Notes on the Sobolev (Semi)Norms of Quadratic Functions
本文研究了二次函数的$H^0$范数和$H^1$范数。当基本域是$R^n$中的$l_p$球（1 \leq p \leq \infty）时，（半）范数用所考虑的二次函数的系数明确表示.
2012-01-31 math.AP math.OC
Geometry and Convergence of Quadratically Regularized Optimal Transport I
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文研究二次正则化最优传输在小正则化参数下的收敛速率，刻画支撑的稀疏几何，证明对偶势的一致 Hessian 界及收敛速率，并确定收敛失效的阈值。
2026-10-05 math.AP math.OC
Stability of Quadratically Regularized Optimal Transport
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文针对二次正则化最优输运问题，在边际分布、输运代价函数和正则化参数扰动下，建立了定量稳定性理论，核心是得到了对偶势的L∞稳定性结果，并首次证明了最优耦合支撑集在Hausdorff距离下的局部Lipschitz连续性。
2026-05-27 math.AP math.FA math.OC
$L^\infty$ estimates in optimal mass transportation
我们证明了在任何完全度量空间中，具有紧连通支撑的概率测度$μ$是具有如下性质的概率测度：到任何其他概率测度$μ$的最佳传输距离是由$μ$和$ν$之间的$L^\infty$传输距离的正函数所限定的.给出下界的函数仅取决于$μ$的下界-以$μ$的支撑为中心的球的度量，以及取决于在最优输运中使用的成本函数。我们得到了这个函数的一个本质上尖锐的形式。在严格凸成本函数的情况下，我们表明，类似的估计持有的水平上的最优输运计划，当且仅当支持$μ$是紧凑的，足够接近测地线。我们还研究了$L^p$运输距离中的紧支撑测度的收敛何时意味着$L^\infty$运输距离的收敛。对于具有连通支撑的测度，这个性质的特征在于以测度的支撑为中心的球的测度的一致下界，或者等价地，通过支撑的Hausdorff收敛。
2015-08-21 math.AP math.MG math.OC
New super-quadratic conditions for asymptotically periodic Schrödinger equation
研究了半线性薛定谔方程$\left\{\begin{array}{ll}-\Nabla u+V(x)u=f(x, u), \ \ \ \ x\in {\R}^{N},u\in H^{1}({\R}^{N}),\end{array}\right.$，其中$f$是超线性的亚临界非线性方程.它集中于$x_1, x_2, \ldots, x_N$和$\sup[σ(-\triangle +V_0)\cap (-\infty, 0)]<0<\inf[σ(-\triangle +V_0)\cap (0, \infty)]$、$V_1\in C(\R^N)$和$\lim_{|x|\to\infty}V_1(x)=0$中的$V(x)=V_0(x)+V_1(x)$、$V_0\in C(\R^N)$、$V_0(x)$均为1周期的情况。得到了一个新的超二次条件，该条件弱于某些已知结果。
2015-07-10 math.AP
Eigenvalue Problems in $\mathrm{L}^\infty$: Optimality Conditions, Duality, and Relations with Optimal Transport
在这篇文章中，我们描述了与瑞利商$\left.{\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^\infty}}\middle/{\|u\|_\infty}\right.$相关的$\mathrm{L}^\infty$本征值问题，并将其与发散形式的PDE相关联，类似于已知的$\mathrm{L}^p$本征值问题和$p<\infty$的$p$ -拉普拉斯算子。与现有的将$\mathrm{L}^\infty$ -问题作为$p\to\infty$的$\mathrm{L}^p$ -问题的极限来研究的方法不同，本文利用凸分析和几何测度理论，建立了一个直接分析极限问题的新框架.为此，我们得到了一个新的精细表征的Lipschitz常数功能$u\mapsto\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^\infty}$的次微分。我们表明，本征值问题的形式$λνu =-\operatorname{div}(τ\nabla_τu)$，其中$ν$和$τ$是非负措施集中在$|u|$分别$|\nabla u|$是最大的，和$\nabla_τu$是$u$相对于$τ$的切向梯度。最后，我们研究了一个对偶Rayleigh商，其极小解解决了与广义Kantorovich-Rubinstein范数相关的最优输运问题。我们的结果适用于Rayleigh商的所有驻点，包括无穷基态，无穷调和势，距离函数等，并推广了文献中的…
2022-10-21 math.AP math.OC math.SP
