Recent progress on Bernoulli convolutions
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积是对$\bf R$的测量，$\bf R$是随机幂级数$\sum\pmλ^n$的分布，其中$\pm$是独立的公平掷硬币。本文综述了最近的进展，我们了解这些措施的正则性。
2016-08-15 math.CA math.DS math.PR
A lower bound for the dimension of Bernoulli convolutions
令$β\in(1,2)$和令$H_β$表示与$β$相关联的伯努利卷积$μ_β$的Garsia熵。在本文中，我们证明了$H_β>0.82$的所有$β\in (1, 2)$，并提高了一定范围内的这一界。结合Hochman和Breuillard-Varjú最近的结果，这产生了所有$β\in(1,2)$的$\dim (μ_β)\ge0.82$。另外，我们证明了如果一个代数$β$使得对于某些$k \geq 2$有$[\mathbb{Q}(β): \mathbb{Q}(β^k)] = k$，则有$\dim(μ_β)=1$ .这是，例如，任何根的皮索数，这不是皮索数本身。
2017-03-01 math.CA math.DS
On the Hausdorff Dimension of Bernoulli Convolutions
给出了Bernoulli卷积的Garsia熵的矩阵乘积表示式。这给出了Garsia熵的显式收敛速率，并表明只要$β$是代数的，就可以计算Bernoulli卷积$ν_β$的豪斯多夫维数到任意给定的精度。特别地，如果Garsia熵$H(β)$不等于$\log(β)$，则我们有有限时间算法来确定是否为$\mathrm{dim}_\mathrm{H} (ν_β)=1$。
2018-01-22 math.CA math.DS math.PR
Digit Frequencies and Bernoulli Convolutions
众所周知，与黄金平均值相关联的伯努利卷积$ν_β$具有小于1的豪斯多夫维数，即存在具有$ν_β(A)=1$和$dim_H(A)<1$的集合$A$。我们明确地构造了这样一个集合$A$，并讨论了我们的方法如何推广到证明其他伯努利卷积的奇异性
2012-11-21 math.DS
Asymptotics of signed Bernoulli convolutions scaled by multinacci numbers
研究了符号Bernoulli卷积$$ν_β^{(n)}=*_{j=1}^n \left (\frac12δ_{β^{-j}}-\frac12δ_{-β^{-j}}\right ),\ n\ge 1$$，其中$β>1$对某个整数$m\ge 2$满足$$β^m=β^{m-1}+\cdots+β+1$$.当$m$为奇数时，我们证明了变差$|ν_β^{(n)}|$与无符号Bernoulli卷积$$μ_β^{(n)}=*_{j=1}^n \left (\frac12δ_{β^{-j}}+\frac12δ_{-β^{-j}}\right ).$$重合;当$m$为偶数时，我们得到了全变差$\|ν_β^{(n)}\|$的精确渐近式为$n\rightarrow\infty$ .
2017-10-04 math.CA math.CO math.DS
Absolutely Continuous Convolutions and Projections of Fractal Measures
University of Haifa at Oranim（奥拉尼姆海法大学）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文提出基于L¹范数尺度协变性的判据，证明三类分形测度在维数条件下卷积或直线投影的绝对连续性。
2026-09-30 math.CA math.DS
Bernoulli convolutions with Garsia parameters in $(1,\sqrt{2}]$ have continuous density functions
设$λ\in (1,\sqrt{2}]$是具有Mahler测度$2.$的代数整数，Garsia的一个经典结果表明，在$L^\infty$中，Bernoulli卷积$μ_λ$关于勒贝格测度是绝对连续的.本文证明了密度函数是连续的。
2022-02-10 math.DS math.NT
Counting Beta Expansions and the Absolute Continuity of Bernoulli Convolutions
我们研究了长度为n的词的数量的典型增长率，它可以扩展到x的β-扩展。在一般情况下，我们给出了一个下界的增长率，而在与参数β相关的伯努利卷积是绝对连续的情况下，我们能够精确地给出增长率。这给出了Bernoulli卷积绝对连续的新的充要条件。
2012-03-26 math.DS math.NT
Singular non-Pisot Bernoulli convolutions
我们确定了一个家庭的数字，伯努利卷积是奇异的。在这个家庭中，我们发现两个可数的塞勒姆号码的收集间隔$(1,2)$，和另一个塞勒姆号码和一个代数整数，既不是皮索也不是塞勒姆在$(1,2)$。它还包含一个大于3的非皮索、非塞勒姆代数数。因此，我们提供了第一个新的明确的例子，奇异伯努利卷积的工作以来，Erdegs在1939年。
2017-08-21 math.DS
On the dimension of Bernoulli convolutions for all transcendental parameters
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积$ν_λ$是在$\mathbf{R}$上支持的概率测度，其是随机变量$\sum\pmλ^n$的定律，其中$\pm$是独立的公平抛硬币。我们证明了对于所有的超越$λ\in(1/2,1)$，$\dimν_λ=1$是成立的.
