On secant defective varieties, in particular of dimension 4
Luca Chiantini, Ciro Ciliberto, Francesco Russo
本文证明了割线亏簇的一些一般性结果。然后，我们集中在4-维的情况下，我们给出了完整的分类割线亏损的4-倍。本文受G.斯科尔扎
In this paper we prove some general results on secant defective varieties. Then we focus on the 4--dimensional case and we give the full classification of secant defective 4--folds. This paper has been inspired by classical work by G. Scorza,
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New examples of defective secant varieties of Segre-Veronese varieties
证明了三因子Segre-Veronese簇和四因子Segre-Veronese簇在一定的多重度下的亏割簇的存在性。这些缺陷正割品种是以前未知的，是重要的分类缺陷正割品种的Segre-Veronese品种与三个或更多的因素。
On secant defectiveness and identifiability of Segre-Veronese varieties
我们给出了Segre-Veronese簇的非割线亏损性和可识别性的一个几乎渐近尖锐的界。我们还提供有缺陷的Segre-Veronese品种的新例子。
On multiples of divisors associated to Veronese embeddings with defective secant variety
在本注记中，我们考虑倍数aD，其中D是P^n沿着一般位置上的点的爆破的约数，该位置出现在Alexander和Hirschowitz的具有亏割簇的Veronese嵌入列表中。特别地，我们证明了存在这样一个D，使得h^1（X，D）> 0且h^1（X，2D）= 0。
Tangential projections and secant defective varieties
进一步在扎克的分类Scorza品种割线缺陷等于1，我们的特点是Veronese嵌入$¶^n$给出的完全线性系的二次曲面和其光滑的投影从一个点作为唯一的光滑不可约复杂和非退化的投影子品种的$¶^N$可以投射到$¶^{2n}$同构时，$N\geq\binom{n+2}{2}-2$。
A note on secant defective varieties and Clifford modules
本研究推广了Landsberg关联Clifford代数表示与Severi簇的构造，为LQEL簇的Russo可除性性质提供了新的证明。
Classification of secant defective manifolds near the extremal case
本文研究了极值情形附近的割线亏损流形分类问题。通过证明切线行为满足Scorza引理条件，得出当ε≤n-2时该流形为δ=1型LQEL-流形，并利用二次曲线连通流形的分类完成完整描述，推广了已有结果。
Secant Varieties of (P ^1) X .... X (P ^1) (n-times) are NOT Defective for n \geq 5
设V_n是（P^1）x的Segre嵌入. X（P^1）（n次）。证明了高割线簇σ_s（V_n）总是具有期望维数，但σ_3（V_4）的维数比期望维数小小于1.
Induction for secant varieties of Segre varieties
本文研究了Segre簇的割线簇的维数。这个问题既可以在张量代数的背景下求解，也可以在代数几何的背景下求解。一个归纳过程是建立在点和投影的连续专业化的想法。这将高维情况下割线簇的维数的计算减少到低维情况下部分割线簇的一系列计算。作为应用的技术：我们给一个完整的分类缺陷$t$正割品种Segre品种t < 7。推广了Catalisano-Geramita-Gimigliano关于P^n的张量幂幂的非亏性定理.我们确定了一套p的不平衡Segre品种有缺陷的p-割线品种。此外，我们还证明了Segre簇P^1 x P^1 x P^n x P^n和P^2 x P^3 x P^3是亏的，并完整地描述了它们的割线簇的维数。在最后一节中，我们提出了一系列关于缺陷型Segre品种的建议。
Higher secants of spinor varieties
设$S_h$是偶数维$2h$的复向量空间$V$的偶数纯旋量簇，赋以非退化二次型$Q$，$σ_k(S_h) $是$S_h$的$k$ -割线簇.本文描述了一种计算$σ_k(S_h) $复维数的概率算法。然后，通过归纳论证，我们得到了我们的主要结果：$σ_3(S_h) $具有期望维数，除了当$h\in \{7,8\} $。我们还提供了理论论证，证明了$S_7$有一个缺陷的3-割线品种和$S_8$有缺陷的3-割线和4-割线品种。
An asymptotic bound for secant varieties of Segre varieties
