On discretely entropy conservative and entropy stable discontinuous Galerkin methods
Rice University（莱斯大学）
本文研究了基于对角范数求和由部分运算符的高阶方法，展示了其在非线性双曲PDE系统中满足离散守恒或耗散熵的性质，并通过构造离散熵守恒方案来提高间断伽辽金方法的稳定性和精度。
2018-02-13 cs.NA math.NA
Quadrature-Free Polytopic Discontinuous Galerkin Methods for Transport Problems
本文提出基于Euler齐次函数定理与Stokes定理的免求积算法，仅通过多面体顶点信息精确计算多项式积分，有效提升了线性传输方程间断Galerkin有限元逼近的效率。
2023-10-16 cs.NA math.NA
Fast formation of isogeometric Galerkin matrices by weighted quadrature
Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale（卡西诺及拉齐奥梅里迪奥纳莱大学）；Università degli Studi di Pavia（帕维亚大学）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” del CNR（CNR应用数学与信息技术研究所“E. Magenes”）
本文提出一种快速形成等几何伽辽金矩阵的算法，通过加权求积将测试函数纳入积分权重，利用基函数的张量积结构提升计算效率，实验证明在足够大的p值下，浮点运算时间少于内存操作时间。
2016-09-20 cs.NA math.NA
A Fully Discrete Galerkin Method for Abel-type Integral Equations
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）；Institute for Advanced Studies in Basic Sciences, Zanjan（赞詹基础科学高等研究院）
本文提出了一种适用于一般核类型的阿贝尔型积分方程的伽辽金方法，通过张量高斯求积实现全离散化，推导了分数阶Sobolev范数下的稳定性及近优收敛性估计，并通过数值实验验证了理论结果的准确性及解对参数的敏感性。
2018-03-07 cs.NA math.NA
Evo-GTransNet for Parabolic PDEs: A Fixed-Feature Galerkin Method of Lines with Quadrature-Mass Orthonormalization
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文提出Evo-GTransNet求解器，通过固定特征Galerkin方法线结合求积质量正交化解决抛物型偏微分方程，实现二阶时间收敛，在基准问题上的平均验证误差优于同类固定特征字典方法。
2026-08-21 cs.NA math.NA
On Runge-Kutta convolution quadrature based fractional variational integrators
University of Paderborn（帕德博恩大学）；Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED)（西班牙国家远程教育大学）
针对分数阶阻尼拉格朗日系统，结合Runge-Kutta卷积求积与高阶Galerkin方法构造分数变分积分器，实现二阶、四阶和六阶精度，并数值验证了能量衰减和收敛性。
2026-06-23 cs.NA math.NA
An Energy Stable Approach for Discretizing Hyperbolic Equations with Nonconforming Discontinuous Galerkin Methods
当采用非连续Galerkin方法对双曲型方程求积时，即使在具有精确积分的基本格式不支持这种增长时，也会导致指数能量增长。使用线性弹性作为一个模型问题，我们提出了一个斜对称的制定，具有相同的能量稳定性性能的精确和不精确的基于正交积分。即使当材料特性是可变的和不连续的，并且元件是非仿射的（例如，弯曲的）。此外，我们还展示了如何在可变材料特性和曲元素的情况下，使该格式保持保守性和常数。通过数值实验证明了该方法的稳定性和精确性，并证实了其解析稳定性、守恒性和常数保持性。
2022-03-11 cs.NA math.NA
Mortar-based entropy-stable discontinuous Galerkin methods on non-conforming quadrilateral and hexahedral meshes
