Sharp high-frequency estimates for the Helmholtz equation and applications to boundary integral equations
本文研究Helmholtz方程在内域和外域中的三个问题，推导出精确的估计，用于边界积分算子的逆算子估计。
2015-10-06 cs.NA math.AP math.NA
Eigenvalues of the truncated Helmholtz solution operator under strong trapping
对于Dirichlet障碍物外的Helmholtz方程，我们证明了如果存在一族拟模（如障碍物的外部具有稳定的捕获光线的情况），则存在外狄利克雷问题的标准变分形式的近零特征值（回想一下，这个公式涉及截断外部域并在截断边界上应用外部狄利克雷-诺依曼映射）。我们证明这一结果的动机是：a）计算Helmholtz方程近似解的有限元法是基于标准变分公式的，b）特征值的位置，特别是接近零的特征值的位置，在理解迭代求解器（如广义最小残差法（GMRES））在用于求解线性系时的行为方面起着关键作用，特别是由有限元法产生的那些。因此，本文证明的结果是严格理解GMRES在强捕获下应用于高频亥姆霍兹问题的离散化时如何表现的第一步（同伴论文的主题[Marchand，Galkowski，Spence，Spence，2021]）。
2021-07-26 cs.NA math.AP math.NA
High-frequency estimates on boundary integral operators for the Helmholtz exterior Neumann problem
本文研究了一种求解高频Helmholtz外Neumann问题的常用的第二类边界积分方程，其中，将障碍物的边界写成$Γ$，相应的积分算子将$L^2(Γ)$映射到其自身.我们证明了新的频率显式的积分算子和它的逆的范数的界限。范数上的界限对于分段光滑的$Γ$是有效的，并且直到$\log k$的因子是尖锐的（其中$k$是波数），并且逆的范数上的界限对于光滑的$Γ$是有效的，并且至少当$Γ$是具有严格正曲率的光滑的时被观察到是尖锐的。总之，这些结果给出的经营者的条件数上的界限$L^2(Γ)$，这是第一次$L^2(Γ)$条件数界限已被证明为该运营商的障碍，而不是球。
2022-09-19 cs.NA math.AP math.NA
Compressed Absorbing Boundary Conditions for the Helmholtz Equation
McGill University（麦吉尔大学）
本文提出通过压缩形式直接拟合表面到表面算子，以高效实现亥姆霍兹方程的吸收边界条件，减少计算复杂度并提升效率。
2014-08-13 cs.NA math.NA
The geometric error is less than the pollution error when solving the high-frequency Helmholtz equation with high-order FEM on curved domains
本文证明在弯曲域上用高阶有限元求解高频亥姆霍兹方程时，几何误差为kh阶，小于污染误差k(kh)^{2p}，并给出数值验证及强捕获情形下的推广。
2025-03-27 cs.NA math.NA
Dirichlet-to-Neumann operator for the Helmholtz problem with general wavenumbers on the $n$-sphere
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）
研究外部球域上带Dirichlet边界条件和辐射条件的亥姆霍兹问题，证明DtN算子的波数显式连续性估计，并导出波数无关的迹和Friedrichs型不等式。
2026-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Coupled BEM-FEM for the convected Helmholtz equation with non-uniform flow in a bounded domain
Université Paris-Est, CERMICS (ENPC)（巴黎东大学，CERMICS（国立路桥学校））；EADS-IW（欧洲航空航天防务公司-智能工作平台）
本文利用Prandtl-Glauert变换将对流亥姆霍兹方程转化为外部区域经典亥姆霍兹方程和内部区域各向异性扩散方程，提出两种BEM-FEM耦合变分公式，并通过数值模拟比较了它们的性能。
2013-10-30 cs.NA math.NA
Decompositions of high-frequency Helmholtz solutions via functional calculus, and application to the finite element method
