On minimal doubly resolving sets in graphs
连通图G的两个顶点u，v被x，y \in V（G）双重可解，如果d（v; x）-d（u; x）\neq d（v; y）-d（u; y）：图G的顶点集W是G的双重可解集，如果G的每两个不同的顶点都被W的某两个顶点双重可解.图G的双可解集的最小基数是G的最小基数。本文的目的是研究图的双可解集。利用G的阶和直径得到了G的一个上界.计算了一些重要图的图G的性质，刻画了所有具有性质G =n-1的n阶图G.
2021-08-12 math.CO
Fault-Tolerant Metric Dimension of $P(n,2)$ with Prism Graph
设$G$是一个连通图，$d(a,b)$是顶点$a$和$b$之间的距离。顶点的子集$U =\{u_1,u_2,\cdots,u_k\}$称为$G$的分解集，如果对于每两个不同的顶点$a,b \in V(G)$，存在顶点$u_ξ\in U$使得$d(a,u_ξ)\neq d(b,u_ξ)$。一个包含最小顶点数的分解集称为$G$的度量基，度量基中的顶点数是它的度量维数，记为$dim(G)$。如果对于每个$u \in U$，$U \setminus \{u\}$也是一个解析集，并且$G$的容错度量维数是这样一个集的最小基数，则$G$的解析集$U$是容错的。本文利用棱柱图研究了$P(n,2)$的容错度量维数。
2018-11-14 math.CO
On the minimum doubly resolving set problem in line graphs
East China Normal University（华东师范大学）
本文研究了线图中最小双重分辨集问题，证明了其计算难度，并给出了界值和树结构下的精确解法。
2026-01-29 math.CO math.OC
A study of a combination of distance domination and resolvability in graphs
对于$k \geq 1$，在图$G=(V,E)$中，如果$V\setminus D$中的任一顶点与$D$中的某个顶点的距离至多为$k$，则顶点集$D$是$G$的距离$k$ -控制集. $G$的距离$k$ -控制集的最小基数是距离$k$ -控制数，记为$γ_k(G)$。一个有序顶点集$W=\{w_1,w_2,\ldots,w_r\}$是$G$的一个分解集，如果对于$V\setminus W$中的任意两个不同顶点$x$和$y$，存在$1\leq i\leq r$，使得$d_G(x,w_i)\neq d_G(y,w_i)$ . $G$的分解集的最小基数是图$G$的度量维数，用$dim(G)$表示。本文引入了距离$k$ -分解控制集，它是$V$的一个子集，它既是距离$k$ -控制集，又是$G$的一个分解集。$G$的距离$k$ -分解控制集的最小基数称为距离$k$ -分解控制数，记为$γ^r_k(G)$ .我们给出了$γ^r_k(G)$ some的度量维数$dim(G)$和距离$k$ -控制数$γ_k(G)$的几个界.当$G$是路径或循环时，我们确定$γ^r_k(G)$。然后，我们刻画了$n$阶连通图的特征，其中对于$k\geq 2$，$γ^r_k(G)$等于$1$，$n-2$和$n-1$。然后，我们为所有$k\geq 2$构建实现所有可能的三重组$(dim(G),γ_k(G),γ^r_k …
2022-08-17 math.CO
Computing Minimal Doubly Resolving Sets and the Strong Metric Dimension of the Layer Sun Graph and the Line Graph of Layer Sun Graph
设$G$是一个阶至少为2的有限连通图，其顶点集为$V(G)$，边集为$E (G)$ .图$G$的顶点集$S$是$G$的双可解集，如果$G$的每两个不同的顶点都被$S$的某两个顶点双可解.图$G$的最小顶点双可分解集是具有最小基数的双可分解集，用$ψ(G)$表示。本文首先构造了一类阶为$2n+ Σ_{r=1}^{k-2}nm^{r}$的图，记为$LSG(n,m, k)$，并称这类图为带参数$n$，$m$和$k$的层Sun图.此外，我们还计算了层Sun图$LSG(n,m, k)$和层Sun图$LSG(n,m, k)$的线图的最小双可解集和强度量维数.
