Ergodic-theoretic properties of certain Bernoulli convolutions
[17]作者和A. Vershik已经表明，对于$\be=\frac12(1+\sqrt5)$和字母表$\{0,1\}$的无限伯努利卷积（$=$的埃尔德测度）具有类似于勒贝格测度的性质。即，它在$\be$ -移位下是$\mathrm{II}_1$类型的准不变式，并且提供与Erdös测度等效的测度的$\be$ -移位的自然扩张是Bernoulli。在本文中，我们将这个结果推广到所有的Pisot参数$\be$（模一些一般的算术猜想）和一个任意的“充分”字母表。
2002-03-06 math.DS math.NT
Absolute Continuity of Self Similar Measures
我们证明了自相似测度是绝对连续的，只要它满足一个条件，取决于它的Garsia熵，收缩比，和自相似测度的近似中不同点之间的分离。在Bernoulli卷积的特殊情况下，本文给出了含参数λ的Bernoulli卷积关于λ及其Mahler测度绝对连续的一个充分条件。
2023-02-06 math.CA math.DS
Spacings and pair correlations for finite Bernoulli convolutions
我们考虑有限伯努利卷积的参数$1/2 < r < 1$支持的离散点集，一般大小为$2^N$。这些序列相对于无限伯努利卷积测度$ν_r$均匀分布，因为$N$趋于无穷大。数值证据表明，对于一个通用的$r$，适当重新缩放点之间的间距分布是泊松分布。我们在这个方向上得到一些部分结果，例如，我们表明，平均而言，对相关性不表现出吸引力或排斥的限制。另一方面，对于某些代数$r$，行为完全不同。
2008-08-11 math.DS math.NT
Digit Frequencies and Bernoulli Convolutions
众所周知，与黄金平均值相关联的伯努利卷积$ν_β$具有小于1的豪斯多夫维数，即存在具有$ν_β(A)=1$和$dim_H(A)<1$的集合$A$。我们明确地构造了这样一个集合$A$，并讨论了我们的方法如何推广到证明其他伯努利卷积的奇异性
2012-11-21 math.DS
Bernoulli Convolutions and 1D Dynamics
本文描述了单位区间上一类保持Bernoulli卷积的动力系统的$ϕ_λ$.我们证明了，如果有参数范围，这些系统是分段凸的，那么相应的伯努利卷积将是绝对连续的有界密度。我们研究了系统$ϕ_λ$，并给出了一些数值证据，建议值的$λ$的$ϕ_λ$可能是分段凸的。
2015-01-27 math.DS
On the "Mandelbrot set" for a pair of linear maps and complex Bernoulli convolutions
本文考虑复线性映射对的“Mandelbrot集”$M$，它是由Barnsley和Harrington于1985年提出的，并由Bousch，Bandt等人研究过.它被定义为单位圆盘中的参数$λ$的集合，使得IFS $\{λz-1, λz+1\}$的吸引子$A_λ$是连通的。证明了$M$在虚轴附近的非平凡部分包含在其内部的闭包中（证明了$M$的所有非实点都包含在$M$的内点集的闭包中）.接下来，我们转向吸引子$A_λ$本身以及它们支持的自然度量$ν_λ$。这些措施是复杂的模拟研究无限伯努利卷积。扩展Erdös和Garsia的结果，我们演示了某些类的复杂的代数整数如何产生奇异和绝对连续的措施$ν_λ$。接下来我们研究了$A_λ$的豪斯多夫维数和测度，对于集合$M$中的$λ$，对于Lebesgue-a. e. $λ$。我们还得到了关于a.e.的$ν_λ$的绝对连续性的部分结果。模量大于$\sqrt{1/2}$的$λ$。
2002-09-18 math.DS
Singular non-Pisot Bernoulli convolutions
我们确定了一个家庭的数字，伯努利卷积是奇异的。在这个家庭中，我们发现两个可数的塞勒姆号码的收集间隔$(1,2)$，和另一个塞勒姆号码和一个代数整数，既不是皮索也不是塞勒姆在$(1,2)$。它还包含一个大于3的非皮索、非塞勒姆代数数。因此，我们提供了第一个新的明确的例子，奇异伯努利卷积的工作以来，Erdegs在1939年。
2017-08-21 math.DS
The two-dimensional density of Bernoulli Convolutions