研究Segre簇的割线簇的亏度。我们证明了存在一个渐近下估计更大的非亏损割线品种（不填充周围空间）的任何给定的Segre品种。特别是，我们证明了更大的非亏损正割品种的Segre品种和其预期的排名之间的比率是下界的一个值取决于的Segre品种的因素的数量。此外，在最后一节中，我们给出了一些通过显式计算得到的结果，证明了形状为（P^n）^4的Segre簇的所有割线簇的非亏性，其中1 < n < 11，除了至多σ_199（（P^8）^4）和σ_357（（P^10）^4）。
A probabilistic algorithm for the secant defect of Grassmann varieties
本文研究Grassmann簇的高阶割线簇与交错张量的Waring问题和Alexander-Hirschowitz定理的关系。我们展示了如何使用涉及Terracini引理的概率方法来识别有缺陷的较高割线的Grassmannian变种，并且我们描述了一种算法，该算法可以通过数值方法计算dim（G（k，n）^{s}），其中n<=14。我们的主要结果是，除了线的格拉斯曼数，如果n<=14和k<=（n-1）/2（如果n=14，我们已经研究了k<=5的情况），只有四种已知的亏损情形：G（2，6）^{3}，G（3，7）^{3}，G（3，7）^{4}和G（2，8）^{4}。
On the dimensions of secant varieties of Segre-Veronese varieties
本文探讨了Segre-Veronese簇的高阶割线簇的维数。本文的主要目的是介绍两种不同的归纳技术。这些技术使人们能够减少在高维情况下的割线簇的维数的计算割线簇的维数在低维情况下的计算。作为这些归纳方法的一个应用，我们将证明某些双因子Segre-Veronese簇的割线簇的非亏性。我们还使用这些方法，给一个完整的分类缺陷s-th Segre-Veronese品种小s。在最后一节中，我们提出了一个关于缺陷双因子Segre-Veronese簇的猜想。
Secant varieties of toric varieties arising from simplicial complexes
基于Segre-Veronese簇的割线簇的研究，我们提出了一个一般的框架来分析由单纯复形定义的仿射空间的复曲面嵌入的割线簇的性质.我们证明了每一个这样的割线是复曲面，这给出了一种方法来使用组合工具来研究奇点。我们专注于Segre-Veronese品种，我们完全分类他们的割线，给Gorenstein或$\mathbb Q$ -Gorenstein品种。我们的结论提供了明确的描述奇异轨迹。
Generalizations of Strassen's equations for secant varieties of Segre varieties
我们定义了许多新的例子，模块的方程割线品种的Segre品种，推广Strassen的交换方程。我们的方程的模是通过从满足各种交换性质的张量构造矩阵的子空间得到的。
Birational geometry of defective varieties
在这里，我们研究的双有理几何的任意维数的射影簇有缺陷的高割线品种。我们应用经典的工具切向投影，我们确定自然条件uniruledness，合理的连接，合理性。
On singular varieties having an extremal secant line
本文纠正了文[1]中的一个错误，给出了具有极值割线的奇异簇的完整分类。
Lines on the secant cubic hypersurfaces of Severi varieties
Severi簇的割线簇提供了（奇异）三次超曲面的特殊例子。一个有趣的问题是，给定的三次超曲面何时与割线三次超曲面射影等价。受F.查尔斯，我们研究了割线三次体上的线的几何，并描述了线的法诺簇。然后，我们验证了“几何”Torelli定理的情况下割线三次。也就是说，一个三次超曲面同构于一个割线三次当且仅当它们的线的Fano簇同构。
Secant varieties of Segre-Veronese varieties $\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n$ embedded by $\mathcal{O}(1,2)$ are non-defective for $n\gg m^3$, $m\geq3$
该研究证明了在特定条件下，Segre-Veronese 变种的 secant 种子非缺陷性，通过推广 Brambilla 和 Ottaviani 的方法并利用计算机辅助证明验证基例。
On the classification of defective threefolds
我们对所有的不可约射影三折$X$进行了分类，这些不可约射影三折是$k$ -亏的，即$X$的某些$k$ -割线簇的维数小于期望值.这一结果推广了经典Scorza对$k=1$的分类。
Nondefectivity of invariant secant varieties
本文证明一大类不变割线簇的非缺陷性，解决大维数 Grassmannian 割线猜想的多数情形，并改进 Chow、Segre-Veronese、Gaussian moment 等簇的非缺陷性、可辨识性与一般秩界。
Osculating spaces to secant varieties
我们将经典的Terracini引理推广到高阶密切空间的割线簇。作为应用，我们用所谓的Horace方法讨论了射影三维空间的$d$ -Veronese嵌入的情形.
