Minimum supports of eigenfunctions of graphs: a survey
Ev Sotnikova, Alexandr Valyuzhenich
在这项工作中，我们提出了一个调查结果的问题，找到最小基数的支持图的特征函数。
In this work we present a survey of results on the problem of finding the minimum cardinality of the support of eigenfunctions of graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Minimum supports of eigenfunctions with the second largest eigenvalue of the Star graph
星图$S_n$，$n\ge 3$，是对称群$Sym_n$上由转置集$\{(12),(13),\ldots,(1n)\}$生成的凯莱图。在这项工作中，我们研究了$S_n$对应的第二大本征值$n-2$的本征函数。对于$n\ge 8$和$n=3$，我们找到了$S_n$的第二大本征值对应的本征函数的最小支集基数，并得到了具有最小支集基数的本征函数的一个特征.
Minimum supports of eigenfunctions of Johnson graphs
研究了Johnson图$J(n,w)$的特征向量的权。对于任何$i \in \{1,\ldots,w\}$和足够大的$n, n\geq n(i,w)$，我们表明，一个特征向量的$J(n,w)$的特征值$λ_i=(n-w-i)(w-i)-i$至少有$2^i(^{n-2i}_{w-i})$非零，并获得一个特征向量，达到的界限。
Eigenfunctions and minimum 1-perfect bitrades in the Hamming graph
汉明图$H(n,q)$是其顶点是字母表$\{0,1,\ldots,q-1\}$上长度为$n$的字的图，其中如果两个顶点恰好在一个坐标上不同，则它们相邻。$H(n,q)$的邻接矩阵具有$n+1$不同的特征值$n(q-1)-q\cdot i$，对应于$0\leq i\leq n$的特征空间$U_{i}(n,q)$。在这项工作中，我们研究的功能属于一个直接和$U_i(n,q)\oplus U_{i+1}(n,q)\oplus\ldots\oplus U_j(n,q)$为$0\leq i\leq j\leq n$。我们发现的最小基数的支持$q=2$和$q=3$，$i+j>n$等功能。特别是，我们发现的最小基数的支持本征函数从本征空间$U_{i}(n,3)$为$i>\frac{n}{2}$。利用$1$ -完美比特率和具有特征值$-1$的特征函数之间的对应关系，我们找到了Hamming图$H(n,3)$中$1$ -完美比特率的最小尺寸.
On eigenfunctions and maximal cliques of Paley graphs of square order
本文在$q^2$阶Paley图中找到了大小为$\frac{q+1}{2}$或$\frac{q+3}{2}$的新的极大团，相应地称为$q\equiv 1(4)$或$q\equiv 3(4)$，其中$q$是奇素数幂.之后，我们使用新的集团，以定义一个家庭的本征函数对应的两个非主特征值，并具有基数的支持$q+1$，这是最小的重量分布界。
On eigenfunctions of the block graphs of geometric Steiner systems
本文研究最小支撑特征函数，刻画强正则 Grassmann 图中达到权重分布界的最优特征函数，并将紧性与类似刻画推广到仿射设计区组图。
Variants on the minimum rank problem: A survey II
一个（简单）图$G$的最小秩问题是确定所有实对称矩阵的最小可能秩，当$\{i,j\}$是$G$中的边时，这些实对称矩阵的第$ij$项（对于$i\neq j$）不为零，否则为零.本文综述了自\cite{FH}发表以来，（标准）最小秩问题及其变体的许多发展。特别是，半正定的最小秩，迫零参数，和最小秩问题的模式进行了讨论。
On strong nodal domains for eigenfunctions of Hamming graphs
本文研究超立方体及 Hamming 图特征函数的最少强节点域问题，构造并证明在更广的特征值指标范围内存在恰含两个强节点域的特征函数，证实并推广了此前猜想。
A survey of degree-boundedness
本文综述了度有界性研究，探讨无大平衡二部图但具大最小度的图的导出子图性质，类似于χ-有界性但针对最小度，并着眼于未解问题。
Minimum supports of functions on the Hamming graphs with spectral constraints
研究了定义在Hamming图$H(n,q)$顶点上的函数。$H(n,q)$的邻接矩阵具有$n+1$个不同的特征值$n(q-1)-q\cdot i$，对应于$0\leq i\leq n$的特征空间$U_{i}(n,q)$。在这项工作中，我们考虑的问题，找到最小可能的支持（非零的数量）的功能属于一个直接和$U_i(n,q)\oplus U_{i+1}(n,q)\oplus\ldots\oplus U_j(n,q)$的$0\leq i\leq j\leq n$。对于情形$n\geq i+j$和$q\geq 3$，我们找到了这类函数的支集的最小基数，并得到了具有最小支集基数的函数的一个刻画.在$n<i+j$和$q\geq 4$的情况下，我们还找到了函数的最小支持基数，并获得了具有$i=j$，$n<2i$和$q\geq 5$的最小支持基数的函数的特征。特别是，我们从本征空间$U_{i}(n,q)$与支持的情况下$i\le \frac{n}{2}$，$q\ge 3$和$i> \frac{n}{2}$，$\,q\ge 5$的最小基数的特征函数。
A Survey on the k-Path Vertex Cover Problem
给定一个图$G=(V,E)$和一个正整数$k\ge2$，一个$k$ -路径顶点覆盖是顶点$F$的一个子集，使得$G$中$k$顶点上的每条路径至少包含一个来自$F$的顶点。$G$中的最小$k$ -路顶点覆盖是具有最小基数的$k$ -路顶点覆盖，其基数称为$G$的{ \it $k$ -路顶点覆盖数}。在{ \it $k$ -路顶点覆盖问题}中，要求在给定的图中找到一个最小的$k$ -路顶点覆盖。本文对$k$ -路顶点覆盖问题和$k$-路顶点覆盖数的研究现状进行了简要的综述。
A survey on star edge-coloring of graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{st}(G)$，是为了使$G$的边不存在长度为4的路或圈是双色的，对$G$的边进行适当着色所需的最小颜色数。 本文对图的星色指数的结果做了一个总结, 给出了一些有趣的证明和技巧, 并收集了一些公开问题和猜想.
