Superconvergence of $C^0$-$Q^k$ finite element method for elliptic equations with approximated coefficients
本文证明了当椭圆问题中的变系数在每个矩形单元中的Gauss Lobatto点处被其分段$Q^k$ Lagrange插值所代替时，$C^0$ - $Q^k$有限元法在Gauss Lobatto求积点处的超收敛性仍然成立.特别地，可以使用具有$Q^2$近似系数的$C^0$-$Q^2$有限元法构造四阶有限差分型格式。
2019-10-22 cs.NA math.NA
Runge-Kutta convolution quadrature based on Gauss methods
给出了双曲型算子基于高斯方法的龙格-库塔卷积求积的误差分析。收敛的顺序在很大程度上依赖于阶段数的奇偶性，奇数情况比偶数情况更有利。此外，对于特定的情况下，收敛的顺序是高于Radau IIA或Lobatto IIIC方法时，使用相同数量的阶段。我们进一步研究了瞬态声散射的应用程序，对于某些散射障碍，有利的情况下发生在外部狄利克雷诺依曼映射的重要情况。数值实验和比较表明了该方法的性能。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Monolithic Convex Limiting for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods
将整体凸极限方法推广到节点间断Galerkin谱元方法。Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）积分的使用赋予了非线性双曲问题的同位DGSEM空间离散化的性质，大大简化了保持不变域的高分辨率格式的设计。与许多其他连续和不连续Galerkin方法变体相比，LGL谱算子的一个特别优点是可自然分解成兼容的子胞通量离散化。代表一个高阶空间半离散化的中间状态，我们进行通量限制的方式，保持这些状态和结果的龙格-库塔阶段在凸不变域。此外，局部边界可以被施加在感兴趣的标量上。与基于预测-校正算法的限制方法相比，我们的MCL程序LGL-DGSEM产生的非线性通量近似是独立的时间-步长，可以进一步修改，以执行熵稳定。为了证明可压缩欧拉方程的MCL/DGSEM计划的鲁棒性，我们运行具有挑战性的设置具有强冲击，陡峭的密度梯度和涡主导的流动模拟。
2023-03-01 cs.NA math.NA
Refined Gauss--Lobatto bounds for odd-order convexity
Czech Academy of Sciences（捷克科学院）；Institute of Mathematics and Computer Science Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学研究所）；University of Bielsko–Biała（别尔斯科比亚拉大学）
本文针对奇数阶凸函数，证明积分位于Gauss--Legendre规则与其与Gauss--Lobatto规则中点之间，提出带尖锐常数1/4的认证估计器，并区分数值认证与高阶近似。
2026-09-29 cs.NA math.CA math.NA
Spline Quadrature and semi-classical orthogonal Jacobi Polynomials
基于半经典正交雅可比多项式，提出了一种适用于具有任意非均匀子区间的闭区间$[a, b]$中任意连续类的样条求积规则理论.对于连续类$c \ge 2$，这个理论依赖于一个猜想。
2022-10-21 cs.NA math.NA
The Effect of Quadrature on the Convergence of Policy Iteration for Hamilton-Jacobi-Bellman Equations
University College London（伦敦大学学院）；University of Oxford（牛津大学）
研究自动求积选择导致HJB方程策略迭代收敛性丧失的问题，提出强制匹配求积可恢复超线性收敛。
2026-06-24 cs.NA math.NA
Accuracy of spectral element method for wave, parabolic and Schrödinger equations
由矩形网格上的$(k+1)$ -点Gauss-Lobatto积分的$Q^k$（$k\geq 2$）连续有限元法构造的谱元方法是求解波动方程的一种常用的高阶格式。它也可以看作是在所有Gauss-Lobatto点上的有限差分格式。证明了该差分格式对光滑解在离散2-范数下具有$(k+2)$阶精度.同样的证明可以推广到求解线性抛物方程和薛定谔方程的谱元方法。本文的主要结果也适用于曲线网格上的谱元法，曲线网格上的谱元法可以光滑地映射到单位正方形上的矩形网格上。
2021-08-27 cs.NA math.NA
On Interpolation Approximation: Convergence rates for polynomial interpolation for functions of limited regularity
Central South University（中南大学）
本文通过Peano核定理和Wainerman引理，推导了多项式插值的收敛速度新公式，证明强正交点集的插值能实现最优收敛速度，与最佳多项式逼近相同，并通过数值例子验证了收敛速度的最优性。
2015-06-18 cs.NA math.NA
Legendre-Gauss-Lobatto grids and associated nested dyadic grids