在过去十年中，[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]和[Melenk-Parsania-Sauter，2013]将高频亥姆霍兹解分解为“低频”和“高频"分量的结果对亥姆霍兹方程的数值分析产生了很大影响。这些结果已被证明的常系数Helmholtz方程的外部Dirichlet障碍或内部区域与阻抗边界条件。利用Helffer-Sjöstrand谓词演算，证明了散射问题的相似分解符合Sjöstrand-Zworski的黑箱散射框架，从而同时涵盖了变系数Helmholtz问题、不可穿透障碍问题和可穿透障碍问题.这些结果使我们能够证明新的频率显式收敛结果（一）的$hp$ -有限元法应用于变系数亥姆霍兹方程在外部的狄利克雷障碍，当障碍和系数是解析的，和（ii）的$h$ -有限元法应用于亥姆霍兹穿透障碍传输问题。特别地，（i）中的结果表明，应用于该问题的$hp$ -FEM不受污染效应的影响。
2022-08-01 cs.NA math.AP math.NA
A non-conforming domain decomposition approximation for the Helmholtz screen problem with hypersingular operator
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出并分析了针对亥姆霍兹方程在三维空间中由超奇异算子支配的非匹配域分解近似方法，通过Nitsche耦合实现低阶近似，并在适当假设下证明了该方法几乎准最优收敛性。
2015-06-01 cs.NA math.NA
Smoothed Combined Field Integral Equations for Exterior Helmholtz Problems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出了一种用于求解狄利克雷和新顿外部亥姆霍兹问题的平滑组合场积分方程，该方程在狄利克雷和新顿情况下均具有连续可导的积分核，且能唯一求解所有频率的问题。
2017-01-13 cs.NA math-ph math.MP
Decoupled finite element methods for a fourth-order exterior differential equation
本文利用微分复形与 Helmholtz 分解将四阶外微分方程解耦为两个二阶方程和一个广义 Stokes 方程，构造协调有限元方法并通过三维双调和方程数值实验验证。
2025-02-19 cs.NA math.NA
Finite elements for Helmholtz equations with a nonlocal boundary condition
外部Helmholtz问题的数值解需要某种区域截断方法。作为替代近似非反射边界条件和调用的狄利克雷到诺依曼映射，我们引入了一个新的，非局部边界条件。这个条件是准确的，需要评估涉及自由空间格林函数的层电位。然而，它似乎工作在一般的非结构化的几何形状，和Galerkin有限元离散导致收敛下的Gårding型不等式施加的通常的网格约束。非局部边界条件很容易近似的快速多极方法，和所得到的线性系可以预处理的纯本地运营商涉及传输边界条件。
2021-03-03 cs.NA math.NA
AAA least squares solution of Helmholtz problems
本文提出了一种基于 AAA 算法的无网格方法，用于高效求解亥姆霍兹方程的外部散射问题，通过解析延拓和有理逼近技术实现奇点自动识别与最优源分布。
2026-01-26 cs.NA math.NA
Isogeometric analysis for the Helmholtz transmission eigenvalue problem
University of Macau（澳门大学）；Zhuhai UM Science and Technology Research Institute（珠海澳大科技研究院）；Beijing Normal University（北京师范大学）
针对亥姆霍兹透射特征值问题在弯曲域上的数值挑战，提出一种几何灵活且H^2相容的等几何方法，并给出最优误差估计及二维三维数值验证，展示其在精度和几何灵活性上的优势。
2026-11-04 cs.NA math.NA
Compressed absorbing boundary conditions via matrix probing
MIT（麻省理工学院）
本文提出通过随机狄利克雷数据进行压缩形式的表面-表面算子拟合，以减少吸收边界条件的计算复杂度，复杂度随频率参数增长缓慢。
2014-01-17 cs.NA math.NA
Computing weakly singular and near-singular integrals over curved boundary elements
本文提出了计算弱奇异积分和近奇异积分的算法，这些积分是在用曲线边界单元求解三维Helmholtz方程时产生的。这些是基于使用牛顿法，奇异减法，连续的方法，和移植高斯求积的参考元素的空间中的奇异性的原像的计算。我们证明了我们的方法的二次基函数和二次三角形与几个数值实验，包括两个半球的散射的准确性。
2022-06-27 cs.NA math.NA
