Alexandrov-Fenchel type inequalities in the sphere
Min Chen, Jun Sun
本文试图用两类流来研究与$\mathbb{S}_+^{n+1}.$中闭凸$C^2$ -超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式相对应的拟质量积分$\mathcal{A}_k$（见定义1.1）之间的关系
In this paper, we attempt to use two types of flows to study the relations between quermassintegrals $\mathcal{A}_k$ (see Definition 1.1), which correspond to the Alexandrov-Fenchel inequalities for closed convex $C^2$-hypersurfaces in $\mathbb{S}_+^{n+1}.$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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An Alexandrov-Fenchel-type inequality for hypersurfaces in the sphere
我们发现了一个沿反中曲率流的单调量，并用它证明了一个关于$n$维球面$n \geq 3$中严格凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式。
Locally constrained inverse curvature flow and Alexandrov-Fenchel type inequalities in de Sitter space
本文在de Sitter空间中研究局部约束反曲率流，并推导出Alexandrov-Fenchel型不等式。
Weighted Alexandrov-Fenchel inequalities in hyperbolic space and a conjecture of Ge, Wang and Wu
本文考虑Ge，Wang和Wu关于双曲空间中平球凸超曲面的加权Alexandrov-Fenchel不等式的一个猜想（对于某种物理意义上的权函数，$k^{\mathrm{th}}$的中曲率的加权积分关于超曲面面积的界）.我们证明了一个非常类似的不等式。此外，当$k$为零且周围空间为3维时，给出了该不等式的一个反例.
Modified support measures and Alexandrov-Fenchel type inequalities for nonsmooth h-convex bodies in hyperbolic space
该研究针对双曲空间中的h-凸体，通过球面卷积实现其光滑逼近，推广了两类Alexandrov-Fenchel不等式，引入曲率流证明其等号刚性，还建立了相关刚性定理以刻画测地球。
New weighted Alexandrov-Fenchel type inequalities and Minkowski inequalities in space forms
本文利用局部约束逆曲率流，为双曲空间和球面中的静态凸超曲面建立了一类新的精确加权Alexandrov-Fenchel不等式与Minkowski型不等式。
Alexandrov-Fenchel type inequalities for convex hypersurfaces in hyperbolic space and in sphere
本文首先受Natário最近的工作\cite{Na}的启发，利用等周不等式得到了双曲空间$\H^{n+1}$和球面$\SS^{n+1}$中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式.我们还得到了球壳的刚性。其次，我们利用球中的反中曲率流\cite{gerh,Mak-Sch}证明了球中闭凸超曲面的一个最优Sobolev型不等式。
Stability of Alexandrov-Fenchel Type Inequalities for Nearly Spherical Sets in Space Forms
本文推导了空间形式中近球面集的定量均质积分不等式，并借此证明了涉及加权曲率积分与均质积分的几何不等式的稳定性。
Alexandrov-Fenchel inequalities for convex anisotropic capillary hypersurfaces in the half-space
本文将毛细管凸体的Alexandrov-Fenchel不等式推广到各向异性情形，建立半空间中各向异性毛细管凸体理论并证明混合体积的一般不等式，从而弱化并推广了已有结果的条件。
Isoperimetric type problems and Alexandrov-Fenchel type inequalities in the hyperbolic space
本文利用quermass积分保曲率流，解决了双曲空间$\H^n$中quermass积分和曲率积分的各种等周问题.作为副产品，我们得到双曲Alexandrov-Fenchel不等式。
