On Upward Drawings of Trees on a Given Grid
计算一个图的最小面积平面直线图是已知的，是NP-困难的平面图，即使限制到outerplanar图。然而，复杂性问题对树是开放的。在各种约束条件下，如边长或坡度约束，只有少数硬度结果是已知的树的直线图。另一方面，存在用于计算最小宽度的多项式时间算法（分别，树的最小高度）向上的绘图，其中高度（分别，宽度）是无界的。在本文中，我们采取了重大的一步，了解严格向上的树木，这是最常见的风格绘制有根树的面积最小化问题的复杂性。我们证明，给定一个有根树$T$和一个$W\times H$网格，这是NP-难决定是否$T$承认严格向上（无序）的绘图在给定的网格。
2017-08-31 cs.CG
Improved Upper and Lower Bounds for LR Drawings of Binary Trees
在SODA'99中，Chan介绍了一种简单的二叉树平面直线向上保序绘图，称为LR绘图：这种绘图是通过选择根到叶的路径，将路径绘制为直线，并沿着路径递归地绘制子树来获得的。Chan证明了任何具有$n$节点的二叉树都允许LR绘图具有$O(n^{0.48})$宽度。在SODA'17中，Frati、Patrignani和Roselli证明了存在$n$ -节点二叉树族，其中任何LR图都具有$Ω(n^{0.418})$宽度。本文将Chan的上界改进为$O(n^{0.437})$和Frati等人的上界.是$Ω(n^{0.429})$的下限。
2020-08-22 cs.CG
On Monotone Drawings of Trees
一个图的无交叉直线图是单调的，如果在任意一对顶点之间关于某个方向存在单调路径。我们将展示如何构建一个单调的绘图树与$n$顶点上的$O(n^{1.5}) \times O(n^{1.5})$网格的角度接近最佳的角分辨率。我们的图画是凸的，也就是说，如果叶子的每条边都被一条射线代替，（无界的）面就形成凸的区域。众所周知，凸图是单调的，在树的情况下，也没有交叉。一个单调图是强单调的，如果对于每一对顶点，证明单调性的方向来自连接两个顶点的向量。我们表明，每棵树承认一个强单调的绘图。对于双连通外平面图，这很容易看到。另一方面，我们提出了一个简单的连接图，没有一个强单调的绘图在任何嵌入。
2016-04-24 cs.CG
Tree Drawings Revisited
我们取得了进展，一些开放的问题，有关的区域要求绘制树木的网格。我们证明了1。每棵树的大小为$n$（任意大的度）有一个直线图面积为$n2^{O(\sqrt{\log\log n\log\log\log n})}$，改善了长期以来的$O(n\log n)$界; 2.每棵树的大小$n$（具有任意大的度）具有面积为$n\sqrt{\log n}(\log\log n)^{O(1)}$的直线向上图，改进了长期存在的$O(n\log n)$界; 3.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线正交图，改进了Shin，Kim和Chwa（1996）以及Chan，Goodrich，Kassaju和Tamassia（1996）所定义的以前的$O(n\log\log n)$; 4.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线保序图，改进了Garg和Rusu（2003）所定义的先前的$O(n\log\log n)$; 5.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\sqrt{\log n})}$的直线正交保序图，改进了Frati（2007）之前的$O(n^{3/2})$。
2018-03-19 cs.CG
Aligned plane drawings of the generalized Delaunay-graphs for pseudo-disks
我们研究一般Delaunay-图，它是德洛内三角剖分到任意族，特别是伪圆盘的自然推广。证明了对任意有限的伪圆盘族和点集，存在其Delaunay图的平面图，使得每条边位于包含其端点的伪圆盘内。
2020-08-24 cs.CG math.CO
Improved Bounds for Drawing Trees on Fixed Points with L-shaped Edges
令$T$是最大度为4的$n$ -节点树，并且令$P$是平面中没有两个点在同一水平线或垂直线上的$n$点的集合。$T$是否总是在$P$上有一个平面图，以便将每条边绘制为带有一个折弯的正交路径（“L形”边），这是一个悬而未决的问题。通过给出绘制树的新方法，我们改进了点集$P$的大小的界限，这样的绘图是可能的：$O(n^{1.55})$为最大程度4树; $O(n^{1.22})$为最大程度3（二进制）树;和$O(n^{1.142})$为完美的二进制树。绘制有序树的L形边缘是困难的-我们给出了一个例子，不能做的和一个约束的$O(n \log n)$点的L形图纸有序毛毛虫，这与已知的线性约束无序毛毛虫。