非线性守恒律方程的高阶熵稳定间断Galerkin（DG）方法通过将熵守恒的有限体积通量与分部求和（SBP）离散矩阵相结合，再现了一个离散熵不等式.在DG的上下文中，在张量积（四边形和六面体）元素上，SBP矩阵通常通过在Lobatto求积点处配置来构造。最近的工作已经扩展到配置在更精确的高斯求积点的熵稳定DG计划的建设。本文将熵稳定的高斯配置格式推广到非协调网格。熵稳定的DG格式需要计算体积和表面求积节点之间的熵守恒数值通量。在体积和表面节点对齐的协调张量积网格上，仅需要在节点的“线”之间进行通量计算。但是，在非协调网格上，体积和曲面节点不再对齐，从而导致大量通量评估。我们通过引入一个熵稳定砂浆为基础的处理非协调界面通过一个面局部校正项，减少了这一费用，并提供了必要条件高阶精度。二维和三维的数值实验证实了这种方法的稳定性和准确性。
2020-08-10 cs.NA math.NA
Positivity-Preserving Lax-Wendroff Discontinuous Galerkin Schemes for Quadrature-Based Moment-Closure Approximations of Kinetic Models
基于矩量法（QRST）提供了一类很有前途的近似技术，用于将动力学方程简化为在热力学平衡之外有效的流体方程。在这项工作中，我们研究了一个特定的五个时刻的变体称为HyQeroes的Qeroes，并建立该系统是在解空间的凸区域的时刻可逆。然后，我们开发了一个高阶不连续Galerkin（DG）计划解决由此产生的流体系统。该计划是基于预测-校正方法，其中的预测是一个本地化的空间-时间DG计划。预测中的非线性代数系统采用Picard迭代求解。修正是基于发展方程的时间积分的直接显式更新，其中时空预测取代了精确解的所有实例。在没有限制器的情况下，高阶格式并不能保证解保持在HyQdom矩可实现的凸集中。为了克服这一点，我们引入新的限制器，严格保证计算的解决方案不会离开可实现的解决方案的凸集，从而保证系统的双曲性。我们在预测和校正步骤中开发了保正限制器，并开发了一个振荡限制器，用于抑制冲击附近的非物理振荡。我们还开发了一种新的扩展，该计划包括BGK碰撞算子，所提出的方法被证明是渐近保持在高碰撞极限。的HyQNOW和HyQMOM-BGK求解器进行了验证，在几个测试用例，表现出高阶精度光滑的问题和冲击捕捉能力的问题与冲击。数值验证了HyQMOM-BGK求解器的渐近保持特性。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Space-Time Galerkin Boundary Element Method for the Wave Equation
Southern Methodist University（南方卫理公会大学）
本文针对波动方程的时空伽辽金边界元法，提出一种分解凸多面体积分域的新积分方法，实现指数收敛，经散射问题测试验证有效性。
2026-08-18 cs.NA math.NA
Skew-symmetric entropy stable modal discontinuous Galerkin formulations
求解非线性守恒律方程的高阶熵稳定间断Galerkin（DG）方法满足一个固有的离散熵不等式。这种计划的建设依赖于使用精心选择的节点或体积和表面求积规则，以产生满足部分求和（SBP）属性的运营商。在这项工作中，我们将展示如何构建“模态”斜对称DG配方是熵稳定的体积和表面求积下，传统的SBP属性不成立。这些反对称公式避免了使用“强”矩阵SBP属性，而是依赖于离散算子精确区分常数并满足微积分基本定理的离散形式的假设。最后，我们通过数值实验验证了所提出的公式的准确性和稳定性，并讨论了混合四边形-三角形网格上的熵稳定DG格式的反对称公式的应用。
2019-08-03 cs.NA math.NA
Stability of Overintegration Methods for Nodal Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods
本文研究了在三维曲面元素域中，高阶不连续伽辽金谱元方法的稳定性问题，指出过积分方法虽然能消除体积积分中的混叠误差，但会引入表面积分的混叠误差，而提高体积和表面积分精度可实现稳定解算。
2017-07-16 cs.NA math.NA
Alias-free, matrix-free, and quadrature-free discontinuous Galerkin algorithms for (plasma) kinetic equations
从等离子体物理到气体动力学，了解基本的动力学过程对许多问题都很重要。这些问题的第一原理方法需要通过玻尔兹曼方程的统计描述，耦合到适当的场方程。在本文中，我们提出了一种新的版本的间断Galerkin（DG）算法来解决这样的动力学方程。与Monte-Carlo方法不同，我们使用连续方案，其中我们使用不连续基函数直接离散6D相空间。我们的DG方案消除了计数噪声和混叠误差，否则会污染微妙的场粒子相互作用。我们使用模态基函数减少自由度，以提高效率，同时保持高的形式收敛阶。我们的实现结合了一些软件创新：使用JIT编译的顶级语言，自动生成的计算内核和复杂的共享内存MPI实现来处理速度空间并行化。
