David Brewster, Reuven Hodges, Alexander Yong
We define and study proper permutations. Properness is a geometrically natural necessary criterion for a Schubert variety to be Levi-spherical. We prove the probability that a random permutation is proper goes to zero in the limit.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Enumeration of permutations indexing local complete intersection Schubert varieties
我们发现生成函数的置换类$\mathcal{A}'=\text{Av}(52341,53241,52431,35142,42513,351624)$的置换指数的局部完全交舒伯特簇。我们应用的方法是如何阿尔伯特和Brignall发现的生成函数的$\mathcal{A}=\text{Av}(4231,35142,42513,351624)$在他们的文件中的扩展。这就完成了所有古典置换类索引某些类型的舒伯特品种的枚举。
Denote by $u(n)$ the largest principal specialization of the Schubert polynomial: $ u(n) := \max_{w \in S_n} \mathfrak{S}_w(1,\ldots,1) $ Stanley conjectured in [arXiv:1704.00851] that there is a limit $\lim_{n\to \infty} \, \frac{1}{n^2} \log u(n), $ and asked for a limiting description of permutations achieving the maximum $u(n)$. Merzon and Smirnov conjectured in [arXiv:1410.6857] that this maximum is achieved on layered permutations. We resolve both Stanley's problems restricted to layered permutations.
We say that two permutations $π$ and $ρ$ have separated descents at position $k$ if $π$ has no descents before position $k$ and $ρ$ has no descents after position $k$. We give a counting formula, in terms of reduced word tableaux, for computing the structure constants of products of Schubert polynomials indexed by permutations with separated descents, and recognize that these structure constants are certain Edelman-Greene coefficients. Our approach uses generalizations of Schützenberger's jeu de taquin algorithm and the Edelman-Greene correspondence via bumpless pipe dreams.
Pattern avoidance and fiber bundle structures on Schubert varieties
我们给出了一个置换模式避免准则，用于确定从旗簇到格拉斯曼簇的投影映射何时在Schubert簇上诱导出纤维丛结构。特别地，我们引入了分裂模式的概念，并证明了Schubert簇具有这样的纤维丛结构当且仅当相应的置换避免了分裂模式3| 12和23| 1.继续，我们表明，舒伯特品种是一个迭代的纤维丛的格拉斯曼舒伯特品种，当且仅当相应的置换避免（非分裂）模式3412，52341，和635241。这扩展了Lakshmibai-Sandhya、Ryan和Wolper的一个综合结果，他们证明了其置换避免了“光滑”模式3412和4231的舒伯特簇是光滑格拉斯曼舒伯特簇的迭代纤维丛。
We prove that an inclusion-exclusion inspired expression of Schubert polynomials of permutations that avoid the patterns 1432 and 1423 is nonnegative. Our theorem implies a partial affirmative answer to a recent conjecture of Yibo Gao about principal specializations of Schubert polynomials. We propose a general framework for finding inclusion-exclusion inspired expression of Schubert polynomials of all permutations.