Quadrature by Two Expansions for Evaluating Helmholtz Layer Potentials
本文对二维Helmholtz方程的单、双层位势发展了一种二次展开求积（QB2X）的数值积分方法。QB2X方法使用局部复泰勒展开和平面波型展开来实现所得到的表示，该表示对于快速多极子方法（FMM）分层树结构中的叶盒内的所有目标点（内部、外部或正好在边界上）是数值精确的。与原始的展开求积（QBX）方法相比，QB2X方法在平面波展开中明确地包括来自边界几何形状的非线性，从而在被积函数中提供边界几何形状和密度函数两者的高阶表示，其收敛遵循标准FMM误差分析。数值结果表明的性能的QB2X方法的Helmholtz层势和它的比较与原来的QBX方法的平坦和曲线边界与不同的密度。QB2X方法克服了原QBX方法的挑战，更适合于具有复杂几何形状的Helmholtz方程的有效解。
2022-07-27 cs.NA math.NA
An investigation of global radial basis function collocation methods applied to Helmholtz problems
全局径向基函数（RBF）配置法是求解偏微分方程（PDE）的一类具有无限光滑基函数的方法，它适用于一般几何条件下，且对光滑解函数具有指数收敛性质.同时，对于大量的未知数和决定基函数平坦程度的形状参数的小值，出现的线性系是稠密的和严重病态的。我们以Helmholtz方程作为应用问题进行了理论分析和数值实验。我们分析和证明了收敛性作为未知数的函数和不同的形状参数范围。我们提供了理论结果的PDE解决方案的平坦极限和调查时，非对称配置矩阵成为奇异的。我们还提供了实用的策略选择的方法参数和评估结果亥姆霍兹问题在弯曲波导的几何形状。
2020-01-29 cs.NA math.NA
Rational-approximation-based model order reduction of Helmholtz frequency response problems with adaptive finite element snapshots
我们介绍了几种空间自适应模型降阶方法适合于非强制椭圆边值问题，特别是，参数频率亥姆霍兹问题。通过自适应有限元计算离线信息，使得每个快照存在于不同的离散空间中，该离散空间解决了分析解的局部奇异性，并且被调整到所考虑的频率值。一个合理的替代，然后组装采用最小二乘法或插值方法，产生函数值版本的标准合理插值方法（$\mathcal{V}$ -SRI）和最小合理插值方法（MRI）。在建立一个近似的线性或二次泛函的亥姆霍兹解决方案的背景下，我们进行了几个数值实验，比较所提出的方法。我们的模拟表明，对于内部共振问题（其奇异性由实轴上的极点编码），空间自适应$\mathcal{V}$ -SRI和MRI工作得很好。相反，当处理外部散射问题时，其频率响应大多是平滑的，$\mathcal{V}$ -SRI方法似乎是性能最好的一种。
2022-10-28 cs.NA math.NA
Well-conditioned boundary integral equation formulations and Nyström discretizations for the solution of Helmholtz problems with impedance boundary conditions in two-dimensional Lipschitz domains
New Jersey Institute of Technology（新泽西理工学院）
本文提出一种正则化策略，用于求解具有阻抗边界条件的二维Lipschitz域中亥姆霍兹问题的well-conditioned边界积分方程，并通过graded-mesh Nyström离散化实现高效准确的求解。
2016-07-04 cs.NA math.NA
Mortar coupling of $hp$-discontinuous Galerkin and boundary element methods for the Helmholtz equation
本文设计并分析了一种用于求解三维变系数Helmholtz方程的间断Galerkin与边界元耦合方法，通过mortar变量实现耦合，证明了其拟最优性，并引入了新型重构算子作为分析工具。
2021-05-13 cs.NA math.NA
Explicit Runge approximation for Helmholtz equation with cylindrical harmonics
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；Fudan University（复旦大学）
研究利用柱面调和函数对亥姆霍兹方程进行空间相关定量龙格逼近，推导了三圆配置及一般几何设置下的相关指标，为展开系数提供范数估计，有助于构造谱精确数值逼近。
2026-07-28 cs.NA math.NA
Applying GMRES to the Helmholtz equation with strong trapping: how does the number of iterations depend on the frequency?