A remark on decay rates of solutions for a system of quadratic nonlinear Schrödinger equations in 2D
研究了二维空间中具有质量共振的三分量二次非线性薛定谔方程的初值问题。在适当的条件下的非线性系数，我们将证明该解决方案的衰减严格快于$O(t^{-1})$作为$t \to +\infty$在$L^{\infty}$通过提供一个增强的衰减估计阶$O((t \log t)^{-1})$。与以前的工作不同，我们的方法完全不依赖于解的渐近轮廓的显式形式。
2013-05-03 math.AP
Analysis of the quadratic term in the backscattering transformation
在奇数维$n\ge 3$的背散射变换的原点处的泰勒展开中的二次项产生$C_0^\infty({\mathbb R}^n)\times C_0^\infty({\mathbb R}^n)$上的对称双线性算子$B_2$。在本文中，我们证明了$B_2$扩展到某些索伯列夫空间的重量，并表明它改善了两个正则性和衰减。
2008-01-15 math-ph math.AP math.MP
The five gradients inequality for non quadratic costs
本文给出了最优运输理论中关于一般费用的“五梯度不等式”的一个证明，其形式为$c(x,y)=h(x-y)$，其中$h$是一个$C^1$严格凸径向对称函数.
2022-10-13 math.AP math.OC
Gains of integrability and local smoothing effects for quadratic evolution equations
本文给出了具有局部光滑效应和可积性增益的非自伴二次微分算子$(e^{-tq^w})_{t\geq 0}$生成的半群的几何特征.更精确地说，我们证明了发展算子$e^{-tq^w}$映射$L^{\mathfrak{p}}$在$L^{\mathfrak{q}} \cap C^\infty$上，对所有的$1\leq \mathfrak{p} \leq \mathfrak{q} \leq \infty$，当且仅当二次算子$q^w$的奇异空间包含在线性映射的图中。我们还提供了定量估计的相关运营商的范数在短期渐近$0<t \ll 1$。
2023-03-15 math.AP math.FA
Geometry and Convergence of Quadratically Regularized Optimal Transport II
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文研究小正则化参数下二次正则化最优传输的几何结构，证明支撑集逼近Brenier映射，并给出收敛速率与精确常数，表明其可作为经典最优传输的稀疏近似。
2026-10-02 math.AP math.OC math.PR
Zero-noise selection and Large Deviations in $L^\infty_t L^p_x$ for the stochastic transport equation beyond DiPerna-Lions
本文研究随机输运方程在$L^\infty_t L^p_x$中的解，证明在参数范围内强存在性与路径唯一性，并建立零噪声极限下收敛到DiPerna-Lions重整化解的大偏差原理。
2025-06-23 math.AP math.PR
Flow with $A_\infty(\mathbb R)$ density and transport equation in $\mathrm{BMO}(\mathbb R)$
我们证明了，如果$b\in L^1(0,T;L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}))$在John-Nirenberg空间$\mathrm{BMO}(\mathbb{R})$中具有空间导数，则它推广了一个唯一的流$ϕ(t,\cdot)$，该流对于每个时间$t\in [0,T]$都具有一个$A_\infty(\mathbb R)$密度.我们在映射$b$上的条件是最优的，并且得到了密度的精确的定量估计。作为一个自然的应用，我们建立了一个适定性的运输方程的柯西问题的$\mathrm{BMO}(\mathbb R)$。
2018-05-04 math.AP math.CA
Linear Convergence of Gradient Descent for Quadratically Regularized Optimal Transport
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文研究了二次正则化最优传输中梯度下降法的收敛性，证明了在连续情况下，梯度下降算法在$ L^2 $空间中的线性收敛性。
2026-05-19 math.AP math.FA math.OC
Polyak-Lojasiewicz Inequality for Quadratically Regularized Optimal Transport
Columbia University（哥伦比亚大学）
针对二次正则化最优传输对偶问题，在温和假设下证明了局部误差界和Polyak-Lojasiewicz不等式，并推导出梯度上升等算法的线性收敛速率。