2020-09-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Lagrange-Galerkin scheme with a locally linearized velocity for the Navier--Stokes equations
Waseda University（早稻田大学）；Graduate School of Fundamental Science and Engineering, Waseda University（早稻田大学基础理工学研究科）
本文提出一种无数值积分的Lagrange-Galerkin方案，通过局部线性化速度和后向欧拉法求解流体粒子位置，保证了理论稳定性和收敛性，验证了方案的稳定性及有限元最优误差估计。
2015-05-25 cs.NA math.NA
An a posteriori analysis of some inconsistent, nonconforming Galerkin methods approximating elliptic problems
Tristan Pryer Department of Mathematics
本文对不一致非符合方案的后验分析进行研究，提供新的估计方法并探讨不一致性对不平衡问题的影响。
2015-05-16 cs.NA math.NA
GPU-accelerated discontinuous Galerkin methods on polytopic meshes
基于多边形/多面体（以下统称为\emph{polytopic}）单元的间断伽辽金（dG）方法近年来受到了广泛的关注。由于通常使用的物理帧基函数和所涉及的正交挑战，这些方法的矩阵组装步骤通常在计算上是繁琐的。为了解决这一重要的实际问题，这项工作提出了两个并行汇编实现算法的CUDA使能的图形卡的内部惩罚dG方法多面体网格上的各类线性PDE问题。我们关注的是单GPU并行化，以及与分布式GPU节点上的实现。结果显示，由于组装步骤不需要通信，因此正交步长相对于所使用的GPU内核数量几乎具有线性可扩展性。反过来，这可以证明，多面体dG方法可以非常有效地实现的索赔，作为任何组件的计算时间开销相比，有限元的“标准”单纯或盒型网格可以有效地规避所提出的算法。
2021-02-15 cs.NA math.NA
Well-balanced nodal discontinuous Galerkin method for Euler equations with gravity
提出了一种求解带重力的可压缩Euler方程的平衡节点间断格式。DG方案利用在高斯-洛巴托-勒让德（GLL）节点处支持的不连续拉格朗日基函数以及使用相同节点的GLL求积。通过一种特定形式的源项离散化来实现良好平衡的属性，该离散化取决于流体静力学解的性质，以及用于源项求积的GLL节点。该方案是能够保持等温和多变的固定解决方案，以机器精度的任何网格组成的四边形细胞和任何重力位。它被应用在几个例子中，以证明其良好的平衡性能和提高分辨率的小扰动周围的固定解决方案。
2016-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Implementation of high-order, discontinuous Galerkin time stepping for fractional diffusion problems
间断Galerkin dG方法为分数阶扩散问题的时间积分提供了一种稳健而灵活的方法。然而，实际的实施方式使用由不容易评估的积分定义的系数。我们描述了专门的正交技术，有效地保持整体精度的dG方法。此外，我们观察到在数值实验中，已知的dG时间步进经典扩散问题的超收敛性质进行了修改形式的分数阶设置。
2020-03-22 cs.NA math.NA
Interpolation, projection and hierarchical bases in discontinuous Galerkin methods
Institut für Mathematik, Technische Universität Clausthal（Clausthal工业大学数学研究所）
本文研究Sobolev-Slobodecki空间中张量积型分片多项式逼近的插值与投影技术、基于层次基的求积规则与投影算子的误差估计以及逆不等式，主要应用于离散守恒律。
2013-02-19 cs.NA math.NA
A Meshless Galerkin Method For Non-Local Diffusion Using Localized Kernel Bases
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出了一种无网格方法，用于求解连续和离散变分形式的体积约束非局部扩散问题，通过局部化核基底构建离散解，并证明了连续和离散问题的适定性，展示了方法的收敛性结果。
2016-01-12 cs.NA math.NA
Superconvergence and aliasing saturation in Sloan iteration for spherical integral equations