2020-09-18 math.CO
On the Metric Dimension of Cartesian Products of Graphs
一个图G中的顶点集S解G，如果每个顶点都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。G的度量维数是G的一个分解集的最小基数。本文研究了笛卡儿积G*H的度量维数。我们证明了G*G的度量维数在强意义上与G中所谓的双可解集的最小阶有关。利用双可解集的阶的界，我们对G和H的许多例子建立了G*H的界。我们的主要结果之一是一类度量维数有界的图G，且G*G的度量维数是无界的。
2006-03-02 math.CO
New results on metric-locating-dominating sets of graphs
一个图的控制集$S$是一个度量定位控制集，如果图的每个顶点与$S$中元素的距离是唯一可区分的，这样一个控制集的最小基数称为度量定位控制数。在本文中，我们进行了一项研究，在一般图和特定族中，将度量定位控制集与其他特殊集：分解集、控制集、定位控制集和双重分解集联系起来。我们首先根据树的度量-位置-控制数与度量维数和控制数之间的关系刻画了树类。然后，我们给出了度量定位控制集到定位控制集和双可解集的不同转化方法。我们的方法产生新的界限上的最小基数的所有这些集，其中一些涉及的参数还没有相关到目前为止。
2016-04-13 math.CO
Characterization of Randomly k-Dimensional Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),.,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的最小分解集是$G$的基，其基数是$G$的度量维度。连通图$G$的分解数是最小$k$，使得$G$的每个$k$ -顶点集都是分解集.一个连通图$G$称为随机$k$ -维图，如果$G$的每个$k$ -顶点集是一个基.本文结合随机$k$ -维图的一些性质，证明了至少有两个顶点的连通图$G$是随机$k$ -维的当且仅当$G$是完全图$K_{k+1}$或奇圈.
2011-03-18 math.CO
Resolving Open Problems on the Euler Sombor Index
本文针对 Khanra 和 Das 提出的 Euler Sombor 指数开放问题，确定固定阶数与围长的单圈图及连通图的最小 $EUS$ 与极值结构，并分类固定阶数和叶子数时的最大 $EUS$ 连通图。
2025-07-23 math.CO
Maker-Breaker resolving game
一个图$G$的顶点集$W$是一个分解集，如果$G$的每个顶点都由它到$W$的距离向量唯一确定。本文介绍了庄家-庄家化解对策。游戏在图$G$上进行，由Resolver和Spoiler交替选择尚未选择的$G$的顶点。如果解析者选择的顶点在某个点形成$G$的解析集，则解析者获胜;如果解析者不能形成$G$的解析集，则剧透者获胜。游戏的结果分别用$o(G)$和$R_{\rm MB}(G)$表示。$S_{\rm MB}(G)$）表示解析器的最小移动次数（分别破坏者）赢得时，解析器有第一步。当剧透拥有第一步时，游戏的相应不变量由$R'_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$表示。不变量$R_{\rm MB}(G)$、$R'_{\rm MB}(G)$、$S_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$在它们自身之间以及与度量维度${\rm dim}(G)$进行比较。构造了一类图$G$，其中$R_{\rm MB}(G) > {\rm dim}(G)$成立.描述了孪生等价类和配对分解集对决策者-破坏者分解博弈的影响。作为一个应用程序$o(G)$，以及$R_{\rm MB}(G)$和$R'_{\rm MB}(G)$（或$S_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$），确定了几个图形类，包括树，完全多部图，网格图，环面网格图。
2020-05-27 math.CO
Minimal resolving sets for the hypercube
对于给定的无向图$G$，如果图的顶点可通过它们到$S$中的顶点的距离向量区分，则顶点的\emph{ordered}子集$S = {s_1,s_2,...,s_k} \subseteq V$是图的分解集。虽然任何分解集的超集总是一个分解集，但分解集的真子集不一定是一个分解集，我们感兴趣的是确定最小或最小（最小基数）的分解集。用$Q^n$表示顶点集为${0,1}^n$的$n$维超立方体.在Erdös和Renyi（Erdos & Renyi，1963）中，证明了一组特定的$n$顶点形成了超立方体的解析集。本文的主要目的是证明$n-1$大小的集合的真子集也是所有$n \ge 5$的超立方体的分解集，并且这个真子集是最小分解集。
2012-01-16 cs.DM math.CO
Matroids with bases as minimal resolving sets of graphs
本文为包括树在内的若干图族构造了以最小解析集为基的拟阵，从而可用贪心算法求解加权图最小成本解析集，并刻画了树的拟阵超平面及其无环对偶。
