Spline Quadrature and semi-classical orthogonal Jacobi Polynomials
Helmut Ruhland
基于半经典正交雅可比多项式，提出了一种适用于具有任意非均匀子区间的闭区间$[a, b]$中任意连续类的样条求积规则理论.对于连续类$c \ge 2$，这个理论依赖于一个猜想。
A theory of spline quadrature rules for arbitrary continuity class in a closed interval $[a, b]$ with arbitrary nonuniform subintervals based on semi-classical orthogonal Jacobi polynomials is proposed. For continuity class $c \ge 2$ this theory depends on a conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Gaussian quadrature for splines via homotopy continuation: rules for $C^2$ cubic splines
本文提出通过同伦持续法生成样条最优求积规则的新方法，通过构建源空间和目标空间，保持求积点数量和最优性，验证了算法的鲁棒性。
A quadrature formula associated with a univariate quadratic spline quasi-interpolant
研究基于有界区间上C1二次样条拟插值积分的新简单求积规则，给出均匀和非均匀划分的节点与权重，提供光滑函数的误差估计，并与Simpson规则比较。
Weighted quadrature for hierarchical B-splines
为了解决分层网格自适应等几何Galerkin方法中系统矩阵的快速生成问题，提出了分层B样条的加权求积方法。通过利用局部张量积结构，我们扩展了加权规则的建设从张量积的层次样条设置。该算法的计算成本与自由度的数量成正比，并且随着样条次数的增加具有有利的特性。为了说明该方法的性能和确认的理论估计，提供了一个选择的2D和3D数值试验。
Explicit Gaussian quadrature rules for cubic splines with non-uniform knot sequences
本文提出了一种显式高斯求积规则，用于非均匀对称拉伸结序列下的C¹三次样条空间，通过显式递推避免数值求解器，且规则最优，具有最小节点数。
Weighted Quadrature on Unstructured Splines
提出一种基于非结构化样条曲面的加权求积方法，通过物理域定义求积规则、按函数指定求积点数量以及截断奇异值分解解决病态问题，实现伽辽金矩阵的快速组装。
Quadrature rules for $C^0$ and $C^1$ splines, a recipe
本文给出了样条类$S_{2N, 0}$和$S_{2N+1, 1}$（即偶次和奇次）在紧区间[a，b]中的所有高斯或最优单参数求积规则的封闭公式，该区间具有非均匀、非对称的子区间，每个子区间具有任意数目的节点。同时给出了2个缺失样条类$S_{2N-1, 0}$和$S_{2N, 1}$的规则（所谓的1/2规则），即奇次和偶次。这些求积规则在某种意义上是明确的，它们计算第一个/最后一个边界子区间中的节点及其权重，并且通过递归计算其他节点/权重，从第一个/最后一个子区间解析到区间的中间。这些封闭公式是基于半经典Jacobi型正交多项式。
Quadrature rules for splines of high smoothness on uniformly refined triangles
本文研究均匀细化三角形上高光滑度样条空间的求积规则，证明对多项式精确的对称求积规则在 Clough-Tocher 3-分割和 Powell-Sabin 6-分割上对相应次数的光滑样条仍保持精确，并利用单纯形样条表示进行分析。
An adaptive IGA-BEM with hierarchical B-splines based on quasi-interpolation quadrature schemes
本文提出了一种基于准插值求积方案的自适应IGA-BEM方法，通过引入适合的加权求积规则来评估伽辽金BEM公式中出现的积分，利用分层设置框架实现高效准确的数值方案，并通过残差驱动的自适应细化策略实现最优收敛率。
Gaussian quadrature rules for $C^1$ quintic splines
本文提出用于$C^1$五次样条空间的高斯求积规则，通过显式递推公式确定节点和权重，无需数值求解器，且规则最优，每个子区间仅需两个节点，计算成本降低2/3，数值实验显示随着$n$增大，快速收敛到Hughes等人对于无限域的两三分规则。
