A simple proof that the $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for the constant-coefficient full-space Helmholtz equation
本文用分部积分和 Fourier 变换基本性质给出常系数全空间 Helmholtz 方程高频-低频分解的简单证明，从而说明 $hp$-FEM 不受污染效应影响。
2023-04-11 cs.NA math.NA
Helmholtz boundary integral methods and the pollution effect
University College London（伦敦大学学院）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶边界积分方程求解大波数k下的亥姆霍兹外部狄利克雷和新顿问题，分析了不同方法的度数自由度增长规律及污染效应。
2026-09-29 cs.NA math.AP math.NA
Dispersion Analysis of CIP-FEM for Helmholtz Equation
在数值求解亥姆霍兹方程时，数值解的精度随着波数$k$的增加而恶化，称为“污染效应”，其与由数值色散引起的精确解和数值解之间的相位差直接相关。本文对连续内点罚有限元法（CIP-FEM）进行了频散分析，推导出了张量积网格上$p^{\rm th}$阶CIP-FEM的罚参数的显式表达式，从而将相位差从$\mathcal{O}\big(k(kh)^{2p}\big)$降为$\mathcal{O}\big(k(kh)^{2p+2}\big)$ .大量的数值试验表明，在相同的罚参数下，CIP-FE解的污染误差在$kh$中也减少了两个数量级。
2022-03-21 cs.NA math.NA
Superconvergence analysis of linear FEM based on the polynomial preserving recovery and Richardson extrapolation for Helmholtz equation with high wave number
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Department of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；Department of Mathematics, Wayne State University（韦恩州立大学数学系）
本文研究了高波数亥姆霍兹方程中线性有限元方法结合多项式保持恢复与里德伯格外推的超收敛性质，推导了H1范数误差估计，并通过数值测试验证了理论结果。
2017-03-01 cs.NA math.NA
Preasymptotic error analysis of higher order FEM and CIP-FEM for Helmholtz equation with high wave number
Nanjing University（南京大学）
本文提出高斯-有限元和CIP-有限元在二维和三维亥姆霍兹方程中的预渐近误差分析，推导了H1和L2范数误差估计，并展示了CIP-有限元通过增加惩罚项减少污染误差的能力。
2014-01-17 cs.NA math.NA
Theory of two-level Schwarz preconditioners with piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation
University of Bath（巴斯大学）
针对大波数亥姆霍兹方程的有限元离散，分析经典两级加性Schwarz区域分解GMRES预条件子，其中细空间和粗空间均为分段多项式，多项式次数随log k增长，证明迭代次数与k无关。
2026-06-19 cs.NA math.NA
Hybridizable Discontinuous Galerkin Methods for Helmholtz Equation with High Wave Number. Part I: Linear case