Secant varieties of Segre-Veronese embeddings of (P^1)^r
我们使用双重退化技术来计算（P^1）^r的任何Segre-Veronese嵌入的割线簇的维数
On the Dimension of Secant Varieties
我们推广了Zak关于切线和线性正规性的定理以及Zak关于Severi簇的定义和分类。特别是我们发现尖锐的下界的维数较高割线品种的一个给定的品种X适当的正则性假设下，我们分类品种的界限。
Geometric syzygies of elliptic normal curves and their secant varieties
证明了椭圆正态曲线及其割线簇和双椭圆标准曲线的线性合点空间都是几何合点所张成的。
Secant Varieties of Grasmann Varieties
在本文中，我们讨论的（高）割线品种的格拉斯曼品种，通过Plucker嵌入嵌入的维数。利用Terracini引理和有限维向量空间的外代数的对偶性，将问题转化为求外代数中“胖”理想的分次片的维数问题.除此之外，我们的方法证明，（除了弦品种的格拉斯曼线）所有的弦品种的格拉斯曼有预期的尺寸。我们还讨论了一些具有亏割簇的Grassmannian，给出了G（3，7）和G（3，9）是这类Grassmannian的新的证明.我们还发现了一个新的Grassmannian，即缺割线簇的G（4，8）。
Secant Varieties and Birational Geometry
我们展示了如何使用信息的方程定义割线品种平滑投影品种，以构建一个自然的双有理变换的集合。这些是由M. Thaddeus通过几何不变理论，和序列中的第一个翻转是由作者在早期的论文中为任意维数的品种构造的。我们揭示了第二次翻转的更精细的结构;再次为任意尺寸的品种。证明了割线簇的三次生成的一个结果，并对定义高阶割线簇的方程的性质作了一些说明。
Some local and global properties of secant varieties of nonsingular projective curves
本文研究了代数曲线secant簇的局部和全局性质，补充了先前工作，解决了相关问题并给出了递推公式。
A characterization of secant varieties of Severi varieties among cubic hypersurfaces
证明了具有非零Hessian和光滑奇异轨迹的不可约三次超曲面是Severi簇的割线簇当且仅当其无穷小线性自同构的李代数允许非零延拓.