2026-05-26 math.AP math.FA math.OC
Infinitesimal behavior of Quadratically Regularized Optimal Transport and its relation with the Porous Medium Equation
本文研究二次正则化最优传输问题，证明当正则化参数ε趋于0时，传输成本差值乘以特定比率收敛于非平凡极限，并证实Barenblatt-Pattle解可作为小ε下的近似解。
2024-07-31 math.AP math.PR
$L^p$-bounds for semigroups generated by non-elliptic quadratic differential operators
本文建立了由二次微分算子$q^w(x,D)$在$\mathbb{R}^n$上生成的半群$e^{-tq^w(x,D)}$，$t \ge 0$的$L^p$ -界，$\mathbb{R}^n$是定义在具有非负实部$\textrm{Re} \, q \ge 0$和平凡奇异空间的相空间$\mathbb{R}^{2n}$上的复值二次型$q$的Weyl量子化.具体而言，我们表明，$e^{-tq^w(x,D)}$是有界的$L^p(\mathbb{R}^n) \rightarrow L^q(\mathbb{R}^n)$的所有$t > 0$时，$1 \le p \le q \le \infty$，我们证明了$||e^{-tq^w(x,D)}||_{L^p \rightarrow L^q}$在大$t \gg 1$和小$0 < t \ll 1$时间制度的界限。关于$L^p \rightarrow L^q$界的发展半群在大的时间，我们证明了$||e^{-tq^w(x,D)}||_{L^p \rightarrow L^q}$是指数衰减为$t \rightarrow \infty$，我们确定了精确的指数衰减率，这是独立的$(p,q)$。在小的时间$0 < t \ll 1$，我们建立的界限$||e^{-tq^w(x,D)}||_{L^p \rightarrow L^q}$ $(p,q)$与$1 \le p \le…
2021-04-29 math.AP
$L^p$-$L^q$ boundedness of integral operators with oscillatory kernels: Linear versus quadratic phases
设$\,T^{j,k}_{N}:L^{p}(B)\, \rightarrow\,L^{q}([0,1])\,$是由$\;\displaystyle T^{j,k}_{N}f(s):=\int_{B} \,f(x)\,e^{\imath N{|x|}^{j}s^{k}}\,dx, \quad (j,k)\in\{1,2\}^{2},\,$定义的振荡积分算子，其中$\,B\,$是${\mathbb{R}}^{n}\,$和$\,N\,>>1.$中的单位球。我们比较了所有$\,p,\,q\in [1,+\infty].\,$的算子范数$\,\parallel T^{j,k}_{N} \parallel_ {L^{p}(B)\rightarrow L^{q}([0,1])}\,$作为$\,N\rightarrow +\infty\,$的渐近行为。我们是通过观察薛定谔方程的非齐次薛定谔估计而发现这个问题的。
2015-07-13 math.AP
Sharp global and almost everywhere convergence rates for periodic homogenization of viscous quadratic Hamilton-Jacobi equations
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）；Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校数学系）；Department of Mathematics, University of California at Irvine（加州大学尔湾分校数学系）
研究周期粘性哈密顿-雅可比方程的均质化，证明了全局估计和几乎处处收敛速率，探讨了初始数据局部半凹性对收敛速率的影响。
2026-04-21 math.AP math.PR
Fine properties of monotone maps arising in optimal transport for non-quadratic costs
本文研究了非二次代价最优传输中多值单调映射的精细性质，证明了其在几乎处处为单值，并推导了相关结论。
2024-05-31 math.AP math.FA
Quantitative Convergence of Quadratically Regularized Linear Programs
本研究量化了二次正则化线性规划解的收敛性，给出了正则化参数的精确阈值及阈值前后的次优性界限，并应用于最优输运，揭示了与数据点数的依赖关系。
2025-04-22 math.AP math.OC math.PR
Quadratically Regularized Optimal Transport: nearly optimal potentials and convergence of discrete Laplace operators