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen（亚琛工业大学几何与实际数学研究所）；Dipartimento di Scienze Matematiche, Politecnico di Torino（都灵理工大学数学科学系）
本文研究Legendre-Gauss-Lobatto网格的嵌套二进制网格特性，旨在通过分析其性质提升高阶方法的预处理技术效率。
2013-10-31 cs.NA math.NA
A Riemann--Hilbert approach to Jacobi operators and Gaussian quadrature
本文提出一种O(N)方法，通过求解变形的黎曼-希尔伯特问题来计算雅可比算子的前N行，适用于超出当前渐近黎曼-希尔伯特技术范围的整个权重。
2013-11-22 cs.NA math.NA
Optimal randomized quadrature for weighted Sobolev and Besov classes with the Jacobi weight on the ball
我们考虑随机情形下加权Sobolev类$BW^{r}_{p,μ}$和加权Besov类$BB_τ^r(L_{p,μ})$的数值积分$${\rm INT}_d(f)=\int_{\mathbb{B}^{d}}f(x)w_μ(x)dx $$，其中$w_μ, \,μ\ge0,$是球上的经典Jacobi权$\Bbb B^d$，$1\le p\le \infty$，$r>(d+2μ)/p$和$0<τ\le\infty$ .对于上述两类，我们得到了随机情况下最佳正交误差的阶数为$n^{-r/d-1/2+(1/p-1/2)_+}$。与确定性情况下最优正交误差的阶数$n^{-r/d}$相比，随机性可以有效提高$p>1$时的收敛阶数。
2022-01-18 cs.NA math.NA
Quadrature Rules on Triangles and Tetrahedra for Multidimensional Summation-By-Parts Operators
本文提出了适用于三角形和四面体的对称正权重求积规则，用于构建新型对角-$\mathsf{E}$ SBP算子，并数值验证了其精度和时间步长限制。
2023-11-27 cs.NA math.NA
Non-iterative computation of Gauss-Jacobi quadrature
Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）
本文提出了一种非迭代计算高阶Gauss-Jacobi求积节点的方法，通过提供Jacobi多项式零点的渐近近似以及相关导数函数的渐近近似，实现了求积节点和权重的高精度计算。
2019-03-02 cs.NA math.NA
On the use of Hahn's asymptotic formula and stabilized recurrence for a fast, simple, and stable Chebyshev--Jacobi transform
University of Oxford（牛津大学）
本文提出一种基于Jacobi展开在Chebyshev-Lobatto点数值评估的快速、简单且稳定的Chebyshev-Jacobi变换方法，利用Hahn渐近公式分解和稳定递推提高稳定性。
2016-02-08 cs.NA math.NA
Sharp error bounds for Jacobi expansions and Gengenbauer-Gauss quadrature of analytic functions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Guizhou Normal University（贵州师范大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）
本文通过Bernstein椭圆对解析函数的Jacobi多项式展开的指数衰减进行了严格精细分析，推导了展开系数的新尖锐界，并扩展至Gegenbauer-Gauss求积余项估计。
2012-10-08 cs.NA math.NA
High-order numerical integration on regular embedded surfaces
提出一种高阶曲面求积方法，通过平方挤压变换和切比雪夫-洛巴托网格上的张量多项式插值，结合克利肖-柯蒂斯求积，实现封闭曲面上规则曲面积分的高精度、高效计算。
2024-03-14 cs.NA math.NA
Fast and reliable high accuracy computation of Gauss--Jacobi quadrature
本文描述了计算Gauss-Jacobi求积的有证收敛的迭代法。该方法不需要先验估计的节点，以保证其四阶收敛。他们被证明是一般比以前的方法更快，没有实际的参数范围的限制。求积的节点和权重的评估完全基于收敛过程，该收敛过程与用于计算节点的不动点方法的四阶收敛一起，使得这是用于高精度计算的理想方法，以至于在典型的膝上型计算机中甚至可以计算具有数百万个节点和数千个数字的求积规则。
2020-08-19 cs.NA math.CA math.NA
Legendre wavelet collocation method combined with the Gauss--Jacobi quadrature for solving fractional delay-type integro-differential equations