2024-10-20 math.AC math.CO math.GR
Uniquely dimensional graphs
集合$W\subseteq V(G)$称为分解集，如果对于每两个不同的顶点$u,v\in V(G)$，存在$w\in W$使得$d(u,w)\neq d(v,w)$，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。具有最小基数的$G$的分解集称为度量基。具有唯一度量基的图称为唯一维图。本文研究了唯一维图的一些性质。
2012-05-02 math.CO
Relations between Metric Dimension and Domination Number of Graphs
如果对于每两个不同的顶点$u,v\in V(G)$，存在$w\in W$使得$d(u,w)\neq d(v,w)$，则集合$W\subseteq V(G)$称为解析集，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。$G$的分解集的最小基数称为$G$的度量维数，用$β(G)$表示。本文证明了连通图$G$的阶为$n$，$β(G)\leq n-γ(G)$，其中$γ(G)$是$G$的控制数，等式成立当且仅当$G$是完全图或完全二部图$K_{s,t}$，$ s,t\geq 2$ .然后，我们得到了新的界$β(G)$的最小和最大程度的$G$。
2011-12-11 math.CO
On Fault-Tolerant Resolvability of Double Antiprism and its related Graphs
对于一个连通图$Γ=(V,E)$，如果到$V$中顶点的距离向量对于每个$u^{i}\in V(Γ)$是唯一的，则称$Γ=(V,E)$中有序顶点的子集$R$是$Γ$中的一个分解集. $Γ$的度量维数是这样的集合$R$的最小基数。如果$R\setminus \{u^{i}\}$仍然是一个解析集$\forall$ $u^{i}\in R$，则$R$称为$Γ$的容错解析集（FTRS），其最小基数是$Γ$的容错度量维数（FTMD）.在这篇文章中，我们引入了一个独立的容错解决集（IFTRS）的概念，并研究它的几个著名的图。我们还表明，FTMD是四个密切相关的家庭凸多面体在文献中（即，双反棱镜$\mathbb{A}_{n}$、$S_{n}$和$T_{n}$）。
2021-04-19 math.CO
The Partition Dimension of Corona Product of Complete and Wheel Graph
本研究利用分辨划分、等价顶点和同层顶点概念，确定完全图与轮图冠积的划分维数，得出不同n、m取值下pd(Kₙ∘Wₘ)的具体结果，推进了图划分维数的研究。
2025-02-14 math.CO
On the fault-tolerant metric dimension of maximal outerplanar graphs
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文研究极大外平面图的容错度量维数问题，证明了恰好存在2个满足$\beta'(G)=3$的此类图，给出阶数≥7且度量维数为2的极大外平面图的容错度量维数范围，还建立了阶数≥5的极大外平面图的容错度量维数上界。
2026-10-12 math.CO
Metric Dimension of a Direct Product of Three Complete Graphs: The Middle Cone Family
本文研究三个不同阶完全图直积的度量维数，针对中间锥族确定了其度量维数和位置全控制数，并通过基本地标系统与3边着色超图的禁用子图条件刻画最小分辨集。
2025-07-22 math.CO
The Simultaneous Fractional Dimension of Graph Families
连通图$G$的顶点$V$的子集$S$解析$G$，如果$V$的两个顶点相对于按给定顺序列出的$S$的顶点不共享相同的距离列表（最短路径度量）。在$V$中选择这样的$S$相当于在$V$上选择二进制值函数$g$，称为解析函数。通过将$g$的余域松弛为单位区间，得到了分数阶分解函数的概念。令$|g|=\sum_{v\in V}g(v)$。给定公共顶点集$V$上的有限连通图集合$\mathcal{G}$，$\mathcal{G}$的同时度量维数是$|S|$在所有分解$\mathcal{G}$的成员图的$S$上的最小基数.本文研究了图族$\mathcal{G}$的同时分数维${\rm Sd}_f(\mathcal{G})$，定义为所有函数$g$上的最小$|g|$，每个函数分解$\mathcal{G}$的所有成员.我们刻画了该下界并检验了${\rm Sd}_f(\mathcal{G})$满足的上界。我们研究${\rm Sd}_f(\mathcal{G})$的顶点传递图的家庭和对$\{G,\overline{G}\}$的互补图，确定${\rm Sd}_f(G,\overline{G})$时，$G$是一棵树或单圈图。
2022-06-30 math.CO
The Fractional Local Metric Dimension of Graphs