2017-09-05 cs.CG
Pole Dancing: 3D Morphs for Tree Drawings
我们研究的问题是否交叉自由的3D变形之间的两个直线图纸的$n$顶点树可以构造由少量的线性变形步骤。我们既研究两个给定图形是二维的情况，也研究它们是三维的情况。在前一种情况下，我们证明了一个无交叉的三维变形总是存在$O(\log n)$步骤，而对于后者$Θ(n)$步骤总是足够的，有时是必要的。
2018-09-03 cs.CG cs.DS math.CO
Low Ply Drawings of Trees and 2-Trees
层数是一个最近发展起来的图形绘制度量的启发研究道路网络。非正式地，对于与平面中的一点相关联的每个顶点v，绘制一个以v为中心的圆盘，其半径为α乘以与v相关的最长边的长度，其中α为（0，0.5]中的某个常数。层数是在单个点重叠的盘的最大数目。我们证明了当α = O（1/Delta）时，任何具有最大度Delta的树都有一个1-ply图。我们还表明，当α = 1/2，树可以绘制对数层数，与一个领域是多项式的有界度树。最后，我们表明，这个对数上限不适用于2-树，给出了一个下界的欧米茄（sqrt（n/log n））ply的任何值的α。
2018-08-10 cs.CG
Morphing tree drawings in a small 3D grid
我们研究了使用3D的平面树绘图的无交叉网格变形。变形由变形步骤组成，其中顶点以恒定速度沿直线轨迹同时移动。在具有$\mathcal{O}(n)$变形步骤的$n$ -顶点平面图$G$的两个绘图之间已知无交叉变形，并且使用第三维度，对于$n$ -顶点树，它可以被简化为$\mathcal{O}(\log n)$ [Arseneva et al. 2019年]。然而，这些变形不限制一个实际参数，分辨率。通过使用第三维度，在保持分辨率在整个变形过程中有界的同时，步骤的数量是否可以大大减少？我们回答这个问题是肯定的，并提出了一个三维非交叉变形之间的两个平面网格绘制的$n$顶点树的$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log n)$变形步骤。每个中间图形位于多项式体积的$3D$网格中。
2021-10-06 cs.CG
Order-preserving drawings of trees with approximately optimal height (and small width)
在本文中，我们研究如何绘制树，使他们是平面的，直线和尊重一个给定的顺序的边缘周围的每个节点。我们专注于最小化高度，并表明我们总是可以实现至多2 pw（T）+1的高度，其中pw（T）（所谓的路径宽度）是高度的已知下限。因此我们给出了一个渐近2-近似算法。我们还创建了一个高度最多为3 pw（T）的图形，但是宽度可以由节点的数量限制。最后，我们构造树，要求高度2 pw（T）+1在所有平面保序直线图。
2016-06-07 cs.CG
Characterizing and Recognizing Twistedness
本文研究简单画法中广义扭曲性的组合刻画与识别，证明 $K_n$ 的广义扭曲性可由所有五顶点子旋转系统判定，并给出 $O(n^5)$ 和 $O(n^2)$ 时间的高效识别算法。
2025-08-22 cs.CG math.CO
Complete combinatorial characterization of greedy-drawable trees
本文给出了最大度为5的贪婪可绘制树的组合刻画，从而实现了贪婪可绘制树的完整组合刻画，并进一步给出了贪婪可绘制伪树的刻画。
2023-11-28 cs.CG math.CO
Drawing a Rooted Tree as a Rooted $y-$Monotone Minimum Spanning Tree
给定一个有根点集$P$，$P$的有根$y-$单调最小生成树（rooted $y-$ MMST）是$P$的生成几何图，其中所有顶点通过某条$y-$单调路连接到根，且其边的欧氏长度之和最小.我们证明了一个有根的$y-$ MMST的最大程度是没有界的常数。我们给出了一个线性时间算法，绘制任何有根树作为一个有根$y-$ MMST，也表明存在有根树，可以绘制为有根$y-$ MMST只有在一个网格的指数区域。
2018-06-12 cs.CG
How Close is a Tree to a Euclidean Minimum Spanning Tree?