本文讨论了高频下Helmholtz方程阻抗边界条件的线性杂交间断Galerkin方法（HDG）的几个方面。首先，给出了精确解$u$及其负梯度$\mathbf{q}=-\nabla u$的HDG近似的与波数$k$显式相关的误差估计.它表明，$k\Vert u - u_h \Vert_{L^2(Ω)} + \Vert \mathbf{q} -\mathbf{q}_h \Vert_{L^2(Ω)} = O(k^2h^2+k^4h^3)$的条件下，$k^3h^2$是足够小的，惩罚参数$τ\eqsim k$，其中$h$是网格尺寸。注意到$\mathbf{q}_h$的收敛阶是满的，污染误差是$O(k^4h^3)$，改进了已有的结果.其次，通过使用一个标准的后处理程序，从椭圆问题的HDG方法，得到一个分段二次函数$u_h^*$，使$k\Vert u-u_h^*\Vert_{L^2(Ω)}=O(k^3h^3+k^4h^3)$。请注意，后处理过程仅改善了插值误差（从$O(k^2h^2)$到$O(k^3h^3)$），但污染误差$O(k^4h^3)$保持不变。第三，色散分析和大量的数值试验表明，通过选择适当的惩罚参数，在一维情况下可以完全消除污染效应，在二维情况下可以大大减小污染效应。第二部分研究了高阶HDG方法求解高波数Helmholtz方程的前渐近误差分析。
2020-04-30 cs.NA math.NA
Continuous Interior Penalty Finite Element Method for Helmholtz Equation with High Wave Number: One Dimensional Analysis
Nanjing University（南京大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）
针对高波数亥姆霍兹方程，采用一维连续内罚有限元方法，通过适当选择罚参数消除污染误差，并给出了H1范数下的误差估计。
2012-11-07 cs.NA math.NA
The $hp$-FEM applied to the Helmholtz equation with PML truncation does not suffer from the pollution effect
本文证明带 PML 截断的变系数外部 Helmholtz 方程在 $hk/p$ 与多项式阶数条件满足时，$hp$-FEM 的 Galerkin 解关于波数 $k$ 拟最优且无污染效应。
2024-01-18 cs.NA math.AP math.NA
Localized Orthogonal Decomposition for two-scale Helmholtz-type problems
Institut für Analysis und Numerik, Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特大学分析与数值计算研究所）
本文提出了一种基于Petrov-Galerkin公式的局部正交分解方法，用于解决双尺度亥姆霍兹型问题，通过局部子尺度问题解决污染效应问题。
2017-02-28 cs.NA math.NA
Learning Rays via Deep Neural Network in a Ray-based IPDG Method for High-Frequency Helmholtz Equations in Inhomogeneous Media
我们开发了一种深度学习方法，通过分析高度振荡的波场来提取离散位置的射线方向。在一组局部平面波场上训练深度神经网络，以预测离散位置处的射线方向。然后将所得的深度神经网络应用于降频亥姆霍兹解以提取方向，这些方向进一步并入基于射线的邻域罚不连续伽辽金（IPDG）方法中，以在更高频率下求解亥姆霍兹方程。通过这种方式，我们在非均匀介质中所得的亥姆霍兹溶液中没有观察到明显的污染效应。我们的二维和三维数值结果表明，所提出的计划是非常有效的，并产生高精度的解决方案。
2021-06-19 cs.NA math.NA
Robust Multiscale Methods for Helmholtz equations in high contrast heterogeneous media
本文针对高对比度非均匀介质中的亥姆霍兹方程，提出约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM），建立其 inf-sup 稳定性与先验误差估计，并通过数值实验验证了方法在克服污染效应和捕捉物理现象方面的有效性。
2024-07-08 cs.NA math.NA
Application of adapted-bubbles to the Helmholtz equation with large wave numbers in 2d
本文提出了一种改进的无剩余气泡法（RFB），用于求解二维亥姆霍兹问题。本文提出了一种新的两层有限元法来近似泡函数。与对流-扩散方程等其它方程不同，RFB方法在求解Helmholtz方程时，不依赖于另一种稳定化方法来获得子问题解的近似。适应气泡（AB）是通过一个简单的修改的子问题。这一修正显著地提高了数值解的精度。AB方法能够在2D中有效地求解Helmholtz方程，直到ch = 3.5，其中c是波数，h是网格步长。我们提供分析，以显示如何AB方法减轻污染的错误。