分数形式的图论不变量在调度、分配和运筹学问题中的应用范围不断扩大。本文引入了图的局部度量维数的分数形式。图$G$的边$xy$的局部分解邻域$L(xy)$是$G$中分解顶点$x$和$y$的那些顶点的集合。函数$f:V(G)\rightarrow[0, 1]$是$G$的局部解析函数，如果对于$G$中的所有边$xy$，$f(L(xy))\geq1$。在$G$的所有局部分辨函数$f$中，$f(V(G))$的最小值是$G$的分数局部度量维数。研究了图的分数局部度量维数的性质和界，并给出了一些刻画结果。确定了图的强积和卡积的分数局部度量维数。
2018-10-05 math.CO
On the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs
图$G$中的顶点$x$分解$G$的两个顶点$u$、$v$，如果$u$和$x$之间的距离不等于$v$和$x$之间的距离。从$G$的顶点集到$[0,1]$的函数$g$是$G$的分解函数，如果对于任何两个不同的顶点$u$和$v$，$g(R_G\{u,v\})\geq 1$，其中$R_G\{u,v\}$是分解$u$和$v$的顶点集。实数$\sum_{v\in V(G)}g(v)$是$g$的权重。$G$的所有分解函数的最小权称为$G$的分数度量维数，用$\dim_f(G)$表示。本文将计算冠积图和字典积图的分数度量维数的问题归结为计算因子图的某些参数的问题。
2012-06-09 math.CO
Resolving Two Conjectures on Staircase Encodings and Boundary Grids of $132$ and $123$-avoiding permutations
本文分析了某些置换的模式避免与阶梯网格和边界网格上的图之间的关系，并证明了Bean，Tannock和Ulfarsson（2015）提出的两个定理。更具体地说，本文列举了一类阶梯编码，并证明了建立在边界网格上的downcore图是纯的当且仅当对应于边界网格的置换避开了经典模式123和2143.
2019-08-24 math.CO
Metric dimension of lexicographic product of some known graphs
对于一个有序集合W = {w1，w2，...，wk}和一个连通图G中的顶点v，则有序k-向量r（v| W）：=（d（v，w1），d（v，w2），.，d（v，wk））称为v关于W的（度量）表示，其中d（x，y）是顶点x和y之间的距离。集合W称为G的分解集，如果G的不同顶点关于W有不同的表示。G的分解集的最小基数是它的度量维数。本文研究了图G与H的字典序积G[H]的度量维数。
2022-02-01 math.CO
Characterization of n-Vertex Graphs with Metric Dimension n-3
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的分解集的最小基数是它的度量维数。本文刻画了所有具有度量维数$n-3$的$n$阶图.
2011-03-18 math.CO
Graphs with constant adjacency dimension
对于图G中的顶点集合W和顶点v，k-向量r2（v| W）=（aG（v，w1），...，aG（v，wk））是v相对于W的邻接表示，其中W = {w1，.，wk}，aG（x，y）是2和顶点x和y之间的距离的最小值。集合W是G的邻接分解集，如果G的不同顶点关于W有不同的邻接表示。G的邻接分解集的最小基数是它的邻接维数。显然，n-顶点图G的邻接维数在1和n-1之间。已知邻接维数为1和n-1的图。本文研究了所有邻接维数为2的图和所有邻接维数为n-2的n-顶点图。根据图G的直径和阶，得到了图G的邻接维数的一个很好的上界。同时，根据G的阶，得到了G的邻接维数的一个精确的下界.利用这两个界，刻画了所有邻接维数为2的图和所有邻接维数为n-2的n-顶点图。
2021-02-28 math.CO
The partition dimension of corona product graphs
给定连通图$G$的一组顶点$S=\{v_1,v_2,...,v_k\}$，$G$的顶点$v$相对于$S$的度量表示是向量$r(v|S)=(d(v,v_1),d(v,v_2),...,d(v,v_k))$，其中$d(v,v_i)$，$i\in \{1,...,k\}$表示$v$和$v_i$之间的距离。$S$是$G$的分解集，如果对于$G$的每对顶点$u,v$，$r(u|S)\ne r(v|S)$。$G$的度量维数$dim(G)$是$G$的任何分解集的最小基数。给定连通图$G$的顶点的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，$G$的顶点$v$关于划分$Π$的划分表示是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$，$1\leq i\leq t$表示顶点$v$与集合$P_i$之间的距离，即$d(v,P_i)=\min_{u\in P_i}\{d(v,u)\}$。$Π$是$G$的解析划分，如果对于$G$的每对顶点$u,v$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的划分维度$pd(G)$是$G$的任何解析划分中的最小集合数。设$G$和$H$分别是两个阶为$n_1$和$n_2$的图。冠积$G\odot H$定义为从$G$和$H$获得的图，通过取$G$的一个拷贝和$H$的$n_1$拷贝，然后通过边连接来自$…
2010-10-25 math.CO