Charles University（查理大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）；TU Wien（维也纳工业大学）
研究判定树与欧几里得最小生成树接近程度的问题，刻画了有EMST图的毛毛虫树，给出线性时间判定算法及计算图的方法，还对特定树给出坏对数量上界并构造特殊图。
2026-07-23 cs.CG cs.DM math.CO
Straight-line Orthogonal Drawing of Complete Ternary Tree Requires $O(n^{1.032})$ Area
该研究证明满足子树分离性质的完全三叉树最小面积直线正交绘制具有 $Ω(n^{1.031})$ 下界，并将上界改进为 $O(n^{1.032})$，解决了相关猜想。
2025-06-10 cs.CG
Trees with Convex Faces and Optimal Angles
我们考虑图纸的树木，其中所有的边缘事件的树叶可以扩展到无限射线没有交叉，分割成无限凸多边形的平面。在所有这样的图纸中，我们寻求一个最大化的角度分辨率的图纸。我们发现线性时间算法来解决这个问题，无论是平面树和树没有固定的嵌入。在任何这样的绘图中，可以独立于角度设置边长，而不交叉;我们描述了设置这些长度的多种策略。
2006-07-26 cs.CG
Minimum Height Drawings of Ordered Trees in Polynomial Time: Homotopy Height of Tree Duals
我们考虑图中的平面中的顶点被分配在平面中的不同点和边缘被绘制为简单的曲线连接的顶点，这样的边缘相交，只有在其共同的端点。有一种直观的图形绘制质量度量方法，可以测量图形$ϕ: G \rightarrow \mathbb{R}^2$的高度，如下所示。对于$\mathbb{R}^2$中的垂直线$\ell$，令$\ell$的高度为集合$\ell \cap ϕ(G)$的基数。$G$图形的高度是所有垂直线上的最大高度。在本文中，而不是抽象的图，我们固定的图纸，并考虑平面图。换句话说，我们正在寻找一个平面的同胚，使所得图形的高度最小化。这个问题等价于平面上的同伦高度问题和同伦Fréchet距离问题。这些问题最近被证明是NP问题，但自2009年提出以来，还没有发现多项式时间算法或NP难证明。我们提出了第一个多项式时间算法绘制树的最佳高度。这对应于同伦高度的多项式时间算法，其中三角剖分只有一个顶点（即，一组与单个顶点关联的循环），因此其对偶是树。
2022-03-16 cs.CG cs.DS
Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs
一个图的直线图是单调图，如果每对顶点都有一条在某个方向上单调增加的路，如果单调性的方向由连接两个顶点的线段的方向给出，则称为强单调图。我们提出的算法来计算交叉自由强单调图纸的一些类的平面图，即3-连通平面图，outerplanar图，2-树。3连通平面图的绘制是基于原对偶圆填充的。我们的图纸外平面图是基于一个新的算法，构造强单调图纸的树也是凸的。对于不可约树，这些图是严格凸的。
2016-01-07 cs.CG
Euclidean Greedy Drawings of Trees
贪婪嵌入（或抽取）是无线传感器网络中一种简单有效的消息路由策略。对于贪婪嵌入中的每个源-目的节点对s，t，根据某个距离度量，总有s的邻居u更接近t。对于某些图类，如3连通平面图，在欧几里得平面R^2上存在贪婪嵌入是已知的。我们完全刻画了在R^2中允许贪婪嵌入的树。这回答了Angelini等人（Graph Drawing 2009）提出的一个问题，并且是表征允许欧几里得贪婪嵌入的图的进一步步骤。
2013-06-21 cs.CG
Plane Spanning Trees in Edge-Colored Simple Drawings of $K_n$
Károlyi、Pach和Tóth证明了完全图的每一个2-边着色直线图都包含一棵单色平面生成树。如果此语句推广到其他类别的绘图，特别是完整图形的简单绘图，则它是开放的。这些图形中的边由约旦弧表示，其中任何两个最多相交一次。我们提出了两个部分结果对这样的推广。首先，我们表明，该声明适用于圆柱形简单绘图。(In在圆柱形绘图中，所有顶点都放置在两个同心圆上，并且没有边与任何一个圆相交。）其次，我们引入了一个放松的问题，其中图是$k$ -边着色的，目标结构必须是减色的，也就是说，避免（至少）一个颜色类。在此设置中，我们表明，每$\lceil (n+5)/6\rceil$边着色单调简单的$K_n$绘图包含一个全色平面生成树。(In在单调绘图中，每条边都表示为$x$ -单调曲线。）
2020-08-20 cs.CG cs.DM