Upper bounds for the Alexandrov-Fenchel deficit via integral formulas
本研究利用加权Minkowski积分公式与Jensen不等式亏格积分公式，得到Alexandrov-Fenchel不等式亏格的严格上界，该估计凸性假设更弱、具定量性，还证明了一类加权几何不等式在最优原点下强于经典等周不等式。
Gauss curvature type flow and Alexandrov-Fenchel inequalities in the hyperbolic space
本文研究双曲空间中一致凸超曲面的高斯曲率型流，证明其长时间存在并指数收敛于测地球面，进而给出相关 Alexandrov-Fenchel 不等式的新证明。
Alexandrov-Fenchel inequalities for convex hypersurfaces in the half-space with capillary boundary
本文研究了半空间中具有毛细边界的凸超曲面的等周问题，通过构造局部约束曲率流，推导出Alexandrov-Fenchel不等式。
Classical Neumann Problems for Hessian equations and Alexandrov-Fenchel's inequalities
最近，第一作者与马西南\cite{ma2015neumann}一起证明了Hessian方程Neumann问题的存在性。本文进一步研究了Hessian方程的经典Neumann问题。本文证明了R^n中一致凸区域下经典Neumann问题的存在性。作为应用，我们利用经典Neumann问题的解给出了一族凸几何中的Alexandrov-Fenchel不等式的新证明。这个几何应用程序的动机来自于Reilly \cite{Reilly1980}。
Hyperbolic Alexandrov-Fenchel quermassintegral inequalities I
本文证明了双曲空间$\H^n$（$n\ge 5)$，它是一个双曲Alexandrov-Fenchel不等式，\[\begin{array}{rcl} \ds \int_Σ\s_4 d μ\ge \ds\vs C_{n-1}^4ω_{n-1}\left\{\left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}} \right)^\frac 12 + \left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}} \right)^{\frac 12\frac {n-5}{n-1}} \right\}^2, \end{array}\]，只要$Σ$是horosphere凸超曲面.等式成立当且仅当$Σ$是$\H^n$中的测地球面。
Hyperbolic Alexandrov-Fenchel quermassintegral inequalities II
本文首先建立了$\H^n$中超曲面的一个最优Sobolev型不等式（见定理\ref{mainthm1}）.作为应用，我们得到了曲率积分和quermass积分的双曲Alexandrov-Fenchel不等式.在双曲空间$\H^n$中证明了一个几何不等式，它是一个双曲Alexandrov-Fenchel不等式\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \ds \int_Σ\s_{2k}\ge \ds\vs C_{n-1}^{2k}ω_{n-1}\left\{\left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}} \right)^\frac 1k + \left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}} \right)^{\frac 1k\frac {n-1-2k}{n-1}} \right\}^k, \end{array} \end{equation*}，只要$Σ$是一个次球面凸的，其中$2k\leq n-1$ .等式成立当且仅当$Σ$是$\H^n$中的测地球面。这里$σ_{j}=\s_{j}(κ)$是$j$次平均曲率，$κ=(κ_1,κ_2,\cdots, κ_{n-1})$是$Σ$的主曲率的集合。另外，对于$\H^n$中的quermass积分，一个最优不等式如下：如果$Ω\subset\H^n$是具有$Σ=\partialΩ$的半球凸域，则为$$ W_{2k…
Alexandrov-Fenchel inequalities for convex hypersurfaces with free boundary in a ball
本文首先引入了$(n+1)$维欧氏单位球中自由边界超曲面的拟质量积分。然后我们解决了凸自由边界超曲面的一些相关的等周型问题，得到了新的Alexandrov-Fenchel不等式.特别地，对于$n=2$我们得到了一个Minkowski型不等式，对于$n=3$我们得到了一个最优Willmore型不等式.为了证明这些估计，我们采用了一个专门设计的局部约束逆调和平均曲率流与自由边界。
Alexandrov-Fenchel type inequalities with convex weight in space forms