Bernoulli卷积形成单位区间上的单参数自相似测度族。我们建议研究具有复杂组合结构的二维密度。可视化这个结构，我们讨论的结果埃尔德什，约，Komornik，西多罗夫，德弗里斯，约旦，Shmerkin和Solomyak，冯和王。我们强调了有限轨道在相伴多值映射中的作用，并给出了一些新的性质和例子。
2016-07-22 math.DS
Spectra of Bernoulli convolutions as multipliers in $L^p$ on the circle
它表明，封闭的集合的傅立叶系数的伯努利卷积$μ_θ$参数化的皮索数$θ$，是可数的。结合Salem和Sarnak的结果，证明了对于每个固定的$θ>1$，$L^p(S^1)$（其中$S^1$是圆群）中卷积算子$f\mapsto μ_θ*f$的谱是可数的，并且对于所有的$p\in(1,\infty)$，即$\bar{\{\hat{μ_θ}(n) : n\in\mathbb{Z}\}}$都是相同的.我们的结果回答了P. Sarnak在\cite{Sar}中提出的问题。我们还考虑了$r>0$的集合$\bar{\{\hat{μ_θ}(rn) : n\in\mathbb{Z}\}}$，它对应于测量变量的线性变化。我们表明，这样的一组仍然是可数的所有$r\in\Q(θ)$，但不可数（非空的间隔）Lebesgue-a. e。$r>0$。
2002-10-03 math.DS math.FA math.NT
Towards Absolutely Continuous Bernoulli Convolutions
我们展示了如何把问题的绝对连续性的伯努利卷积到一个计数的增长的重叠的数量在系统中。当压缩参数是双曲代数整数时，我们把这个问题的绝对连续性问题，涉及到域交换变换上的上循环的遍历论。
2021-10-18 math.CA math.DS
Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers
我们考虑Bernoulli卷积$ν_λ$的多重分形结构，其中$λ^{-1}$是$(1,2)$中的Salem数.令$τ(q)$表示$ν_λ$的$L^q$谱。我们证明了如果$α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$，那么水平集$$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r\to 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$是非空的，并且是$\dim_HE(α)=τ^*(α)$，其中$τ^*$表示$τ$的Legendre变换.这个结果推广到所有满足渐近弱分离条件的自共形测度。指出当$λ^{-1}$是多项式$x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$，$n\geq 4$的最大实根时，区间$[τ'(+\infty), τ'(0+)]$不是单例.构造了一个例子，表明绝对连续的自相似测度也可能具有丰富的多重分形结构。
2011-11-10 math.CA math.DS math.NT
Uniform lower bounds on the dimension of Bernoulli convolutions
本文给出了一个算法，得到了具有相似性的仿射迭代函数格式的平稳测度的豪斯多夫维数的一致下界，最著名的例子是Bernoulli卷积.伯努利卷积测度$μ_λ$是对应于随机变量$ξ= \sum_{k=0}^\infty ξ_kλ^k$定律的概率测度，其中$ξ_k$是i.i.d.。随机变量假设值$-1$和$1$具有相等的概率和$\frac12 < λ< 1$。特别地，对于Bernoulli卷积，我们给出了所有$\frac12<λ<1$的一致下界$\dim_H(μ_λ) \geq 0.96399$。
2022-01-17 math.DS math.PR
On the exceptional set for absolute continuity of Bernoulli convolutions
我们证明了例外的集合$λ\in (1/2,1)$，使相关的Bernoulli卷积是奇异的有零豪斯多夫维数，同样有偏见的Bernoulli卷积，独立的偏差的例外集。这改进了Erdös、Kahane、Solomyak、Peres和Schlag以及Hochman先前的结果。对于齐次自相似测度的卷积也得到了这类定理。证明是非常短的，并依赖于旧的和新的结果的尺寸的自相似措施和他们的卷积，和衰减的傅里叶变换。