Minimum-Width Drawing of Trees with Sized Vertices
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究带重排的树最小宽度绘制问题（MWD），证明其为NP完全问题，提出混合整数线性规划与快速启发式算法，实验显示重排可显著降低绘制宽度，启发式算法效果良好。
2026-07-31 cs.CG
A census of graph-drawing algorithms based on generalized transversal structures
提出两种基于grand-Schnyder woods的线性时间图绘制算法，统一了多种定义在不同平面图类上的已知图绘制算法。
2025-03-01 cs.CG math.CO
Drawing Halin-graphs with small height
本文研究了如何画Halin图，即由树$T$和该树的叶子之间的圈组成的平面图。基于树的绘制算法和路径宽度$ pw(T) $，一个众所周知的图形参数，我们发现的多线图的高度最多$6pw(T)+3\in O(\log n)$。本文还给出了一个直线图的算法，对于Halin-图，最大高度为$12pw(T)+1$，对于Halin-图是立方图，最大高度更小。我们表明，我们的算法实现的高度是最佳的最坏的情况下（即一些Halin图）。
2020-03-31 cs.CG
Offline Drawing of Dynamic Trees: Algorithmics and Document Integration
虽然静态树的算法绘制得到了软件工具的充分理解和支持，但目前很难创建描绘树如何随时间变化的动画：软件支持（如果有的话）没有集成到文件制作工作流程中，算法方法很少考虑时间信息。在制作演示文稿或论文的过程中，大多数用户将通过手动绘制一系列树来可视化搜索树如何随着时间的推移而演变。我们提出了一个扩展的流行的$\TeX$排版系统，允许用户指定动态树内的文件，连同一个新的算法绘制它们。对文档运行$\TeX$，然后生成具有视觉上令人愉悦的嵌入动画的SVG格式的文档。我们的算法在可能的情况下产生满足一组自然美学标准的动画。在消极的一面，我们表明，一个不能总是同时满足所有的标准，并尽量减少他们的违规行为是NP完全的。
2016-08-30 cs.CG cs.DS
Simple Compact Monotone Tree Drawings
该研究针对树的单调绘制问题，提出简单算法，将有根树绘制压缩至n×n网格，同时给出无根有序、无序树的紧凑单调绘制方案，大幅缩小所需网格尺寸。
2025-05-16 cs.CG cs.DM cs.DS
Complexity Analysis of Balloon Drawing for Rooted Trees
在树的气球状绘图中，同一父节点下的所有子节点都放置在以其父节点为中心的圆的圆周上，并且沿着从根节点开始的任何路径以每个节点为中心的圆的半径反映了与该节点关联的后代的数量。在各种风格的树木绘画的文献报道，气球画享有一个理想的特点，显示树结构在一个相当平衡的方式。对于引出序号图形中的每个内部节点，从该节点到其子节点的射线将容纳以该子节点为根的子树的楔形划分为两个子楔形。根据是否要求两个子楔角相同，气球图可以进一步分为两种类型：均匀子楔型和不均匀子楔型。在最一般的情况下，对于树中的任何内部节点，有两个自由度维度会影响引出序号图形的质量：（1）更改节点的子节点在图形中出现的顺序，以及（2）对于以节点的每个子节点为根的子树，翻转子树的两个子楔形。本文从角度分辨率、纵横比和角度标准差等方面，对有根树气球图的优化问题进行了复杂性分析，并根据树是均匀子楔型还是不均匀子楔型，以及是否允许上述（1）和（2）两种情况，给出了不同的绘制情况。事实证明，有些是NP完全的，而另一些可以在多项式时间内解决。我们还推导出近似算法的那些是棘手的一般。
2010-04-14 cs.CC cs.CG cs.DS
Empty Triangles in Generalized Twisted Drawings of $K_n$
简单绘图是在平面或球面上绘制图形，使得顶点是不同的点，边是连接其端点的约旦弧，并且边最多相交一次（在适当的交叉或共享端点中）。如果有一个点$O$，使得从$O$发出的每条射线最多穿过图形的每条边一次，并且有一条从$O$发出的射线恰好穿过每条边一次，则简单图形是广义扭曲的。我们证明了$K_n$的所有广义扭曲绘图都精确地包含$2n-4$空三角形，从而朝着证明以下猜想迈出了实质性的一步：对于$K_n$的每个简单绘图都是这种情况。
2022-08-11 cs.CG
Mutual Witness Proximity Drawings of Isomorphic Trees