On the normality of secant varieties
本文证明了嵌入充分正的线丛的光滑射影簇的割线簇是正规的。作为应用，我们证明亏格至少为7的一般标准曲线的割线簇是正规的。
Secant varieties of Segre-Veronese varieties P^m x P^n embedded by O(1,2)
令$X_{m,n}$是由$\mathcal{O}(1,2)$给出的态射嵌入的Segre-Veronese簇$\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n$。本文给出了两个函数$\underline{s}(m,n)\le \bar{s}(m,n)$，使得$X_{m,n}$的$s^{\mathrm{th}}$割线簇具有期望维数，如果$s \leq \underline{s}(m,n)$或$ \bar{s}(m,n) \leq s$ .我们还提出了一个完整的列表，这样的Segre-Veronese品种有缺陷的正割品种。
On the regularity of varieties having an extremal secant line
在r维射影空间中，具有极值割线的r次n维簇的Castelnuovo-Mumford正则性至少为d-r+n+1.我们对这些品种进行了分类，并证明了它们的正则性完全是d-r+n+1，正如正则性猜想所预测的那样。
Equations for secant varieties of Veronese and other varieties
利用表示论和几何学定义了Veronese簇的割线簇的方程模的新类。一些老模块的方程（catalecticant未成年人）被重新审视，以确定当他们是足够的图式理论定义方程。给出了一个将一般三元五次函数分解为七个五次幂之和的算法。我们的新方程和结果，他们被放入一个更大的背景下，通过引入向量丛技术，寻找方程的割线品种一般。我们包括这种方法的几个同质的例子。
Singularities of secant varieties
研究了与光滑簇$X$相关联的割线簇$Σ(X,L)$的奇异性，其中光滑簇被充分正的伴随丛$L$嵌入.证明了$Σ(X,L)$总是Du Bois奇异的.当$L$具有弱正性时，给出了具有更差奇异性的割线簇的例子.我们还给出了$Σ(X, L)$具有有理奇点的一个充要条件。
Effective syzygies of secant varieties
该研究针对代数几何中割线簇的性质问题，给出了仅依赖于空间维度X和参数p的伴随线丛有效界，推进了割线簇合冲理论的研究。
Singularities and syzygies of secant varieties of smooth projective varieties
本文研究光滑射影簇的高阶割线簇，证明曲面情形在正线丛下具有Du Bois奇点及线性合冲，并揭示其奇点类型由曲面结构层上同调决定，同时给出高维低阶情形的类似结果及高阶情形的否定性结论。
Identifiability and singular locus of secant varieties to Grassmannians
本研究利用SL(V)-簇结构确定了Grassmannian线割线簇的奇异轨迹，并解决了其中点的不可识别性与切向不可识别性问题，进而确定了第二Terracini轨迹。
Higher secant varieties of Segre-Veronese varieties
研究了嵌入${\cal O}_{\Bbb X}({a_1,...,a_t})$的态射的${\Bbb X} = {\Bbb P}^{n_1}\times ...\times {\Bbb P}^{n_t}$的高阶割线簇$X^s$的维数.我们称它为{ \it Segre-Veronese簇}，嵌入为{ \it Segre-Veronese嵌入}。在几种情况下（例如，对于3个因子{ \Bbb P}^{1}，或当$s$很小时），我们证明了除了少数情况外，$X^s$具有预期的维数。给出了有缺陷的$X^s$的示例列表。
Distinguishing secant from cactus varieties
仙人掌变种是割线变种的推广。它们是使用有限长度的任意有限格式的线性跨度定义的，而割线品种只使用孤立的约化点。特别是，任何割线品种总是包含在各自的仙人掌品种，而且，除了在少数初始情况下，包含是严格的。众所周知，许多测试正割品种成员资格的自然标准实际上只是测试仙人掌品种的成员资格。在这篇文章中，我们提出了第一个技术来区分实际割线品种的仙人掌品种的情况下，Veronese品种。我们专注于两个初始的情况下，$κ_{14}(ν_d(\mathbb{P}^n))$和$κ_{8,3}(ν_d(\mathbb{P}^n))$，最简单的表现出仙人掌和割线品种之间的差异。我们发现，$d\geq 5$，仙人掌品种$κ_{14}(ν_d(\mathbb{P}^6))$的其他割线品种$σ_{14}(ν_d(\mathbb{P}^6))$的组件由度$d$多项式可分为一个$(d-3)$ -rd权力的线性形式。我们将这种描述推广到任意数量的变量。我们提出了一个算法，用于确定仙人掌品种$κ_{14}(ν_d(\mathbb{P}^n))$中的一个点是否属于正割品种$σ_{14}(ν_d(\mathbb{P}^n))$为$d\geq 6,$ $n \geq 6$。我们得到类似的结果格拉斯曼仙人掌品种$κ_{8,3}(ν_d(\mathbb{P}^n))$。我们的中间结果也给出了部分答案类似的问题，其他仙人掌品种和格拉…
Restricted Secant Varieties of Grassmannians
本文研究格拉斯曼流形中带交集维数限制的受限割线簇，通过关联簇构造建立维数公式，并给出计算示例及编码理论应用。
Ranks on the boundaries of secant varieties
在许多情况下（例如，许多Segre或Segre嵌入的多投射空间），我们证明了一个超曲面的$b$割线品种的$X\subset \mathbb {P}^r$有$X$ -秩$>b$。证明了$X$的$b-2$拷贝与$X$的切簇的并的一般点的$X$秩为$>b$ .
