关于修正Leray-alpha方程的吸引子维数
On attractor's dimensions of the modified Leray-alpha equation
AI总结：
该文研究二维球面、二维与三维环面上的修正Leray-alpha方程，证明弱解存在唯一性与全局吸引子存在性，建立低维情形吸引子Hausdorff和分形维数上下界，并推广至三维环面下界估计。
摘要：
本文的主要目标是研究二维球面$\u211a^2$、方形环面$\u2119^2$和三维环面$\u2119^3$上的修正Leray-alpha方程。研究过程中，我们证明了该方程弱解的存在性与唯一性，以及全局吸引子的存在性。随后，我们建立了$\u211a^2$和$\u2119^2$上全局吸引子的Hausdorff维数与分形维数的上下界。我们的方法基于涡量标量方程的估计，以及利用Kolmogorov流构造的不变流形附近的定常解。最后，我们将利用$\u2119^2$上的结果研究$\u2119^3$情形下吸引子维数的下界。
英文摘要：
The primary objective of this paper is to investigate the modified Leray-alpha equation on the two-dimensional sphere $\mathbb{S}^2$, the square torus $\mathbb{T}^2$ and the three-torus $\mathbb{T}^3$. In the strategy, we prove the existence and the uniqueness of the weak solutions and also the existence of the global attractor for the equation. Then we establish the upper and lower bounds of the Hausdorff and fractal dimensions of the global attractor on both $\mathbb{S}^2$ and $\mathbb{T}^2$. Our method is based on the estimates for the vorticity scalar equations and the stationary solutions around the invariant manifold that are constructed by using the Kolmogorov flows. Finally, we will use the results on $\mathbb{T}^2$ to study the lower bound for attractor's dimensions on the case of $\mathbb{T}^3$.
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