本文证明任意两棵同构树在任意β邻近规则下均存在互见证邻近绘制，并构造了鲁棒性修剪方法及线性可分离的Gabriel绘制。
2023-09-04 cs.CG
How to Morph a Tree on a Small Grid
本文研究了树的直线平面网格图之间的平面变形。变形由一系列变形步骤组成，其中在变形步骤中，顶点以恒定速度沿着直线轨迹移动。我们将展示如何构建平面变形，同时实现变形步骤和多项式有界的决议减少。我们假设初始和最终的图纸都位于网格上，并且我们确保每个变形步骤都会产生网格图纸;此外，我们考虑了向上绘制的有根树和任意树的图纸。
2019-09-27 cs.CG cs.DM cs.DS
Bipartite and Series-Parallel Graphs Without Planar Lombardi Drawings
我们发现一个家庭的平面二部图所有的Lombardi图纸（图纸与圆弧的边缘，满足在顶点的等角）是非平面的。我们还发现家庭的嵌入式串并行图和顶点树（图形形成的添加一个顶点到一棵树），其中没有平面Lombardi绘图与给定的嵌入一致。
2019-08-08 cs.CG
Hypergraphs as Metro Maps: Drawing Paths with Few Bends in Trees, Cacti, and Plane 4-Graphs
University of Konstanz（康斯坦茨大学）；TU Munich, Heilbronn（慕尼黑工业大学海尔布隆分校）；BITS Pilani, K K Birla Goa Campus（比拉理工学院Pilani校区，K K 比尔拉果阿校区）
本文研究了如何在树、草图和平面4-图中以最少弯数绘制路径，提出了一种优化方法以减少路径的弯数并提高绘制效率。
2025-11-27 cs.CG
On Self-Approaching and Increasing-Chord Drawings of 3-Connected Planar Graphs
如果在从$s$到曲线上的任何点$t'$的相应曲线的遍历期间，到$t'$的距离不增加，则图的绘图中的$st$路径是自逼近的。如果一条路径在两个方向上都是自接近的，那么它的和弦就增加了。如果任意一对顶点之间有自逼近（增弦）路径相连，则称该图为自逼近（增弦）图.本文研究了三角剖分图和3连通平面图的自逼近和增弦图.我们表明，在欧几里德平面，三角承认增加弦图纸，平面3树，我们可以确保平面性。我们证明了强单调（从而增加弦）图纸的树木和二元仙人掌需要指数分辨率在最坏的情况下，回答了一个开放的问题Kindermann等人。[GD'14]。此外，我们提供了一个二进制仙人掌，不承认一个自我接近的绘图。最后，我们证明了3-连通平面图在双曲平面上允许增弦图，并刻画了允许增弦图的树。
2014-12-04 cs.CG
Tree Drawings with Columns
本文研究在垂直列上叠加绘制树以可视化额外数据维度的问题，提出最小化交叉数的算法，证明最严格变体可在 FPT 时间内解决，而宽松变体为 NP 难，并给出相关 FPT 及近似算法。
2023-09-04 cs.CG cs.DM
Drawing (Complete) Binary Tanglegrams: Hardness, Approximation, Fixed-Parameter Tractability
一个\emph{binary tanglegram}是一个图的一对根二叉树的叶子集是一对一的对应关系;匹配的叶子是由树间的边缘连接。对于应用，例如，在遗传学中，重要的是两棵树都没有边交叉，并且树间边具有尽可能少的交叉。众所周知，找到一个具有最小交叉数的缠结图是NP-困难的，并且这个问题是固定参数的。证明了在唯一博弈猜想下，二叉树不存在常数因子近似。我们表明，这个问题是NP-难的，即使两棵树是完全二叉树。对于这种情况下，我们给出了一个$O(n^3)$ -时间2-近似和一个新的，简单的固定参数算法。我们表明，二元树的对偶问题的最大化版本可以减少到一个版本的MaxCut的算法的Goemans和Williamson产生一个0.878近似。
2010-09-16 cs.CC cs.CG
On the edge-length ratio of 2-trees
我们研究平面直线图，最小化的最长和最短边的长度之间的比率。我们回答一个问题的拉扎德等人。[理论。Comput. Sci. 770（2019），88- 94]，并且对于任何给定的常数$r$，我们提供了一个$2$树，它不允许具有由$r$限定的比率的平面直线绘图。当该比值仅限于相邻边时，我们证明了对于任意小的$\varepsilon > 0$，任何$2$ -树都有一个边长比至多为$4 + \varepsilon$的平面直线图，因此部分$2$ -树的局部边长比的上界为$4$ .
