轨迹密切相关。这些理想最近流行起来，作为某些提议的在象征性权力和普通权力之间进行包容的反例。本文系统地讨论了费马理想族，明确地描述了它的所有普通幂和许多符号幂的极小生成元和极小自由分解。我们用这些来研究普通的和符号的Rees代数的费马理想。具体地说，我们证明了符号里斯代数的费马理想是诺特。一路上，我们给公式的Castelnuovo-Mumford正则性的权力的费马理想，我们确定其减少理想。
Asymptotic resurgence via integral closures
给定一个理想的多项式环，我们表明，Guardo，Harbourne和Van Tuyl研究的渐近复苏可以计算使用整闭包。因此，一个理想的渐近复苏是最大的许多比率，涉及Waldschmidt-like常数（我们称之为斜Waldschmidt常数）定义的里斯估值。我们利用这一点来证明，如果理想是正规的（即，它的所有幂是整闭的），则渐近复苏与复苏重合。对于单项式理想的斜Waldschloven常数有一个解释，涉及库珀，Embree，Hà和Hoefel定义的符号多面体。利用这一直觉，我们提供了几个例子的平方自由单项理想的复苏和渐近复苏是不同的。
On the Castelnuovo-Mumford regularity of symbolic powers of cover ideals
本文研究了图覆盖理想符号幂的正则度，基于星装填数给出了精确上界，并计算了双重Cohen-Macaulay图、Cameron-Walker图及特定无爪图的正则度。
Integral closure of small powers of edge ideals and their regularity
设$I(G)$是域k上单图$G$的边理想.证明了对所有的$s \le 4$，都有$${\rm reg}(\overline {I(G)^s}) = {\rm reg}(I(G)^s),$$.此外，我们提供了一个图$G$的例子，使得对于所有$s \ge 1.$，$${\rm reg} I(G)^s = {\rm reg} \overline{I(G)^s} = {\rm reg} I(G)^{(s)} = \begin{cases} 5 + 2s & \text{ if char k} = 2 \\ 4 + 2s & \text{ if char k} \neq 2, \end{cases}$$
Regularity of symbolic and ordinary powers of weighted oriented graphs and their upper bounds
本文研究加权有向图边理想的符号幂与普通幂正则性之间的关系，对加权有向完全图给出显式公式并证明符号幂正则性最终为线性函数，同时给出一般加权有向图在汇点条件下的不等式比较及添加悬挂点后的正则性比较结果。
On the regularity of small symbolic powers of edge ideals of graphs
设$G$是一个具有边理想$I(G)$的图，用$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂.证明了对任意整数$s\geq 1$，$${\rm reg}(I(G)^{(s+1)})\leq \max\bigg\{{\rm reg}(I(G))+2s, {\rm reg}\big(I(G)^{(s+1)}+I(G)^s\big)\bigg\}.$$，有${\rm reg}(I(G)^{(2)})\leq {\rm reg}(I(G))+2$，${\rm reg}(I(G)^{(3)})\leq {\rm reg}(I(G))+4$ .此外，还证明了：如果对某个整数$k\geq 1$，图$G$没有长度至多为$2k-1$的奇圈，则对每一个整数$s\leq k+1$，图${\rm reg}(I(G)^{(s)})\leq 2s+{\rm reg}(I(G))-2$.最后，证明了当补图$\overline{G}$是弦图时，对于$s\in \{2, 3, 4\}$，${\rm reg}(I(G)^{(s)})=2s$是可解的.