University of Mazandaran（马赞德兰大学）；Universidade de Lisboa（里斯本大学）；Buein Zahra Technical University（布因扎赫拉理工大学）
本文提出了一种基于Legendre小波和Gauss-Jacobi求积的置留法，用于求解一类分数延迟型积分-微分方程，该方法考虑了初始或边界条件，并采用Caputo意义下的分数导数。首先，将未知解近似表示为Legendre小波基函数，然后将该近似及其导数代入方程中，利用Gauss-Jacobi求积近似Caputo导数，通过在已知的移位Chebyshev点上置留得到非线性代数方程组，并加入一些条件以获得连续解。给出了Legendre小波近似任意函数的误差界，并通过实例展示该方法的效率和精度。
2019-05-31 cs.NA math.NA
On Fast Implementation of Clenshaw-Curtis and Fejér-type Quadrature Rules
School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）
本文基于FFT、DCT和IDST快速计算Chebyshev点插值多项式系数，结合Oliver算法高效计算修正矩，提出Clenshaw-Curtis、Fejér第一和第二型规则的插值积分算法，适用于Jacobi权重乘以对数函数的函数积分，展示了其稳定性、精度及计算效率。
2013-12-13 cs.NA math.NA
On the Optimal Rates of Convergence for Quadratures Derived from Chebyshev Points
Central South University（中南大学）
本文基于切比雪夫点导出的求积法，通过分析混叠误差和切比雪夫展开系数的渐进行为，推导出Clenshaw-Curtis、Fejér求积规则在特定权重下的最优收敛速度，并改进了Gauss-Legendre的收敛速度。
2014-07-27 cs.NA math.NA
A Gauss-Jacobi Kernel Compression Scheme for Fractional Differential Equations
University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出了一种通过指数线性组合近似分数α-积分核w的方案，并基于复合Gauss-Jacobi求积法则对w的积分表示进行研究，结果在区间[δ,T]上快速收敛，且误差分析显示对于所有α∈(0,1)，所需的项数和求积节点数均被限制。
2018-10-11 cs.NA math.NA
Two-dimensional Gauss--Jacobi Quadrature for Multiscale Boltzmann Solvers
Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学）
针对多尺度Boltzmann求解器中速度空间离散的节点失配问题，提出结合极坐标变换的参数化权函数Gaussian求积方案，显著提升精度并降低计算成本，在高度稀薄条件下实现高达50倍加速。
2025-10-23 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Approximation of PDE solution manifolds: Sparse-grid interpolation and quadrature
Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内）；University of Transport and Communications（交通大学）；Vietnamese German University（越德大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种基于稀疏网格张量积投影器的全离散近似方法，用于无限变量函数的高效求积和插值，通过反称项抵消提高了收敛速度。
2026-01-30 cs.NA math.NA
On Fast Implementation of Higher Order Hermite-Fejer Interpolation
Central South University（中南大学）
本文基于Sturm-Liouville方程研究高阶Hermite-Fejér插值在Gauss-Jacobi点系上的快速实现，通过高效计算barycentric权重和线性操作实现稳定方法，推导了插值收敛速率。
2014-06-04 cs.NA math.NA
A Fractional Gauss-Jacobi quadrature rule for approximating fractional integrals and derivatives
Islamic Azad University（伊斯兰阿扎德大学）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出一种高效算法计算分数积分和导数，并应用于求解分数阶变分问题，采用Hale和Townsend算法和Diethelm方法，展示其在分数边界值问题中的准确性优势。
2017-04-19 cs.NA math.NA math.OC
Numerical solution of a class of third-kind Volterra integral equations using Jacobi wavelets