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文针对球面积分方程，通过球谐函数分析Sloan迭代的超收敛与混叠饱和，推导了分离谱尾与混叠贡献的严格界，明确了过求积对恢复收敛率的阈值，并用数值实验验证了结果。
2026-08-21 cs.NA math.NA
Fully well-balanced entropy controlled discontinuous Galerkin spectral element method for shallow water flows: global flux quadrature and cell entropy correction
本文提出一种求解浅水方程的间断Galerkin谱元法，通过全局通量求积实现无需局部辅助问题的离散适衡，并引入单元人工黏性修正控制熵产生，显著提升了稳态精度与复杂场景鲁棒性。
2023-09-13 cs.NA math.NA
A short note on the accuracy of the discontinuous Galerkin method with reentrant faces
研究了对流反应方程间断Galerkin（DG）方法在重入网格上的收敛性。在这样的网格上，迎风数值通量是不光滑的，因此所得面项的数值积分只能期望是一阶精度。尽管这种不精确的整合，我们证明了DG方法收敛的顺序$\mathcal{O}(h^{p+1/2})$，这是相同的速度，在情况下的精确整合。因此，高阶精度不需要精确积分非光滑数值通量的专用求积规则。线性平流和离散纵坐标输运方程的例子，数值证实了这些结果。
2021-04-16 cs.NA math.NA
Entropy stable discontinuous Galerkin methods for ten-moment Gaussian closure equations
在这篇文章中，我们提出了高阶间断Galerkin熵稳定格式的十阶矩高斯封闭方程，这是基于适当的求积规则（见[8]）。所提出的方法的关键组成部分是在每个单元中使用熵守恒数值通量[31]，并在单元边缘使用适当的熵稳定数值通量。然后将其用于[8]的熵稳定DG框架中，以获得半离散格式的熵稳定性。我们还扩展这些计划的源项模型等离子体激光相互作用。对于时间离散，我们使用强稳定性保持格式。所提出的计划，然后在几个测试用例进行测试，以证明稳定性，准确性和鲁棒性。
2020-07-05 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin method for incompressible two-phase flows
本文对不可压Navier-斯托克斯方程提出了一种局部间断Galerkin（LDG）压力修正格式。该格式不需要罚参数，且精确满足离散连续性方程。该方案是特别适合于两相流时，使用分段线性界面结构（PLIC）的流体体积（VoF）方法和切割细胞求积。
2020-03-27 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Stable discretisations of high-order discontinuous Galerkin methods on equidistant and scattered points
在这项工作中，我们提出并研究了稳定的高阶配置型离散间断Galerkin方法的等距和分散的配置点。我们这样做是通过将离散最小二乘的概念到不连续的Galerkin框架。离散最小二乘逼近使我们能够在任意配置点上构造稳定的高阶精度近似，而离散最小二乘求积规则使我们能够对其进行稳定的精确数值积分。这两种方法都是利用离散正交多项式的基来有效地计算的。因此，建议的离散概括已知类的离散的不连续Galerkin方法，如不连续Galerkin配置谱元法。我们能够证明所提出的离散化的保守性和线性$L^2$ -稳定性。最后，数值试验研究其精度，并证明其扩展到非线性守恒律，系统，长期模拟，并在两个空间维度的变系数问题。
2020-01-02 cs.NA math.NA
Stable filtering procedures for nodal discontinuous Galerkin methods
我们证明了节点间断Galerkin（DG）方法中最常见的滤波过程是稳定的。该证明利用DG近似是从多项式基函数构造的，并且积分是用高阶精确的Legendre-Gauss-Lobatto求积来近似的。理论讨论用于将有限差分法的稳定滤波结果重新置于DG设置中。它示出的稳定性的过滤是相当于一个特定的收缩性条件借用所谓的传输问题的分析。因此，时间稳定性证明依赖于这样一个事实，即问题的潜在空间离散化在解上具有半离散界。数值试验提供了验证和验证的基本理论结果。
2020-07-14 cs.NA math.NA
A Novel Galerkin Method for Solving PDEs on the Sphere Using Highly Localized Kernel Bases
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出了一种新的Galerkin方法，用于在球面上求解偏微分方程，利用高度局部化的基底进行离散化，并探讨了离散刚度矩阵的稳定性与误差估计。