Principal specializations of Schubert polynomials, multi-layered permutations and asymptotics
本文研究Schubert多项式主特殊化的渐近最大化问题，将Morales、Pak和Panova关于分层排列的结果推广到$q$为单位根时多层排列的广义主特殊化。
Consider a lattice of n sites arranged around a ring, with the $n$ sites occupied by particles of weights $\{1,2,\dots,n\}$; the possible arrangements of particles in sites thus corresponds to the $n!$ permutations in $S_n$. The inhomogeneous totally asymmetric simple exclusion process (or TASEP) is a Markov chain on the set of permutations, in which two adjacent particles of weights $i<j$ swap places at rate $x_i - y_{n+1-j}$ if the particle of weight $j$ is to the right of the particle of weight $i$. (Otherwise nothing happens.) In the case that $y_i=0$ for all $i$, the stationary distributi…
Partial order on involutive permutations and double Schubert cells
本研究发现对称群中对合的偏序（源于Borel子群作用于平方零上三角矩阵的轨道闭包含序），与两个格拉斯曼流形直积中B-轨道闭包含序对应的对合偏序一致，并建立了二者的几何联系。
A tightness property of relatively smooth permutations
众所周知，$A$型Schubert簇的许多几何性质可以用组合的方法来解释.给定两个置换$w,x\in S_n$，我们给出了Schubert簇$X_w$的光滑轨迹包含Schubert胞腔$Y_x$这一性质的一个组合推论.这是一个必要的成分解释最近的代表理论的结果，作者与明格斯方面的身份Kazhdan-Lusztig多项式。
Schubert Calculus and the Heisenberg Algebra
本文利用后稳定舒伯特多项式建立海森堡代数表示的同构，并用二维费米子模型解释无限置换及舒伯特多项式的管道梦模型。
Consider a lattice of n sites arranged around a ring, with the $n$ sites occupied by particles of weights $\{1,2,\dots,n\}$; the possible arrangements of particles in sites thus corresponds to the $n!$ permutations in $S_n$. The \emph{inhomogeneous totally asymmetric simple exclusion process} (or TASEP) is a Markov chain on the set of permutations, in which two adjacent particles of weights $i<j$ swap places at rate $x_i - y_{n+1-j}$ if the particle of weight $j$ is to the right of the particle of weight $i$. (Otherwise nothing happens.) In the case that $y_i=0$ for all $i$, the stationary dis…
Schubert Polynomials and Elementary Symmetric Products
本文研究了施布特多项式分解为初等对称多项式的问题，提出基于排列模式回避的猜想，并探讨了其在代数组合学中的意义。
Equivariant Schubert Calculus for Inverse Grassmannian Permutations
研究逆格拉斯曼排列相关的舒伯特演算，给出两个双舒伯特多项式及两个特定单舒伯特多项式乘积的正展开式，前者非零结构常数是双舒伯特多项式，后者是非零结构常数是埃德尔曼 - 格林系数。
A unification of permutation patterns related to Schubert varieties
通过对Gorenstein簇的双点模式进行新的刻画，得到了置换模式与Schubert簇的奇点之间的新的联系.这些是经典模式的概括，其中条件被放置在排列中出现的位置以及出现的值上。这澄清了当平滑性要求被弱化为因子性并进一步弱化为Gorensteinness时会发生什么，扩展了Bousquet-Melou和Butler（2007）以及Woo和Yong（2006）的工作。我们还展示了Branden和Claesson（2011）引入的网格模式如何继承许多其他类型的模式，并定义了一种称为标记网格模式的扩展。我们利用这些新的模式进一步简化了Gorenstein Schubert簇的描述，并给出了Gasharov和Reiner（2002）引入的包含定义的Schubert簇的新描述。我们还给出了Billey和Warrington（2001）提出的123-六边形回避置换、Dumont置换和循环的标记网格模式的描述。
Intersections of Schubert varieties and other permutation array schemes