Minimal Steklov eigenvalues on combinatorial graphs
本文通过将Friedman的Laplacian特征函数节点域理论[Duke Math.J.69（1993），no.3，487- 525]推广到Steklov特征函数，研究了组合图上Steklov特征值的极值问题，并解决组合图上Steklov特征值的极值问题，该极值问题类似于Friedman [杜克数学杂志83（1996），第1期，第1- 18页。] Laplacian特征值更精确地说，我们主要证明了当$i\not|n$为$n$顶点的连通组合图上的$i^{\rm th}$ Steklov特征值的最小值本质上是由每条臂都是最小扫帚的星得到的，而当$i|n$为$i|n$顶点的连通组合图上的每齿都是最小扫帚的正则梳得到的.
A survey of hypergraph Ramsey problems
经典超图Ramsey数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得对于$\{1,\ldots, N\}$的$k$ -元组的每个红-蓝着色，存在$s$整数使得其中的每个$k$ -元组是红色的，或$n$整数使得其中的每个$k$ -元组是蓝色的.我们调查了各种各样的问题和超图拉姆齐理论的结果，已经成长的理解的定量方面的$r_k(s,n)$。我们的重点是最近的发展和开放的问题。
Steiner Distance in Graphs--A Survey
对于阶至少为$2$和$S\subseteq V(G)$的连通图$G$，$S$的顶点中的\emph{Steiner distance} $d_G(S)$是顶点集包含$S$的所有连通子图中的最小尺寸。本文总结了Steiner距离参数的已知结果，包括Steiner距离、Steiner直径、Steiner中心、Steiner中值、Steiner区间、Steiner距离遗传图、Steiner距离稳定图、平均Steiner距离和Steiner Wiener指标。同时也提出了一些有待进一步研究的问题。
Proximity and Remoteness in Graphs: a survey
本文综述自2006年提出以来图论中邻近度 $\pi$ 与遥远度 $\rho$ 概念的相关研究成果。
Extremal aspects of graph and hypergraph decomposition problems
我们调查最近的进展，在理论的图和超图分解，重点是极端的结果，涉及最低程度的条件。我们还收集了一些有趣的开放问题，并制定新的。
The Forwarding Indices of Graphs -- a Survey
一个给定的$n$阶连通图$G$的路由$R$是连接$G$的每个有序顶点对的$n(n-1)$简单路径的集合。$G$相对于$R$的顶点转发索引$ξ(G,R)$被定义为$R$中通过$G$的任何顶点的路径的最大数目。$G$的顶点转发索引$ξ(G)$被定义为在$G$的所有路由$R$上的最小$ξ(G,R)$。类似地，$G$相对于$R$的边缘转发索引$ π(G,R)$是$R$中通过$G$的任何边缘的路径的最大数量。$G$的边缘转发索引$π(G)$是在$G$的所有路由$R$上的最小$π(G,R)$。顶点转发索引或边转发索引对应于图的最大负载。因此，重要的是找到路由最小化这些指标，因此在过去的十多年中受到了很多研究的关注。在本文中，我们综述了一些已知的结果，这些转发指标，进一步研究的问题和几个建议。
Logical complexity of graphs: a survey
本文讨论了一阶逻辑中有限图的可定义性，它具有两个表示顶点邻接和相等的关系符号。图$G$的逻辑深度$D(G)$等于定义$G$直到同构的句子的最小量词深度。逻辑宽度$W(G)$是在这样的句子中出现的变量的最小数目。逻辑长度$L(G)$是最短定义语句的长度。我们调查已知的估计，这些图的参数，并讨论他们的关系到其他主题（如效率的Weisfeiler-Lehman算法在同构测试，随机图的演变，定量特征的零一律，或贡献的弗兰克拉姆齐的研究希尔伯特的Entscheidungsproblem）。此外，我们跟踪一个图的描述性复杂性的行为，因为逻辑变得更加严格（例如，只允许定义有限数量的变量或量词交替）或更可表达（后与计数量词供电）。
Exact Solution Techniques for Two-dimensional Cutting and Packing
本文综述了二维矩形正交下料装箱问题的主要公式和求解方法。我们专注于确切的方法和放松的四个主要问题，从文献：找到一个包装的最小高度，包装的项目到最小数量的箱子，找到一个包装的最大值，并确定存在一个可行的包装。
Combinatorial distance geometry in normed spaces
我们调查的问题和结果，从组合几何赋范空间，集中在涉及距离的问题。其中包括单位距离图、最小距离图、直径图以及最小生成树和Steiner最小树的各种性质。特别是，我们讨论translative接吻（或Hadwiger）号码，等边集，和Borsuk问题在赋范空间。本文给出了如何利用Peter Brass的角测度证明平面上凸体的Hadwiger数和阻塞数的各种说法，包括一些新的结果。我们还包括一些新的结果薄锥和它们的应用不同的距离和其他组合问题的赋范空间。
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