The partition dimension and $k$-domination number of a family of non-distance regular graph
Payame Noor University（帕亚梅诺尔大学）；Yazd University（亚兹德大学）
本文研究了一类非距离正则图Toeplitz图的划分维度和k-支配数，通过计算得出这两个参数，解决了此前未确定的问题。
2026-05-07 math.CO
Strong metric dimension of generalized Jahangir graph
设$G$是一个顶点集为$V(G)$的简单连通图.一个点$w\in V(G)$强可分解两个点$u,v \in V(G)$，如果$v$属于一条最短$u-w$路或$u$属于一条最短$v-w$路.一个集合$W \subseteq V(G)$是$G$的强可分解集，如果$G$的每一对顶点都被$W$的某个顶点强可分解. $G$的强度量基是$G$的具有最小基数的强分解集。$G$的强度量维数，记作$sdim(G)$，是$G$的强度量基的基数。本文计算了广义Jahangir图$J(n,m)$的强度量维数，其中$m\geq 3$和$n\geq 2$ .
2019-05-10 math.CO
Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Girth
集合$W\subseteq V(G)$称为$G$的解析集，如果对于每两个不同的顶点$u,v\in V(G)$，存在$w\in W$使得$d(u,w)\neq d(v,w)$，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。$G$的分解集的最小基数称为$G$的度量维数，并表示为$β(G)$。本文证明了在$G$为$n$阶的连通图$G$中，有一个圈$β(G)\leq n-g(G)+2$，其中$g(G)$是$G$中最短圈的长度，等式成立当且仅当$G$是圈，完全图或完全二部图$K_{s,t}$，$ s,t\geq 2$ .
2012-03-10 math.CO
The Fault-Tolerant Metric Dimension of Cographs
无向图$G=(V,E)$的顶点集$U \subseteq V$是$G$的\textit{resolving set}，如果对于每两个不同的顶点$u,v \in V$，存在一个顶点$w \in U$，使得$u$和$w$之间的距离以及$v$和$w$之间的距离不同。如果对于每个顶点$u\in U$集合$U\setminus \{u\}$仍然是解析集合，则解析集合$U$是{ \em容错}。{The $G$的\em（容错）度量维度}是$G$的最小（容错）解析集的大小。给定成本函数$c: V \longrightarrow \mathbb{R}_+$的{ \em加权（容错）度量维度}是所有（容错）解析集的最小权重。判定给定图$G$是否具有（容错）度量维数至多$k$（对于某个整数$k$）是NP完全的.加权容错度量维数问题至今尚未得到广泛的研究。在本文中，我们证明了加权容错度量维数问题可以在线性时间内解决的上图。
2019-04-07 cs.DS math.CO
Distance-$k$ locating-dominating sets in graphs
设$G$是一个顶点集为$V$的图，$k$是一个正整数。一个集合$D \subseteq V$是$G$的一个\emph{distance-$k$ dominating set}，如果对于每个顶点$u \in V-D$，存在一个顶点$w\in D$使得$d(u,w) \le k$，其中$d(u,w)$是$G$中连接$u$和$w$的边的最小数目。设$d_k(x, y)=\min\{d(x,y), k+1\}$。一个集合$R\subseteq V$是$G$的一个\emph{distance-$k$ resolving set}，如果对于任何一对不同的$x,y\in V$，存在一个顶点$z\in R$使得$d_k(x,z) \neq d_k(y,z)$。$G$的\emph{distance-$k$ domination number} $γ_k(G)$（分别为\emph{distance-$k$ dimension} $\dim_k(G)$）是$G$的所有距离- $k$支配集（分别为距离- $k$分解集）的最小基数. $G$的\emph{distance-$k$ location-domination number}，$γ_L^k(G)$，是使得$S$既是$G$的距离- $k$支配集又是距离- $k$分解集的所有集合$S\subseteq V$的最小基数. $γ_L^1(G)$是Slater…
2022-02-12 math.CO
Computing fault-tolerant metric dimension of graphs using their primary subgraphs
Rajalakshmi Engineering College（拉贾拉克什米工程学院）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、力学与物理研究所）；Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；School of Advanced Sciences, Vellore Institute of Technology（维洛尔理工学院高级科学学院）