2021-05-15 cs.NA math.NA
A novel least squares method for Helmholtz equations with large wave numbers
本文研究非均匀介质中非均匀Helmholtz方程的数值方法。我们设计了一个最小二乘法离散所考虑的亥姆霍兹方程。在该方法中，在任意两个相邻单元的公共界面上引入一个辅助未知量，通过局部Helmholtz方程的解的迹在所有公共界面上的跳跃定义一个二次主题泛函，其中局部Helmholtz方程定义在单元上，并由辅助未知量给出Robin型边界条件.一个极小化问题的主题泛函，提出了确定辅助未知数。由此得到的辅助未知量的离散系统是Hermitian正定的，因此可以用PCG方法求解。在一定的假设条件下，我们证明了所产生的近似解具有几乎最优的误差估计，并且几乎没有“波数污染”。此外，我们构造了辅助未知量的离散系统的子结构预条件子。数值实验表明，本文方法对求解大波数Helmholtz方程是非常有效的。
2020-01-16 cs.NA math.NA
Radial basis function-generated finite differences with Bessel weights for the 2D Helmholtz equation
Universidad de Antioquia（安蒂奥基亚大学）
本文利用径向基函数生成的有限差分法（RBF-FD）结合贝塞尔函数定义的振荡径向基函数，对二维亥姆霍兹方程进行近似数值求解，通过正则化插值矩阵来解决局部插值获得权重时的病态问题，并通过不同数值测试验证了色散和污染效应的缓解。
2019-03-02 cs.NA math.NA
Finite Element Method for a Nonlinear PML Helmholtz Equation with High Wave Number
采用完全匹配层（PML）技术近似求解具有高波数和Sommerfeld辐射条件的非线性Helmholtz方程（NLH），然后采用线性有限元法（FEM）对其进行离散。证明了非线性截断PML问题的波数显式稳定性和正则性估计以及指数收敛性。在二维情况下，去掉了阻抗边界条件下非线性混合方程的对数因子，得到了有限元法的准渐近误差估计.此外，对于带PML的非线性代数方程组及其有限元方程组，本文还证明了牛顿法的局部平方收敛性。数值算例表明，采用适当的罚参数的内点罚技术可以大大减小污染误差。光学双稳的非线性现象可以成功地模拟。
2022-07-11 cs.NA math.NA
A Robust Learning-Based Method for the Helmholtz Equation in Dissipative Media and Complex Domains
Fudan University（复旦大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
本文提出基于学习的数值方法，利用贝塞尔基解决高频率亥姆霍兹问题中的污染问题，克服传统基础解基函数的不稳定性，实现高精度计算并提升效率。
2026-03-15 cs.NA math.NA
Towards Accuracy and Scalability: Combining Isogeometric Analysis with Deflation to Obtain Scalable Convergence for the Helmholtz Equation
找到快速而准确的数值解的亥姆霍兹方程仍然是一个具有挑战性的任务。污染误差（即数值和分析波数k之间的差异）要求网格分辨率保持足够精细，以获得精确的解。最近的一项研究表明，使用等几何分析（IgA）的空间离散化显着减少了污染的错误。然而，当考虑大的波数或多个维度时，通过直接求解器求解所得的线性系在计算上仍然是昂贵的。另一种方法是使用（预处理）Krylov子空间方法。最近，使用精确的复数移位拉普拉斯预处理器（CSLP）与一个小的复杂的位移已被证明导致波数无关的收敛，同时获得更准确的数值解使用IgA。在本文中，我们提出了使用紧缩技术结合使用几何多重网格方法的CSLP的近似逆。一维和二维模型问题，包括恒定和非恒定波数，得到的数值结果显示可扩展的收敛相对于波数和近似阶p的空间离散化。此外，当kh保持恒定时，所提出的方法与使用具有小位移的CSLP的精确逆相比，导致计算时间的显著减少。
2020-10-20 cs.CE cs.NA math.NA
Can coercive formulations lead to fast and accurate solution of the Helmholtz equation?