2013-08-05 math.CA math.DS
Absolute continuity of complex Bernoulli convolutions
我们证明了复Bernoulli卷积是绝对连续的超临界参数区域，一个例外的零豪斯多夫维数的参数集之外。类似的结果也得到了有偏的情况下，和其他参数化家庭的自相似集和措施在复平面，推广早期的结果。
2015-04-02 math.CA math.DS
Absolute continuity of Bernoulli convolutions for algebraic parameters
我们证明了Bernoulli卷积是绝对连续的参数λ是一个代数数充分接近1取决于马勒措施的λ。
2018-11-13 math.CA math.CO math.DS
Recent progress on Bernoulli convolutions
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积是对$\bf R$的测量，$\bf R$是随机幂级数$\sum\pmλ^n$的分布，其中$\pm$是独立的公平掷硬币。本文综述了最近的进展，我们了解这些措施的正则性。
2016-08-15 math.CA math.DS math.PR
Asymptotics of signed Bernoulli convolutions scaled by multinacci numbers
研究了符号Bernoulli卷积$$ν_β^{(n)}=*_{j=1}^n \left (\frac12δ_{β^{-j}}-\frac12δ_{-β^{-j}}\right ),\ n\ge 1$$，其中$β>1$对某个整数$m\ge 2$满足$$β^m=β^{m-1}+\cdots+β+1$$.当$m$为奇数时，我们证明了变差$|ν_β^{(n)}|$与无符号Bernoulli卷积$$μ_β^{(n)}=*_{j=1}^n \left (\frac12δ_{β^{-j}}+\frac12δ_{-β^{-j}}\right ).$$重合;当$m$为偶数时，我们得到了全变差$\|ν_β^{(n)}\|$的精确渐近式为$n\rightarrow\infty$ .
2017-10-04 math.CA math.CO math.DS
Finite orbits in multivalued maps and Bernoulli convolutions
伯努利卷积是单位区间上的某些度量，取决于1和2之间的参数$β$。尽管它们的定义很简单，但尚未得到很好的理解。我们研究了它们的二维密度，它是由Solomyak定理证明的。对于每个Bernoulli卷积，有一个称为重叠区域的区间$D$，以及一个映射，该映射为$D$的每个点分配两个值，为$[0,1].$的所有其他点分配一个值。这些多值映射有两种类型的有限轨道，分别对应于密度的零点和潜在奇点。轨道不满足$D$属于一个普通的地图称为$β$ -变换和存在的所有$β>1.6182.$他们进行了研究埃尔德什，约，Komornik，Sidorov，德Vries和其他人作为点的唯一地址，并由约旦，Shmerkin和Solomyak作为点的最大局部尺寸。在二维视图中，这些轨道形成与一维动力学中的Milnor-Thurston行程相关的地址曲线。曲线光滑地依赖于参数，并表示所有相应的伯努利卷积的分位数。与$D$相交的有限轨道具有类似网络的结构，并且只能存在于Perron参数$β.$处。它们的点是扩展地址曲线的交点，并且可以具有有限或可数的地址，如Sidorov所发现的。对于无数个参数，中心点$\frac12$只有两个地址。周期地址曲线的相交会导致测度的奇异性。我们给出的例子是不是Pisot或塞勒姆参数。伯努利卷积的所有奇点似乎都与网络状轨道有关。这篇论文自成一体，并附有许多插图。
2017-11-28 math.DS
On the dimension of Bernoulli convolutions for all transcendental parameters
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积$ν_λ$是在$\mathbf{R}$上支持的概率测度，其是随机变量$\sum\pmλ^n$的定律，其中$\pm$是独立的公平抛硬币。我们证明了对于所有的超越$λ\in(1/2,1)$，$\dimν_λ=1$是成立的.