使用组合学和几何学的混合，我们给出了一个算法代数发现所有的标志在任何零维交叉的舒伯特品种相对于三个横向标志，更一般地说，任何数量的标志。特别地，三重交中的旗数也是旗流形的上同调环的结构常数。我们的算法是基于解决有限数量的行列式方程为每个路口（远少于天真的方法）。这些方程可用于计算舒伯特簇的交的伽罗瓦群和单值群。我们能够通过使用埃里克森和Linusson的置换阵列，以及它们的置换阵列品种，作为舒伯特品种的推广来限制方程的数量。我们表明，存在一个唯一的置换阵列对应于每个可实现的舒伯特问题，并给出了一个简单的递归计算相应的秩表，特别是一个简单的标准Littlewood-Richardson系数为0。我们描述了Eriksson和Linusson的置换数组品种（存在性，不可约性，等维性和简化方程）的病理，并定义了更自然的置换数组计划。特别地，我们给出了基于经典射影几何的可实现性猜想的几个反例。最后，我们给出的例子伽罗瓦/monodromy组实验似乎是小于预期。
Permutation representations on Schubert varieties
本文定义并研究了Schubert簇的等变上同调的置换表示，作为C上和C[t_1，t_2，.，t_n]。我们证明了这些群作用与M. Brion等，并给出了Berstein-Gelfand-Gelfand，Demazure，Kostant-Kumar等人研究的均差除算子的拓扑意义.我们分析这些表示使用的组合方法引入Goresky-Kottwitz-MacPherson的等变上同调。我们发现，每一个置换表示等变上同调产生一个表示普通上同调是平凡的，虽然等变表示不是。
Consequences of the Lakshmibai-Sandhya Theorem: the ubiquity of permutation patterns in Schubert calculus and related geometry
1990年，Lakshmibai和Sandhya发表了一个关于旗流形中奇异舒伯特簇的刻画，使用了模式回避的概念。这是第一次使用模式回避来表征舒伯特变种的几何性质。他们的研究结果与海曼、瑞安和沃尔珀的研究成果密切相关，但拉克什米拜-桑德亚是第一个完全使用这种语言的人。排列中的模式避免在历史上被Knuth，Pratt，Tarjan和其他人在20世纪60年代和70年代用来描述计算机科学中的排序算法。Lascoux和Sch $\text{ü}$ tzenberger在20世纪80年代也使用模式回避来表征vexillary排列。现在，有许多舒伯特簇的几何性质使用模式避免作为表征方法，包括Gorenstein，阶乘，局部完全相交和Kazhdan-Lusztig多项式的性质。这些就是我们所说的拉克什米拜-桑德亚定理的推论。我们调查了许多美丽的结果，概括，并在这方面仍然存在的问题。我们强调的优势，使用模式避免特征的线性时间算法和易于访问的文献，通过特纳的数据库的排列模式避免。本调查基于第二作者在2012年日本大坂为日本数学学会暑期学校举办的以舒伯特微积分为主题的讲座。
Pattern characterization of rationally smooth affine Schubert varieties of type A
有限维旗流形G/P中的Schubert簇是一类研究得很好的以相应的外尔群W的元素为指标的投射簇。特别是这些品种的平滑度和合理平滑度有很多测试。Lakshmibai-Sandhya的一个关键结果是，在类型A中，平滑舒伯特簇恰好是那些通过避免模式4231和3412的排列索引的簇。最近，关于旗流形的无穷维类似物的研究有很多，其中G是Kac-Moody群，W是仿射外尔群或抛物商.本文研究了W是A型仿射外尔群或仿射置换的情形。我们发展了仿射置换的模式避免的概念。我们的主要结果是有理光滑Schubert簇对应于仿射置换的模式4231和3412和扭曲的螺旋置换的一个特征。
We define and study odd analogues of classical geometric and combinatorial objects associated to permutations, namely odd Schubert varieties, odd diagrams, and odd inversion sets. We show that there is a bijection between odd inversion sets of permutations and acyclic orientations of the Turán graph, that the dimension of the odd Schubert variety associated to a permutation is the odd length of the permutation, and give several necessary conditions for a subset of $[n] \times [n]$ to be the odd diagram of a permutation. We also study the sign-twisted generating function of the odd length over …
Kohnert proposed the first monomial positive formula for Schubert polynomials as the generating polynomial for certain unit cell diagrams obtained from the Rothe diagram of a permutation. Billey, Jockusch and Stanley gave the first proven formula for Schubert polynomials as the generating polynomial for compatible sequences of reduced words of a permutation. In this paper, we give an explicit bijection between these two models, thereby definitively proving Kohnert's rule for Schubert polynomials.
