关于 $\mathbb{Z}^d$ 中具有小 Fourier $L^1$ 范数的集合的几何注记

中文摘要 AI 辅助

我们研究有限集合 $A\subset \mathbb{Z}^d$ 的几何逆问题，其中 $A$ 的 Fourier $L^1$ 范数（或 Wiener 范数）\begin{align*} \\|A\\|:=\int_{\mathbb{T}^d}\Big|\sum_{a\in A}e(a\cdot t)\Big|dt \end{align*} 关于 $|A|$ 是次多项式的。特别地，我们证明多种几何现象与小的 Fourier $L^1$ 范数不相容。我们的主要应用涉及球面 Freiman 模型。假设 $\\|A\\|=|A|^{o(1)}$ 且 $D\subseteq A$ 与球面上的格点集 $S$ Freiman 同构；则 $|D|/|A|$ 必须关于 $|A|$ 是多项式小的。此外，若 $|D|/|A|$ 不是太小，则 $S$ 的几乎所有点都位于少数球冠中，且几乎所有球冠都具有丰富的加法结构。证明使用了研究 $A$ 的子集间加法结构的新机制，以及 Bourgain-Demeter 的 decoupling 结果。

英文摘要

We study geometric inverse problems for finite sets $A\subset \mathbb{Z}^d$ whose Fourier $L^1$ norm, or Wiener norm, \begin{align*} \|A\|:=\int_{\mathbb{T}^d}\Big|\sum_{a\in A}e(a\cdot t)\Big|dt \end{align*} is subpolynomial in $|A|$. In particular, we show a variety of geometric phenomena are incompatible with small Fourier $L^1$ norm. Our principal application concerns spherical Freiman models. Suppose $\|A\|=|A|^{o(1)}$ and $D\subseteq A$ is Freiman isomorphic to a set $S$ of lattice points on a sphere; then, $|D|/|A|$ must be polynomially small in $|A|$. Moreover, if $|D|/|A|$ is not too small, almost all of $S$ lies in a small number of spherical caps, and almost all caps have rich additive structure. The proof uses a new mechanism for studying additive structure across subsets of $A$, along with decoupling results of Bourgain-Demeter.

发表机构

• Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）

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