Poly-Cauchy numbers -- the combinatorics behind
Beáta Bényi, José Luis Ramírez
我们引入了由多柯西数枚举的多柯西置换。我们提供组合证明几个身份涉及多柯西数和他们的一些推广。这项工作的目的是展示的权力和美丽的基本组合方法。
We introduce poly-Cauchy permutations that are enumerated by the poly-Cauchy numbers. We provide combinatorial proofs for several identities involving poly-Cauchy numbers and some of their generalizations. The aim of this work is to demonstrate the power and beauty of the elementary combinatorial approach.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multiparameter poly-Cauchy and poly-Bernoulli numbers and polynomials
最近，Komastu引入了poly-Cauchy数和多项式的概念，推广了Cauchy数和多项式。本文介绍了poly-Cauchy和poly-Bernoulli数及多项式的新推广。此外，我们还介绍了柯西数和多项式的新的推广。此外，我们还得到了一些涉及新数和多项式的恒等式以及一些类型的Stirling数。这些结果推广了多项式Cauchy数和多项式Bernoulli数与多项式的关系。此外，我们还得到了多参数poly-Cauchy数和多项式与新的多参数poly-Bernoulli数和多项式之间的一些关系。
The Combinatorics of Associated Laguerre Polynomials
相关的拉盖尔多项式的显式双和导出组合。使用一定的统计排列和排列表的时刻。仅使用矩母函数来提供双和的另一推导。
Enumerative combinatorics on determinants and signed bigrassmannian polynomials
作为线性代数在计数组合学中的应用，我们引入了两个新的概念：符号bigrassmannian多项式和bigrassmannian行列式。首先，一个带符号的bigrassmannian多项式是一个变量的统计量，由以下排列的bigrassmannian排列的数量在Bruhat顺序阅读建议（2002年）和后来的作者开发（2011年）。第二，bigrassmannian行列式是关于我们的统计量的行列式的$q$ -模拟。它对这些多项式的行列式表达式起着关键的作用。作为Dodgson，Jacobi-Desnanot和Robbins-Rumsey（1986）的推广，我们进一步证明了bigrassmannian行列式满足加权凝聚.
A new shift operator-based polynomial method in additive combinatorics
本文提出基于移位算子的新多项式方法，统一并简化了Alon组合零点定理与Croot-Lev-Pach方法等结果，并展望了未来应用方向。
Explicit Formulae of Cauchy Polynomials with a $q$ Parameter in Terms of $r$-Whitney Numbers
最近定义了带$q$参数的Cauchy多项式，并研究了它的一些算术性质.本文利用第一类$r$ -Whitney数建立了计算含$q$参数的Cauchy多项式的显式公式.我们还得到了一些性质和组合恒等式。
Combinatorics of the K-theory of affine Grassmannians
我们引入了一个家庭的表，同时推广用于表征格罗滕迪克多项式和k-舒尔函数的表。我们证明了从这些表中得出的多项式是仿射Grothendieck多项式和k-K-Schur函数--仿射Grassmannian及其对偶的K-理论在诣零Hecke环中的Schubert代表。我们证明了一些组合属性，包括皮耶里规则。
Dual Schubert polynomials via a Cauchy identity
本文通过组合证明建立了Postnikov-Stanley对偶舒伯特多项式公式与经典柯西恒等式的等价性，从而为Huang和Pylyavskyy的插入算法提供了自然解释。
Combinatorics of poly-Bernoulli numbers