2020-08-20 cs.CG
Twisted Ways to Find Plane Structures in Simple Drawings of Complete Graphs
简单绘图是图的绘图，其中的边是约旦弧，并且每对边最多共享一个点（一个适当的交叉点或一个公共端点）。我们引入一种特殊的简单绘图，我们称之为广义扭曲绘图。如果存在一个点$O$，使得从$O$发出的每条射线最多穿过图形的每条边一次，并且存在从$O$发出的射线恰好穿过每条边一次，则简单图形被广义扭曲。通过这类新的简单绘图，我们证明了具有$n$顶点的完全图的每一个简单绘图都包含$Ω(n^{\frac{1}{2}})$两两不相交的边和长度为$Ω(\frac{\log n }{\log \log n})$的平面路。这两个结果改善了以前已知的最佳下限。同时给出了广义扭转图的若干结构性结果和性质.我们进一步提出了不同的广义扭曲的图纸，这可能是独立的利益。
2022-03-11 cs.CG
Drawn Tree Decomposition: New Approach for Graph Drawing Problems
针对图绘制领域标准参数常导致难解、缺乏通用参数化算法设计方法的问题，本研究提出新型绘制树分解及对应参数，可推导XP时间算法，应用于多个核心图绘制问题，还可得到次指数算法并明确了与其他宽度度量的关系。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Binary Tanglegrams: An Experimental Evaluation
二叉缠结图是一对<S，T>二叉树，其叶集一一对应;匹配的叶由树间边连接。对于应用，例如在遗传学或软件工程中，需要绘制无交叉的个体树。一个自然的优化问题，表示tanglegram布局问题，因此，以尽量减少交叉之间的树边缘的数量。tanglegram布局问题是一个NP难问题，目前在应用领域和理论上都得到了广泛的研究。在本文中，我们提出了一个实验比较的递归算法的Buchin等人，我们的变种，他们的算法，算法层次排序的霍尔滕和范维克，和一个整数二次规划，产生最佳解决方案。
2008-06-05 cs.CG cs.DS
A pair of trees without a simultaneous geometric embedding in the plane
任何平面图在平面内都有一条不相交的直线。两个n-顶点图的同时几何嵌入是两个图在一个公共的n个点的集合上的直线绘制，使得每个单独的图内的边不交叉。我们考虑同时嵌入两个标记的树，与预先描述的顶点对应，并提出了这样一个对不能嵌入的实例。此外，我们提供了一个平面图的例子，不能嵌入在一起的路径时，顶点对应。
2005-11-01 cs.CG
Tangling and Untangling Trees on Point-sets
针对拓扑图论与图绘制交叉问题，提出缠绕-解缠绕方法构造树在点集上的指定交叉数绘制，保证常数曲线复杂度，给出一般树$O(n^2)$、路径$O(n\text{log}n)$时间算法，还可计算RAC绘制。
2025-08-25 cs.CG
Delta-confluent Drawings
我们将树汇合图推广到更广泛的一类图，称为Delta汇合图。这类图和距离遗传图，一类著名的图，重合。最后给出了Delta-合流图可视化的一些结果。
2005-10-11 cs.CG
Exploring Increasing-Chord Paths and Trees
图$G=(V,E)$的直线图$Γ$是$G$在欧几里得平面中的图，其中$G$中的每个顶点被映射到不同的点，并且$G$中的每个边被映射到它们的端点之间的直线段。$Γ$中的路径$P$被称为递增弦，如果对于$P$上的每四个点（不一定是顶点）$a,b,c,d$按此顺序，$b,c$之间的欧几里得距离至多是$a,d$之间的欧几里得距离。以$Γ$中某个顶点$r$为根的生成树$T$称为增弦树，如果$T$包含从$r$到$T$中每个顶点的增弦路径。本文证明了给定直线图$Γ$中的一个顶点$r$，判定$Γ$是否包含以$r$为根的增弦生成树是NP完全的.我们猜想寻找$Γ$中的一对顶点之间的增弦路径，这是Alamdari等人提出的一个有趣的开放问题，也是NP完全的，并显示出（非多项式）减少从3-SAT问题。