2015-02-16 cs.NA math.NA
An efficient and energy decaying discontinuous Galerkin method for Maxwell's equations for the Cole-Cole dispersive medium
本文利用间断Galerkin（DG）方法求解耦合的时域Maxwell方程和极化方程，研究了电磁波在Cole-Cole色散介质中的传播。我们定义了一个新的和锐化的总能量函数的Cole-Cole模型，它更好地描述的行为的能量比什么是在目前的文献。在时域数值模拟这个问题的一个主要主题一直是解决的困难，处理涉及的时域极化方程的非局部项。基于扩散表示和求积公式，我们导出了一个近似系统，其中卷积核由有限个满足局部时间常微分方程的辅助变量代替。为了保证近似系统的稳定性，建立了一个非线性约束优化数值格式来确定求积系数。通过对数值通量和投影的特殊选择，我们得到了半离散DG格式的最优阶收敛结果（对于常系数情形）。时间离散化采用标准的两步向后差分公式，并构造了一个线性复杂度的快速算法。数值算例验证了算法的有效性，验证了理论结果，并说明了能量的行为。
2022-08-23 cs.NA math.NA
GPU-accelerated Bernstein-Bezier discontinuous Galerkin methods for wave problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文研究了伯恩斯坦-贝兹基的不连续伽辽金方法在波问题中的计算性能，通过优化求积方案提升效率与稳定性，实验验证了其在高阶逼近下的优势。
2016-08-21 cs.NA math.NA
GPU-accelerated discontinuous Galerkin methods on hybrid meshes
Rice University（莱斯大学）；Universite catholique de Louvain（天主教鲁汶大学）
本文提出了一种基于混合网格的时域声波方程显式不连续伽辽金求解器，采用Gauss-Legendre和Gauss-Legendre-Lobatto节点基函数，结合GPU加速和多速率时间步长方法提升计算效率。
2015-07-10 cs.NA math.NA
Discretely entropy stable weight-adjusted discontinuous Galerkin methods on curvilinear meshes
本文提出了一种在曲面网格上求解非线性超几何守恒律的高阶不连续伽辽金方法，该方法在保持连续全局熵不等式半离散四次近似的同时，通过适当的多项式近似满足离散几何守恒定律。
2018-06-13 cs.NA math.NA
High order weight-adjusted discontinuous Galerkin methods for wave propagation on moving curved meshes
本文提出了运动曲网格上波动问题的高精度间断Galerkin（DG）方法，并给出了基和求积的一般选择。该方法采用任意拉格朗日-欧拉（ALE）公式将声波方程从随时间变化的运动物理域映射到固定的参考域。对于移动的曲面网格，当使用显式时间步长方法时，必须在每个时间步长处组装和反转加权质量矩阵。我们通过利用容易可逆的权重调整近似来避免这一步。由此产生的半离散的权重调整DG计划是可证明的能量稳定的一项，收敛到零的最佳$L^2$误差估计相同的速度。采用多项式和B样条基的数值实验验证了所提方法的高精度和能量稳定性。
2020-11-05 cs.NA math.NA
An adaptive IGA-BEM with hierarchical B-splines based on quasi-interpolation quadrature schemes
University of Firenze（佛罗伦萨大学）；University of Siena（锡耶纳大学）
本文提出了一种基于准插值求积方案的自适应IGA-BEM方法，通过引入适合的加权求积规则来评估伽辽金BEM公式中出现的积分，利用分层设置框架实现高效准确的数值方案，并通过残差驱动的自适应细化策略实现最优收敛率。
2018-07-12 cs.NA math.NA
Supremum-norm a posteriori error control of quadratic discontinuous Galerkin methods for the obstacle problem
本文对椭圆障碍问题的二次间断Galerkin方法在上确界范数下进行了后验误差分析。我们定义了两个离散集合（Gundi，Gudi和Kamana [1]），一个集合具有积分约束，另一个集合在求积点处具有节点约束，并讨论了所提出的后验误差估计的逐点可靠性和有效性.在分析中，我们采用了一个线性平均函数的DG有限元空间转换到标准协调的有限元空间和利用的泊松问题的格林函数的尖锐的边界。通过对离散解uh的协调部分进行适当的修改，构造了连续解u对应的上下障碍函数.最后，数值实验，以补充理论结果。
2022-09-11 cs.NA math.NA