${\mathbb B}_n^{(k)}$ poly-Bernoulli数--经典Bernoulli数（$B_n={\mathbb B}_n^{(1)}$）的自然推广--由Kaneko于1997年引入。当参数$k$为负数时，则${\mathbb B}_n^{(k)}$是非负数。Brewbaker是第一个给出这些数字的组合解释。他证明，${\mathbb B}_n^{(-k)}$计数所谓的lonesum $0\text{-}1$矩阵的大小为$n\times k$。还提出了其他几种解释。我们调查这些并给出新的。例如，我们的新解释对金子的多伯努利数递归公式给出了一个透明的组合解释
Combinatorics behind discriminants of polynomial systems
本文提出了一种基于多面体的组合结构BK集，用于研究多项式系统判别式的组合学基础，并推广了经典判别式理论。
A Lattice Model for Super LLT Polynomials
我们介绍了一个可解的晶格模型超对称LLT多项式，也被称为超级LLT多项式，基于粒子的相互作用在超n-带状tableaux。利用Fock空间上的算子，证明了超LLT多项式的一个Cauchy恒等式，同时推广了LLT多项式的Cauchy恒等式和对偶Cauchy恒等式。最后，我们用一个令人惊讶的杨-巴克斯特方程构造了一个可解的半无限柯西格点模型，并研究了它与柯西恒等式的关系。
The combinatorics of associated Hermite polynomials
我们开发了一个组合模型的相关埃尔米特多项式和他们的时刻，并证明了他们的正交性与反号对合。我们发现组合解释的时刻作为完整的匹配，连接完整的匹配，振荡tableaux，和有根地图，并显示这些对象之间的重量保持双射。还导出了几个恒等式、线性化公式、矩母函数和第二个组合模型。
Combinatorics of orthogonal polynomials on the unit circle
本文从组合视角研究单位圆上正交多项式的矩，给出三种路径解释，并据此推导圆Jacobi与Rogers–Szegő多项式的广义矩显式公式，还引入并解释了广义线性化系数。
On the combinatorics of symmetrized poly-Bernoulli numbers
本文介绍了对称化多伯努利数的三种组合模型。基于我们的模型，我们得到了一些身份的推广poly-Bernoulli数。最后，我们提出了有待解决的问题和进一步研究的方向。
Analytic combinatorics of coordination numbers of cubic lattices
研究了立方格的配位数，重点研究了立方格的配位数的解析性质，包括配位矩阵的全正性、配位多项式的零点分布、配位多项式系数的渐近正态性、配位数的对数凸性和对数凸性.
Degenerate Hurwitz-Lerch Type Families of Poly-Bernoulli and Poly-Cauchy Numbers with Parameters $(α,a)
引入带参数 $(\alpha,a)$ 的退化 Hurwitz-Lerch 型多 Bernoulli 和多 Cauchy 数族，通过生成函数和退化 Stirling 数给出显式公式，推广了经典结果。
Combinatorics of orthogonal polynomials of type $R_I$
给出了$R_I$型正交多项式的一个组合理论。成分包括加权广义Motzkin路径，矩，连分数，行列式和历史。给出了Askey方案中的几个显式例子。
Symmetrized poly-Bernoulli numbers and combinatorics
Poly-Bernoulli数是经典Bernoulli数的推广。由于负指数poly-Bernoulli数是一个整数，从组合的角度研究这一数是一个有趣的问题。本文给出了对称化多伯努利数与Dumont-Foata多项式之间的一个新的组合关系。
Averaging method in combinatorics of symmetric polynomials
本文提出对幂和变量的Schur函数Cauchy恒等式进行平均的方法，该方法类似Borel变换但改变Young图求和的组合因子，为已知恒等式提供统一视角。
Macdonald polynomials and operators and Catalan Combinatorics
我们的主要目的与这些说明是介绍的组合和对称函数工具，涉及到描述的庞加莱多项式的三重分级Khovanov-Rozansky同源的环面链接，又名。这些链接的（简化）超多项式。
The Combinatorics of Al-Salam-Chihara $q$-Laguerre polynomials
我们描述了各个方面的铝萨拉姆Chihara $q$拉盖尔多项式。这些包括多项式的组合描述，矩，正交关系和线性化系数的组合解释。值得注意的是，相应的时刻序列也出现在最近的工作Postnikov和威廉姆斯计数完全积极格拉斯曼细胞。
On Certain Recurrence Relations for Generalized Poly-Cauchy Numbers and Polynomials