我们考虑Matsumoto，Zhang和Schiebinger（2022）提出的猜想，该猜想表明具有二次正则化的最优输运可以用于构造一个图，其离散Laplace算子收敛于Laplace-Beltrami算子。我们推导出一阶最优的潜力所考虑的问题，并发现所得到的解决方案表现出令人惊讶的相似之处，著名的Barenblatt-Prattle解决方案的多孔介质方程。然后，依赖于这些一阶最优势，我们推导出这种离散算子的逐点$L^2$ -极限。光滑紧致流形上随机样本。还提出了补充限制分布结果的仿真结果。
2022-11-20 math.AP math.PR math.ST
Partial $W^{2,p}$ regularity for optimal transport maps
证明了在具有一般费用和正连续密度的最优运输问题中，对于测度为零的闭奇异集之外的任意$p \geq 1$，势函数总是$W^{2,p}_{loc}$类.我们还建立了全球$W^{2,p}$估计时的成本是一个小扰动的二次成本。后一个结果是新的，即使当成本正好是二次成本。
2016-06-16 math.AP
On a generalized maximum principle for a transport-diffusion model with $\log$-modulated fractional dissipation
考虑一个形式为$\partial_t θ+v \cdot \nabla θ+ ν\A θ=0$的输运扩散方程，其中$\partial_t θ+v \cdot \nabla θ+ ν\A θ=0$是$\mathbb R^d$上的一个含时向量场.运算符$\A$表示对数调制分数耗散：$\A=\frac {|\nabla|^γ}{\log^β(λ+|\nabla|)}$和参数$ν\ge 0$、$β\ge 0$、$0\le γ\le 2$、$λ>1$。我们引入了一种新的非局部分解的操作$\A$在通常的分数操作$|\nabla|^{s}$，$0\le s \le γ$加权积分加上一个光滑的剩余项，对应于一个$L^1$核。对于一般的向量场$v$（可能是非发散自由的），我们证明了形式为$ |θ(t)|_\infty \le e^{Ct} |θ_0|_{\infty}$的广义$L^\infty$最大值原理，其中常数$C=C(ν,β,γ)>0$ .在$\text{div}(v)=0$的情况下，对于具有$1\le p \le \infty$的$|θ(t)|_p$，同样的不等式成立。以指数因子为代价，这将Hmidi（2011）的最新结果扩展到了$d\ge 1$，$0\le γ\le 2$的完整状态，并删除了$L^\infty$情况下的不可压缩性假设。
2012-09-17 math.AP
Partial differential equations with quadratic nonlinearities viewed as matrix-valued optimal ballistic transport problems
我们研究了一类相当普遍的最优“弹道”运输问题的矩阵值的措施。这些问题自然出现，在\emph{Y. Brenier. Comm. Math. Phys. (2018) 364(2) 579-605}的精神，从一个特定的二次结构的非线性演化方程的某种对偶公式，让人想起不可压缩的欧拉方程和二次汉密尔顿-雅可比方程。这些例子包括理想不可压缩MHD、模板匹配方程、多维Camassa-Holm（也称为Hdiv测地线方程）、EPDiff、Euler-alpha、KdV和Zakharov-Kuznetsov方程、不可压缩各向同性弹性流体和无阻尼Maxwell流体的运动方程。我们证明了最优“弹道”运输问题的解的存在性。对于形式上保守的问题，例如上面提到的例子，对偶问题的解确定原始问题的解的“时间噪声”版本，并且后者可以通过时间平均来检索。这就得到了上述偏微分方程的初值问题的一类新的在时间上绝对连续的广义解的存在性。我们还建立了对偶问题最优值的一个精确上界，并探讨了弱-强唯一性问题。
2021-11-29 math.AP math.FA
Boundary Layer of Transport Equation with In-Flow Boundary
考虑二维凸区域中稳态中子输运方程。在本文中，我们建立了扩散的限制，而边界层的存在。我们的贡献依赖于一个微妙的边界数据分解分离的规则和奇异的边界层，新颖的加权$W^{1,\infty}$估计米尔恩问题的几何校正凸区域，以及一个$L^{2m}-L^{\infty}$框架，产生更强的剩余估计。
2018-05-20 math.AP
Extreme temporal intermittency in the linear Sobolev transport: almost smooth nonunique solutions
在本文中，我们重新审视的概念的时间不一致性得到尖锐的非唯一性结果的线性迁移方程。我们构造了空间维$d\geq 2$中所有$p<\infty$的具有尖锐Sobolev正则性$L^1_t W^{1,p}$的无发散向量场，其输运方程允许所有$p<\infty$和$k\in \mathbb{N}$的属于$L^p_tC^k$的非唯一弱解.特别地，我们的结果表明DiPerna-Lions理论的唯一性中的时间可积性假设是尖锐的。同样的结果也适用于任意维数$d \geq 2$中具有任意大阶扩散算子的输运扩散方程.