我们认为GMRES适用于离散化的高频率亥姆霍兹方程与强陷波，记得，在这种情况下，问题是指数病态的，通过一系列的频率增加。在一定的假设下的特征值的分布，我们证明了上界的GMRES迭代次数如何增长的频率。我们的主要重点是边界积分方程配方的外部狄利克雷和诺依曼障碍问题在2-和3-D的，对于这些问题，我们调查数值的清晰度（依赖于频率），我们的界限和各种数量进入我们的界限。因此，本文是第一次全面的研究的GMRES迭代次数的频率依赖性的Helmholtz边界积分方程下的陷阱。
2021-11-12 cs.NA math.AP math.NA
CVEM-BEM coupling with decoupled orders for 2D exterior Poisson problems
对于二维Dirichlet Poisson外问题的求解，我们提出了一种耦合的曲面虚元法（CVEM）和边界元法（BEM），通过使用解耦的逼近阶。我们提供最佳的收敛误差估计，在能量和较弱的$\textit{L}^\text{2}$ -范数，其中CVEM和BEM的贡献的错误是分开的。这允许利用CVEM的高阶灵活性，通过使用低阶BEM来检索精确的离散解。数值结果证实了先验估计的正确性，表明了所提方法的有效性.
2022-03-25 cs.NA math.NA
Analysis of a Helmholtz preconditioning problem motivated by uncertainty quantification
本文分析了如下问题：设$\mathbf{A}_j$，$j=1,2,$为非齐次Helmholtz方程$\nabla\cdot (A_j \nabla u_j) + k^2 n_j u_j= -f$ Dirichlet外问题有限元离散所对应的Galerkin矩阵。对于任意大的$k$，要使GMRES应用于$(\mathbf{A}_1)^{-1}\mathbf{A}_2$或$\mathbf{A}_2(\mathbf{A}_1)^{-1}$以$k$独立的迭代次数收敛，$\|A_1 -A_2\|_{L^q}$和$\|{n_1} - {n_2}\|_{L^q}$必须有多小（根据$k$依赖性）？(In换句话说，使$\mathbf{A}_1$成为$\mathbf{A}_2$的好的左预条件子或右预条件子）。我们证明回答这个问题的结果，他们的锋利度的理论证据，并给出支持估计的数值实验。我们解决这个问题的动机来自于计算Helmholtz方程的随机系数$A$和$n$感兴趣的数量。这样的计算可能需要解决许多确定性亥姆霍兹问题，每个问题都具有不同的$A$和$n$，并且对上述问题的回答指示了在何种程度上先前计算的Galerkin矩阵之一的逆可以用作其他Galerkin矩阵的预处理器。
2021-07-12 cs.NA math.NA
Unfitted Lattice Green's Function Method for Exterior Scattering in Complex Geometry
针对任意形状散射体的二维外散射数值求解问题，本文提出基于格点格林函数（LGF）的非拟合有限差分方法，利用离散基本解避免奇点，结合非拟合切割单元插值边界条件，保留边界积分法优势且实现简单，数值结果验证其准确性与鲁棒性。
2025-11-18 cs.NA math.NA
Parallelisation of Discrete Exterior Calculus via Representation Theory on Curved and Three-Dimensional Meshes
Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西联邦农村伯南布哥大学）
该研究为对称网格上的离散外微积分算子建立块对角化框架，利用群作用证明算子等变性，实现并行求解，适用于弯曲流形，通过实验验证其在不同网格上的有效性，降低了结构保持DEC计算的线性求解成本。
2026-07-29 cs.NA math.DG math.NA
Preconditioning across parameter space for the parametric Helmholtz equation
Radboud University（拉德堡德大学）
针对参数化线性方程组中矩阵对参数高度敏感的问题，提出在预计算阶段于参数空间部署多个预条件子，并通过位置分配策略优化其布局，结合灰盒高斯过程回归估计GMRES迭代次数，在参数化亥姆霍兹散射问题中实现约一个数量级的运行时间节省。
2026-05-27 cs.NA math.NA
Finite element solution of a radiation/propagation problem for a Helmholtz equation with a compactly supported nonlinearity
Clausthal University of Technology（克劳塔尔工业大学）
本文提出并研究了有限元方法用于求解穿透性有限物体对电磁场激励响应的数学模型，重点分析了非线性亥姆霍兹方程在球形域中的解法，并讨论了有限元空间的近似性质。
2026-04-14 cs.NA math.NA