研究通过主子图点附着过程形成的图的容错度量维数，建立了容错分辨集的显式公式，并推广到根积等图乘积。
2026-07-03 math.CO
Resolving sets for breaking symmetries of graphs
本文讨论了图的判定数与度量维数之差的最大值随图的阶的变化。我们的技术需要使用定位支配集，并对与这些集相关的其他函数进行独立的研究。因此，我们得到的下限和上界的所有这些功能通过非常不同的工具。其中包括一些适当的结构图，一个变种的经典结果图的统治和多项式时间算法，产生两个区别集和决定集。此外，我们考虑特定的家庭的图形，这些功能的限制可以计算。为此，我们利用图论中的两个著名的对象：$k$-支配集和匹配。
2014-01-15 math.CO
On the partition dimension of unicyclic graphs
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$V$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何解析分区中的最小集合数。本文得到了单圈图的划分维数的几个紧界。
2013-05-02 math.CO
On Randomly k-Dimensional Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的具有最小基数的分解集称为$G$的基，其基数是$G$的度量维数.一个连通图$G$称为随机$k$ -维图，如果$G$的每个$k$ -顶点集是$G$的一个基.本文研究了随机$k$ -维图，并给出了这类图的一些性质.
2011-03-16 math.CO
Power Domination and Resolving Power Domination of Fractal Cubic Network
本文针对分形立方网络这一超立方体新变体，确定了其功率支配集，并研究了在该网络中与超立方体情形截然不同、本质上更为困难的分辨功率支配集问题。
2024-07-02 math.CO
On the partition dimension of trees
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$G$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是$G$的\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何分解分区中的最小集合数。本文给出了树的划分维数的几个紧界。
2011-10-24 math.CO
Tuza's Conjecture for random graphs
Zs的著名猜想。图扎说，在任何（有限）图中，由边覆盖的三角形的最小尺寸至多是一组边不相交三角形的最大尺寸的两倍。解决了Bennett，Dudek和Zerbib最近提出的一个问题，我们证明了这对随机图是正确的;更准确地说：\[ \mbox{for any $p=p(n)$, $\mathbb P(\mbox{$G_{n,p}$ satisfies Tuza's Conjecture})\rightarrow 1 $ (as $n\rightarrow\infty$).} \]
2020-07-10 math.CO
The Metric Dimension of Lexicographic Product of Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的分解集的最小基数是它的度量维数。本文研究了图$G$和$H$的字典积的度量维数，即$G[H]$ .首先，我们引入了一个新的参数，称为图的邻接度量维数。然后，根据$G$的阶和$H$的邻接度量维数，得到了$G[H]$的度量维数.
2011-03-17 math.CO
A characterization of some graphs with metric dimension two
一个集合W \subseteq V（G）称为分解集，如果对于每对不同的顶点u，v \in V（G）存在t个\in W使得d（u，t）\neq d（v，t），其中d（x，y）是顶点x和y之间的距离. G的最小分解集的基数称为G的度量维数，记为dim_M（G）。一棵k-树是一个弦图，它的所有最大团都是相同的大小k + 1，所有最小团分离子也都是相同的大小k。k-路是最大度为2k的k-树，其中对任意整数j，k \leq j < 2k，存在唯一的顶点对u和v，使得deg（u）= deg（v）= j.本文证明了：若G是k-路，则dim_M（G）= k.此外，我们还给出了度量维数为2的所有2-树的一个刻画。
2015-09-07 math.CO
Metric Dimension of Villarceau Grids
本文研究了网络科学中两种新型网格（Villarceau 网格 Type I 和 Type II）的度量维数，并分别求出了其精确的度量维数。
2024-10-11 math.CO
Unique identification and domination of edges in a graph: The vertex-edge dominant edge metric dimension