University College London（伦敦大学学院）；University of Pavia（帕维亚大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了一种新的强制性亥姆霍兹方程公式，并探讨了其h版本伽辽金离散化及迭代求解线性系统的方法，证明了在对称正定预处理下，该公式的GMRES迭代次数具有k显式界。
2018-09-19 cs.NA math.NA
FEM and CIP-FEM for Helmholtz Equation with High Wave Number and PML truncation
Nanjing University（南京大学）
本文研究高波数亥姆霍兹方程的PML截断问题，采用CIP-有限元方法进行离散，证明了截断PML问题满足inf-sup条件，并讨论了稳定性与收敛性，提出预渐进行误差估计及惩罚参数调优减少污染误差。
2018-06-25 cs.NA math.NA
Learning Dominant Wave Directions For Plane Wave Methods For High-Frequency Helmholtz Equations
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出基于射线的有限元方法（ray-FEM），通过学习适应于光滑介质中高频Helmholtz方程的基函数，利用低频波探测介质以获取局部主导射线方向，进而求解高频Helmholtz方程，实现迭代改进。
2016-08-31 cs.NA math.NA
Adaptive FEM for Helmholtz Equation with Large Wave Number
本文给出了大波数Helmholtz方程线性有限元法的后验上、下界。严格证明了标准残差型误差估计严重低估了有限元解的真实误差，网格步长$h$在预渐近制度，这是第一次观察到Babuška，等。一维问题。通过建立有限元解的误差估计与精确解的椭圆投影之间的等价关系，提出了一种自适应算法，并在$k^3h_0^{1+\al}$充分小的条件下证明了该算法的收敛性和拟最优性，其中$h_0$为初始网格步长，$\frac12<\al\le 1$为依赖于区域最大凹角的正则常数.数值试验验证了理论结果，并表明适当选择罚参数的自适应连续内点罚有限元法（CIP-FEM）可以大大减小污染误差，因此CIP-FEM的残差型误差估计即使在前渐近区域也是可靠和有效的.
2021-10-19 cs.NA math.NA
Multiscale Petrov-Galerkin Method for High-Frequency Heterogeneous Helmholtz Equations
The University of Nottingham（诺丁汉大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文提出一种多尺度Petrov-Galerkin有限元方法，用于高频非均匀系数的时谐声散射问题，证明该方法在非均匀介质中也具有无污染特性，且在特定光滑非均匀材料系数下满足多项式波数增长假设。
2015-11-30 cs.NA math.NA
Decompositions of high-frequency Helmholtz solutions via functional calculus, and application to the finite element method
在过去十年中，[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]和[Melenk-Parsania-Sauter，2013]将高频亥姆霍兹解分解为“低频”和“高频"分量的结果对亥姆霍兹方程的数值分析产生了很大影响。这些结果已被证明的常系数Helmholtz方程的外部Dirichlet障碍或内部区域与阻抗边界条件。利用Helffer-Sjöstrand谓词演算，证明了散射问题的相似分解符合Sjöstrand-Zworski的黑箱散射框架，从而同时涵盖了变系数Helmholtz问题、不可穿透障碍问题和可穿透障碍问题.这些结果使我们能够证明新的频率显式收敛结果（一）的$hp$ -有限元法应用于变系数亥姆霍兹方程在外部的狄利克雷障碍，当障碍和系数是解析的，和（ii）的$h$ -有限元法应用于亥姆霍兹穿透障碍传输问题。特别地，（i）中的结果表明，应用于该问题的$hp$ -FEM不受污染效应的影响。
2022-08-01 cs.NA math.AP math.NA
Robust adaptive hp discontinuous Galerkin finite element methods for the Helmholtz equation
University of Vienna（维也纳大学）
本文提出了一种针对二维亥姆霍兹方程的鲁棒 hp 后验误差分析方法，该方法在多项式次数 p 和波数 k 方面均具有鲁棒性。通过考虑一种无条件良态的不连续 Galerkin 格式，基于移位泊松问题的平衡通量技术进行后验误差分析，利用势重构控制离散化非一致性误差。证明了在初始网格尺寸和多项式次数选择使得不连续 Galerkin 格式收敛（即处于非污染区域）的条件下，误差估计器是可靠且高效的。通过多个数值实验验证了基于所提鲁棒后验误差估计器的 hp 自适应细化策略的有效性。