2019-04-01 math.CA math.DS math.PR
Multifractal structure of Bernoulli convolutions
令$ν_λ^p$为随机序列$\sum_{n=1}^\infty i_n λ^n$的分布，其中$i_n$为i.i.d.随机变量取值为0，1，概率为$p,1-p$。这些措施是众所周知的（有偏）伯努利卷积。本文研究了典型$λ$的$ν_λ^p$的多重分形谱。也就是说，我们调查的大小的集合\[ Δ_{λ,p}(α) = \left\{x\in\R: \lim_{r\searrow 0} \frac{\log ν_λ^p(B(x,r))}{\log r} =α\right\}. \]我们的主要结果突出的事实是，几乎所有的，在某些情况下，$λ$在一个适当的范围内，$Δ_{λ,p}(α)$是非空的，而且，具有积极的豪斯多夫维数，对于许多值的$α$。这甚至发生在$ν_λ^p$通常是绝对连续的参数区域中。
2010-11-08 math.CA math.DS
The two-dimensional density of Bernoulli Convolutions
Bernoulli卷积形成单位区间上的单参数自相似测度族。我们建议研究具有复杂组合结构的二维密度。可视化这个结构，我们讨论的结果埃尔德什，约，Komornik，西多罗夫，德弗里斯，约旦，Shmerkin和Solomyak，冯和王。我们强调了有限轨道在相伴多值映射中的作用，并给出了一些新的性质和例子。
2016-07-22 math.DS
On the Gibbs properties of Bernoulli convolutions related to $β$-numeration in multinacci bases
我们考虑与$β$ -计数有关的无限卷积Bernoulli测度（或简单的Bernoulli卷积）。当$β$是PV数时，得到了这些测度的矩阵分解.当$β$为多核数时，我们还确定了它们的Gibbs性质，这使得相应的Bernoulli卷积的多重分形分析成为可能。
2004-11-12 math.DS math.NT
Uniform lower bounds on the dimension of Bernoulli convolutions
本文给出了一个算法，得到了具有相似性的仿射迭代函数格式的平稳测度的豪斯多夫维数的一致下界，最著名的例子是Bernoulli卷积.伯努利卷积测度$μ_λ$是对应于随机变量$ξ= \sum_{k=0}^\infty ξ_kλ^k$定律的概率测度，其中$ξ_k$是i.i.d.。随机变量假设值$-1$和$1$具有相等的概率和$\frac12 < λ< 1$。特别地，对于Bernoulli卷积，我们给出了所有$\frac12<λ<1$的一致下界$\dim_H(μ_λ) \geq 0.96399$。
2022-01-17 math.DS math.PR
Computing Garsia Entropy for Bernoulli Convolutions with Algebraic Parameters
该研究引入含特定代数整数的参数空间与递增分段连续函数序列给出伯努利卷积Garsia熵下界，证明部分开区域内对应伯努利卷积的Hausdorff维数为1。
2023-11-06 math.CA math.DS math.NT
Ergodic-theoretic properties of certain Bernoulli convolutions
[17]作者和A. Vershik已经表明，对于$\be=\frac12(1+\sqrt5)$和字母表$\{0,1\}$的无限伯努利卷积（$=$的埃尔德测度）具有类似于勒贝格测度的性质。即，它在$\be$ -移位下是$\mathrm{II}_1$类型的准不变式，并且提供与Erdös测度等效的测度的$\be$ -移位的自然扩张是Bernoulli。在本文中，我们将这个结果推广到所有的Pisot参数$\be$（模一些一般的算术猜想）和一个任意的“充分”字母表。
2002-03-06 math.DS math.NT
Spacings and pair correlations for finite Bernoulli convolutions
我们考虑有限伯努利卷积的参数$1/2 < r < 1$支持的离散点集，一般大小为$2^N$。这些序列相对于无限伯努利卷积测度$ν_r$均匀分布，因为$N$趋于无穷大。数值证据表明，对于一个通用的$r$，适当重新缩放点之间的间距分布是泊松分布。我们在这个方向上得到一些部分结果，例如，我们表明，平均而言，对相关性不表现出吸引力或排斥的限制。另一方面，对于某些代数$r$，行为完全不同。
2008-08-11 math.DS math.NT
Absolutely Continuous Convolutions of Singular Measures and an Application to the Square Fibonacci Hamiltonian
我们证明了对于平方斐波那契汉密尔顿，对于几乎所有小耦合常数对，态密度测量都是绝对连续的。这是从一个新的结果，我们建立的绝对连续性的措施所产生的双曲动力系统与准确的维措施的卷积。
2014-08-28 math-ph math.DS math.MP
Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers
我们考虑Bernoulli卷积$ν_λ$的多重分形结构，其中$λ^{-1}$是$(1,2)$中的Salem数.令$τ(q)$表示$ν_λ$的$L^q$谱。我们证明了如果$α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$，那么水平集$$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r\to 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$是非空的，并且是$\dim_HE(α)=τ^*(α)$，其中$τ^*$表示$τ$的Legendre变换.这个结果推广到所有满足渐近弱分离条件的自共形测度。指出当$λ^{-1}$是多项式$x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$，$n\geq 4$的最大实根时，区间$[τ'(+\infty), τ'(0+)]$不是单例.构造了一个例子，表明绝对连续的自相似测度也可能具有丰富的多重分形结构。
2011-11-10 math.CA math.DS math.NT
On the dimension of Bernoulli convolutions
具有参数$λ\in(0,1)$的伯努利卷积是概率度量$μ_λ$，其是随机变量$\sum_{n\ge0}\pmλ^n$的定律，其中符号是独立的无偏抛硬币。我们证明了每个参数$λ\in(1/2,1)$与$\dimμ_λ<1$可以近似的代数参数$ξ\in(1/2,1)$内的错误顺序$\exp(-deg(ξ)^{A})$为任何数量的$A$，使$\dimμ_ξ<1$。作为推论，我们得出结论，$\dimμ_λ=1$为每个$λ=\ln 2, e^{-1/2}, π/4$。这些是第一个明确的例子，这种超越参数。此外，我们表明，Lehmer的猜想意味着存在一个常数$a<1$，使得$\dimμ_λ=1$的所有$λ\in(a,1)$。
2018-11-13 math.CA math.DS math.PR
Absolutely continuous invariant measures for random dynamical systems of beta-transformations
本文研究了beta-变换的随机动力系统，在平均扩张等条件下给出了唯一平稳测度密度函数的显式公式，并证明了有限映射情形下密度函数的解析性。
2024-04-25 math.DS
Finite orbits in multivalued maps and Bernoulli convolutions
伯努利卷积是单位区间上的某些度量，取决于1和2之间的参数$β$。尽管它们的定义很简单，但尚未得到很好的理解。我们研究了它们的二维密度，它是由Solomyak定理证明的。对于每个Bernoulli卷积，有一个称为重叠区域的区间$D$，以及一个映射，该映射为$D$的每个点分配两个值，为$[0,1].$的所有其他点分配一个值。这些多值映射有两种类型的有限轨道，分别对应于密度的零点和潜在奇点。轨道不满足$D$属于一个普通的地图称为$β$ -变换和存在的所有$β>1.6182.$他们进行了研究埃尔德什，约，Komornik，Sidorov，德Vries和其他人作为点的唯一地址，并由约旦，Shmerkin和Solomyak作为点的最大局部尺寸。在二维视图中，这些轨道形成与一维动力学中的Milnor-Thurston行程相关的地址曲线。曲线光滑地依赖于参数，并表示所有相应的伯努利卷积的分位数。与$D$相交的有限轨道具有类似网络的结构，并且只能存在于Perron参数$β.$处。它们的点是扩展地址曲线的交点，并且可以具有有限或可数的地址，如Sidorov所发现的。对于无数个参数，中心点$\frac12$只有两个地址。周期地址曲线的相交会导致测度的奇异性。我们给出的例子是不是Pisot或塞勒姆参数。伯努利卷积的所有奇点似乎都与网络状轨道有关。这篇论文自成一体，并附有许多插图。
2017-11-28 math.DS
A lower bound for Garsia's entropy for certain Bernoulli convolutions
令$β\in(1,2)$是皮索数，并且令$H_β$表示与$β$相关联的伯努利卷积的Garsia熵。Garsia，在1963年表明，$H_β<1$为任何Pisot $β$。对于满足$x^m=x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1$（与$m\ge2$）的Pisot数，Garsia的熵已经由Alexander和Zagier高精度地评估，后来由Grabner，Kirschenhofer和Tichy改进，并证明接近1。$H_β$的其他数值是未知的。在本文中，我们证明了$H_β>0.81$的所有Pisot $β$，并提高了这个下界为一定范围的$β$。我们的方法本质上是计算性的。
2009-11-13 math.DS math.NT
On absolute continuity of inhomogeneous and contracting on average self-similar measures
本文给出任意维数下自相似测度绝对连续的条件，构造了首例显式绝对连续的非齐次自相似测度，并强化了伯努利卷积及相关结果。
2025-10-17 math.CA math.DS math.PR
Chaos in the Order of Finite Bernoulli Convolutions