Bézier projection: a unified approach for local projection and quadrature-free refinement and coarsening of NURBS and T-splines with particular application to isogeometric design and analysis
本文提出贝塞尔投影作为B样条、NURBS和T-样条的元素基局部投影方法，提供无四阶的样条细化与粗化统一框架，用于等几何分析中的hpkr自适应。
A Bivariate Spline Construction of Orthonormal Polynomials over Polygonal Domains and Its Applications to Quadrature
本文提出利用双变量样条函数在多边形域上构造正交多项式，并通过数值实验探讨其在求积中的应用。
A study on spline quasi-interpolation based quadrature rules for the isogeometric Galerkin BEM
本文研究了两种新的弱奇异积分四阶规则，用于等几何伽辽金边界元法中的边界积分方程，比较了不同积分类型的求解方法，并验证了第二种方案在h细化时具有最优收敛阶。
An algorithm based on DQM with modified trigonometric cubic Bsplines for solving coupled viscous Burgers equations
本文提出一种改进的三角立方B样条差分求积方法，用于求解时间依赖的偏微分方程，特别针对Burgers方程的数值解，通过将初值边界值问题转化为常微分方程初值问题，并采用五阶段四阶强稳定性保存RK方法求解，验证了方法的精度和效率。
On the error bounds of the Gauss-type quadrature formulae associated with spaces of parabolic and cubic spline functions with double equidistant knots
本文改进了与双等距节点三次样条空间相关的高斯型求积公式的误差常数估计，并给出了更易评估且可能更优的误差估计。
Numerical Solution of two dimensional coupled viscous Burgers Equation using the Modified Cubic B Spline Differential Quadrature Method
本文采用改进的三次B样条差分求积法求解二维非线性耦合粘性Burgers方程，通过数值实例验证了该方法的准确性和可靠性。
Gauss-Galerkin quadrature rules for quadratic and cubic spline spaces and their application to isogeometric analysis
本文提出适用于二次和三次样条空间的高斯求积规则，用于构建质量矩阵和刚度矩阵。通过递归应用同伦连续概念，推导出任意数量元素的最优规则，并讨论其收敛性。
Efficient assembly based on B-spline tailored quadrature rules for the IgA-SGBEM
本文基于B-样条的定制四阶规则，提出高效的SGBEM-IgA方法，通过行装配和求和因子化提升求解效率，验证了在计算成本和时间上的优势。
Efficient mass and stiffness matrix assembly via weighted Gaussian quadrature rules for B-splines
本文提出加权高斯求积规则，用于B样条的高效质量与刚度矩阵组装，减少求积点数量并降低计算成本。
Modified Cubic B-spline Based Differential Quadrature Methods for Time-fractional Black-Scholes Equation
针对时间分数阶Black-Scholes方程求解困难的问题，提出基于修正三次B样条的微分求积法，结合L1有限差分离散，实现空间四阶和时间2-α阶收敛，并证明了理论稳定性。
An error estimate for the Gauss-Jacobi-Lobatto quadrature rule
得到了在区间$[-1, 1]$上积分的Gauss-Lobatto求积公式相对于Jacobi权函数$w^{α,β}(t)=(1-t)^α(1+t)^β$，$α,β>-1$的误差估计。这个估计对于属于加权空间$L_{w^{α,β}}^1([-1,1])$的某些Sobolev型子空间的函数成立。
Numerical Study of Nonlinear sine-Gordon Equation by using the Modified Cubic B-Spline Differential Quadrature Method