Finite Elements for Helmholtz Scattering with Infinity as a Computational Boundary
Institute of Analysis and Scientific Computing, Technische Universität Wien（维也纳工业大学分析与科学计算研究所）；Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland（马里兰大学物理科学与技术研究所）
基于零无穷远层构造，提出H1协调有限元公式实现Helmholtz外问题的超曲面紧化，将无穷远映射为有限外边界，通过缩放消除振荡衰减，并给出远场模式。
2026-06-25 cs.NA gr-qc math.NA
High order surface radiation conditions for time-harmonic waves in exterior domains
Baylor College of Medicine（贝勒医学院）；Texas Children’s Hospital（德州儿童医院）
本文提出了一种新的高阶表面辐射条件，用于近似外域中亥姆霍兹方程的出射解，通过伪微分算子的展开方法设计了系统化的高阶伪微分符号应用程序，并展示了该方法在处理狄利克雷和诺伊曼边界值问题中的性能。
2017-02-23 cs.NA math.AP math.NA
A hybrid $C^{0}$-interior penalty method for the nematic Helmholtz--Korteweg equation
Institute for Numerical and Applied Mathematics, University of Göttingen（哥廷根大学应用数学与数值计算研究所）
针对向列型Helmholtz-Korteweg方程，提出一种$C^0$混合内部惩罚离散方法，利用Cordes条件改进先验分析，证明稳定性与收敛性，并通过数值算例验证。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Helmholtz boundary integral methods and the pollution effect
University College London（伦敦大学学院）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶边界积分方程求解大波数k下的亥姆霍兹外部狄利克雷和新顿问题，分析了不同方法的度数自由度增长规律及污染效应。
2026-09-29 cs.NA math.AP math.NA
Physics-Informed Neural Networks for the Relativistic Burgers Equation in the Exterior of a Schwarzschild Black Hole
本文提出一种物理信息神经网络架构，通过冲击波感知模块和 Godunov 型残差损失函数，在史瓦西黑洞外部弯曲时空中求解相对论性 Burgers 方程，并验证了其模拟光滑与不连续解的能力。
2025-06-03 cs.NA gr-qc math.NA
Efficient resonance computations for Helmholtz problems based on a Dirichlet-to-Neumann map
Umeå University（于默奥大学）；Royal Institute of Technology (KTH)（皇家理工学院（KTH））
本文提出一种高效计算亥姆霍兹问题共振和共振模的方法，利用狄利克雷-Neumann映射将问题转化为非线性本征值问题，并结合高阶有限元离散化与Tensor Infinite Arnoldi方法，通过极点消去技术提高收敛半径，验证了方法在多个变折射率共振器中的稳定性和精度。
2016-06-30 cs.NA math.NA
A Unified Trapezoidal Quadrature Method for Singular and Hypersingular Boundary Integral Operators on Curved Surfaces
本文描述了一种梯形求积法，用于离散奇异和超奇异边界积分算子（BIO），这些算子是在求解椭圆型偏微分方程边值问题中出现的。积分是基于一个统一的网格在参数空间与标准的打孔梯形法则。一个关键的观察是，在内核中的奇异性所产生的误差可以精确地表示使用广义欧拉-麦克劳林公式，涉及的黎曼ζ函数在2D和Epstein zeta函数在3D。利用这些展开式，通过局部扩张在奇点处使用一种新的系统矩拟合方法来校正误差。这种新方法提供了所有常见BIO（拉普拉斯，亥姆霍兹，斯托克斯等）的统一处理。我们提出的数值例子，显示收敛到32阶的二维和9阶的三维相对于网格步长。
2022-09-05 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz $h$-BEM: error estimates and iteration counts for the Dirichlet problem