2022-04-19 math.AP
Hölder continuity of solutions of supercritical dissipative hydrodynamic transport equations
研究了具有超临界耗散的准地转（QG）型方程（$α<1/2$）弱解的正则性$(-Δ)^α$。本研究的动机是最近的工作Caffarelli和Vasseur，其中他们研究的关键（$α= 1/2$）QG方程\cite{CV}的整体正则性问题。他们的方法依次增加了Leray-Hopf弱解的正则性水平：从$L^2$到$L^\infty$，从$L^\infty$到Hölder（$C^δ$，$δ>0$），从Hölder到经典解。在超临界情况下，Leray-Hopf弱解仍然可以被证明是$L^\infty$，但似乎他们的方法不能很容易地扩展到建立$L^\infty$解的Hölder连续性。为了使他们的方法起作用，我们要求速度在赫尔德空间$C^{1-2α}$中。从$C^δ$和$δ>1-2α$开始，可以通过Besov空间技术建立更高的正则性，并将在其他地方介绍\cite{CW6}。
2007-10-28 math.AP
An optimal transport approach of hypocoercivity for the 1d kinetic Fokker-Plank equation
在$\R^2$上引入了概率测度集上的二次最优输运度量.二次代价由$\R^2$上的欧几里德范数给出，该范数与某个适当选择的对称正定矩阵相关联，这使得该度量等价于通常的Wasserstein-2度量。沿着动力学福克-普朗克流到平衡点的距离的耗散，在距离本身方面由下限定。在非凸约束势的情况下，得到了Wasserstein-2型度量的新的趋向平衡估计。
2021-02-21 math.AP
Renormalized solutions for stochastic transport equations and the regularization by bilinear multiplicative noise
考虑一类非正则系数线性随机迁移方程。在确定性理论的相同假设下，所有弱$L^\infty$ -解都被重整化。但是，如果噪声是非退化的，弱$L^\infty$ -解决方案的唯一性不需要基本的新的假设，相反的确定性的情况下，例如漂移的发散被要求有界。该证明给出了双线性乘性噪声可能具有正则化效应的新解释。
2010-07-23 math.AP math.PR
An optimization problem with volume constraint with applications to optimal mass transport
本文研究了以下带体积约束的最优化问题：\[ \min\left\{\frac{1}{p}\int_Ω |\nabla v|^pdx- \int_{\partial Ω} gv\,dS \colon v \in W^{1, p} \left(Ω\right), \text{ and } |\{v>0\}| \leq α\right\}. \]这里$g$是连续函数，$α$是一个固定常数，使得$0< α< |Ω|$ .在$\displaystyle \int_{\partial Ω} g(x)dS >0$的假设下，我们证明了极小元的存在性，并且满足$$ \left\{ \begin{array}{ccl} -Δ_p u_p = 0 &\text{in } &\{u_p>0\} \cup \{u_p<0\}, \\[5pt] |\nabla u_p|^{p-2}\frac{\partial u_p}{\partial ν} = g & \text{on } &\partial Ω \cap\partial(\{u_p>0\} \cup \{u_p<0\} ) ,\\[5pt] |\{u_p>0\}| = α. & & \end{array} \right. $$。接下来，我们将极限分析为$p\to \infty$。我们得到了任意弱解序列在$\overlineΩ$中一致收敛到子序列$\lim…
2018-08-28 math.AP
On the degeneracy of optimal transportation
我们扩展了一个维度上界多少最优输运地图可以退化的二次运输成本，最初是由于Caffarelli，费用函数，满足曲率条件的马，Trudinger和王。