本文采用改进的三次B样条差分求积法求解一维非线性正弦Gordon方程，通过将改进的三次B样条作为基函数计算加权系数，将方程转化为常微分方程组，并用最优五阶四阶强稳定性保持Runge-Kutta方案求解，通过三个具有精确解的数值例子验证了方法的准确性和效率。
The Effect of Quadrature on the Convergence of Policy Iteration for Hamilton-Jacobi-Bellman Equations
研究自动求积选择导致HJB方程策略迭代收敛性丧失的问题，提出强制匹配求积可恢复超线性收敛。
Optimal quadrature rules for isogeometric analysis
本文提出用于等几何分析中常用样条空间的最优求积规则，通过同伦连续性概念推导出有限域上样条的最优规则，展示了如何处理源空间与目标空间求积点数不同的情况，并讨论了规则收敛性。
Numerical Simulation of Two Dimentional sine-Gordon Solitons Using the Modified Cubic B-Spline Differential Quadrature Method
本文采用改进的三次B样条差分四阶方法，对带有Neumann边界条件的二维非线性正弦-戈登方程进行数值模拟，通过求解得到的二阶常微分方程组，验证了在阻尼和非阻尼情况下结果与精确解及其他文献结果的一致性。
A Riemann--Hilbert approach to Jacobi operators and Gaussian quadrature
本文提出一种O(N)方法，通过求解变形的黎曼-希尔伯特问题来计算雅可比算子的前N行，适用于超出当前渐近黎曼-希尔伯特技术范围的整个权重。
Optimal randomized quadrature for weighted Sobolev and Besov classes with the Jacobi weight on the ball
我们考虑随机情形下加权Sobolev类$BW^{r}_{p,μ}$和加权Besov类$BB_τ^r(L_{p,μ})$的数值积分$${\rm INT}_d(f)=\int_{\mathbb{B}^{d}}f(x)w_μ(x)dx $$，其中$w_μ, \,μ\ge0,$是球上的经典Jacobi权$\Bbb B^d$，$1\le p\le \infty$，$r>(d+2μ)/p$和$0<τ\le\infty$ .对于上述两类，我们得到了随机情况下最佳正交误差的阶数为$n^{-r/d-1/2+(1/p-1/2)_+}$。与确定性情况下最优正交误差的阶数$n^{-r/d}$相比，随机性可以有效提高$p>1$时的收敛阶数。
Non-iterative computation of Gauss-Jacobi quadrature
本文提出了一种非迭代计算高阶Gauss-Jacobi求积节点的方法，通过提供Jacobi多项式零点的渐近近似以及相关导数函数的渐近近似，实现了求积节点和权重的高精度计算。
Sharp error bounds for Jacobi expansions and Gengenbauer-Gauss quadrature of analytic functions
本文通过Bernstein椭圆对解析函数的Jacobi多项式展开的指数衰减进行了严格精细分析，推导了展开系数的新尖锐界，并扩展至Gegenbauer-Gauss求积余项估计。
Fast and reliable high accuracy computation of Gauss--Jacobi quadrature
本文描述了计算Gauss-Jacobi求积的有证收敛的迭代法。该方法不需要先验估计的节点，以保证其四阶收敛。他们被证明是一般比以前的方法更快，没有实际的参数范围的限制。求积的节点和权重的评估完全基于收敛过程，该收敛过程与用于计算节点的不动点方法的四阶收敛一起，使得这是用于高精度计算的理想方法，以至于在典型的膝上型计算机中甚至可以计算具有数百万个节点和数千个数字的求积规则。
An efficient differential quadrature method for fractional advection-diffusion equation
本文提出一种高效的差分求积方法，用于求解一维和二维时间分数输运-扩散方程，通过立方三角样条函数构建测试函数，将原方程转化为常微分方程组，并通过有效差分方案或龙格-库塔方法进行离散化，验证了方法的稳定性与准确性。
A spline-based spatial impulse response simulator
空间冲激响应（SIR）法是一种计算任意形状换能器瞬态声场的常用方法。它涉及到一个随时间变化的表面积分的评价。虽然存在某些几何形状的SIR的解析表达式，但基于换能器表面离散化的数值方法已成为标准。所提出的方法包括将传感器表示为非均匀有理B样条（NURBS）曲面，并将其分解为可以部署求积规则的光滑Bézier曲面片。然后，SIR的评估可以用B样条基来表示，从而得到移位和加权基函数的总和。场信号最终通过从激励波形导出的基系数和基SIR的卷积来获得。NURBS的使用使得能够精确表示常见的换能器元件。高阶高斯求积规则能够以较少的求积点实现高精度。高阶B样条基非常适合于有效地利用激励波形的带限特性。数值实验表明，所提出的方法，使采样的SIR在低采样率，所需的激励波形，而不会引入额外的误差模拟现场信号。