High-Order Non-Conforming Discontinuous Galerkin Methods for the Acoustic Conservation Equations
本文比较了两种Nitsch型方法在高阶间断Galerkin（DG）声学守恒方程求解中处理非协调三角剖分问题。第一种方法（点到点插值）使用不精确积分与规定的主要元素的正交点。第二种方法使用精确积分（mortaring），根据非协调元素之间的相交选择求积。在文献中，一些优秀的性能和易于实施的点对点插值的报告。然而，我们表明，这种方法不能安全地用于DG离散的声学守恒方程，因为在我们的设置，它会产生虚假的振荡，导致不稳定。这项工作提出了一个测试案例，我们可以观察到的不稳定性，并表明，需要精确的整合，以保持一个稳定的方法。此外，我们提供了一个详细的分析方法与精确积分。我们显示最佳的空间收敛速度全球和在每个网格区域分别。该方法被构造成使得它可以原生地处理元素之间的重叠。最后，我们强调了声学计算中的非协调离散化的好处，通过不同流体的数值测试案例。
2022-10-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A collocation scheme that is equivalent to discontinuous Galerkin discretizations
Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文证明了一种具有求和-分部性质的谱配置算子产生的半离散化与使用相同底层求积的DG半离散化等价，并研究了等价性条件及数值验证。
2026-05-26 cs.NA math.NA
Unified Analysis for Variational Time Discretizations of Higher Order and Higher Regularity Applied to Non-stiff ODEs
本文给出了一类变分时间离散方法的统一分析，包括间断Galerkin方法和连续Galerkin-Petrov方法，适用于非刚性初值问题。除了良好的定义的方法，全局误差和超收敛性质进行了分析，相当弱的抽象假设下，也允许考虑各种各样的求积公式。数值实验验证并支持了理论结果。
2021-05-14 cs.NA math.NA
Automated Galerkin time stepping in Irksome
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Mathematical Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（布拉格查理大学数理学院数学研究所）；Department of Mathematics, Baylor University（贝勒大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学数学与统计系）
本文在Irksome中实现了间断Galerkin和连续Petrov-Galerkin时间步进的自动化，支持辅助变量、灵活时间求积和整体代数求解器，便于用户切换Runge-Kutta和Galerkin时间格式。
2026-06-26 cs.NA math.NA
Entropy stable discontinuous Galerkin schemes for the Relativistic Hydrodynamic Equations
本文对具有理想状态方程的狭义相对论流体动力学方程给出了熵稳定的间断Galerkin数值格式。数值格式使用Gauss-Lobatto求积规则的部分求和（SBP）特性。为了保证格式的熵稳定性，我们在网格内部采用两点熵守恒的数值通量，在网格界面采用适当的熵稳定的数值通量。由此产生的半离散计划，然后示出熵稳定。时间离散化采用SSP龙格-库塔法。数值算例验证了所提出格式的精度和稳定性。
2020-07-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fast formation and assembly of isogeometric Galerkin matrices for trimmed patches
本研究针对修剪双变量参数空间的等几何伽辽金矩阵构造，提出混合高斯点法和不连续加权求积两种基函数处理方案，均实现显著加速，分别适配中、高基函数次数场景。
2021-01-20 cs.CE cs.NA math.NA
Construction of Modern Robust Nodal Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods for the Compressible Navier-Stokes Equations