研究有限伯努利卷积，通过数值探索其作为湍流模型的特性，基于β展开交叉点分布及N元二进制词序的概念研究其混沌行为，还给出序图及与二进制反射格雷码的联系。
2026-07-22 hep-th math.CA math.DS
Strict Hausdorff-dimension drop for Quartic Salem Bernoulli convolutions
Dalian University of Technology（大连理工大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
该研究证明四次Salem数对应的等权伯努利卷积的Hausdorff维数严格小于1，通过傅里叶系数与熵亏空的转化等方法得到维数界，且给出两个具体参数的维数上界。
2026-10-12 math.DS
Spectra of Bernoulli convolutions as multipliers in $L^p$ on the circle
它表明，封闭的集合的傅立叶系数的伯努利卷积$μ_θ$参数化的皮索数$θ$，是可数的。结合Salem和Sarnak的结果，证明了对于每个固定的$θ>1$，$L^p(S^1)$（其中$S^1$是圆群）中卷积算子$f\mapsto μ_θ*f$的谱是可数的，并且对于所有的$p\in(1,\infty)$，即$\bar{\{\hat{μ_θ}(n) : n\in\mathbb{Z}\}}$都是相同的.我们的结果回答了P. Sarnak在\cite{Sar}中提出的问题。我们还考虑了$r>0$的集合$\bar{\{\hat{μ_θ}(rn) : n\in\mathbb{Z}\}}$，它对应于测量变量的线性变化。我们表明，这样的一组仍然是可数的所有$r\in\Q(θ)$，但不可数（非空的间隔）Lebesgue-a. e。$r>0$。
2002-10-03 math.DS math.FA math.NT
On the "Mandelbrot set" for a pair of linear maps and complex Bernoulli convolutions
本文考虑复线性映射对的“Mandelbrot集”$M$，它是由Barnsley和Harrington于1985年提出的，并由Bousch，Bandt等人研究过.它被定义为单位圆盘中的参数$λ$的集合，使得IFS $\{λz-1, λz+1\}$的吸引子$A_λ$是连通的。证明了$M$在虚轴附近的非平凡部分包含在其内部的闭包中（证明了$M$的所有非实点都包含在$M$的内点集的闭包中）.接下来，我们转向吸引子$A_λ$本身以及它们支持的自然度量$ν_λ$。这些措施是复杂的模拟研究无限伯努利卷积。扩展Erdös和Garsia的结果，我们演示了某些类的复杂的代数整数如何产生奇异和绝对连续的措施$ν_λ$。接下来我们研究了$A_λ$的豪斯多夫维数和测度，对于集合$M$中的$λ$，对于Lebesgue-a. e. $λ$。我们还得到了关于a.e.的$ν_λ$的绝对连续性的部分结果。模量大于$\sqrt{1/2}$的$λ$。
2002-09-18 math.DS
How to prove that some Bernoulli convolution has the weak Gibbs property
本文给出了列向量序列$\displaystyle{A_1\dots A_nV\over\left\Vert A_1\dots A_nV\right\Vert}$，$A_i\in\{A,B,C\}$，$A,B,C$是具有多个空元的$7$阶$(0,1)$ -矩阵，$V$是固定的正列向量的一致收敛的一个例子.这些矩阵来自对基本$β>1$中的伯努利卷积的研究，使得$β^3=2β^2-β+1$，即当独立随机变量$ω_n$以概率$\displaystyle{1\over2}$取值$0$和$1$时随机变量$\displaystyle(β-1)\sum_{n=1}^\infty{ω_n\overβ^n}$的（连续奇异）概率分布。在最后一节中，我们从$\displaystyle{A_1\dots A_nV\over\left\Vert A_1\dots A_nV\right\Vert}$的一致收敛性出发，推出了该测度的Gibbs性质和多重分形性质。
2014-12-30 math.DS math.GM
Image measures of infinite product measures and generalized Bernoulli convolutions
我们研究保测度映射$f$从概率空间$(Ω, F,μ) $到概率空间$% (Ω^{*},F^{*},μ^{*}) ,$，其中$μ^{*}=μ(f^{-1})$。研究了$f$上定义在$(Ω, F) $上的测度与相应的象测度之间保持"奇异“和"绝对连续”关系的条件.我们应用这些结果来研究随机变量$% ξ=\sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_kλ^k,$的分布，其中$% λ\in (0;1),$和$ξ_k$是独立的，不一定是相同分布的随机变量，其值为$i$，概率为$% p_{ik}$，$i=0,1.$。我们还详细研究了随机变量$ψ= \sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_ka_k,$的分布的度量拓扑和分形性质，其中$a_k>0$是收敛级数的项。
2003-08-05 math.DS math.PR