We study the Steinberg variety associated to matrix Schubert varieties, and develop a Robinson-Schensted type correspondence, $τ\leftrightarrow(Λ,\mathsf Q,\mathsf P)$. Here $τ$ is a partial permutation of size $p\times q$, $Λ$ an admissible signed Young diagram of size $p+q$, and $\mathsf P$ (resp. $\mathsf Q$) a standard Young tableau of size $p$ (resp. $q$) whose shape is determined by $Λ$. By embedding the matrix Schubert variety into a Schubert variety, we find a close relationship between the combinatorics of the classical Robinson-Schensted-Knuth correspondence and our bijection. We als…
The record statistic and forward stability of Schubert products
本文通过排列的记录统计量研究Schubert多项式积的前向稳定性，分析了均匀排列、Grassmannian排列和布尔排列的记录概率，并推导了其渐进行为。
We show that for any permutation $w$ that avoids a certain set of 13 patterns of lengths 5 and 6, the Schubert polynomial $\mathfrak S_w$ can be expressed as the determinant of a matrix of elementary symmetric polynomials in a manner similar to the Jacobi-Trudi identity. For such $w$, this determinantal formula is equivalent to a (signed) subtraction-free expansion of $\mathfrak S_w$ in the basis of standard elementary monomials.
Forest-like permutations
给定一个置换$π\in \Sn\_n$，如果（i）$i<j$和$π(i)<π(j)$且（ii）不存在$k$使得$i < k < j$和$π(i)<π(k)<π(j)$，则通过将$i$连接到$j$来构造顶点集$\{1,2, ..., n\}$上的图$G\_π$。如果$G\_π$是一个森林，我们说$π$是类森林的。我们首先根据模式避免来描述森林样排列，然后通过某种线性映射来描述。由于最近的结果吴和勇，这表明，森林般的排列特征舒伯特品种是当地的阶乘。因此，类森林置换推广了光滑置换（对应于光滑舒伯特簇）。我们计算了类森林排列的生成函数。在光滑的情况下，它是代数的。然后，我们调整我们的方法来计算排列，其中$G\_π$是一棵树，或路径，并恢复已知的生成函数的顺利排列。
Staircase diagrams, pattern avoidance, and smooth permutations
本文研究阶梯图偏序结构与光滑置换模式避免的联系，并枚举了包括抛光置换在内的若干光滑置换子类。
Schubert polynomials and patterns in permutations
本文在 flagged Weyl 模对偶特征框架下，利用排列中的模式出现次数，为 Schubert 多项式支撑数及其 Newton 多面体格点数建立更强下界。
A normal variety $X$ is called $H$-spherical for the action of the complex reductive group $H$ if it contains a dense orbit of some Borel subgroup of $H$. We resolve a conjecture of Hodges--Yong by showing that their spherical permutations are characterized by permutation pattern avoidance. Together with results of Gao--Hodges--Yong this implies that the sphericality of a Schubert variety $X_w$ with respect to the largest possible Levi subgroup is characterized by this same pattern avoidance condition.