本文推导了在欧几里得、球面和双曲空间中，满足不同凸性假设的光滑闭超曲面的新锐利加权Alexandrov-Fenchel和Minkowski不等式，通过引入由凸非递减正函数给出的权重，扩展了经典结果。
Alexandrov-Fenchel inequalities for capillary hypersurfaces in hyperbolic space
本文通过构造新的局部约束逆曲率流，建立双曲空间中凸毛细超曲面的 Alexandrov-Fenchel 不等式，并推广 Brendle-Guan-Li 关于凸闭超曲面的结果。
A constrained mean curvature flow and Alexandrov-Fenchel inequalities
本文研究了具有毛细边界的星形超曲面的均曲率流，证明了其长期存在性和收敛性，并建立了新的Alexandrov-Fenchel不等式。
Anisotropic mean curvature type flow and capillary Alexandrov-Fenchel inequalities
本文研究半空间中星形各向异性ω₀-毛细管超曲面的保体积各向异性平均曲率型流，证明其长时间存在与收敛性，定义广义拟质量积分并建立相关等周与Alexandrov-Fenchel不等式，提供了流方法的新证明视角。
The Alexandrov-Fenchel type inequalities, revisited
本文系统比较研究凸几何、矩阵论与复代数几何中的 Alexandrov-Fenchel 型不等式，完整刻画了紧致 Kähler 流形上 nef 与 big 类相交数情形的等式条件，并给出混合判别式复版本的几何证明及行列式推广。
Alexandrov--Fenchel inequalities for convex domains in the sphere
本文证明球面中弱凸域的Alexandrov--Fenchel不等式，通过构造全局约束曲率流并利用曲率估计与对偶性，得到等号仅对测地球成立，并将结果推广至弱凸情形。
Alexandrov--Fenchel inequalities for closed axisymmetric hypersurfaces
该研究针对R^{n+1}中具有C^{1,1}轮廓的闭嵌入轴对称超曲面，建立了严格的Alexandrov--Fenchel不等式，推广了相关方法并给出应用，等号当且仅当超曲面为圆球面时成立。
Rigidity results, inverse curvature flows and Alexandrov-Fenchel type inequalities in the sphere
证明了球面上的一个刚性结果，从而将Do Carmo-Warner关于球面上光滑凸超曲面的一个结果推广到凸$C^2$ -超曲面上.我们应用这些结果证明了嵌入的，封闭的，严格凸初始超曲面的逆F-曲率流在\mathbb{S}^{n+1}中的球面到赤道的$C^{1,β}$ -收敛。这一结果适用于大类曲率函数，包括高斯曲率的中曲率和任意幂。利用这个结果证明了球面上的Alexandrov-Fenchel型不等式。
Alexandrov-Fenchel inequality for convex hypersurfaces with capillary boundary in a ball
本文通过局部约束非线性曲率流，推导了具有毛细边界的凸超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式，扩展了自由边界情况下的相关结果。
A complete family of Alexandrov-Fenchel inequalities for convex capillary hypersurfaces in the half-space
本文研究半空间中带毛细边界的逆曲率流，证明解保持严格凸并收敛到球冠，进而得到凸毛细超曲面的 Alexandrov-Fenchel 不等式完整族，并发展新的张量最大值原理。
An Alexandrov-Fenchel-type inequality in hyperbolic space with an application to a Penrose inequality
证明了双曲$n$ -空间$n\geq 3$中星形严格平均凸超曲面的一个尖锐的Alexandrov-Fenchel型不等式.该参数使用两个新的单调量沿逆中曲率流。作为一个应用，我们建立了任意维上带有极小视界的渐近双曲图的最优Penrose不等式，当且仅当该图是反de Sitter-Schwarzschild解时，该不等式成立.这一结果改进了Dahl-Gicquaud-Sakovich的结果，并解决了这类初始数据集下具有负宇宙学常数的时间对称时空的约束Penrose不等式.我们还解释了如何我们的方法可以很容易地适应任何尺寸$n\geq 3$的渐近局部双曲图导出一个最佳的彭罗斯不等式。当视界具有亏格至少为1的紧致曲面的拓扑时，对于这类初始数据集，这为Gibbons、Chrusciel和Simon提出的关于奇异黑洞的Penrose型不等式的有效性的问题提供了肯定的答案。
Aleksandrov-Fenchel inequalities for unitary valuations of degree 2 and 3
我们将经典的Aleksandrov-Fenchel不等式推广到埃尔米特积分几何中自然产生的泛函上。作为结果，我们得到了埃尔米特实积分的Brunn-Minkowski不等式和等周不等式.