Max-semistable extremal behavior of AR(1)-processes connected with Bernoulli convolutions
Mathematical Institute, Heinrich Heine University Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学数学研究所）；Bernoulli Institute for Mathematics, Computer Science and Artificial Intelligence, University of Groningen（格罗宁根大学伯努利数学、计算机与人工智能研究所）
本文研究与伯努利卷积相关的AR(1)过程，给出其平稳分布的新结构表示，证明其平稳分布属于极大半稳定律的几何部分吸引域，并得到归一化最大值分布的收敛结果及与动力系统的关联。
2026-08-17 math.DS math.PR
Dimension of Bernoulli Convolutions in $\mathbb{R}^{d}$
本文研究R^d中伯努利卷积的维数问题，通过扩展Varjú的熵增结果，证明了在λ_j不是系数为±1,0的多项式的根时，μ_λ的维数等于min{Lyapunov维数,d}，并将该结果推广到有理平移的齐次对角自仿射系统。
2024-06-08 math.DS math.PR
On the Fourier transform of random Bernoulli convolutions
本文研究随机伯努利卷积测度的傅里叶变换，证明了在指数矩条件下其几乎必然为L^1函数，从而随机自相似集内部非空，并改进了先前界；无条件下则获得多项式衰减。
2025-08-05 math.DS math.PR
Strict correlation-dimension drop for quartic Salem Bernoulli convolutions
Dalian University of Technology（大连理工大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
本文证明四次Salem数对应的等权重Bernoulli卷积的关联维数严格小于1，通过碰撞概率与四维环面积分建立联系，并给出两个具体数值界。
2026-10-08 math.DS
A natural extension for the greedy beta-transformation with three deleted digits
给出了删除三位数的贪婪Beta变换的关于勒贝格测度绝对连续的不变测度的显式表达式.我们定义一个版本的自然扩张的转换，以获得这个表达式。得到了变换是精确的弱Bernoulli变换。
2008-02-25 math.DS
Local dimensions for the random beta-transformation
随机β变换K同构于全移位。这个关系给出了K的一个不变测度，它通过投影产生伯努利卷积。本文研究了K的不变测度的局部维数，并利用投影得到了Bernoulli卷积的局部维数。
2012-11-02 math.DS
Absolute continuity of self-similar measures, their projections and convolutions
我们表明，在许多参数化的家庭的自相似措施，他们的投影，和他们的卷积，一组参数的措施未能绝对连续的是非常小的余维至少有一个在参数空间。这补充了关于维度的类似问题的一条活跃的研究路线。此外，我们建立了一些规则性的密度以外的这个小的例外集，这特别适用于伯努利卷积，沿着这个道路，我们证明了一些新的结果的尺寸的自相似措施和绝对连续性的卷积的两个措施。作为一个具体的应用，我们得到了平面自相似集的Marstrand投影定理的一个非常强的版本。
2014-06-01 math.CA math.DS
Bernoulli convolutions -- 2023
本文研究参数在(1,2)内的伯努利卷积测度，证明代数非Pisot数的维数为1、Salem数情形下测度等价于勒贝格测度且密度无界，并给出De-Jun Feng定理的简短证明。
2023-12-03 math.CA math.DS math.NT
Takagi type functions and dynamical systems: the smoothness of the SBR measure and the existence and smoothness of local time
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；University of Liverpool（利物浦大学）；University of Oslo（奥斯陆大学）
本文研究Takagi型函数的占据测度与局部时，通过嵌入面包师变换动力系统，利用SBR测度与伯努利卷积的联系，证明特定参数下局部时的平方可积性。
2026-09-09 math.DS math.PR
Self-similar measures and the Rajchman property
对于经典的Bernoulli卷积，Rajchman性质，即傅里叶变换在无穷远处收敛到零，由Erd{<$}s [2]和Salem [12]的连续工作表征。我们证明弱形式的一般自相似措施与仿射收缩的实线的结果。
2020-12-11 math.DS math.PR