Stanford University（斯坦福大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶混合场积分方程求解Helmholtz方程外部Dirichlet问题的h-BEM方法，推导了在障碍物边界解析且曲率严格正时，GMRES迭代次数与波数k增长的关系的新的精确界，并证明了当障碍物非捕获时，h必须随k减小的新的界，以保持k无关的拟最优性。
2019-02-22 cs.NA math.AP math.NA
Numerical solution of the cavity scattering problem for flexural waves on thin plates: linear finite element methods
针对无限薄板上任意形状腔体的弯曲波散射问题，提出内部惩罚与边界惩罚两种线性有限元方法，结合透明边界条件将四阶方程分解为两个亥姆霍兹方程，有效抑制边界弯矩振荡，较常规方法更稳定精确。
2023-07-25 cs.NA math.NA
Helmholtz equation and non-singular boundary elements applied to multi-disciplinary physical problems
著名科学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹诞生于200年前。工程中许多复杂的物理波动现象都可以用一个或一组以他的名字命名的方程来有效地描述：亥姆霍兹方程。虽然从理论的角度来看，这已经知道了很长一段时间，但实际的数值实现经常受到无发散和/或无旋度约束的阻碍。还需要一种精确、可靠并考虑到无穷远处辐射条件的数值方法。经典的边界元法满足最后一个条件，但在实现中必须处理奇异性。我们在这里回顾最近开发的无奇异性的三维（3D）边界元框架具有优越的精度可以用来解决这样的问题，只使用一个或几个亥姆霍兹方程与高阶（二次）元素，可以处理复杂的弯曲形状。例子给出了声学（亥姆霍兹共振器等）和电磁散射。
2022-06-16 cs.NA math.NA physics.class-ph
Meshfree Methods on Manifolds for Hydrodynamic Flows on Curved Surfaces: A Generalized Moving Least-Squares (GMLS) Approach
我们利用广义移动最小二乘（GMLS）开发无网格技术离散流体动力学流动问题的流形。我们使用外部演算制定不可压缩的流体动力学方程在斯托克斯政权和处理的发散自由约束通过广义矢量势。这提供了更少的坐标为中心的描述，并使开发有效的数值方法和分裂计划的四阶控制方程的二阶椭圆算子系统。使用霍奇分解，我们开发的方法具有球形拓扑流形。我们展示的方法表现出高阶收敛速度求解曲面上的流体动力学流动。该方法还提供了一般的高阶近似的度量，曲率，和其他几何量的流形和相关的外部演算运营商。该方法也可用于流形上其他标量值和向量值问题的高阶求解。
2020-01-18 cond-mat.soft cs.CE cs.CG
Sharp preasymptotic error bounds for the Helmholtz $h$-FEM
本文针对变系数 Helmholtz 方程在多种障碍物和辐射条件下的 $h$-FEM，通过推广椭圆投影论证，首次证明了 $p>1$ 时预渐近区域中的自然误差界。
2024-09-04 cs.NA math.NA
A Local Spectral Exterior Calculus for the Sphere and Application to the Shallow Water Equations
我们介绍了$Ψ\mathrm{ec}$，一个局部谱外演算的两球$S^2$。$Ψ\mathrm{ec}$提供了由球面微分$r$形式小波形成的$S^2$上的Cartan外演算的离散化。它们在空间和频率上都有很好的局部化，并为微分$r$ -形式的齐次索伯列夫空间$\dot{H}^{-r+1}( Ω_ν^{r} , S^2 )$提供了（Stevenson）框架。同时，它们满足外演算的重要性质，如de Rahm复形和Hodge-Helmholtz分解。通过这一点，$Ψ\mathrm{ec}$是针对结构保持离散化，可以适应不同的规律性的解决方案。构造$Ψ\mathrm{ec}$是基于一个新的球面小波框架的$L_2(S^2)$，我们得到通过引入可伸缩再生核框架。这些扩展的可扩展框架加权采样扩展，并提供了一种替代正交规则的离散化针状尺度离散小波。验证了$Ψ\mathrm{ec}$在旋转浅水波方程数值计算中的实用性。我们的数值结果表明，一个$Ψ\mathrm{ec}$为基础的离散化方程达到的准确度相媲美的谱方法，而使用的表示，是很好地本地化的空间和频率。
2020-05-07 cs.NA math.NA physics.geo-ph
Does the Helmholtz boundary element method suffer from the pollution effect?