Symbolic powers of edge ideals of graphs
设$G$是一个图，$I = I(G)$是它的边理想.当$G$是单圈的时，给出了$I$的符号幂关于其普通幂的分解.这使我们能够显式地计算Waldschleman常数和$I$的复苏数。当$G$是奇循环时，我们显式地计算了所有$s \in \mathbb{N}$的$I^{(s)}$的正则性.在这样做的时候，我们也给了一个自然的下界的正则性函数$\text{reg } I^{(s)}$，$s \in \mathbb{N}$，对于任意图$G$。
A linear bound for Frobenius powers and an inclusion bound for tight closure
设I表示正特征域p上正规标准分次Cohen-Macaulay整环中的R_+ -准素齐次理想，利用射影簇Proj R上的顶维合丛的最小斜率，给出了I的Frobenius幂I^[q]（q=p^e）的线性度界.这为紧密闭合提供了包含边界。以同样的方式，我们给出了Frobenius幂I^[q]的Castelnuovo-Mumford正则性的线性界。
Symbolic powers, set-theoretic complete intersection and certain invariants
在这篇综述文章中，我们给出了一个简短的历史象征权力和它的连接与有趣的问题集理论完全相交。并提出了一些问题和建议。最近，与象征性权力有关的是遏制问题。我们列出了一些有趣的结果和有关的问题的复苏，Waldschleman常数和Castelnuovo-Mumford正则性。
Symbolic powers of certain cover ideals of graphs
本文计算了图$G$的覆盖理想的正则性和符号幂的Hilbert级数，当$G$是一个冠图或一个完全多部图时.我们还计算了覆盖理想的符号幂的多重性。
Strong $F$-regularity and the Uniform Symbolic Topology Property
本文研究素特征交换诺特整环中理想符号幂与通常幂的包含问题，证明满足特定非强$F$-正则轨迹条件的环具备一致符号拓扑性质，强$F$-正则环还满足更强的线性映射相关性质。
A Vanishing Theorem and Asymptotic Regularity of Powers of Ideal Sheaves
设$\mathscr{I}$是$P^n$上的理想层.本文的第一部分给出了$\mathscr{I}$的幂的渐近正则性的界为$ps-3\leq \reg \mathscr{I}^p\leq ps+e$，其中$e$为常数，$s$为$\mathscr{I}$的$s$ -不变量.在一定条件下，我们也给出了$\mathscr{I}$符号幂的渐近正则性的上界.第二部分利用乘子理想层，给出了当$\mathscr{I}$定义一个具有对数标准奇点的局部完全交子簇时，$\mathscr{I}$的幂消灭定理。
Some inequalities regarding the regularity of powers of monomial ideals
本文研究单项式理想幂的正则性，证明了其符号幂与幂的整闭包的 Castelnuovo–Mumford 正则性所满足的若干不等式。
Admissible set and squarefree-power-like function with applications to squarefree symbolic powers
本文引入类平方自由幂函数统一平方自由幂序列，借助Tor-消没准则建立正则性下界，并应用于块图及Cohen-Macaulay弦图得到精确公式。
Symbolic powers of monomial ideals which are generically complete intersections
我们对余维为2的非混合单项式理想I进行了分类，这些理想一般是完全交，并且具有符号幂代数A（I）是标准分次的性质。当I是二部图的点覆盖理想的一个修改时，我们给出了A（I）的生成元的最高度的一个下界，并证明了这个最高度可以是任意给定的数.当I是一般为完全交的单项理想时，我们进一步给出了A（I）的整闭包的生成元的最高次数的一个上界.