2019-01-30 cs.NA math.NA
A Bernoulli Phase-Fitted finite difference method with wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz problem
TU Wien（维也纳工业大学）；Soochow University（苏州大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种伯努利相适应有限差分方法，用于求解具有阻抗边界条件的一维亥姆霍兹方程。该方法基于复数化的Scharfetter-Gummel离散化，对亥姆霍兹算子的一向因子分解进行离散化。该方法在内部离散化中具有相适应性，并能精确地闭合离散的阻抗边界条件。对于齐次问题，该方法对平面波是精确的，因此在内部不会引入数值色散，也不在边界处引入人工反射。对于非齐次问题，证明了问题的适定性，推导了波数显式的稳定性估计，并建立了适用于所有kh∉πZ的二阶一致性和收敛性。特别地，在固定分辨率条件kh≤s0（其中0<s0<π）和kL≥π的情况下，误差界中的常数对波数是均匀的，从而在主尼奎斯特域中实现了无污染的收敛理论。数值实验验证了理论分析并显示了与标准和色散修正有限差分方法相比的良好性能。
2026-07-22 cs.NA math.NA
High-Resolution Solvers for 3D Helmholtz Scattering Problems Using PFFT and Eigenvector-Based Preconditioning
Idaho State University（爱达荷州立大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出利用PFFT和基于特征向量的预条件技术，结合高阶紧凑格式，解决三维Helmholtz方程的高效求解方法。
2026-02-07 cs.NA math.NA
A matrix-free parallel solution method for the three-dimensional heterogeneous Helmholtz equation
本文提出一种用于三维异质Helmholtz方程的无矩阵并行迭代求解方法，采用CSLP预处理与多重网格技术，有效提升了大规模问题的求解精度、收敛性与并行可扩展性。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Quantum simulation of Helmholtz equations via Schr{ö}dingerization
针对高波数下亥姆霍兹方程数值求解困难的问题，提出基于薛定谔化框架的量子算法，结合扭曲相位变换与渐近色散校正，经预条件后可将查询复杂度降至O(κ polylog ε⁻¹)，可推广至各类不定问题。
2025-07-31 cs.NA math.NA
Two-level hybrid Schwarz Preconditioners for The Helmholtz Equation with high wave number
本文提出两种基于LOD粗求解器和局部求解器的两级混合Schwarz预条件子，用于高波数亥姆霍兹方程，理论证明其最优性并通过数值实验验证。
2025-02-25 cs.NA math.NA
Recent Results on Domain Decomposition Preconditioning for the High-frequency Helmholtz Equation using Absorption
Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）；Institute of Computer Science, University of Tartu（塔尔图大学计算机科学研究所）
本文综述了高频亥姆霍兹问题离散化中域分解预置条件的发展与分析进展，通过引入吸收项构造预置条件，并展示了高效多级求解器在无吸收情况下的应用，实验显示迭代次数和求解时间与网格尺寸相关。
2016-06-23 cs.NA math.NA
Pre-asymptotic Error Analysis of CIP-FEM and FEM for Helmholtz Equation with High Wave Number. Part II: $hp$ version
Nanjing University（南京大学）
针对高波数Helmholtz方程，采用连续内罚有限元方法(CIP-FEM)和有限元方法(FEM)，在条件$kh/p \leq C_0(p/k)^{1/(p+1)}$下，推导了$p\geq1$阶近似空间的预渐近误差估计，并证明了CIP-FEM的绝对稳定性和通过调整罚参数减少污染误差的优势。
2012-04-23 cs.NA math.NA
Asymptotic dispersion correction for the isotropic elastic Helmholtz equation discretized with a MAC scheme
Université de Pau et des Pays de l’Adour（波城及阿杜尔地区大学）；Normandie University, INSA de Rouen Normandie（诺曼底大学，鲁昂诺曼底国立应用科学学院）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