控制集和分解集在控制理论和计算机科学中有重要的应用。本文引入了图的经典支配度量维数的边模拟。结合图的点边支配集和边可解集的概念，引入了图的点边支配边可解集的概念。我们称图$\G$中这样一个集合的最小基数为图$\G$的点边优势边度量维数$\g_{emd}(\G)$。对一些常见的图族，如路、圈、完全二部图、轮图和扇形图，计算了新的参数$\g_{emd}$.本文还计算了一些路与路、路与圈的笛卡儿积的$\g_{emd}$。重要的是，这个新参数的一些一般性的结果和界限。我们还进行了比较分析的$\g_{emd}$与图的主导度量维数。比较表明，这两个参数一般不具有可比性。在考虑二部图类的基础上，证明了树$T_n$的$\g_{emd}(T_n)$总是小于或等于它的支配度量维数.然而，我们表明，非树二部图，参数是不可比的，就像一般的图。基于本文的结果，我们在最后提出了一些有待解决的问题。
2022-11-17 math.CO
On the strong partition dimension of graphs
我们提出了一种不同的方法来获得度量空间的生成元，该生成元具有空间中每个元素的"位置“由到生成元的元素的距离唯一确定的性质。具体来说，我们引入一个发电机的基础上划分的度量空间成组的元素。分区的集合将作为新元素，唯一地确定空间中每个元素的位置。一个连通图$G$的顶点集$W$强分解两个不同的顶点$x,y\notin W$，如果$d_G(x,W)=d_G(x,y)+d_G(y,W)$或$d_G(y,W)=d_G(y,x)+d_G(x,W)$，其中$d_G(x,W)=\min\left\{d(x,w)\;:\;w\in W\right\}$。一个图$G$的有序顶点划分$Π=\left\{U_1,U_2,...,U_k\right\}$是$G$的强可分解划分，如果属于该划分的同一集合的$G$的每两个不同的顶点被某个$Π$集合强可分解.最小基数的强分解划分称为强划分基，其基数称为强划分维数。本文引入了强分解分拆和强分拆维数的概念，并从研究强分解分拆的数学性质入手。我们给出了这个参数的一些可实现性结果，我们也得到了一些图的强度量维数的紧界和封闭公式。
2013-12-06 math.CO
Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Diameter
一个顶点集$S$ \emph{resolves}称为连通图$G$，如果每个顶点都由它到$S$中顶点的距离向量唯一确定. $G$的\emph{metric dimension}是$G$的分解集的最小基数。设$\mathcal{G}_{β,D}$是具有度量维数$β$和直径$D$的图的集合.众所周知，图在$\mathcal{G}_{β,D}$中的最小阶恰好是$β+D$。本文的第一个贡献是对$β$和$D$的所有值，给出了阶数为$β+D$的$\mathcal{G}_{β,D}$中的图.这种表征以前仅为$D\leq2$或$β\leq1$所知。第二个贡献是确定在$\mathcal{G}_{β,D}$中对于所有$D$和$β$值的图的最大阶。以前只知道一个弱上界。
2007-05-07 math.CO
The fractional $k$-truncated metric dimension of graphs
图$G$的度量维数$\dim(G)$和分数度量维数$\dim_f(G)$已被广泛研究。设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图，$d(x,y)$表示$G$中最短$x-y$路的长度。令$k$为正整数。对于任何$x,y \in V(G)$，设为$d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$，设为$R_k\{x,y\}=\{z\in V(G): d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。一个集合$S \subseteq V(G)$是$G$的一个\emph{$k$-truncated resolving set}，如果对于任何不同的$x,y\in V(G)$有$|S \cap R_k\{x,y\}| \ge 1$，并且$G$的\emph{$k$-truncated metric dimension} $\dim_k(G)$是$G$的所有$k$-截断解析集上的最小基数。对于在$V(G)$上定义的函数$g$和$U \subseteq V(G)$，设$g(U)=\sum_{s\in U}g(s)$。实值函数$g:V(G) \rightarrow[0,1]$是$G$的\emph{$k$-truncated resolving function}，如果$g(R_k\{x,y\}) \ge 1$对于任何不同的$x, y\in V(G)$，并且$G$的\emph{fractiona…
2021-08-05 math.CO
The Minimum Number of Edges in $(p+1)K_2$-Saturated Graphs
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学情报大学院）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文针对极值图论中确定$(p+1)K_2$-饱和图最小边数的公开问题，通过细化结构分析推导边数参数公式，完整解决该问题并推广已有结论，同时还原经典边数上界。
2025-11-17 math.CO
On Vertices Contained in All or in No Metric Basis