Legendre wavelet collocation method combined with the Gauss--Jacobi quadrature for solving fractional delay-type integro-differential equations
本文提出了一种基于Legendre小波和Gauss-Jacobi求积的置留法，用于求解一类分数延迟型积分-微分方程，该方法考虑了初始或边界条件，并采用Caputo意义下的分数导数。首先，将未知解近似表示为Legendre小波基函数，然后将该近似及其导数代入方程中，利用Gauss-Jacobi求积近似Caputo导数，通过在已知的移位Chebyshev点上置留得到非线性代数方程组，并加入一些条件以获得连续解。给出了Legendre小波近似任意函数的误差界，并通过实例展示该方法的效率和精度。
On Fast Implementation of Clenshaw-Curtis and Fejér-type Quadrature Rules
本文基于FFT、DCT和IDST快速计算Chebyshev点插值多项式系数，结合Oliver算法高效计算修正矩，提出Clenshaw-Curtis、Fejér第一和第二型规则的插值积分算法，适用于Jacobi权重乘以对数函数的函数积分，展示了其稳定性、精度及计算效率。
Comparing algebraic cubature rules on spline curved elements
研究比较在样条曲线跟踪边界的平面单元上构建代数求积规则的四种方法，基于格林定理等理论，讨论优缺点并提供开源Matlab代码，为曲线多面体单元方法应用提供参考。
Two-dimensional Gauss--Jacobi Quadrature for Multiscale Boltzmann Solvers
针对多尺度Boltzmann求解器中速度空间离散的节点失配问题，提出结合极坐标变换的参数化权函数Gaussian求积方案，显著提升精度并降低计算成本，在高度稀薄条件下实现高达50倍加速。
A Gauss-Jacobi Kernel Compression Scheme for Fractional Differential Equations
本文提出了一种通过指数线性组合近似分数α-积分核w的方案，并基于复合Gauss-Jacobi求积法则对w的积分表示进行研究，结果在区间[δ,T]上快速收敛，且误差分析显示对于所有α∈(0,1)，所需的项数和求积节点数均被限制。
Zernike Polynomials: Evaluation, Quadrature, and Interpolation
本文提供了一个自包含的Zernike多项式参考，介绍了评估算法以及新的求积和插值数值方案，并探讨了高维Zernike多项式的性质。
Approximation of PDE solution manifolds: Sparse-grid interpolation and quadrature
本文提出了一种基于稀疏网格张量积投影器的全离散近似方法，用于无限变量函数的高效求积和插值，通过反称项抵消提高了收敛速度。
Machine Learning Discovery of Optimal Quadrature Rules for Isogeometric Analysis
提出基于梯度下降和动态规划的机器学习策略，为等几何分析寻找最优求积规则，在保持精度的同时显著减少积分点数，实现1D至3D空间高达44%-82%的计算节省。
A Fractional Gauss-Jacobi quadrature rule for approximating fractional integrals and derivatives
本文提出一种高效算法计算分数积分和导数，并应用于求解分数阶变分问题，采用Hale和Townsend算法和Diethelm方法，展示其在分数边界值问题中的准确性优势。
Numerical solution of a class of third-kind Volterra integral equations using Jacobi wavelets
基于广义Jacobi小波和Gauss-Jacobi求积公式，提出了求解一类第三类Volterra积分方程的谱配置方法.为此，通过考虑变量的适当变量变换，首先将积分区间变换为区间[-1，1]。然后，通过引入特殊的雅可比参数，积分部分近似使用高斯-雅可比求积规则。未知函数的近似被认为是在雅可比小波函数的未知系数，这必须确定。通过将该近似代入方程，并将所得方程配置在一组配置点处，得到线性代数方程组。然后，我们提出了一种方法来确定所需的基函数的数量，以达到一定的精度。最后，通过算例说明了新方法的适用性、有效性和准确性。