Invariants of the singularities of secant varieties of curves
本文研究光滑射影曲线的 $k$-平面割线簇的奇点不变量，计算了任意曲线的交点上同调，并证明有理正规曲线的所有割线簇均为满足 Poincaré 对偶的有理同调流形，同时计算了最大非平凡割线簇的邻近圈与消没圈。
Refined de Jonquières divisors and secant varieties on algebraic curves
本文的目的是提供另一个角度来研究代数曲线上的割线簇，通过重新制定的问题，在细化的de Jonquières因子，即具有规定的重数和整体瓣部分的空间的尺寸曲线上的因子。我们既能恢复一些已知的结果，又能得到关于割线簇的维数论的一些新的表述。我们通过研究精化de Jonquières因子的维数论在相关情形下的性质和退化性论证来实现这一目的。
Secant varieties of P^2 x P^n embedded by O(1,2)
我们描述了嵌入O（1，2）的P^2 x P^n的第r个正割簇的定义理想，对于任意n和r至多5。我们还提出了Schur模分解的空间的生成元的每个这样的理想。我们的主要结果是基于一个更一般的建设生产明确的矩阵方程消失的正割品种的产品的射影空间。这扩展了Strassen和Ottaviani以前的工作。
Secant indices of projective varieties
对于余维$m$的射影$n$ -空间中的每个子簇$X$，我们关联一个长度为$m + 1$的整数序列，从$1$到$X$的度，记录$X$与线性子簇的有限约化交叉的最大基数。我们称之为$X$的正割指数序列。相似数已经被独立地研究，目的是用极值割线空间对子簇进行分类。我们的重点是在这份说明是研究的组合性质，割线指数满足集体。我们发现这些序列是严格增加的非退化光滑子品种，开发一种方法来计算项明智的下界的割线指数，并计算这些下界Veronese和Segre品种。在Veronese簇的情况下，艾森巴德-格林-哈里斯猜想的真实性意味着我们发现的下界实际上等于正割指数。在此过程中，我们陈述了几个相关的问题和其他的解释，据我们所知，这些问题是开放的。
Grassmannians of secant varieties
对于不可约射影簇X，研究了包含在割线簇Sec_k（X）中的h-平面族，其中0<h<k.这些家庭有一个预期的尺寸和我们研究的品种，预期的尺寸是没有达到这些品种，使一般连续投影到低维空间，我们没有得到预期的奇点。特别地，我们研究了位于曲面S的3-割线平面中的直线族G。我们证明了G的实际维数等于期望维数，除非S是P^5中的锥或4次有理法向涡卷。
Higher secant varieties of $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ embedded in bi-degree $(1,d)$
令$X^{(n,m)}_{(1,d)}$表示经由层$\mathcal{O}(1,d)$的截面的$\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$的Segre-Veronese嵌入。我们研究了$X^{(n,m)}_{(1,d)}$的高割线簇的维数，证明了除了$s$的$n$值之外，没有缺陷的$s^{th}$割线簇。此外，当${m+d \choose d}$是$(m+n+1)$的倍数时，$X^{(n,m)}_{(1,d)}$的$s^{th}$正割变体具有每个$s$的期望维数。
Singularities and syzygies of secant varieties of nonsingular projective curves
近年来，定义割线簇及其合点的方程引起了人们的广泛关注。本文的目的是通过解决几个问题，揭示奇点与合点之间的相互作用，对曲线割线簇进行深入的研究。主要结果是：对于非负整数$k$和$p$，若亏格为$g$的非奇异曲线的嵌入线丛的次数大于$2g+2k+p$，则曲线的$k$次正割簇具有正规的Du Bois奇点，是算术Cohen-Macaulay，并满足性质$N_{k+2, p}$ .此外，还根据曲线的亏格对割线簇的奇点进行了进一步的分类，并得到了Castelnuovo-Mumford图.作为主要的技术成分之一，我们建立了一个消失定理的笛卡儿积的曲线，这可能有独立的利益，并可能会发现其他地方的应用。
Secant varieties and the complexity of matrix multiplication