本文研究图的度量基相关的两类顶点，给出含基强制顶点的图的边数界、稀疏图构造方法，证明两类顶点的判定问题分别为co-NP难与NP难。
2021-03-16 math.CO
Resolving Sets in Temporal Graphs
本文将解析集推广到时序图，定义时序解析集，证明最小时序解析集问题在多类受限时序图上 NP 完全，并为路径、星图及周期时序图给出多项式算法。
2024-12-04 cs.DM cs.DS math.CO
Computing the metric dimension by decomposing graphs into extended biconnected components
无向图$G=(V,E)$的顶点集$U \subseteq V$是$G$的$\textit{resolving set}$，如果对于每两个不同的顶点$u,v \in V$，存在一个顶点$w \in U$，使得$u$和$w$之间的距离以及$v$和$w$之间的距离不同。$G$的$\textit{Metric Dimension}$是$G$的最小解析集的大小。判定给定图$G$的度量维数对于某个整数$k$至多为$k$是NP-完全的。许多研究已经完成，以了解这个问题的复杂性限制图类。本文将一个图分解为它的$\textit{extended biconnected components}$，并给出了一个计算一类图的度量维数的有效算法，这类图的最小分解集的每个扩展的双连通分支的顶点数有界.进一步证明了当上述限制推广到通常的双连通分支时，判定问题度量维数仍然是NP-完全的。
2018-06-27 cs.CC cs.DM math.CO
Partition dimension and strong metric dimension of chain cycle
令$G$是一个具有顶点集$V(G)$和边集$E(G)$的连通图。对于$V(G)$的有序$k$ -分区$Π=\{Q_1,\ldots,Q_k\}$，顶点$v \in V(G)$相对于$Π$的表示是$k$ -向量$r(v|Π)=(d(v,Q_1),\ldots,d(v,Q_k))$，其中$d(v,Q_i)$是$v$和$Q_i$之间的距离.对于每对不同的顶点$u,v \in V(G)$，如果是$r(u|Π)\neq r(v|Π)$，则分区$Π$是解析分区。存在$V(G)$的解析$k$ -分区的最小$k$是$G$的分区维数。若$u$属于最短$v-w$路或$v$属于最短$u-w$路，则点$w\in V(G)$强分解两个不同的点$u,v \in V(G)$.若对于$G$的每两个不同的点$u$和$v$，存在一个点$w\in W$强分解$u$和$v$，则序集$W=\{w_{1},\ldots, w_{t}\}\subseteq V(G)$是$G$的强分解集. $G$的强度量基是极小基数的强分解集。强度量基的基数称为$G$的强度量维数。本文确定了由偶数圈构成的链圈和由奇数圈构成的链圈的划分维数和强度量维数。
2020-07-18 math.CO math.LO
Broadcast Dimension of Graphs
在本文中，我们开始研究广播维数，度量维数的一个变种。设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图，$d(u,w)$表示$G$中$u-w$测地线的长度。对于$k \ge 1$，设为$d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$。函数$f: V(G) \rightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$被称为$G$的解析广播，如果对于任何不同的$x,y \in V(G)$，存在顶点$z \in V(G)$使得$f(z)=i>0$和$d_{i}(x,z) \neq d_{i}(y,z)$。$G$的广播维度$bdim(G)$是$G$的所有解析广播上的$c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$的最小值，其中$c_f(G)$可以被视为用于解析由图$G$描述的整个网络的发射机（各种强度）的总成本。请注意，如果解析广播的共域被限制为$\{0,1\}$，则$bdim(G)$简化为$adim(G)$（$G$的邻接维度，由Jannesari和Omoomi在2012年引入）。我们确定它的值的循环，路径，和其他家庭的图。我们证明了对于所有阶为$n$的图$G$，都有$bdim(G) = Ω(\log{n})$，并且这个结果是尖锐的，直到一个常数因子。我们证明了$\frac{adim(G)}{bdim(G)}$和$\frac{bdim(G)}{dim(G)}$都…
2020-05-15 cs.DM math.CO
Computing the obstacle number of a plane graph
平面图G的障碍表示是V（G）连同一组不透明的多边形障碍，使得G是由障碍确定的V（G）上的可见性图。我们研究的问题，计算障碍表示的平面图（ORPG）的最小障碍数。我们称这个最小尺寸为G的障碍数。首先，我们证明了ORPG是NP-困难的从平面顶点覆盖约化，解决了一个问题[8]。其次，我们给出了从ORPG到最大度3平面顶点覆盖的一个约化。由于这种减少保持解决方案的价值，它遵循ORPG是固定参数易处理（FPT），并承认多项式时间近似计划（PTAS）。
2011-08-12 cs.CG cs.DM cs.DS