间断Galerkin（DG）方法由于其高阶精度和几何灵活性，在计算物理和工程中近似解偏微分方程有着悠久的历史。然而，DG并不完美，仍然存在一些问题。关于鲁棒性，DG在过去的七年里经历了广泛的转变，成为其现代形式，提供了关于线性和非线性问题的解有界性的陈述。本章采用建设性的方法介绍了一个现代化的DG谱元方法的可压缩Navier-斯托克斯方程在三维曲线的背景下。数值格式的基础来自于谱方法的经典原理，包括多项式逼近和高斯型求积。我们确定混叠的鲁棒性问题的一个根本原因，为经典的DG谱方法。消除所述混叠误差需要特定的微分矩阵和控制方程中对流通量项的仔细离散化。
2020-05-05 cs.NA math.NA
The error estimate of entropy-stable discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本文针对双曲守恒律，在一般非结构网格上建立半离散熵稳定间断Galerkin方法的严格先验误差估计，证明其收敛阶，还扩展至熵稳定无振荡DG方法，数值实验显示收敛率或超理论预测。
2026-08-10 cs.NA math.NA
Monolithic Convex Limiting for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods
将整体凸极限方法推广到节点间断Galerkin谱元方法。Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）积分的使用赋予了非线性双曲问题的同位DGSEM空间离散化的性质，大大简化了保持不变域的高分辨率格式的设计。与许多其他连续和不连续Galerkin方法变体相比，LGL谱算子的一个特别优点是可自然分解成兼容的子胞通量离散化。代表一个高阶空间半离散化的中间状态，我们进行通量限制的方式，保持这些状态和结果的龙格-库塔阶段在凸不变域。此外，局部边界可以被施加在感兴趣的标量上。与基于预测-校正算法的限制方法相比，我们的MCL程序LGL-DGSEM产生的非线性通量近似是独立的时间-步长，可以进一步修改，以执行熵稳定。为了证明可压缩欧拉方程的MCL/DGSEM计划的鲁棒性，我们运行具有挑战性的设置具有强冲击，陡峭的密度梯度和涡主导的流动模拟。
2023-03-01 cs.NA math.NA
Modelling wave propagation in elastic solids via high-order accurate implicit-mesh discontinuous Galerkin methods
提出了一种求解单相和双相固体中波传播问题的高精度隐式网格间断伽辽金框架。该框架属于嵌入边界技术，其新颖之处在于空间离散化，这使得边界和交界条件可以在弯曲的嵌入几何形状上以高阶精度执行。高阶精度是通过隐式定义的域和边界的高阶求积规则实现的，而单元格合并策略解决了小切割单元格的存在。该框架用于离散弹性动力学的控制方程，使用一阶双曲线动量-应变公式，并采用精确的黎曼解算子计算具有一般各向异性特性的不同材料之间的界面处的数值通量。空间离散方程，然后先进的时间使用显式高阶龙格-库塔算法。几个二维和三维数值试验，包括动态自适应网格细化，以证明高阶精度和能力的方法在弹性动力学分析的单相和两相固体包含复杂的几何形状。
2021-10-13 cs.NA math.NA
An SBP-SAT Continuous Galerkin Finite Element Formulation for Smooth and Discontinuous Fields
针对连续伽辽金有限元法在对流主导流动间断处产生伪振荡的问题，研究构建SBP-SAT形式的稳定多单元格式，开发伽辽金加权人工耗散算子，兼顾光滑场超收敛精度与间断处类WENO特性。
2023-11-09 cs.NA math.NA
Efficient assembly based on B-spline tailored quadrature rules for the IgA-SGBEM
University of Parma（帕尔马大学）；University of Cassino and southern Lazio（卡西诺及南拉齐奥大学）；University of Siena（锡耶纳大学）；University of Pavia（帕维亚大学）；University of Florence（佛罗伦萨大学）
本文基于B-样条的定制四阶规则，提出高效的SGBEM-IgA方法，通过行装配和求和因子化提升求解效率，验证了在计算成本和时间上的优势。
2017-07-13 cs.NA math.NA
An Energy Stable High-Order Cut Cell Discontinuous Galerkin Method with State Redistribution for Wave Propagation
本文将状态重分配技术与$L_2$能量稳定的高阶间断伽辽金格式相结合，解决了切割网格中的小单元问题，并从理论和数值上验证了该方法在二维波传播中的$L_2$稳定性和高阶精度。
2024-04-23 cs.NA math.NA
High-performance Implementation of Matrix-free High-order Discontinuous Galerkin Methods