基于广义Jacobi小波和Gauss-Jacobi求积公式，提出了求解一类第三类Volterra积分方程的谱配置方法.为此，通过考虑变量的适当变量变换，首先将积分区间变换为区间[-1，1]。然后，通过引入特殊的雅可比参数，积分部分近似使用高斯-雅可比求积规则。未知函数的近似被认为是在雅可比小波函数的未知系数，这必须确定。通过将该近似代入方程，并将所得方程配置在一组配置点处，得到线性代数方程组。然后，我们提出了一种方法来确定所需的基函数的数量，以达到一定的精度。最后，通过算例说明了新方法的适用性、有效性和准确性。
2020-02-11 cs.NA math.NA
Quadrature formulas for integrals transforms generated by orthogonal polynomials
利用正交多项式的三项递推关系、Christoffel-Darboux型双线性生成函数及其渐近表达式，得到了经典正交多项式生成的积分变换的求积公式。
2008-05-14 cs.NA math.NA
Fast algorithms for Jacobi expansions via nonoscillatory phase functions
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文提出基于非振荡相位函数的快速算法，用于高效计算Jacobi多项式和Gauss-Jacobi求积规则，通过数值实验验证其优越性。
2018-03-11 cs.NA math.NA
Quadrature rules for $C^0$ and $C^1$ splines, a recipe
本文给出了样条类$S_{2N, 0}$和$S_{2N+1, 1}$（即偶次和奇次）在紧区间[a，b]中的所有高斯或最优单参数求积规则的封闭公式，该区间具有非均匀、非对称的子区间，每个子区间具有任意数目的节点。同时给出了2个缺失样条类$S_{2N-1, 0}$和$S_{2N, 1}$的规则（所谓的1/2规则），即奇次和偶次。这些求积规则在某种意义上是明确的，它们计算第一个/最后一个边界子区间中的节点及其权重，并且通过递归计算其他节点/权重，从第一个/最后一个子区间解析到区间的中间。这些封闭公式是基于半经典Jacobi型正交多项式。
2019-08-16 cs.NA math.NA
Arbitrary-order asymptotic expansions of Gaussian quadrature rules with classical and generalised weight functions
高斯求积法则是一个经典的工具，用于数值逼近具有光滑被积函数和正权函数的积分。我们推导并expenditurally列出了三个一般类的正权函数的高斯求积规则的点和权的渐近表达式：在端点具有代数奇点的有界区间上的解析函数，在无穷远处具有指数衰减且在有限端点具有代数奇点的半直线上的解析权函数，以及实直线上的解析函数，在无穷远处的两个方向上呈指数衰减。结果包括经典正交多项式（Legendre，Jacobi，Laguerre和Hermite）的Gauss定则作为特例。我们目前的实验表明，在这些表达式达到高精度的点的数量的范围。我们提供了一个算法，可以计算任意多项在这些扩展的经典情况下，和许多，但不是所有的广义情况下。
2022-08-24 cs.NA math.NA
Quadrature rules from finite orthogonality relations for Bernstein-Szego polynomials
Universidad de Talca（塔尔卡大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文通过将两种伯恩斯坦-齐格勒多项式家族结合，构建了关联有限维雅可比矩阵的特征基，从而得到该复合特征基的有限正交关系，进而推导出若干类似高斯的求积规则，用于精确积分有指定极点的有理函数。
2019-02-28 cs.NA math.CA math.NA
On modified anti-Gaussian rules for Jacobi weight functions
University of Trieste（的里雅斯特大学）；University of Padova（帕多瓦大学）
针对Jacobi权函数下反高斯公式不总是内部的问题，提出依赖节点数n的参数θ的修正反高斯法则，并理论分析修正平均高斯公式的渐近收敛率，数值实验验证有效性。
2026-06-29 cs.NA math.NA
Weighted $\ell_q$ approximation problems on the ball and on the sphere
设$L_{q,μ},\, 1\le q<\infty, \ μ\ge0,$表示球$\Bbb B^d$上具有经典Jacobi权$w_μ$的加权$L_q$空间。考虑了$\Bbb B^d$上给定$L_{q,μ}$ -Zygmund族的加权最小$\ell_q$逼近问题.我们得到了加权Sobolev空间$W_{q,μ}^r$，$r>(d+2μ)/q$的加权最小$\ell_q$逼近误差，它们是阶最优的.讨论了$L_{2,μ}$ -Zygmund族的最小二乘求积问题，得到了$W_{2,μ}^r$，$r>(d+2μ)/2$的求积误差，它们也是阶最优的。同时给出了相应的加权最小$\ell_q$逼近定理和球面上的最小二乘求积误差。
2022-01-18 cs.NA math.NA
Fast and accurate computation of classical Gaussian quadratures
Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）
本文提出了一种快速且准确的高斯求积算法，适用于多种经典求积规则，提升了计算速度、精度和参数范围。
2025-12-11 cs.MS cs.NA math.CA
Pointwise error estimates and local superconvergence of Jacobi expansions