We give degree formulas for Grothendieck polynomials indexed by vexillary permutations and $1432$-avoiding permutations via tableau combinatorics. These formulas generalize a formula for degrees of symmetric Grothendieck polynomials which appeared in previous joint work of the authors with Y. Ren and A. St. Dizier. We apply our formulas to compute Castelnuovo-Mumford regularity of classes of generalized determinantal ideals. In particular, we give combinatorial formulas for the regularities of all one-sided mixed ladder determinantal ideals. We also derive formulas for the regularities of cert…
Fine multidegrees, universal Grobner bases, and matrix Schubert varieties
本文给出了多项式集合成为理想通用Gröbner基的精细多度判据，并引入精细Schubert多项式计算矩阵Schubert簇在(ℙ¹)^N中闭包的精细多度，进而为某些置换的矩阵Schubert簇理想构造通用Gröbner基。
On stationary real matrix Schubert varieties
本文研究了实矩阵施布特簇的平稳性，证明了特定条件下其极小性，并揭示了相关簇的结构特性。
Cluster Geometry of Universal Schubert Polynomials I: Geometric Bases and Schubert Transitions
该研究将Fulton通用舒伯特多项式作为上幺幂群正则函数，分析其簇结构、几何基及转换关系，证明齐次性条件并展示$S_{10}$中置换对应的三个几何基元素互异。
We give an explicit formula for the degree of the Grothendieck polynomial of a Grassmannian permutation and a closely related formula for the Castelnuovo-Mumford regularity of the Schubert determinantal ideal of a Grassmannian permutation. We then provide a counterexample to a conjecture of Kummini-Lakshmibai-Sastry-Seshadri on a formula for regularities of standard open patches of particular Grassmannian Schubert varieties and show that our work gives rise to an alternate explicit formula in these cases. We end with a new conjecture on the regularities of standard open patches of arbitrary Gr…
Stretched Schubert coefficients are eventually quasi-polynomial
研究证明伸缩施鲁伯系数最终为拟多项式，验证了Kirillov猜想，利用管道梦想组合学和Ehrhart理论提供新反例和计算应用。
Torus Actions on Matrix Schubert and Kazhdan-Lusztig Varieties, and their Links to Statistical Models
本文研究由置换产生的矩阵舒伯特簇与Kazhdan-Lusztig簇在环面作用下的结构、复杂度及其与条件独立和拟独立统计模型的联系。
A formula for K-theory truncation Schubert calculus
将$\{x_1,x_2,x_3,...\}$中多项式$p$的“截断”$r_{t}(p)$定义为除了第一个$t$变量之外的所有变量都设置为零的多项式。在某些好的情况下，舒伯特或格罗滕迪克多项式的截断可以再次是舒伯特或格罗滕迪克多项式。我们利用这一现象给出了$K(Flags({\mathbb C}^n))$中某些Schubert结构常数的免减公式，特别是推广了[Kogan '00]中仅处理上同调的公式和[Buch' 02]中关于Grassmannian情况的公式。答案的项是使用置换图上的“marching”运算来计算的。
Principal specializations of Grothendieck polynomials
本文研究了不包含1423模式的排列的Grothendieck多项式主专化，证明其可非负表示模式出现次数，并进一步推导出避免1342模式的非负展开，部分解决Gao、Meśzáros--Tanjaya和Dennin的猜想。
Degeneracy Loci, Pfaffians, and Vexillary Signed Permutations in Types B, C, and D
定义了B、C、D型向量丛的符号置换的概念，对应于具有这些对称性的向量丛的自然退化轨迹。我们表明，这些轨迹的类给出明确的Pfweian公式。Kazarian的Grassmannian公式是重要的特例，而池田、Mihalcea和Naruse的相应的双Schubert多项式被证明等于这些Pfuberans。