该研究引入广义m-多重柯西数与多项式的概念，推导得出广义多重柯西数与多项式的递推关系，并进一步探讨了与之相关的广义m-多重伯努利数与多项式。
Formulas involving Cauchy polynomials, Bernoulli polynomials, and generalized Stirling numbers
本文建立 Cauchy 数与多项式同多种特殊数和多项式的新恒等式，研究其高阶导数与 poly-Cauchy 推广，并提出统一的多参数框架。
Combinatorics of Continuants of Continued Fractions with 3 Limits
我们给出了一般连分数的连续项的组合描述，这些连续项发散到三个极限。等同于这些通常的组合描述由于欧拉，西尔维斯特，和明诱导非平凡的多项式身份。特殊情况和应用计数序列。
On Some Quadratic Algebras I $\frac{1}{2}$: Combinatorics of Dunkl and Gaudin Elements, Schubert, Grothendieck, Fuss-Catalan, Universal Tutte and Reduced Polynomials
研究了与动力学经典和经典杨-巴克斯特方程有关的二次代数的一些组合性质和代数性质。人们可以在扩展摘要中找到有关本论文内容的更多细节。
Collections of cells, binomial ideals and combinatorics
本文介绍了一个用于处理细胞集合、多细胞及相关二项式理想的新工具，拓展了组合学与代数几何的研究方法。
Combinatorics of the Lipschitz polytope
令$ρ$是集合$X=\{1,2,\dots,n+1\}$上的度量。考虑满足条件$f(n+1)=0$，$|f(x)-f(y)|\leq ρ(x,y)$的函数$f:X\rightarrow \mathbb{R}$的$n$维多面体.根据这个多面体的组合对度量分类的问题最近由A。M. Vershik \cite{V}。我们证明，对于任何“通用”度量的$(n-m)$维的面，$0\leq m\leq n$，等于$\binom{n+m}{m,m,n-m}=(n+m)!/m!m!(n-m)!$。这一事实与根多面体（$A_n$根系的根的凸包）的正则三角剖分密切相关。此外，我们得到双侧估计的对数的Vershik类的度量：$n^3\log n$从上面和$n^2$从下面。
Separation of variables and combinatorics of linearization coefficients of orthogonal polynomials
提出了一种新的正交多项式线性化系数问题的组合解释方法。我们首先建立一个差分系统，然后用分离变量法分离变量法进行组合和解析求解。我们说明了我们的方法，将其应用到确定完美匹配，排列，和其他加权置换问题的数量。变量分离技术自然导致组合数的整表示，其中被积函数包含一种或多种类型的正交多项式的乘积。这也建立了这种积分的正性。
Blurred combinatorics in resolution of singularities: (a little) beyond the characteristic polytope
本文为代数超曲面引入 Newton-Hironaka 多面体的扰动变体，由实数参数化，在参数值合适时接近原多面体，并提供不依赖参数选择的额外信息。
Topology of spaces of hyperbolic polynomials and combinatorics of resonances
本文研究了$n$次一元双曲多项式空间的自然分层中以数划分$λ$为指标的分层的拓扑。证明了在$λ$中去除独立块或独立关系的稳定性定理。我们还证明了收缩性的一点紧化的地层指数的一大类的数分区，包括$λ=(k^m,1^r)$，为$m\geq 2$。此外，我们还研究了地层的同调群之间的映射，这些映射是通过在数划分$λ$上施加额外的关系（共振）或通过合并$λ$的一些块而引起的。
Algebraic combinatorial geometry: the polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory
算术组合学经常关注的问题是，在一个群或环中，关于算术运算（如加法或乘法）的任意有限集的行为的边界。类似地，组合几何通常关注的问题是约束几何对象（如点、线或圆）的任意有限集合相对于几何运算（如关联或距离）的行为。由于这些问题中存在任意有限集，用于攻击这些问题的方法主要是组合的性质。然而，近年来，这些问题中的许多悬而未决的问题已经通过代数手段（更具体地说，使用代数几何和/或代数拓扑的工具）得到解决，从而产生了一套新兴的技术，现在被称为多项式方法。虽然多项式方法的各种实例已经知道了几十年（如Stepanov方法、组合零点定理或Baker定理），这种方法的一般理论尚处于成熟过程中;特别是多项式方法的局限性还没有被很好地理解，并且仍然有相当大的范围来应用来自代数几何或代数拓扑的更深入的结果以进一步加强该方法。在本调查中，我们提出了这些方法的几个已知的应用程序，重点放在最简单的情况下来说明的技术。我们将尽可能少地假设代数几何的先验知识。