Regularity of symbolic powers of complementary edge ideals
本文确定了互补边理想符号幂的正则性公式，并证明了其不超过通常幂的正则性，同时刻画了满足 Serre 条件和 Cohen-Macaulay 性质的图类。
The edge ideals of the join of some vertex weighted oriented graphs
本文利用每个加权定向图的边理想的信息，描述了某些图的联的边理想的准素分解。同时，我们也研究了这类边理想的符号幂和普通幂的深度和规律性。本文给出了两个孤立点并图的边理想的深度和正规幂的正则性，并给出了这类边理想的符号幂的正则性的上界.对于每个图至少有一条定向边的两个图的联的边理想，给出了其深度和正则性的精确公式，并给出了这类边理想的常幂正则性的上界.一些例子表明，这些上界可以得到，但可能是严格的。
Rational symbolic powers of ideals
本文研究了理想有理符号幂的性质，包括其成员标准、二项式展开公式以及单项理想有理符号幂的凸几何描述，并证明了其渐进行为的稳定性。
Symbolic power containments in singular rings in positive characteristic
理想的符号幂和普通幂的包含问题要求我们有什么样的$a$和$b$值$I^{(a)} \subseteq I^b$。在正则环上，Ein-Lazarsfeld-Smith，Hochster-Huneke和Ma-Schwede的一个结果部分地回答了这个问题，但是它提供的包含并不总是最好的。特别是，哈伯恩提出的更严格的遏制已经被证明适用于有趣的理想类-尽管它一般不成立。本文建立了$F$ -有限Gorenstein环上有限投射维数理想的$F$ -纯性（强$F$ -正则性）的Fedder（Glassbrenner）型判别准则，并将Grifo-Huneke的素特征结果推广到奇异环境环上.对于理想的无限投射维数，我们证明了一个变化的包容仍然成立，在精神的工作Hochster-Huneke和高木。
Excellence, F-singularities, and solidity
一个$R$ -代数$S$是$R$ -实的，如果存在一个非零的$R$ -线性映射$S \rightarrow R$ .在特征$p$中，对$F$ -奇点的研究，如Frobenius分裂，隐含地依赖于$R^{1/p}$的$R$ -实性。继前两位作者关于某些优良$F$ -纯环的Frobenius非分裂性的最新结果之后，本文利用实性的概念系统地研究了优良环的概念，重点研究了$F$ -奇性.我们证明了对于特征$p$的完全局部环上的本质有限型环$R$，约化性蕴含$R^{1/p}$的$R$ -实性，$F$ -纯性蕴含Frobenius分裂，$F$ -纯正则性蕴含分裂$F$ -正则性.我们证明了Henselizations和完成是不坚实的，提供了障碍的$R$ -坚实性的$R^{1/p}$的任意优秀环。这对大Cohen-Macaulay代数的实性也有负面影响，其中一个重要的例子是具有素特征的优秀局部环的绝对整闭包。建立了绝对整闭包的实性与日本环的概念之间的密切关系。分析日本的性质表明，Dedekind域$R$的$R^{1/p}$是$R$ -固体是优秀的，尽管我们最近的例子，优秀的欧几里得整环没有非零$p^{-1}$ -线性映射。此外，我们表明，虽然完美的封闭往往是坚实的代数几何的情况下，存在局部优秀的领域与固体完美的封闭，其绝对的整闭包是不坚实的。在附录中，凯伦·E. Smith利用绝对整闭包的实性来…
Invariants of the symbolic powers of edge ideals
设$G$是一个图，$I=I(G)$是它的边理想.当$G$是两个不同长度的奇圈在单点相连的团和时，我们给出了$I$的符号幂的一个显式描述，并计算了Waldschleman常数.当$G$是完全图时，我们刻画了$I$的符号幂的生成元，并计算了$I$的Waldschleman常数和复活.对于完全图，证明了边理想的符号幂和普通幂的Castelnuvo-Mumford正则性是一致的.