Billey's formula in combinatorics, geometry, and topology
在这篇简要的论文中，我们描述了一个强大的组合公式及其在几何，拓扑和代数中的含义。这个公式最早出现在安徒生、詹岑和索尔格尔的一本书的附录中。萨拉·比利在五年后独立发现了它，它在她评估与舒伯特多项式密切相关的某些多项式的工作中发挥了重要作用。比利公式涉及舒伯特微积分的许多部分：舒伯特簇的几何，环面对旗簇的作用，关于置换的组合数据，旗簇和舒伯特簇的上同调，以及根系的组合学（置换的广义反演）。在组合上，Billey公式描述了外尔群的元素对的不变量。从表面上看，这个公式是由一个固定词的子词构建的词根组合。正如我们将看到的，它还有更深层次的几何和拓扑意义：（1）它告诉我们每个舒伯特簇中每个置换标志处的切空间。(2)它告诉我们舒伯特簇中的奇点。(3)它告诉我们Kostant多项式的值。Billey公式也反映了GKM理论的一个方面，它是一种仅从关于簇中的环面不动点的信息来描述簇的环面等变上同调的方法。本文还将描述一些应用的比利公式，包括具体的组合描述比利公式在特殊情况下，以及如何引导比利公式来描述等变上同调的旗簇的子簇GKM理论不适用。
Gröbner geometry of Schubert polynomials
我们的主要定理提供了一个单一的几何设置，其中多项式代表的Schubert类的标志流形的积分上同调环是唯一确定的，并有积极的几何原因的系数。这导致舒伯特多项式及其相关组合学的自然性的几何解释。给定S_n中的一个置换w，我们考虑一个行列式理想I_w，它的生成元是一般n × n矩阵（充满自变量）中的某些子式.利用“多重度”作为向量空间上环面等变上同调类的简单代数替代，我们的主要定理对每个理想I_w描述了：-用普通和双重Schubert和Grothendieck多项式表示的各种分次多重度和Hilbert级数; -由一般n × n矩阵中的子式组成的Gröbner基;- S_n中初始理想的Stanley-Reisner复形;和-一个程序归纳弱Bruhat秩序列出这一复杂的方面，从而通过组合图上的正递归生成舒伯特多项式的系数。我们证明了初始理想是Cohen-Macaulay，通过将Stanley-Reisner复形确定为一种特殊的“Sn中的子字复形”，我们对任意Coxeter群定义了它，并通过给出一个显式的顶点分解证明了它是可壳的.我们还几何地证明了一个一般的积极性声明的多程度的子计划。
The permutahedral variety, mixed Eulerian numbers, and principal specializations of Schubert polynomials
本文计算置换体簇上同调类在舒伯特类基下的展开，证明结构常数为正，并给出其组合解释及推广到其他李类型的思路。
Link patterns and elliptic Hecke algebra
本文比较三种几何对象，研究链接模式的椭圆特征类计算方法及海丘代数的应用。
Computation and sampling for Schubert specializations
本文研究Schubert多项式主特化计数减少管道幻想和减少无管幻想，发现Merzon-Smirnov猜想在n=17时的第一个反例，并探讨了与Grothendieck多项式相似的渐进行为。
Smoothness of Schubert varieties via patterns in root systems
利用广义旗流形$G/B$中的根系模式给出了广义旗流形$G/B$中Schubert簇的光滑性准则。我们推广了Lakshmibai-Sandhya的著名结果，即$SL(n)/B$中的舒伯特簇是光滑的当且仅当相应的置换避免了模式3412和4231。我们的标准制定统一的一般李理论条款。在外尔群元素中定义了模式的概念，并证明了Schubert簇是光滑的当且仅当外尔群的相应元素避开了某个有限模式表.这些禁止模式只存在于具有星形Dynkin图的根子系统中。在简单的情况下，禁止模式的列表特别简单：除了Lakshmibai-Sandhya准则中出现的两个$A_3$类型的模式之外，我们只需要一个额外的$D_4$类型的禁止模式。值得注意的是，外尔群中其他几类重要的元素也可以用禁用模式来描述。例如，外尔群中的全交换元就具有这样的特征。为了证明我们的标准，我们使用了几个已知的结果的经典类型。对于例外类型，我们的证明是基于计算机验证。为了对计算上具有挑战性的$E_8$型进行这样的验证，我们基于抛物分解得到了Schubert簇的上同调环的Poincaré多项式的几个一般性结果，这些结果具有独立的意义.
A permutation is called smooth if the corresponding Schubert variety is smooth. Gilboa and Lapid prove that in the symmetric group, multiplying the reflections below a smooth element $w$ in Bruhat order in a compatible order yields back the element $w$. We strengthen this result by showing that such a product in fact determines a saturated chain $e \to w$ in Bruhat order, and that this property characterizes smooth elements.
Brewing Fubini-Bruhat Orders
本文围绕生成线构型子簇，提出并研究三种由 Fubini 词索引的偏序——低因序、中焙序和浓缩序，推广了排列上的弱序与 Bruhat 序，并探讨了 Schubert 簇性质在这些新序中的延伸。
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