2019-04-01 math.CA math.DS math.PR
Linear Response for Bernoulli Convolutions
研究伯努利卷积测度的正则性，分析霍尔德观测函数的映射性质，揭示函数在小λ和大λ下的相变行为。
2026-04-16 math.CA math.DS
Strict Hausdorff-dimension drop for Quartic Salem Bernoulli convolutions
Dalian University of Technology（大连理工大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
该研究证明四次Salem数对应的等权伯努利卷积的Hausdorff维数严格小于1，通过傅里叶系数与熵亏空的转化等方法得到维数界，且给出两个具体参数的维数上界。
2026-10-12 math.DS
Multifractal structure of Bernoulli convolutions
令$ν_λ^p$为随机序列$\sum_{n=1}^\infty i_n λ^n$的分布，其中$i_n$为i.i.d.随机变量取值为0，1，概率为$p,1-p$。这些措施是众所周知的（有偏）伯努利卷积。本文研究了典型$λ$的$ν_λ^p$的多重分形谱。也就是说，我们调查的大小的集合\[ Δ_{λ,p}(α) = \left\{x\in\R: \lim_{r\searrow 0} \frac{\log ν_λ^p(B(x,r))}{\log r} =α\right\}. \]我们的主要结果突出的事实是，几乎所有的，在某些情况下，$λ$在一个适当的范围内，$Δ_{λ,p}(α)$是非空的，而且，具有积极的豪斯多夫维数，对于许多值的$α$。这甚至发生在$ν_λ^p$通常是绝对连续的参数区域中。
2010-11-08 math.CA math.DS
How to prove that some Bernoulli convolution has the weak Gibbs property
本文给出了列向量序列$\displaystyle{A_1\dots A_nV\over\left\Vert A_1\dots A_nV\right\Vert}$，$A_i\in\{A,B,C\}$，$A,B,C$是具有多个空元的$7$阶$(0,1)$ -矩阵，$V$是固定的正列向量的一致收敛的一个例子.这些矩阵来自对基本$β>1$中的伯努利卷积的研究，使得$β^3=2β^2-β+1$，即当独立随机变量$ω_n$以概率$\displaystyle{1\over2}$取值$0$和$1$时随机变量$\displaystyle(β-1)\sum_{n=1}^\infty{ω_n\overβ^n}$的（连续奇异）概率分布。在最后一节中，我们从$\displaystyle{A_1\dots A_nV\over\left\Vert A_1\dots A_nV\right\Vert}$的一致收敛性出发，推出了该测度的Gibbs性质和多重分形性质。
2014-12-30 math.DS math.GM
On the dimension of Bernoulli convolutions
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积是概率度量$μ_λ$，其是随机变量$\sum_{n\ge0}\pmλ^n$的定律，其中符号是独立的无偏抛硬币。我们证明了每个参数$λ\in(1/2,1)$与$\dimμ_λ<1$可以近似的代数参数$ξ\in(1/2,1)$内的错误顺序$\exp(-deg(ξ)^{A})$为任何数量的$A$，使$\dimμ_ξ<1$。作为推论，我们得出结论，$\dimμ_λ=1$为每个$λ=\ln 2, e^{-1/2}, π/4$。这些是第一个明确的例子，这种超越参数。此外，我们表明，Lehmer的猜想意味着存在一个常数$a<1$，使得$\dimμ_λ=1$的所有$λ\in(a,1)$。
2018-11-13 math.CA math.DS math.PR
Strict correlation-dimension drop for quartic Salem Bernoulli convolutions
Dalian University of Technology（大连理工大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
本文证明四次Salem数对应的等权重Bernoulli卷积的关联维数严格小于1，通过碰撞概率与四维环面积分建立联系，并给出两个具体数值界。
2026-10-08 math.DS
Image measures of infinite product measures and generalized Bernoulli convolutions