作为多项式插值和求积的一个神话，Trefethen [30]揭示了$|x-a|$的Chebyshev插值（使用$|a|<1 $）在Clenshaw-Curtis点处的误差比最佳多项式逼近小得多（在最大范数下）在$[-1,1]$的大约$95\%$范围内，除了奇点$x=a.$附近的小邻域之外。在本文中，我们严格地证明了一类更一般的$Φ$ -函数的Jacobi展开也具有这样的局部收敛性。利用雅可比多项式的再生核和贝塞尔变换的渐近性的Hilbert型公式，我们的结论得到了点态误差估计.我们还研究了局部超收敛，并显示了增益的顺序和它发生的子区域。作为这个新论点的副产品，Babuuska和Hakula [5]中最近提出的Legendre展开的逐点误差估计中不希望的$\log n$因子可以被去除。最后，将这些估计推广到具有边界奇异性的函数。我们提供了大量的数值证据来证明估计的最优性和尖锐性。
2023-02-12 cs.NA math.NA
A $C^1$-conforming Petrov-Galerkin method for convection-diffusion equations and superconvergence ananlysis over rectangular meshes
本文设计并分析了求解对流-扩散方程的一种新的$C^1$ -协调Petrov-Galerkin方法。所提出的方法的轨迹空间是符合$C^1$的${\mathbb Q}_k$（即，次数至多为$k$的多项式的张量积）有限元空间，而测试空间被视为$L^2$（不连续）分段${\mathbb Q}_{k-2}$多项式空间。证明了数值解的存在唯一性，并建立了在所有$L^2, H^1, H^2$ -范数下的最优误差估计.此外，还研究了新方法的超收敛性质，并通过严格的理论分析，在网格节点（函数值和导数的阶为$2k-2$）、Jacobi多项式的根、Lobatto线和Gauss线上识别出了超收敛点/线.为了降低对全局正则性的要求，得到了$L^2, H^1, H^2$ -范数下的内部先验误差估计.数值实验证实了理论研究结果。
2021-03-13 cs.NA math.NA
Elimination of memory from the equations of motion of hereditary viscoelasticity for increased efficiency of numerical integration
本文提出消除线性粘弹性方程中记忆的方法，通过有限或半有限区间上的四次积分减少计算和存储开销，适用于具有分离完全单调松弛模量的粘弹性介质，且在地震学Strick-Mainardi模型中采用Gauss-Jacobi四次积分。
2014-07-06 astro-ph.EP astro-ph.IM cs.NA
Polynomial operators and local smoothness classes on the unit interval, II
Department of Mathematics, California State University（加利福尼亚州立大学数学系）
本文证明了基于单位区间上散乱数据的Jacobi权函数下高次多项式积分的精确求积公式的存在性，并利用紧框架展开系数刻画了局部Besov空间。
2008-11-16 cs.NA math.CA math.NA
Exact integration scheme for six-node wedge element mass matrix
Faculty of Mechanical Engineering, Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院机械工程学院）
本文提出一种基于七点的精确积分规则，用于计算六节点楔元质量矩阵，同时提出一、四点积分方案，提升了计算效率和精度。
2014-12-19 cs.NA math.NA
Ordered Line Integral Methods for Computing the Quasi-potential
Department of Mathematics, University of Maryland（马里兰大学数学系）
本文提出有序线积分方法（OLIMs）用于计算准势函数，相较于原有方法速度快1.5至4倍，误差小两到三个数量级，通过优化三角形更新策略和局部极小化问题求解提升精度。
2017-11-26 cs.NA math.NA
Exact cubature rules for symmetric functions
Universidad de Talca（塔尔卡大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出了一种多变量广义高斯求积公式，用于推导对称函数在超立方体（或其无限退化形式）上关于单位ary随机矩阵族密度的积分求积规则，主要贡献是实现了一类与伯恩斯坦-泽格多项式相关的求积规则，用于精确积分带有预设坐标超平面极点的对称有理函数。
2019-03-03 cs.NA math.CA math.CO
Numerical Methods for the Computation of the Confluent and Gauss Hypergeometric Functions
University of Kent（肯特大学）；The University of Sydney（悉尼大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文综述了计算连通和高斯超几何函数的准确、快速和可靠方法，讨论了不同参数和变量区域的最佳数值方法，并提供了使用指南。
2015-08-28 cs.MS cs.NA math-ph