Quadrature formulas for integrals transforms generated by orthogonal polynomials
利用正交多项式的三项递推关系、Christoffel-Darboux型双线性生成函数及其渐近表达式，得到了经典正交多项式生成的积分变换的求积公式。
A Multi-step Scheme based on Cubic Spline for solving Backward Stochastic Differential Equations
本文提出基于三次样条的多步方案，用于求解反向随机微分方程，通过改进时间积分项的近似方法，提升稳定性与时间步长灵活性，结合高斯求积与空间网格插值实现数值求解，通过金融应用实例验证其高精度与稳定性。
Polynomial spline collocation method for solving weakly regular Volterra integral equations of the first kind
提出了求解具有特殊分段连续核的第一类Volterra积分方程的多项式样条配置法。高斯型的求积公式被用来近似积分期间的离散化建议的投影方法。得到了近似解的精度估计。随机算法也可以基于计算和估计随机Arrondis de Calculs（CESTAC）方法和数值应用的精度和精度控制（CADNA）库来使用。应用这种方法，可以找到投影方法的最佳参数。数值算例验证了新的配置法的有效性。
Arbitrary-order asymptotic expansions of Gaussian quadrature rules with classical and generalised weight functions
高斯求积法则是一个经典的工具，用于数值逼近具有光滑被积函数和正权函数的积分。我们推导并expenditurally列出了三个一般类的正权函数的高斯求积规则的点和权的渐近表达式：在端点具有代数奇点的有界区间上的解析函数，在无穷远处具有指数衰减且在有限端点具有代数奇点的半直线上的解析权函数，以及实直线上的解析函数，在无穷远处的两个方向上呈指数衰减。结果包括经典正交多项式（Legendre，Jacobi，Laguerre和Hermite）的Gauss定则作为特例。我们目前的实验表明，在这些表达式达到高精度的点的数量的范围。我们提供了一个算法，可以计算任意多项在这些扩展的经典情况下，和许多，但不是所有的广义情况下。
Patch-wise Quadrature of Trimmed Surfaces in Isogeometric Analysis
本文针对等几何分析中裁剪曲面难以直接应用分片求积的问题，提出一种扩展方法，显著减少求积点数量，并通过平面、板和壳体结构的线性与非线性基准验证了其良好性能。
Quadrature-free Immersed Isogeometric Analysis
本文提出了一种新的方法来解决三维CAD几何的偏微分方程的浸入等几何离散，不需要求积计划。它依赖于一种新开发的技术，用于评价多项式积分的样条边界表示，这是完全基于分析计算。首先，通过一致的多项式逼近步骤，将Galerkin方法的有限元算子转化为只涉及多项式被积函数的积分。然后，通过逐次应用散度定理，将B-Reps上的积分转化为多项式被积函数的曲面积分和线积分。最后，这些线积分的机器精度精度进行分析评估。所提出的方法的性能证明了通过数值实验的上下文中的二维和三维椭圆问题，检索在所有情况下的最佳误差收敛阶。最后，该方法说明了3D CAD模型与工业水平的复杂性。
A Class of Quadrature-Based Moment-Closure Methods with Application to the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck System in the High-Field Limit
研究基于双delta、双高斯和双B样条表示的求积矩封闭方法，通过高阶间断Galerkin格式和Strang算子分裂求解Vlasov-Poisson-Fokker-Planck系统，数值证明该格式在高场极限下具有渐近保持性。
Quadrature rules from finite orthogonality relations for Bernstein-Szego polynomials
本文通过将两种伯恩斯坦-齐格勒多项式家族结合，构建了关联有限维雅可比矩阵的特征基，从而得到该复合特征基的有限正交关系，进而推导出若干类似高斯的求积规则，用于精确积分有指定极点的有理函数。
Composite B-Spline Current Deposition and Interpolation Operators for Thin-Wire Finite-Difference Time-Domain Simulations
针对Holland-Simpson细线FDTD仿真中因电流沉积算子不守恒电荷导致的低频寄生电流问题，提出一族复合B样条正则化方法，通过离散无散条件实现电荷守恒，并采用复合高斯-勒让德求积精确计算耦合线积分，数值实验验证了其消除寄生电流的有效性。
