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关于$τ(n)$小值的几点注记

Some Remarks on Small Values of $τ(n)$

Kaya Lakein, Anne Larsen

备注：
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摘要：

一个自然的变体莱默猜想，拉马努金$τ$ -功能永远不会消失的问题是否，对于任何给定的整数$α$，存在任何$n \in \mathbb{Z}^+$，使$τ(n) = α$。最近的一系列论文排除了许多整数作为可能的价值观的$τ$ -功能使用理论的原始因子的卢卡斯数，计算整数点的曲线，和同余$τ(n)$。综合这些结果和方法，证明了如果$0 < |α| < 100$和$α\notin T := \{2^k, -24,-48, -70,-90, 92, -96\}$，则$τ(n) \neq α$对所有$n > 1$都成立.此外，如果$α\in T$和$τ(n) = α$，则$n$是无平方的，具有指定的素因子分解。最后，我们证明了Atkin-Serre猜想的一个强形式意味着对所有的$n > 2$都有$|τ(n)| > 100$。

英文摘要：

A natural variant of Lehmer's conjecture that the Ramanujan $τ$-function never vanishes asks whether, for any given integer $α$, there exist any $n \in \mathbb{Z}^+$ such that $τ(n) = α$. A series of recent papers excludes many integers as possible values of the $τ$-function using the theory of primitive divisors of Lucas numbers, computations of integer points on curves, and congruences for $τ(n)$. We synthesize these results and methods to prove that if $0 < |α| < 100$ and $α\notin T := \{2^k, -24,-48, -70,-90, 92, -96\}$, then $τ(n) \neq α$ for all $n > 1$. Moreover, if $α\in T$ and $τ(n) = α$, then $n$ is square-free with prescribed prime factorization. Finally, we show that a strong form of the Atkin-Serre conjecture implies that $|τ(n)| > 100$ for all $n > 2$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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