在$d$维中，精确地近似以频率$\lesssim k$振荡的任意函数需要$\sim k^d$自由度。如果作为$k$，保持精度所需的自由度的总数增长得比该自然阈值（即，对于基于域的公式，例如有限元方法，比$k^d$快，对于基于边界的公式，例如边界元方法，比$k^{d-1}$快）。众所周知，有限元法（FEM）的$h$版本（其中通过减小网格宽度$h$并保持多项式次数$p$固定来提高精度）受到污染效应的影响，并且在过去$\sim$ 30年的研究已经导致了对自由度的数量必须以多快的速度随着$k$增长以保持精度的近乎完整的严格理解。与$h$-FEM相反，至少在经验上，$h$ -版本的边界元方法（BEM）使$\textit{not}$遭受污染效应（回想一下，在边界元方法中，散射问题被重新表述为散射体边界上的积分方程，然后使用有限元型近似空间数值求解该积分方程）。然而，目前文献中关于$h$-BEM的自由度的数量必须随着$k$增长以保持精度的最佳结果未能证明这一点。在本文中，我们证明了应用于标准第二类边界积分方程的Galerkin方法的PDMATHAMT-版本，用于求解Helmholtz外Dirichlet问题，当障碍物是非捕获的（即，不捕获几何光学射线）。
2022-09-06 cs.NA math.NA
Waveguiding in systems of high contrast resonators: Theory and fast computations
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Tsinghua University（清华大学）
该研究针对高对比度谐振器系统，提出带复吸收与 Hermitian 对称化的快速计算方法，推导缺陷频率渐近公式，经数值实验验证其对直/弯曲波导的适用性。
2026-11-02 cs.NA math.NA
A shape optimisation with the isogeometric boundary element method and adjoint variable method for the three-dimensional Helmholtz equation
本文提出了一个形状优化系统，设计的声学硬物体在三维开放空间的形状。边界元法（BEM）适合于分析这样的外场。然而，传统的边界元法，这是基于分段多项式形状和插值函数，可以需要许多设计变量，因为它们通常被选为底层边界元网格的节点的一部分。此外，它是不容易的传统方法来计算的表面上的声压的梯度，这是必要的计算我们感兴趣的形状导数，一个给定的对象。为了克服这些问题，我们采用等几何边界元法（IGBEM），这是在我们以前的工作。利用IGBEM，我们可以通过目标对象的NURBS曲面的控制点来设计曲面的形状。我们通过伴随变量法（AVM）将IGBEM与非线性规划软件相结合，由此产生的伴随边值问题也可以通过IGBEM进行轻微修改来求解。数值验证和演示验证了我们的形状优化框架。
2021-05-10 cs.CE cs.NA math.NA
Multi-patch/multiple-scattering frequency-time hybrid solver for interior and exterior wave equation problems
提出一种多重散射频时混合积分方程求解器，通过将边界划分为任意数量开放弧并分解为子问题，解决内部和外部波动方程散射问题，支持并行化，结合时间窗口化和高频傅里叶变换实现长时高精度模拟。
2025-07-08 cs.NA math.NA
Method of virtual sources using on-surface radiation conditions for the Helmholtz equation
提出一种基于虚拟源和表面辐射条件的边界积分方法，通过位移Green函数奇点实现连续核离散化，在保证精度的同时提升了系统稳定性。
2023-09-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The $hp$-FEM applied to the Helmholtz equation with PML truncation does not suffer from the pollution effect
本文证明带 PML 截断的变系数外部 Helmholtz 方程在 $hk/p$ 与多项式阶数条件满足时，$hp$-FEM 的 Galerkin 解关于波数 $k$ 拟最优且无污染效应。
2024-01-18 cs.NA math.AP math.NA