针对弹性Helmholtz方程MAC离散的高频数值频散问题，提出渐近最优频散校正方法，可降低相对误差并改善多重网格求解器收敛性，为弹性问题代数结构提供新见解。
2026-08-19 cs.NA math.NA
An Efficient Finite Difference-Based PML Technique for Acoustic Scattering Problems
University of Alberta（阿尔伯塔大学）
本文提出一种高阶紧凑有限差分方法，用于解决具有多个任意形状散射体的声学散射问题，通过PML有效截断无界域并减少污染效应，方法具有高阶精度和良好的鲁棒性。
2025-10-27 cs.NA math.NA
GMRES-based multigrid for the complex scaled preconditoner for the indefinite Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）；Intel Exascience Lab（英特尔超算实验室）
本文探索用GMRES替代标准多重网格中的固定光滑子，构建鲁棒高效的复平移或拉伸亥姆霍兹问题求解器，作为预条件子，并通过理论推导的稳定多项式光滑子比较收敛行为。
2013-05-08 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit convergence of the $hp$-FEM for the full-space heterogeneous Helmholtz equation with smooth coefficients
在论文[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]、[Melenk-Parsania-Sauter，2013]中率先提出了应用于各种常系数亥姆霍兹问题的$hp$-FEM的收敛理论。这一理论表明，如果解算子在波数$k$中多项式有界，则Galerkin方法是拟最优的，只要$hk/p \leq C_1$和$p\geq C_2 \log k$满足，其中$C_1$充分小，$C_2$充分大，且两者都独立于$k,h,$和$p$ .该结果的意义在于，如果$hk/p= C_1$和$p=C_2\log k$，则通过与$k^d$成比例的自由度总数实现准最优性;即，$hp$-FEM不受污染影响。本文证明了$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$中提出的变系数非均匀Helmholtz方程在无穷远处的Sommerfeld辐射条件和$C^\infty$系数下的类似拟最优性结果.我们还证明了在特定情况下的平面波散射问题的Galerkin解决方案的相对误差的一个界。这是有史以来第一个结果的波数显式收敛的$hp$-FEM的Helmholtz方程的变系数。
2022-03-05 cs.NA math.AP math.NA
The Adaptive Solution of High-Frequency Helmholtz Equations via Multi-Grade Deep Learning
Jilin University（吉林大学）；Shandong Normal University（山东师范大学）；Old Dominion University（老道明大学）
本文提出FD-MGDL框架，结合有限差分与多级深度学习，高效求解高频亥姆霍兹方程，显著优于传统方法。
2026-08-31 cs.NA math.NA
Exponentially convergent multiscale methods for high frequency heterogeneous Helmholtz equations
在本文中，我们提出了一个多尺度框架求解Helmholtz方程在非均匀介质中没有尺度分离，在高频区的波数$k$可以很大。主要的创新是，我们的方法实现了近指数收敛速率相对于计算的自由度，使用粗网格的网格步长$O(1/k)$，而不遭受众所周知的污染效应。其关键思想是一个非重叠的区域分解及其相关的粗-细尺度分解的解决方案空间，适应介质的属性和波数，这种分解的灵感来自多尺度有限元法（MsFEM）。我们表明，粗的部分是\textit{low complexity}的意义上说，它可以近似通过局部基函数的收敛速率接近指数，由于紧凑的限制算子，映射亥姆霍兹调和函数，他们的插值残留的边缘，而精细的部分是\textit{local}，它可以有效地计算使用的局部信息的右手边。这两个部分的组合产生了我们的多尺度方法的总体接近指数的收敛速率。我们的方法在文献中，我们将详细评论多尺度方法绘制了许多连接。我们证明了我们的方法的有效性，理论和数值;指数收敛速率一致观察和确认。此外，我们观察到我们的方法的鲁棒性，在媒体数值上的高对比度。在我们的论述中，我们特别关注2D问题，因为在这种情况下，非重叠区域分解的几何形状最容易解释;最后将概述3D的推广。
2022-10-20 cs.NA math.NA
Domain Decomposition preconditioning for high-frequency Helmholtz problems with absorption
University of Bath（巴斯大学）；University of Tartu（塔尔图大学）