2012-11-27 math.AP
Linear transport equations for vector fields with subexponentially integrable divergence
在速度场$b$发散的边界可积性假设下，我们讨论了线性输运柯西问题$$\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial t} + b\cdot\nabla u + c\,u = f&(0,T)\times{\mathbb R}^n\\u(0,\cdot)=u_0\in L^\infty&{\mathbb R}^n\end{cases}$$的适定性.对于满足$\frac{|b(x,t)|}{1+|x|}\in L^1(0,T; L^1)+L^1(0,T; L^\infty)$和$$\operatorname{div} b\in L^1(0,T;L^\infty) + L^1\left(0,T; \operatorname{Exp}\left(\frac{L}{\log L}\right)\right),$$的$W^{1,1}_{loc}$向量场$b$，证明了弱解的存在唯一性.此外，最优性表现在以下方式：对于每一个$γ>1$，我们构造了一个例子的有界自治速度场$b$与$$\operatorname{div} b\in \operatorname{Exp}\left(\frac{L}{\log^γL}\right) ,$$，其中相关的柯西问题的输运方程承认无穷多个解决方案。稳定性问题和进一步扩展到$BV$设置也得到解决。
2015-04-16 math.AP
Stochastic transport equations with unbounded divergence
本文研究一类具有非正则系数和无界散度的随机迁移方程解的存在唯一性。在第一个结果中，我们假设漂移是$L^{2}([0,T] \times \R^{d})\cap L^{\infty}([0,T] \times \R^{d})$，发散是局部可积的。在第二个结果中，我们表明，平滑作为一个选择标准时，漂移是在$L^{2}([0,T] \times \R^{d})\cap L^{\infty}([0,T] \times \R^{d})$没有任何条件的分歧。
2021-10-27 math.AP math.PR
Sample Complexity of Quadratically Regularized Optimal Transport
针对最优传输的维度灾难问题，本文证明二次正则化最优传输（QOT）具有参数化样本复杂度，通过分析其耦合支撑集正则性并建立中心极限定理，解决了QOT因势不光滑被认为存在维度灾难的问题。
2025-11-12 math.AP math.OC math.PR
Some remarks on Heath-Brown's theorem on quadratic forms
在他的论文从1996年的二次型希斯-布朗制定了一个版本的圆的方法来计算点的交叉点的无界二次与晶格的短期内，如果每个点都给予一个重量。权函数被假定为$C_0^\infty$ -光滑的，并且在二次曲面的奇异点附近消失。在我们的工作中，我们允许权函数是光滑的，并且在奇异点附近不为零，我们还给出了对权函数的一个显式依赖性。
2021-04-23 math.AP math.NT
Uniform large-scale $\varepsilon$-regularity for entropic optimal transport
本研究针对熵最优传输极小解的正则性，通过构建适用于二次最优传输扰动代价的通用ε-正则性理论，证明了满足梯度BMO型估计的熵极小解在直至熵正则化自然尺度下均保持该估计，并成立C^{2,α}型Morrey–Campanato估计。
2025-01-13 math.AP math.PR
A Bakry-Émery approach to Lipschitz transportation on manifolds
该研究在加权黎曼流形满足特定曲率-维数条件下，通过扩散输运映射证明了权重测度与其对数Lipschitz扰动间存在全局Lipschitz输运映射，并得到Poincaré不等式保持性、Monge映射增长估计等推论。
2024-04-12 math.AP math.FA math.PR