Combinatorics of generalized orthogonal polynomials of type $R_{II}$
本文将Kim和Stanton关于类型R_I正交多项式矩的组合模型推广到类型R_{II}，并通过放宽条件定义广义类型R_{II}正交多项式，证明了一个统一多种正交多项式矩组合模型的主定理。
The Combinatorics of Directed Planar Trees
我们给出了多面体的一个几何实现，它由具有余内积的结合代数的结构所支配，或者更精确地说，由有向平面树所支配。我们明确实现这些多面体，其中包括associahedra在一个特殊的情况下，特别表明，这些多面体同胚球。我们还计算了最低广义结合面体的顶点数，给出了适当的推广的Catalan数。
Rational Combinatorics
我们提出了一个类别设置的组合学的研究有理数。我们发现组合解释的伯努利和欧拉数和多项式。
Groupoids in combinatorics -- applications of a theory of local symmetries
组合群胚理论的一个目标是在单纯（多面体）复形、偏序集、图、多面体、排列和其他组合对象的上下文中引入诸如“完整性”、“平行输运”、“丛”、“组合曲率”等概念。在本文中，我们给出了一些目前最活跃的研究主题在这一领域的阐述，提供了一个统一的观点，并提供了一个列表，在其他领域的应用前景，以及相关的开放问题的集合。
Software for enumerative and analytic combinatorics
我们调查了一些通用的符号软件包，实现算法从枚举和分析组合。软件为以下领域包括：基本的组合对象，符号组合学，波利亚理论，组合物种和渐近。我们描述了软件包提供的功能以及使用的一些算法，并提供了原始文档的链接。大多数软件包都可以从网上免费下载。
Combinatorics and Genus of Tropical Intersections and Ehrhart Theory
令$g_1, ..., g_k$是具有牛顿多面体$P_1, ..., P_k$的$n$变量的热带多项式。研究了由$g_1, ..., g_k$定义的热带超曲面的交的组合问题，如$f$ -向量、无界面的个数和（曲线的情况下）亏格.我们的出发点是维格兰的工作谁认为特殊情况下$k=n-1$和所有牛顿多面体是标准的单纯形。我们将这些结果推广到任意$k$和任意Newton多面体$P_1, ..., P_k$。这提供了新的公式的面数和混合体积方面的亏格。通过建立一些方面的混合版本的Ehrhart理论，我们表明，属的热带相交曲线等于属的复曲面相交曲线对应于相同的牛顿多面体。
Polyhedral combinatorics of bisectors
本文研究任意多面体范数下两点平分线的组合结构，引入二分锥与二分扇概念，证明二维情形下二分扇总存在，并确定若干具体范数下的二分扇，进而给出平分线组合复杂度的界。
Geometric Combinatorics of Polynomials I: The Case of a Single Polynomial
有许多不同的代数，几何和组合的对象，可以附加到一个复杂的多项式与不同的根。在这篇文章中，我们介绍了一个新的对象，编码许多现有的对象，以前出现在文献中。具体地说，对于每个具有$d$不同根且次数至少为2的复多项式$p$，我们产生一个规范的紧凑平面2-复形，它是瓦片相图的紧凑度量版本。它有一个局部CAT（0）度量，该度量与由$p$的临界点索引的有限内点集局部欧氏距离，并且它的每个2-胞是一个度量矩形。从这个平面矩形2-复形中，我们可以使用度量图（称为度量仙人掌和度量榕树）来读出几段组合数据：分划格中的链、d-圈的循环因式分解、实非交叉分划（也称为本原d-较多）以及多项式的单值置换。这篇文章是一个系列的第一篇。
Combinatorics of semi-toric degenerations of Schubert varieties in type C
本文利用带自相交的pipe dream为C型辛Gelfand-Tsetlin多面体的Schubert类推广引入组合模型，并证明该推广可由斜有丝分裂算子构造。
On Combinatorics of the Arthur Trace Formula, Convex Polytopes, and Toric Varieties
本文从扇与多面体出发构造组合截断函数，证明其积分的收敛性与多项式性，推广了Arthur迹公式、Ehrhart多项式及Langlands引理，并给出环面簇上的几何解释。
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