Fenchel-Willmore and Sobolev-type inequalities for submanifolds in non-negatively curved manifolds
本文建立Fenchel-Willmore不等式与对数Sobolev不等式的联系，推广至带边界及完备非紧子流形，并导出尖锐Sobolev型不等式，应用于曲面拓扑。
Harmonic mean curvature flow and geometric inequalities
本文利用调和中曲率流证明了双曲空间中严格凸超曲面的一类新的Alexandrov-Fenchel型不等式.我们还将利用调和中曲率流证明双曲空间中一类新的关于平球面凸超曲面的几何不等式。利用这些新的Alexandrov-Fenchel型不等式和反中曲率流，我们得到了双曲空间中严格凸超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式，该不等式是Wang和Xia [44]对均匀凸超曲面证明的.最后，利用中曲率流证明了双曲空间中具有正里奇曲率的超曲面的一个新的Heintze-Karcher型不等式。
Volume preserving flow and Alexandrov-Fenchel type inequalities in hyperbolic space
本文研究双曲空间中两类曲率流（保体积流与约束拟质量积分的流），证明其收敛到测地球，并由此推出新的Alexandrov-Fenchel型不等式与刚性定理。
Geometric inequalities and the Alexandrov-Bakelman-Pucci technique
本文基于Alexandrov-Bakelman-Pucci技术，统一讨论了几何不等式的证明框架，涵盖欧几里得空间的等周不等式、子流形的均曲率不等式及Sobolev不等式等核心方法与贡献。
Alexandrov-Fenchel type inequalities for hypersurfaces in the sphere
本文针对球面$\u2119^{n+1}$中悬而未决的Alexandrov-Fenchel型不等式猜想，证明了一类涉及曲率积分与拟积分的不等式，等价于三个相邻拟积分的精确关系，并推出两个相邻拟积分的非精确关系。
A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound
具有下曲率界的度量空间的距离函数，根据定义，具有各种度量不等式：三角比较，四重比较和Lang-Schroeder-Sturm不等式.本文的目的是研究这些不等式的极值情形，并证明其刚性结果。空间，我们将处理这里是亚历山德罗夫空间可能有无限的维度，并不应该是局部紧的。
Quantitative Quermassintegral Inequalities for Nearly Spherical Sets
本文建立了近似球面集上的quermass积分的定量Alexandrov-Fenchel不等式.特别是，我们从下面的Frankael不对称约束的$(k,m)$ -等周赤字。我们还发现了一个下界的$(k,m)$ -等周赤字使用的球面偏差。
Michael-Simon inequalities for $k$-th mean curvatures
本文继续研究了$k$ -凸区域上拟质量积分的Alexandrov-Fenchel不等式.重点讨论了$k$ -曲率算子的Michael-Simon型不等式的应用.证明使用最优输运地图作为一种工具，涉及定义在域的边界上的曲率量。
On mixed Hodge-Riemann relations for translation-invariant valuations and Aleksandrov-Fenchel inequalities
最近，第一作者在几种特殊情况下证明了Hodge-Riemann估值关系的一个版本。莱夫谢茨算子认为有产生的产品或卷积与混合体积的几个欧几里德球。在这里，我们证明了在（余）度1的Hodge-Riemann关系持续，如果球被替换为几个不同的（中心对称）凸体与光滑边界的正高斯曲率。虽然卷积的这些混合Hodge-Riemann关系直接暗示了Aleksandrov-Fenchel不等式，但它们为乘积的对偶运算产生了一个新的不等式。这个新的不等式加强了Aleksandrov-Fenchel不等式在低维凸体上的经典结果，推广了S.阿列斯克
Mixed volumes and the Bochner method
本文利用谱定理将 Alexandrov-Fenchel 不等式及其矩阵对应物简化为平凡的 Bochner 公式，提供了概念与技术上更简单的新证明并澄清了底层结构。