On the symbolic $F$-splitness of binomial edge ideals
本文研究了二项边理想族的符号$F$-分裂性及其符号吹胀代数的强$F$-正则性，利用Fedder类准则和相关图的组合性质对上述情形进行了探讨。
Binomial expansion for saturated and symbolic powers of sums of ideals
在文献中存在两种不同的理想的符号幂的概念，一种是用相伴素数定义的，另一种是用极小素数定义的。在阐述艾森巴德、赫尔佐格、希比和忠的一个想法时，我们将象征性权力的两个概念解释为普通权力的适当饱和。证明了理想和的饱和幂的一个二项式展开式。这给出了一个统一的治疗一系列现有的和新的结果上的两个概念的符号权力等款项：二项式展开公式，计算的深度和规律性，以及标准的平等的普通和象征性的权力。
Failure of F-purity and F-regularity in certain rings of invariants
本文证明了GL_n（F_q）的子群G在多项式环R=K[X_1，.，X_n]不一定是F纯的。在这些例子中，G是有限域上的辛群，并且不变子环总是由Carlisle和Kropholler工作的完全相交。这些例子是特别感兴趣的角度研究的弗罗贝纽斯封闭和紧封闭的理想作为收缩从某些扩展环：他们提供的实例时，柱脚元素模产生的理想系统的参数是被迫扩大理想的一个模块-有限扩张环这是一个可分离的（事实上，伽罗瓦）扩展。这个元素也被强迫进入展开理想的线性无缘的纯不可分扩张中，因为它在理想的Frobenius闭包中。本文第二部分研究了交替群A_n通过置换变量作用在多项式环R上。我们确定这个动作的不变量环何时是F-正则的。
Symbolic powers of the generic linkage of maximal minors
本文研究了最大余子式生成的理想J的符号幂与普通幂相等性，通过格罗布纳退化描述生成元的首项，并证明关联格雷德环的格雷索斯性质及正特征下的Rees代数F-理性性。
Symbolic powers of sums of ideals
设$I$和$J$是域$k$上两个Noether代数$A$和$B$中的非零理想.令$I+J$表示由$A\otimes_k B$中的$I$和$J$生成的理想。我们证明了以下扩展的符号权力：$$(I+J)^{(n)} = \sum_{i+j = n} I^{(i)} J^{(j)}.$$如果$A$和$B$是多项式环，如果CHARA $(k) = 0$或如果$I$和$J$是单项理想，我们给出了精确的公式的深度和Castelnuovo-Mumford正则性的$(I+J)^{(n)}$，这取决于之间的相互作用的符号权力的$I$和$J$。该证明涉及独立感兴趣的结果，该结果表明，在上述假设下，对于所有$i \ge 0$，$n \ge 0$，诱导映射Tor $_i^A(k,I^{(n)}) \to$ Tor $_i^A(k,I^{(n-1)})$为零。我们还研究了$(I+J)^{(n)}$的其他性质和不变量，如普通幂和符号幂之间的相等性，Waldschleman常数和Cohen-Macaulayness。
Asymptotic Behavior of Differential Powers
本文研究了理想上的微分幂操作，探讨了单调理想在特征0下的渐近主理想类，分析了普通幂与微分幂之间的包含关系，并定义了类似积分闭包的微分闭包操作。
Resurgence and Castelnuovo-Mumford regularity of certain monomial curves in ${\mathbb A}^3$
设${\mathfrak p}$是由$(x^{2q +1}, x^{2q +1 + m}, x^{2q +1 +2 m})$参数化的仿射空间${\mathbb A}_k^3$中单项曲线${\mathcal C}(2q+1, 2q+1+m, 2q+1+2m)$的定义理想，其中$gcd( 2q+1,m)=1$。本文计算了${\mathfrak p}$的复活性、${\mathfrak p}$的Waldscherk常数和${\mathfrak p}$的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性.
Symbolic blowup algebras and invariants associated to certain monomial curves in ${\mathbb P}^3$
本文明确地描述了曲线${\mathcal C}(q,m)$在参数为$( x^{d+2m}, x^{d+m} y^m, x^{d} y^{2m}, y^{d+2m})$的${\mathbb P}^3$中的符号幂，其中$q,m$是正整数，$d=2q+1$和$\gcd(d,m)=1$ .这些曲线的定义理想是集合论完全相交。我们证明了符号爆破代数是Noether和Gorenstein的。给出了定义曲线${\mathcal C}(q,m)$的素理想${\mathfrak p}:={\mathfrak p}_{ { \mathcal C}(q,m) }$的再生和Waldschleman常数的显式表达式.我们还给出了一个公式的Castelnuovo-Mumford正则性的符号权力${\mathfrak p}^{(n)}$所有$n \geq 1$。
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