2017-07-01 cs.CG
Layout of Graphs with Bounded Tree-Width
图的\emph{queue layout}由顶点的总序和将边划分为\emph{queues}组成，使得同一队列中没有两条边嵌套。图的队列布局中的最小队列数是其\emph{queue-number}。图的\emph{three-dimensional (straight-line grid) drawing}用$\mathbb{Z}^3$中的点表示顶点，用不相交的线段表示边。本文得到三个主要结果：（1）证明了图$G$的某类三维图的最小体积与图$G$的最小数密切相关。特别地，如果$G$是一个真次闭图族（如平面图）的$n$ -顶点成员，则$G$有一个$O(1)\times O(1)\times O(n)$图当且仅当$G$有O（1）的图数。(2)证明了树数的有界性，从而解决了Ganley和Heath（2001）的一个公开问题，并反驳了Pemmaraju（1992）的一个猜想.这一结果提供了新的希望，积极解决一些开放的问题，排队布局理论。(3)证明了树宽有界的图具有体积为O（n）的三维图。这是已知的最一般的图形族，允许具有O（n）体积的三维绘图。证明依赖于我们关于图的\emph{track layouts}和\emph{tree-partitions}的结果，这可能是独立的兴趣。
2004-06-16 cs.CG cs.DM
Two-Layer Drawings with a Tree on Top: Vertex Splits and Fixed-Parameter Algorithms
TU Wien（维也纳工业大学）；Univ Rennes（雷恩大学）
研究两层图绘制中顶点分裂问题的扩展，其中一层顶点顺序受辅助树\(T\)约束。贡献为给出关于分裂数\(k\)及\(T\)最大度的固定参数算法，还改进经典无约束版本算法，并通过实现验证算法在实践中的良好表现。
2026-07-28 cs.CG cs.DS
Pinning Balloons with Perfect Angles and Optimal Area
我们研究的问题，安排一组$n$磁盘上的$n$射线从原点发出的规定半径，使两个相邻的射线被分开的角度$2π/n$。圆盘的中心必须位于射线上，不允许有两个圆盘中心位于同一条射线上。我们要求圆盘具有不相交的内部，并且对于每一条射线，原点和其关联圆盘的边界之间的线段都避开圆盘的内部。令$\r$为圆盘半径之和。我们引入了一个贪婪的策略，构建这样一个磁盘的安排，可以覆盖一个磁盘中心的原点，其半径最多为$2\r$，这是最好的可能。算法复杂度为O（n）。作为我们的结果的应用，我们提出了一个算法嵌入无序树与直线和完美的角分辨率，使它可以覆盖半径$n^{3.0367}$的磁盘，而没有边的长度小于1。树绘制算法是Duncan等人[Symp.的GraphDrawing，2010]，其利用重边树分解技术来构造可以用半径为$2 n^4$的圆盘覆盖的树的绘图。
2011-09-08 cs.CG
Self-Approaching Graphs
在本文中，我们介绍了自逼近图绘图。一个图的直线图是自逼近的，如果对于任何原点s和任何终点t，图中存在st-路，使得对于路径上的任何点q，当点p沿着从原点到q的路径连续移动时，从p到q的欧氏距离总是减小。这是一个比贪婪绘图（仅路径上的顶点与目标顶点之间的距离必须减小）更严格的条件，并保证绘图是5.33-n。我们研究三个主题：（1）识别自逼近图;（2）构造给定图的自逼近图;（3）构造连接给定点集的自逼近Steiner网络。我们证明：（1）在R^2和R^3中有有效的算法来检验多边形路径是否是自逼近的，但检验R^3中给定的图是否有自逼近的uv路径是NP难的;（2）我们可以刻画有自逼近图的树;（3）对于平面上任意给定的端点集，我们可以找到一个线性规模的网络，该网络在任意有序的端点对之间具有自逼近路径。
2013-06-23 cs.CG