在当今和未来的高性能计算系统上实现峰值性能的很大一部分是仿真代码的主要挑战。在本文中，我们解决这个问题的背景下，数值解的偏微分方程与有限元法，特别是间断Galerkin方法应用于对流扩散反应模型问题。假设在无矩阵方法中长方体网格上的基函数和求积的张量积结构，与基于矩阵的实现相比，可以实现算子应用的计算复杂性的大幅降低，同时实现SIMD矢量化和使用融合乘加。的峰值性能获得了一个完整的运营商评估的至强Haswell CPU与16个核心和加速几百（相对于矩阵为基础的计算）实现多项式次数七。单节点上的弱可扩展性以及屋顶线模型表明，该算法是完全计算约束的，具有高的每字节触发器比率。使用消息传递，在多达6144个内核上也展示了出色的可扩展性。
2017-11-29 cs.NA math.NA
Efficient operator-coarsening multigrid schemes for local discontinuous Galerkin methods
Paulson School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学保罗工程与应用科学学院）；Mathematics Group, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室数学组）
本文提出了一种高效的hp多网格方案，用于椭圆问题的局部不连续伽辽金（LDG）离散化，其核心思想是分别粗化底层离散梯度和散度算子。传统多网格粗化主问题导致多网格性能差，而粗化通量问题则能实现最优收敛性，等价于纯几何多网格方法。所提出的方法不需要显式构建整个网格层次，从而避免了在粗网格上计算四阶规则、提升算子及其他网格相关量的需要。在2D和3D均匀和自适应笛卡尔网格、曲面隐式定义网格以及多相椭圆界面问题中，均实现了良好的多网格收敛率。还简要讨论了非LDG离散化的扩展。
2019-03-12 cs.NA math.NA
Error Profile for Discontinuous Galerkin Time Stepping of Parabolic PDEs
考虑线性抛物问题的时间离散的间断Galerkin（DG）方法使用分段多项式的次数至多$r-1$在$t$，$r\ge1$和最大步长~ $k$。众所周知，DG误差的空间$L_2$ -范数在时间上具有全局最优阶$k^r$，并且对于$r\ge2$，在节点处具有阶$k^{2r-1}$的超收敛。我们发现，在$n$次子区间$(t_{n-1},t_n)$，在DG误差的主导项是成比例的本地右Radau多项式的程度$r$。该误差分布意味着DG误差在每个间隔中的右手Gauss-Radau正交点处为$k^{r+1}$阶。我们表明，在DG的解决方案在左端点$t_{n-1}$跳跃的规范提供了一个准确的\emph{a posteriori}估计的最大误差的子区间$(t_{n-1},t_n)$。此外，一个简单的后处理步骤产生一个\emph{continuous}分段多项式的次数$r$与最佳的全局收敛速度的顺序$k^{r+1}$。我们用一些数值实验来说明这些结果。
2022-09-22 cs.NA math.NA
Kershaw closures for linear transport equations in slab geometry II: high-order realizability-preserving discontinuous-Galerkin schemes
TU Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
本文将基于四面体的最小熵模型的可实现性保持 discontinuous-Galerkin 方案推广到任意阶的全矩模型，应用于 Kershaw 闭合，从而高效求解线性传输方程，通过数值收敛测试和非光滑基准问题验证高阶方法效率。
2016-08-02 cs.NA math.AP math.NA
Frequency domain integrals for stability preservation in Galerkin-type projection-based model order reduction
Institute of Mathematics and Computer Science, University of Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学数学与计算机科学研究所）
本文研究高维常微分方程动力系统，提出基于投影的降阶方法，通过频域积分解决Lyapunov不等式，确保降阶系统渐近稳定。
2018-08-13 cs.NA math.NA
Fourier--Galerkin Methods for Subwavelength Resonances in two-dimensional Acoustic Metamaterials
Computing and Mathematical Sciences Department, California Institute of Technology（加州理工学院计算与数学科学系）
提出一种傅里叶-伽辽金框架，通过边界积分公式的傅里叶模态投影和有效矩阵的渐近展开，将亚波长共振问题转化为低维非线性特征值问题，实现高效计算。
2026-06-03 cs.NA math.AP math.NA