本文研究了高频亥姆霍兹问题的域分解预条件技术，提出新的理论分析，证明了吸收参数对预条件矩阵收敛率的影响，并通过数值实验验证了理论结果。
2016-03-25 cs.NA math.NA
Adaptive Finite Element Method for a Nonlinear Helmholtz Equation with High Wave Number
针对高波数非线性亥姆霍兹方程，提出自适应有限元方法，利用新后验误差估计器证明收敛性和拟最优性，并模拟光学双稳态现象。
2024-05-27 cs.NA math.NA
Multiscale Sub-grid Correction Method for Time-Harmonic High-Frequency Elastodynamics with Wavenumber Explicit Bounds
弹性动力学方程在高频下的模拟受到众所周知的污染效应的影响。我们提出了一个彼得罗夫-Galerkin多尺度子网格校正方法，保持无污染的自然分辨率和过采样制度。这是通过生成对粗网格空间的校正来实现的，粗网格空间具有由与$\log(k)$相关的过采样长度确定的支持，$k$是波数。这种方法的关键是多项式在$k$边界的稳定常数和相关的inf-sup常数。为此，我们建立多项式的$k$边界的弹性动力学稳定常数在一般Lipschitz域辐射边界条件在$\mathbb{R}^3$。以前的方法依赖于变分技术，Rellich身份，和几何约束。在弹性动力学的背景下，这些遭受需要假设一个科恩的边界上的不平等。在这项工作中的方法是基于边界积分算子和格林函数的导数依赖于$k$的估计，不需要这个额外的假设。我们还实现了二维和三维的数值例子，以显示该方法消除了污染的自然分辨率和过采样制度，以及执行良好的标准拉格朗日有限元相比。
2022-03-14 cs.NA math.NA
The pollution effect for FEM approximations of the Ginzburg-Landau equation
Inria, Univ. Lille, CNRS（法国国家信息与自动化研究所、里尔大学、法国国家科学研究中心）；Department of Mathematics, Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学数学系）
本文研究了吉尼斯堡-兰道方程有限元逼近中的污染效应，通过新的误差分析方法量化了预渐进行域及污染效应，并证明高次多项式可缓解污染问题。
2026-02-05 cs.NA math.NA
An Optimal O(N) Helmholtz Solver for Complex Geometry using WaveHoltz and Overset Grids
本文开发了基于 WaveHoltz 算法和重叠网格的复杂几何 Helmholtz 方程高效高阶求解器，通过 GMRES 和缩减技术加速迭代，并利用隐式时间步进与多重网格实现最优 O(N) 复杂度。
2025-04-03 cs.NA math.NA
Preconditioned Krylov subspace methods for sixth order compact approximations of the Helmholtz equation
Idaho State University（爱达荷州立大学）
针对亥姆霍兹方程，提出基于六阶紧致格式和预处理Krylov子空间方法的高效迭代求解，引入“k阶预处理矩阵”概念，并验证了低阶预处理与GMRES方法的有效性。
2012-12-06 cs.NA math.NA
Higher-order FEM and CIP-FEM for Helmholtz equation with high wave number and perfectly matched layer truncation
针对 PML 截断的高波数 Helmholtz 方程，本文建立解的波数显式分解，证明高阶 FEM 与 CIP-FEM 的预渐近误差估计，并通过实验验证 CIP-FEM 可显著降低污染误差。
2023-12-05 cs.NA math.NA
An unconditionally stable discontinuous Galerkin method for the elastic Helmholtz equations with large frequency
The University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）；University of West Florida（西佛罗里达大学）
本文提出一种无条件稳定的不连续伽辽金方法，用于求解大频率弹性霍奇方程，通过惩罚函数值和法向导数跳跃，以及复数惩罚参数，实现频率和网格尺寸下的稳定性，误差估计在不同网格范围内均成立。
2015-01-21 cs.NA math.NA
Continuous Interior Penalty Finite Element Methods for the Helmholtz Equation with Large Wave Number
Nanjing University（南京大学）
针对大波数亥姆霍兹方程，提出并分析使用虚部为正的复罚参数的连续内部罚有限元方法，证明其无网格约束的稳定性并导出误差估计。