我们研究保测度映射$f$从概率空间$(Ω, F,μ) $到概率空间$% (Ω^{*},F^{*},μ^{*}) ,$，其中$μ^{*}=μ(f^{-1})$。研究了$f$上定义在$(Ω, F) $上的测度与相应的象测度之间保持"奇异“和"绝对连续”关系的条件.我们应用这些结果来研究随机变量$% ξ=\sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_kλ^k,$的分布，其中$% λ\in (0;1),$和$ξ_k$是独立的，不一定是相同分布的随机变量，其值为$i$，概率为$% p_{ik}$，$i=0,1.$。我们还详细研究了随机变量$ψ= \sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_ka_k,$的分布的度量拓扑和分形性质，其中$a_k>0$是收敛级数的项。
2003-08-05 math.DS math.PR
Max-semistable extremal behavior of AR(1)-processes connected with Bernoulli convolutions
Mathematical Institute, Heinrich Heine University Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学数学研究所）；Bernoulli Institute for Mathematics, Computer Science and Artificial Intelligence, University of Groningen（格罗宁根大学伯努利数学、计算机与人工智能研究所）
本文研究与伯努利卷积相关的AR(1)过程，给出其平稳分布的新结构表示，证明其平稳分布属于极大半稳定律的几何部分吸引域，并得到归一化最大值分布的收敛结果及与动力系统的关联。
2026-08-17 math.DS math.PR
Dimension of Bernoulli Convolutions in $\mathbb{R}^{d}$
本文研究R^d中伯努利卷积的维数问题，通过扩展Varjú的熵增结果，证明了在λ_j不是系数为±1,0的多项式的根时，μ_λ的维数等于min{Lyapunov维数,d}，并将该结果推广到有理平移的齐次对角自仿射系统。
2024-06-08 math.DS math.PR
On the Fourier transform of random Bernoulli convolutions
本文研究随机伯努利卷积测度的傅里叶变换，证明了在指数矩条件下其几乎必然为L^1函数，从而随机自相似集内部非空，并改进了先前界；无条件下则获得多项式衰减。
2025-08-05 math.DS math.PR
Local dimensions for the random beta-transformation
随机β变换K同构于全移位。这个关系给出了K的一个不变测度，它通过投影产生伯努利卷积。本文研究了K的不变测度的局部维数，并利用投影得到了Bernoulli卷积的局部维数。
2012-11-02 math.DS
Chaos in the Order of Finite Bernoulli Convolutions
研究有限伯努利卷积，通过数值探索其作为湍流模型的特性，基于β展开交叉点分布及N元二进制词序的概念研究其混沌行为，还给出序图及与二进制反射格雷码的联系。
2026-07-22 hep-th math.CA math.DS
Bernoulli convolutions -- 2023
本文研究参数在(1,2)内的伯努利卷积测度，证明代数非Pisot数的维数为1、Salem数情形下测度等价于勒贝格测度且密度无界，并给出De-Jun Feng定理的简短证明。
2023-12-03 math.CA math.DS math.NT
On Furstenberg's intersection conjecture, self-similar measures, and the $L^q$ norms of convolutions
研究了实直线上一类具有自相似结构的测度，我们称之为动态驱动的自相似测度，并将Bernoulli卷积等自相似测度作为其特例.我们的主要结果给出了一个表达式的$L^q$维的动态驱动的自相似措施，在一定的条件下。作为应用，我们解决了Furstenberg关于$\times p$和$\times q$ -不变集的交集维数的猜想.在其他几个应用程序中，我们还表明，伯努利卷积有一个$L^q$密度为所有有限的$q$，一个零维集的例外。主要结果的证明受M. Hochman对自相似测度维数的处理方法和熵的逆定理。我们的方法可以被看作是一个扩展的Hochman的理论从熵$L^q$规范，同样依赖于逆定理的衰减$L^q$规范的离散措施卷积。我们的方法的这一核心部分可能是独立的兴趣，并且是众所周知的方法和结果在加法组合学中的应用：由于Tao-Vu的Balog-Szemerédi-Gowers定理的不对称版本，以及Bourgain的一些构造。
2018-11-21 math.CA math.CO math.DS
Absolute continuity of self-similar measures, their projections and convolutions