Alexandrov's Theorem for Integral Varifolds and Applications to Geometric Inequalities
本文通过最优质量输运，为积分varifolds建立了等周和Michael-Simon-Sobolev不等式，推广了Brendle-Eichmair结果，并推广了Alexandrov定理，常数在余维2时最优。
The GBC mass for asymptotically hyperbolic manifolds
本文共分两部分。在第一部分中，我们利用Gauss-Bonnet曲率，这是数量曲率的自然推广，引入了一个高阶质量，Gauss-Bonnet-Chern质量$m^{\H}_k$，渐近双曲流形，并证明它是一个几何不变量。证明了渐近双曲图的正质量定理，并建立了双曲空间$\H^n$中相应的Penrose型不等式与加权Alexandrov-Fenchel不等式之间的关系.在第二部分中，我们建立了$Σ$中的加权Alexandrov-Fenchel不等式。作为应用，对于具有水平型边界$Σ$的渐近双曲图，在优势能量条件$\tilde L_k\ge0$成立的条件下，得到了关于第一部分定义的新质量的最优Penrose型不等式.这两个不等式都是最优的。
Some higher order isoperimetric inequalities via the method of optimal transport
本文建立了欧几里得空间中$k+1$ -凸区域的$k$ -次中曲率的积分与体积之间的一些尖锐不等式。所得结果推广了经典的凸区域上的Alexandrov-Fenchel不等式.我们的证明利用了最优运输的方法。
Michael-Simon Sobolev inequalities in Euclidean space
本文利用 Alexandrov-Bakelman-Pucci (ABP) 方法，证明了欧几里得空间中紧致子流形上光滑对称一致正定(0, 2)-张量场的 Michael-Simon 型不等式。
Alexandrov geometry: foundations
本书聚焦曲率有上下界的Alexandrov空间结构理论，以关注两类空间关联的新颖方法，系统阐述其基础理论至维数定义的相关内容，后续卷册将覆盖更多主题。
A mean curvature type flow in space forms
本文在空间型中引入了一类新的有界星形区域的中曲率流，并在不作任何曲率假设的情况下证明了它的长期存在性和指数收敛性.沿着该流动，封闭体积是恒定的，并且表面积单调地演变。此外，对于Rn +1中的有界凸区域，其quermass积分沿流单调发展，从而证明了一类关于quermass积分的Alexandrov-Fenchel不等式.
Optimal quantitative stability estimates for Alexandrov's Soap Bubble Theorem via Gagliardo-Nirenberg-type interpolation inequalities
本文利用Gagliardo-Nirenberg型插值不等式，针对C^{k,α}区域类给出Alexandrov肥皂泡定理的最优定量稳定性估计，得到不同r值下的稳定性剖面并通过显式示例证明估计最优。
A locally constrained inverse Hessian quotient flow in de Sitter space
本文在德西特空间中研究局部约束逆曲率流，推导出闭合2凸类空时空的Alexandrov-Fenchel不等式，部分验证了Hu和Li的猜想。
On the new weighted geometric inequalities near the sphere in space forms
本文研究了接近球体的集合在空间形式中的加权Minkowski型不等式，扩展了G22的工作，并在R^{n+1}和H^{n+1}中建立了加权Alexandrov-Fenchel型不等式的定量稳定性估计。
Higher order Poincare inequalities and Minkowski-type inequalities
受Hurwitz利用Fourier理论证明Wirtinger不等式的启发，我们在闭流形上得到了一些高阶Poincare型不等式.然后将这些不等式应用到球面上，给出了它们的一些几何意义。更具体地说，通过将它们应用于欧几里得空间中凸超曲面的支撑函数，得到了一些尖锐的Minkowski型不等式，如经典Minkowski不等式和Alexandrov-Fenchel不等式的稳定性不等式.