2011-06-21 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Methods for the Helmholtz Equation with Large Wave Number
The University of Tennessee（田纳西大学）；Nanjing University（南京大学）
针对大波数亥姆霍兹方程，提出并分析了一种内罚间断伽辽金方法，证明了其无网格约束的稳定性，并给出了最优和次优误差估计。
2008-10-08 cs.NA math.NA
Three types of quasi-Trefftz functions for the 3D convected Helmholtz equation: construction and approximation properties
本文针对对流亥姆霍兹方程，定义并构造了三类拟Trefftz函数（两类基于平面波推广，一类为多项式），并分析其逼近性质，其中多项式基避免了波类基的病态条件问题。
2024-07-22 cs.NA math.NA
Non-uniform finite-element meshes defined by ray dynamics for Helmholtz problems
Université d’Angers（昂热大学）；University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文针对高频亥姆霍兹方程，提出使用基于射线动力学的非均匀网格，在满足比均匀网格更宽松的网格宽度条件下，实现k一致拟最优性和有界相对误差，并证明在完美匹配层中仅需hk足够小。
2026-09-28 cs.NA math.AP math.NA
McMg: A Learned Phase-Space Multi-channel Multigrid Preconditioner for Helmholtz Equation
School of Mathematics, Jilin University（吉林大学数学学院）；Ocean University of China（中国海洋大学）；Shenzhen Loop Area Institute（深圳河套学院）；King Abdullah University of Science and Technology（卡布斯科学技术大学）
提出McMg，一种学习型相空间多重网格预条件子，通过保留通道维度的局部波信息，结合线性多通道传输算子与自适应模板，高效求解高频、高对比度和大规模三维亥姆霍兹方程。
2026-07-03 cs.AI cs.NA math-ph
Wave scattering in layered orthotropic media I: a stable PML and a high-accuracy boundary integral equation method
在各向异性介质中，标准的完全匹配层（PML）技术在终止无界问题域时会出现不可挽回的不稳定性。是否存在一个稳定的类PML吸收边界条件仍然是一个悬而未决的问题。本文首次对层状正交各向异性介质中的波散射问题作了肯定的回答。在每个正交各向异性介质中，介电常数张量唯一地确定坐标的变化，其将支配各向异性Helmholtz方程变换为在新的坐标系中的各向同性Helmholtz方程。这导致我们提出了一个新的索末菲辐射条件（SRC）严格表征出射波的层状正交各向异性介质。自然地，SRC激励区域化PML（RPML）截断散射问题，在这个意义上，在每个正交各向异性区域的新坐标系中建立标准PML。结果表明，与不稳定的单轴PML相比，RPML是无条件稳定的。发展了一种高精度的边界积分方程（BIE）方法来求解由此产生的边值问题。数值实验验证了RPML的稳定性和BIE方法的准确性，显示出指数衰减的截断误差的RPML参数增加。
2021-11-21 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Modified representations for the close evaluation problem
当使用边界积分方程方法时，我们将线性偏微分方程的解表示为层势。众所周知，使用求积规则的层势近似在接近边界（但不在边界上）时分辨率较差。为了应对这一挑战，我们提供了问题的解决方案的修改表示。类似于高斯定律用于修改拉普拉斯的双层位势，我们使用修改后的拉普拉斯的单层势和亥姆霍兹层势的表示，避免了封闭的评估问题。在表示公式的背景下或使用插值技术已经开发了一些技术。我们直接提供层势的替代修改表示（或当只有一个密度处于危险之中时）。几个数值例子说明了效率的技术在二维和三维。
2021-09-22 cs.NA math.AP math.NA
A Fourier penalty method for solving the time-dependent Maxwell's equations in domains with curved boundaries
McGill University（麦吉尔大学）；NJIT（新泽西理工学院）
本文提出一种高阶傅里叶惩罚方法，用于处理完美电导边界条件附近的麦克斯韦方程组，通过扩展非周期性域为周期性域并引入解析强迫项，实现高阶精度的边界条件强制，展示了在二维和三维中的收敛性和稳定性。
2015-11-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