我们表明，在许多参数化的家庭的自相似措施，他们的投影，和他们的卷积，一组参数的措施未能绝对连续的是非常小的余维至少有一个在参数空间。这补充了关于维度的类似问题的一条活跃的研究路线。此外，我们建立了一些规则性的密度以外的这个小的例外集，这特别适用于伯努利卷积，沿着这个道路，我们证明了一些新的结果的尺寸的自相似措施和绝对连续性的卷积的两个措施。作为一个具体的应用，我们得到了平面自相似集的Marstrand投影定理的一个非常强的版本。
2014-06-01 math.CA math.DS
Takagi type functions and dynamical systems: the smoothness of the SBR measure and the existence and smoothness of local time
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；University of Liverpool（利物浦大学）；University of Oslo（奥斯陆大学）
本文研究Takagi型函数的占据测度与局部时，通过嵌入面包师变换动力系统，利用SBR测度与伯努利卷积的联系，证明特定参数下局部时的平方可积性。
2026-09-09 math.DS math.PR
Spectral theory of regular sequences: parametrisation and spectral characterisation
本文将 ghost measure 的存在性扩展到非负实值正则序列，证明其可由紧阿贝尔群参数化并具有纯谱型，同时基于谱半径等给出了谱型分类，并解决了有限性猜想的新情形。
2023-07-27 math.DS math.NT
Measures on the Spectra of Algebraic Integers
给定一个实数beta > 1，beta的谱是一个研究得很好的动力学对象。本文证明了β的谱上存在一个与β中随机多项式分布有关的测度，并讨论了这个测度的局部结构。我们还与相应的伯努利卷积的豪斯多夫维数问题联系起来
2021-02-15 math.DS
Self-similar measures and the Rajchman property
对于经典的Bernoulli卷积，Rajchman性质，即傅里叶变换在无穷远处收敛到零，由Erd{<$}s [2]和Salem [12]的连续工作表征。我们证明弱形式的一般自相似措施与仿射收缩的实线的结果。
2020-12-11 math.DS math.PR
Growth rate for beta-expansions
令$β>1$和$m>\be$为整数。每个$x\in I_\be:=[0,\frac{m-1}{β-1}]$可以以\[ x=\sum_{k=1}^\infty ε_kβ^{-k}, \]的形式表示，其中$ε_k\in\{0,1,...,m-1\}$用于所有$k$（$x$的$β$ -扩展）。已知a.e. $x\in I_β$具有连续的不同的$β$ -扩展。本文证明了：若$β$是Pisot数，则对a.e. $x$这个连续体具有相同的增长率。我们还将此速率链接到由$β$参数化的伯努利卷积的勒贝格通用局部维数。当$β<\frac{1+\sqrt5}2$时，我们证明了对于每个内部$x$，$β$ -展开的集合都是指数增长的.
2009-12-23 math.DS math.NT
$L^q$ dimensions of self-similar measures, and applications: a survey
我们提出了一个自包含的证明公式的$L^q$维度的自相似措施的指数分离下的实线（证明逆定理的$L^q$规范的卷积）。这是一个特殊的情况下，一个更普遍的结果，作者从[Shmerkin，巴勃罗。关于Furstenberg的交集猜想，自相似测度和卷积的$L^q$范数。数学的安，2019年]，这项调查的目标之一是在一个更简单但重要的环境中提出这些想法。我们还回顾了主要结果在研究自相似Cantor集的Bernoulli卷积和交集中的一些应用。
2019-07-13 math.CA math.DS
Overlapping iterated function systems from the perspective of Metric Number Theory
本文提出了一种研究重叠迭代函数系统的新方法。这种方法的灵感来自一个著名的结果，由于欣钦从丢番图逼近。这一结果表明，对于一族limsup集，它们的勒贝格测度由自然发生的体积和的收敛或发散决定。对于许多参数化的重叠迭代函数系统的家庭，我们证明了一个典型的成员将表现出类似的Khintchine一样的行为。家庭的迭代函数系统，我们的结果适用于包括所产生的伯努利卷积，$\{0,1,3\}$问题，仿射收缩与不同的翻译参数。作为我们的分析的副产品，我们得到了新的证明众所周知的结果，由于Solomyak的绝对连续的Bernoulli卷积，当吸引子在$\{0,1,3\}$问题有积极的勒贝格测度。对于每一个$t\in [0,1]$，我们让$Φ_t$是迭代函数系统由$$Φ_{t}:=\Big\{ϕ_1(x)=\frac{x}{2},ϕ_2(x)=\frac{x+1}{2},ϕ_3(x)=\frac{x+t}{2},ϕ_{4}(x)=\frac{x+1+t}{2}\Big\}.$$我们包括这个家庭的详细研究。我们证明，无论是$Φ_t$包含一个确切的重叠，或者我们观察到Khintchine一样的行为。我们对这个家庭的分析表明，通过研究limsup集的度量性质，我们可以区分迭代函数系统的重叠行为，这是我们无法通过简单地研究自相似测度的性质来实现的。最后，我们介绍了迭代函数系统的一个性质，我们称之为关于测度的一…