A comparison theorem with applications to sharp geometric inequalities for submanifolds
本文推导了子流形法向指数映射的雅可比行列式表达式，建立了与环境映射的关系，并提出新的比较定理，应用于闭子流形在非紧非负曲率和欧几里得体积增长的 manifold 中的Fenchel-Borsuk-Chern-Lashof型不等式和Willmore-Chen型不等式。
Sobolev inequalities in manifolds with nonnegative intermediate Ricci curvature
本文利用Alexandrov-Bakelman-Pucci方法，将Michael-Simon型Sobolev不等式推广到具有非负中间Ricci曲率的Riemannian流形中的子流形上，并由此导出极小子流形的等周不等式。
The entropy-degree theorem for Alexandrov spaces
将Besson-Courtois-Gallot熵刚性定理推广到曲率下有界的Alexandrov空间，通过建立新的度定理证明解析度与拓扑度等价，并应用于负曲率Einstein度量的障碍、锥流形体积界等。
Shephard's inequalities, Hodge-Riemann relations, and a conjecture of Fedotov
Shephard由Alexandrov-Fenchel不等式导出了一类著名的关于凸体混合体积的行列式不等式。Burago和Zalgaller的经典专著Geometric Inequalities陈述了一个关于Shephard不等式的高阶类似物的有效性的猜想，该猜想归因于Fedotov。本文证明了费多托夫猜想与简单凸多胞体的Hodge-Riemann关系相矛盾。一路上，我们做一些简要的评论，这些不等式的线性代数和几何方面。
Around the A.D. Alexandrov's theorem on a characterization of a sphere
本文综述了A. D. Alexandrov首先证明的下列定理的有关结果：\textit{Let $S$ be an analytic convex sphere-homeomorphic surface in $\mathbb R^3$ and let $k_1(\boldsymbol{x})\leqslant k_2(\boldsymbol{x})$ be its principal curvatures at the point $\boldsymbol{x}$. If the inequalities $k_1(\boldsymbol{x})\leqslant k\leqslant k_2(\boldsymbol{x})$ hold true with some constant $k$ for all $\boldsymbol{x}\in S$ then $S$ is a sphere.}重点是Y. Martinez-Maure首先证明了上述陈述对于凸$C^2$ -曲面是无效的。为了方便读者，在附录中，我们给出了Y。Martinez-Maure最初以法文发表于\textit{C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I, Math.} { \bf 332}（2001），41- 44。
Geometric inequalities and their stabilities for modified quermassintegrals in hyperbolic space
本文研究双曲空间中Hu-Li-Wei流的曲线情形，利用Heintze-Karcher型不等式证明严格h-凸闭曲线全局存在并指数收敛为测地圆，进而给出修正quermassintegral相关几何不等式的新证明及稳定性讨论。
On two notions of curvature on singular surfaces
研究奇异曲面上两种曲率界概念的等价性，通过证明相关不等式蕴含亚历山德罗夫曲率界填补理论空白，并得出结合彼得鲁宁结果，\(\omega\geq\kappa\mu\)意味着\(RCD(\kappa,2)\)的结论。
On the mean curvature type flow for convex capillary hypersurfaces in the ball
本文研究单位欧氏球中具有毛细边界的凸超曲面的平均曲率型流，证明严格凸初值下解长期存在并光滑收敛到球冠，并由此得到新的Alexandrov-Fenchel不等式。
Isoperimetric inequalities and geometry of level curves of harmonic functions on smooth and singular surfaces
研究了曲面上调和函数水平曲线长度的对数凸性及相关的等周型不等式。结果处理光滑的表面，以及与奇异亚历山德罗夫表面（也称为表面有界积分曲率），一类，其中包括例如表面与圆锥奇点和表面的CAT（0）型。此外，我们还研究了具有非必要常高斯曲率$K$的曲面上的水平曲线的测地曲率和调和函数的最速下降。这样的测地曲率函数证明满足某些拉普拉斯型方程和不等式，从这些方程和不等式我们可以推导出各种最大值和最小值原理。补充的结果是一些增长估计的衍生物$L'$和$L''$的长度的水平曲线函数$L$，以及举例说明的演示。我们的工作推广了Alessandrini，Longinetti，Talenti，Ma-Zhang和Wang-Wang的一些结果.
Michael-Simon type inequalities in hyperbolic space $\mathbb{H}^{n+1}$ via Brendle-Guan-Li's flows
本文利用 Brendle-Guan-Li 流，在 $h$-凸条件下建立了双曲空间中平均曲率及第 $k$ 个平均曲率的锐化 Michael-Simon 不等式，并推广了 Minkowski 型及加权 Alexandrov-Fenchel 不等式。
Locally constrained curvature flows and geometric inequalities in hyperbolic space
本文研究双曲空间中两类局部约束曲率流，证明h-凸性保持及光滑收敛性，并由此建立多组新的尖锐几何不等式，肯定回答了Ge-Wang-Wu猜想，同时给出Andrews-Chen等人不等式的新证明及其高阶推广。
Locally constrained flows and sharp Michael-Simon inequalities in hyperbolic space
本文利用局部约束的平均曲率流和逆曲率流，在双曲空间中针对具有较弱凸性条件的超曲面，成功证明了关于平均曲率及高阶平均曲率的精确Michael-Simon型不等式。
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