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伯努利卷积——2023

Bernoulli convolutions -- 2023

Nikita Sidorov

备注：
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AI总结：

本文研究参数在(1,2)内的伯努利卷积测度，证明代数非Pisot数的维数为1、Salem数情形下测度等价于勒贝格测度且密度无界，并给出De-Jun Feng定理的简短证明。

摘要：

设 $θ\in(1,2)$，并令 $μ_θ$ 为以 $θ$ 为参数的伯努利卷积，即对应于随机变量 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nθ^{-n}$ 的分布的测度，其中 $a_n$ 独立同分布，且 $a_n=0$ 的概率为 $\frac12$。众所周知，$μ_θ$ 要么等价于 $\text{supp}(μ_θ)$ 上的勒贝格测度，要么是奇异的。回顾一下，一个大于 1 的代数整数若其所有其他伽罗瓦共轭的模都小于 1，则称为 Pisot 数。已知若 $θ$ 是 Pisot 数，则 $μ_θ$ 是奇异的且 $\dimμ_θ<1$。一个大于 1 的代数整数 $θ$ 若除 $θ^{-1}$ 外其所有其他伽罗瓦共轭的模均为 1，则称为 Salem 数。我将证明：\n(1) 若 $θ$ 是代数非 Pisot 数，则 $\dimμ_θ=1$。\n(2) 若 $θ$ 是 Salem 数，则 $μ_θ$ 等价于 $\text{supp}(μ_θ)$ 上的勒贝格测度，且其密度在 $L^p(\text{supp}(μ_θ))$ 中对所有 $p<\infty$ 无界。\n(3) 定义 \\[ β_{θ,x,n}=\\#\left\{a_1\dots a_n: \exists a_{n+1}\dots\text{使得\\ } x=\sum_{k=1}^{\infty}a_nθ^{-k}\right\}. \\] 则 \\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{β_{θ,x,n}}=θ^{\dimμ_θ}\text{\\ 对\\ } μ_θ-\text{a.e. } x \text{ 成立}. \\]\n(4) 令 \\[ \bigcup_{n=1}^\infty\left\{\sum_{k=1}^{n}a_kθ^k\mid a_k\in\{-1,0,1\}\right\}= \{y_0(θ)<y_1(θ)<\cdots\}, \\] 且 \\[ \ell(θ)=\liminf_{n\to\infty}(y_{n+1}(θ)-y_n(θ)). \\] 我将给出 De-Jun Feng 著名定理的一个简短证明，该定理断言对所有非 Pisot 的 $θ$ 都有 $\ell(θ)=0$。

英文摘要：

Let $θ\in(1,2)$, and $μ_θ$ be the Bernoulli convolution parametrized by $θ$, that is, the measure corresponding to the distribution of the random variable $\sum_{n=1}^{\infty} a_nθ^{-n}$, where the $a_n$ are i.i.d. with probability of $a_n=0$ equal to $\frac12$. As is well known, $μ_θ$ is either equivalent to the Lebesgue measure on $\text{supp}(μ_θ)$, or singular. Recall that an algebraic integer $>1$ is called Pisot if all its other Galois conjugates are smaller than 1 in modulus. It is known that $μ_θ$ is singular with $\dimμ_θ<1$ if $θ$ is Pisot. An algebraic integer $θ$ greater than 1 is called a Salem number if all its other Galois conjugates are of modulus 1, except $θ^{-1}$. I shall prove that (1) $\dimμ_θ=1$ if $θ$ is an algebraic non-Pisot number. (2) if $θ$ is Salem, then $μ_θ$ is equivalent to the Lebesgue measure on $\text{supp}(μ_θ)$, with an unbounded density in $L^p(\text{supp}(μ_θ))$ for all $p<\infty$. (3) Define \[ β_{θ,x,n}=\#\left\{a_1\dots a_n: \exists a_{n+1}\dots\text{such that\ } x=\sum_{k=1}^{\infty}a_nθ^{-k}\right\}. \] Then \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{β_{θ,x,n}}=θ^{\dimμ_θ}\text{\ for}\ μ_θ-\text{a.e.} x. \] (4) Put \[ \bigcup_{n=1}^\infty\left\{\sum_{k=1}^{n}a_kθ^k\mid a_k\in\{-1,0,1\}\right\}= \{y_0(θ)<y_1(θ)<\cdots\}, \] and \[ \ell(θ)=\liminf_{n\to\infty}(y_{n+1}(θ)-y_n(θ)). \] I shall present a short proof of De-Jun Feng's famous theorem which states that $\ell(θ)=0$ for all non-Pisot $θ$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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