On modified anti-Gaussian rules for Jacobi weight functions
针对Jacobi权函数下反高斯公式不总是内部的问题，提出依赖节点数n的参数θ的修正反高斯法则，并理论分析修正平均高斯公式的渐近收敛率，数值实验验证有效性。
Polynomial-Spline Neural Networks with Exact Integrals
使用神经网络来解决变分问题和其他科学机器学习任务受到缺乏一致性和无法精确集成涉及神经网络架构的表达式的限制。我们解决这些限制，制定一个新的神经网络架构，结合了多项式混合专家模型与自由结B1样条基函数。有效地，我们的架构执行分段多项式近似的每个单元的一个可训练分区的单位。我们的架构表现出$h$ -和$p$ -细化回归问题的收敛速度从近似理论，允许在解决变分问题的一致性。此外，这种架构，它的时刻，它的偏导数都可以被精确地集成，避免了对采样或正交的依赖，并使变分形式的无误差计算成为可能。我们证明了我们的网络在一系列回归和变分问题上的成功，这些问题说明了我们的网络架构的一致性和精确可积性。
Runge--Kutta numerical methods for ruin probabilities in classical risk model
本文通过Volterra积分微分方程，采用四阶一步和两步龙格-库塔格式结合数值求积公式（如牛顿-科特斯和高斯求积）近似卷积项，计算经典风险模型中的破产概率，并通过Gamma和Pareto索赔分布验证了方法的有效性。
A spectral method based on $(0,2)$ Jacobi polynomials. Application to Poisson problems in a sphere
提出一种基于$(0,2)$ Jacobi多项式的谱方法，利用其关于权重$r^2$的正交性，通过离散Jacobi变换求解球内泊松问题。
Pointwise error estimates and local superconvergence of Jacobi expansions
作为多项式插值和求积的一个神话，Trefethen [30]揭示了$|x-a|$的Chebyshev插值（使用$|a|<1 $）在Clenshaw-Curtis点处的误差比最佳多项式逼近小得多（在最大范数下）在$[-1,1]$的大约$95\%$范围内，除了奇点$x=a.$附近的小邻域之外。在本文中，我们严格地证明了一类更一般的$Φ$ -函数的Jacobi展开也具有这样的局部收敛性。利用雅可比多项式的再生核和贝塞尔变换的渐近性的Hilbert型公式，我们的结论得到了点态误差估计.我们还研究了局部超收敛，并显示了增益的顺序和它发生的子区域。作为这个新论点的副产品，Babuuska和Hakula [5]中最近提出的Legendre展开的逐点误差估计中不希望的$\log n$因子可以被去除。最后，将这些估计推广到具有边界奇异性的函数。我们提供了大量的数值证据来证明估计的最优性和尖锐性。
Fast and accurate computation of classical Gaussian quadratures
本文提出了一种快速且准确的高斯求积算法，适用于多种经典求积规则，提升了计算速度、精度和参数范围。
On Interpolation Approximation: Convergence rates for polynomial interpolation for functions of limited regularity
本文通过Peano核定理和Wainerman引理，推导了多项式插值的收敛速度新公式，证明强正交点集的插值能实现最优收敛速度，与最佳多项式逼近相同，并通过数值例子验证了收敛速度的最优性。
Parameterization-driven arbitrary Lagrangian-Eulerian method for large-deformation isogeometric fluid-structure interaction
本文提出一种基于参数化的任意拉格朗日-欧拉方法，通过独立的域参数化问题解决流固耦合中的大变形问题，引入三种技术组件确保几何守恒定律，并在旋转正方形和三维转子问题中验证方法有效性。
Enriched Immersed Finite Element and Isogeometric Analysis -- Algorithms and Data Structures
本文提出稳健高效的沉浸式有限元预处理框架的算法与数据结构，通过构建材料拓扑信息生成自定义求积规则、富集及稳定化方案，并在扩展等几何分析中验证其有效性与并行可扩展性。
Tent transformed order $2$ nets and quasi-Monte Carlo rules with quadratic error decay
本文利用 tent 变换将周期情形的二阶数字网误差界推广到非周期函数，证明二次误差衰减并改进 $\log N$ 因子，数值实验还显示进一步改进空间。
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