互补边理想的符号幂的正则性

中文摘要 AI 辅助

设 \\(G\\) 为 \\(n\\) 个顶点上的有限简单图，\\(I_c(G)\\) 为其互补边理想。我们确定了对于每个 \\(t\geq1\\)，\\(\reg(I_c(G)^{(t)})\\) 由 \\(G\\) 的非平凡连通分量数 \\(c(G)\\) 以及是否存在 \\(K_2\\)-分量决定。因此，对于所有 \\(t\geq1\\)，有 \\(\reg(I_c(G)^{(t)})\leq \reg(I_c(G)^t)\\)，且对所有 \\(t\\) 等号成立当且仅当 \\(c(G)=1\\)，或 \\(c(G)=2\\) 且 \\(G\\) 有一个 \\(K_2\\)-分量。我们还刻画了 \\(R/I_c(G)\\) 的 Serre 条件 \\((S_2)\\)，并分类了使得 \\(R/I_c(G)^{(t)}\\) 对所有 \\(t\geq1\\) 为 Cohen-Macaulay 的图。

英文摘要

Let \(G\) be a finite simple graph on \(n\) vertices, and let \(I_c(G)\) be its complementary edge ideal. We determine \(\reg(I_c(G)^{(t)})\) for every \(t\geq1\) in terms of the number \(c(G)\) of nontrivial connected components of \(G\) and the presence of a \(K_2\)-component. Consequently, \(\reg(I_c(G)^{(t)})\leq \reg(I_c(G)^t) \) for all \(t\geq1\), with equality for every \(t\) if and only if either \(c(G)=1\), or \(c(G)=2\) and \(G\) has a \(K_2\)-component. We also characterize Serre's condition \((S_2)\) for \(R/I_c(G)\), and classify the graphs for which \(R/I_c(G)^{(t)}\) is Cohen-Macaulay for every \(t\geq1\).

发表机构

• Faculty of Natural Sciences, Hong Duc University（鸿德大学自然科学学院）
• Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院数学系）

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