Stable and efficient FEM-BEM coupling with OSRC regularisation for acoustic wave transmission
有限元法和边界元法可以数值求解声波传播的亥姆霍兹方程组。当一个物体具有不均匀的波速或密度被嵌入在一个无限的外部介质，耦合FEM-BEM算法承诺结合每种技术的优势。有限元法处理非均匀区域，而边界元法模拟均匀外部。尽管标准FEM-BEM算法是有效的，但它们确实需要在谐振频率处稳定。一种这样的方法是向方程组添加正则化项。该算法在所有频率下都是稳定的，但也带来了更高的计算成本。本文提出了一种基于表面辐射条件的正则化器。OSRC算子也被用来预处理边界积分算子，并结合不完全LU分解的体积弱公式。所提出的预处理策略显着提高了迭代线性求解器的收敛性，特别是在较高的频率。
2021-11-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Learned infinite elements
研究了无界区域上标量时谐波动方程的数值解，该无界区域可分为有界的内部区域和外部区域。为了计算内部域中的解，必须将外部域的Dirichlet到Neumann（DtN）映射的近似作为人工耦合边界上的透明边界条件来施加。虽然DtN映射可以通过分离变量来计算，但它是具有密集矩阵表示的非局部算子，因此计算效率低。因此，稀疏矩阵的DtN映射的近似，通常涉及额外的自由度，已经在文献中使用各种方法，包括不同类型的无限元，局部非反射边界条件，和完全匹配层进行了深入研究。这些稀疏矩阵的元素是解析地导出的，例如，从外部域中的微分方程的解的变换或渐近展开导出。相比之下，在本文中，我们提出了"学习"的矩阵条目从DtN地图在其分离的形式，通过解决一个最优化问题作为预处理步骤。理论研究表明，学习无限元的逼近质量随着无限元自由度的增加而呈指数级提高，这在数值实验中得到了证实。这些数值研究还表明，学习无限元优于亥姆霍兹方程的最先进的方法。同时，学习无限元比传统方法灵活得多，因为它们，例如，对于涉及强反射的外部域，例如对于太阳的大气，其是强烈不均匀的并且在日冕处表现出反射，
2021-06-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Local absorbing boundary conditions on fixed domains give order-one errors for high-frequency waves
针对高频波在固定人工边界上使用局部吸收边界条件（Padé近似）逼近Helmholtz外部问题，证明相对误差有界且不随频率趋于零，呈一阶误差。
2023-06-22 cs.NA math.AP math.NA
About the Burton-Miller factor in the low frequency region
本文研究Burton-Miller方法中耦合参数在低频区域的选择问题，通过数值实验比较替代因子，并提出用修正Richardson迭代增强声硬散射体的标准解。
2024-07-22 cs.NA math.NA
Calderón Preconditioning for Acoustic Scattering at Multi-Screens
我们提出了一个预条件的亥姆霍兹外部多屏幕上的问题。为此，我们结合了空间边界元法和算子预处理。对于一类多屏幕（我们将其称为\emph{type A}多屏幕），我们表明这种方法会导致块对角Calderón预处理器，并导致谱条件数仅随$h$呈对数增长，就像简单屏幕的情况一样。由于所得到的计划包含更多的自由度比严格要求，我们还提出了战略，以消除几乎所有的冗余，而不会显着损失的有效性的预条件。我们通过提供具有代表性的数值结果来验证这些发现。进一步的数值实验表明，这些结果可以扩展到A型多屏幕，这里介绍的数值方法可以应用于基本上所有的多屏幕遇到的从业者，导致显着降低模拟成本。
2022-12-01 cs.NA math.NA
The direct scattering problem of obliquely incident electromagnetic waves by a penetrable homogeneous cylinder
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文研究了电磁波斜射入无限长介电柱体的直接散射问题，通过将Maxwell方程转化为二维Helmholtz方程组，并利用积分方程方法证明了唯一性和存在性，最终提出高效的数值方案。
2016-06-07 cs.NA math.AP math.NA