2020-10-19 math.CA math.DS math.NT
Furstenberg sumset conjecture and Mandelbrot percolations
本文推广投影定理至无分离条件的 Mandelbrot 级联乘积测度，进而推广 Furstenberg 和集定理至子移位像与 Mandelbrot 渗流，并得到相关卷积维数结果。
2023-11-17 math.DS math.MG math.PR
Max-Min theorems for weak containment, square summable homoclinic points, and completely positive entropy
我们证明了一个最大-最小定理弱包容的代数行动的背景下。也就是说，我们表明，给定一个代数作用的$G$上的$X,$有一个最大的，封闭的$G$正规子群$Y$的$X$，使行动的$G$上的$Y$弱包含在伯努利移位。这个子群也是极小子群，使得任何弱包含在伯努利位移中的作用“在$G\curvearrowright X$存在的情况下”是$G\curvearrowright X/Y$ -遍历的。我们给出了几个应用，包括一个主要的简化证明，测量熵等于拓扑熵的主代数行动，其相关的卷积算子是单射的。我们还从我们的技巧推导出，代数作用的平方可和同宿群是稠密的，有完全正的熵时，作用群是sofic。
2019-07-15 math.DS math.GR math.OA
Self-similar measures associated to a homogeneous system of three maps
本文研究了$\bf R$和其它更一般的IFS上三个收缩相似的齐次迭代函数系统的自相似测度的维数。我们扩展了一些理论最近开发的伯努利卷积到这个设置。在三幅地图的背景下，出现了一种新的现象，这一现象在最近的贝克、巴拉尼和凯恩迈基的例子中得到了强调。为了克服源于这些困难，我们开发了新的技术，包括Hochman的熵增加方法的函数场设置的扩展。
2023-03-08 math.DS
Overlap functions for measures in conformal iterated function systems
研究了具有任意重叠的共形迭代函数系统（IFS）$\mathcal S = \{ϕ_i\}_{i \in I}$，以及极限集$Λ$上的测度$μ$，极限集$Λ$是平衡测度$\hat μ$关于提升映射$Φ$在$Σ_I^+ \times Λ$上的投影.未假定任何类型的开集条件。我们介绍了这样一个措施$\hat μ$的重叠功能和重叠数的概念，$\mathcal S$，特别是（拓扑）重叠数$o(\mathcal S)$的概念。这些概念考虑了极限集中点之间的$n$链。我们证明了$o(\mathcal S, \hat μ)$与$\hat μ$关于提升$Φ$的条件熵有关。各种类型的投影$Λ$不变的措施进行了研究。利用压力函数和$o(\mathcal S, \hat μ)$得到了$μ$在$Λ$上的Hausdorff维数$HD(μ)$的上估计.特别是，这适用于$Σ_I^+$上的伯努利测度的预测。接下来，我们将结果应用于$λ\in (\frac 12, 1)$的伯努利卷积$ν_λ$，其对应于通过以相等的概率组成具有重叠$\mathcal S_λ$的IFS的收缩来确定的自相似测度。证明了对所有的$λ\in (\frac 12, 1)$，$HD(ν_λ)$与重叠数$o(\mathcal S_λ)$之间存在关系.数$o(\mathcal S_λ)$近似于$Σ_2^+$上关于均匀伯努利测度$ν_{(\frac 1…
2015-07-31 math.DS math.MG math.PR
Sofic measures and densities of level sets
与实数$β>1$和概率向量$(p_0,..,p_{d-1})$相关联的伯努利卷积是$\mathbb R$上的概率度量$η_{β,p}$，自相似关系$\displaystyleη=\sum_{k=0}^{d-1}p_k\cdotη\circ S_k$的解，其中$S_k(x)=\frac{x+k}β$。若$β$是整数或具有有限Rényi展开式的Pisot代数数，则$η_{β,p}$是sofic的，且自然地联系着一个Markov链.如果$β=b\in\mathbb N$和$p_0=...=p_{d-1}=\frac1d$，$η_{b,p}$的研究接近于研究在基$b$中的表示数与在$\{0,1,..,d-1\}$中的数字的增长顺序。在$b=2$和$d=3$的情况下，它也与连分数的度量性质有关。
2014-10-08 math.DS math.PR