这是一个主要关于确定张量的边界秩的综述，特别是那些与矩阵乘法复杂性研究相关的张量。这是一个一方面在理论计算机科学中具有重要意义的主题，另一方面涉及代数几何中许多美丽的主题，例如关于割线簇方程的经典和最近的结果（例如，通过向量丛和表示论方法）以及零维格式的几何和变形理论。
Singularities of secant varieties from a Hodge theoretic perspective
本文从Hodge理论视角，利用双有理几何方法研究光滑射影簇割线簇的奇点，给出了p-Du Bois奇点的充要条件，并证明其奇点非更高有理，进而推导出Kodaira-Akizuki-Nakano型消失定理。
Partial stratification of secant varieties of Veronese varieties via curvilinear subschemes
我们给一个部分“准分层”的正割品种的顺序$d$ Veronese品种$X_{m,d}$的$\mathbb {P}^m$。它覆盖了位于$X_{m,d}$的曲线子模式的线性跨度上的所有点的集合$σ_t(X_{m,d})^{\dagger}$，但是两个“准层”可以重叠。对于低边秩，两个不同的“准层”是不相交的，我们计算它们的元素的对称秩。我们的工具是Veronese簇的曲线子格式的Hilbert格式。为了得到一个分层，我们给每个$P\in σ_t(X_{m,d})^{\dagger}$附加一个包含它的准层的最小标签。
Nondefective secant varieties of varieties of completely decomposable forms
一个变化的华林的问题从经典数论的问题，"什么是最小的数字$s$，使任何通用齐次多项式的次数$d$在$n+1$变量可以写为总和的最多$s$产品的线性形式？这个问题可以通过确定最小的$s$来几何地回答，使得各种完全可分解形式的$s$ \nth正割种类填充周围空间。如果这个割线品种具有预期的尺寸，它被称为无缺陷的，和$s=\left\lceil\binom{n+d}{d}/(dn+1)\right\rceil$。证明了割线簇总是无亏的，除非是$d=2$和$2\leq s\leq\frac{n}{2}$ .我们证明了这个猜想的几个特殊情况。特别地，我们定义函数$s_1$和$s_2$，使得当$n\geq 3$和$s\leq s_1(d)$或当$n=3$和$s\geq s_2(d)$时正割簇是无缺陷的，以及函数$c$，使得当$d\geq n\geq 4$和$s\leq 2^{n-3}c(n,d)$时正割簇是无缺陷的。我们进一步证明了当$s\leq 30$时，割线簇是无缺陷的，除非$d=2$和$2\leq s\leq\frac{n}{2}$。
A new class of non-identifiable skew symmetric tensors
我们证明了$\mathbb{P}^9$的平面的Grassmannian的第五正割簇$σ_5(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$的类元有正好两个分解作为可分解的反对称张量的五个投射类的和。{We表明，这{与$Gr(\mathbb{P}^3, \mathbb{P}^8)$一起，是任何$n<14$的无缺陷正割变种$σ_s(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$中唯一不可识别的情况}。在$n$的相同范围内，我们分类了任何格拉斯曼算子的所有弱亏损和所有切向弱亏损割线簇。我们还证明了$\mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^7$的Grassmannian的3-割线平面簇的对偶簇$(σ_3(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7)))^{\vee}$是同一Grassmannian的双割线簇的$σ_2(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7))$。这最后一个事实的证明有一个非常有趣的物理解释，即测量3个相同费米子的纠缠度，每个费米子的状态属于8维“希尔伯特”空间。
Finite schemes and secant varieties over arbitrary characteristic
我们提出了适用于割线簇研究的方案理论方法。这主要涉及有限格式及其光滑性。该理论推广到任何特征的基域，甚至推广到非代数闭域。特别地，有限格式的光滑性不依赖于嵌入到光滑簇或基域扩张。独立的基本领域，割线品种高度Veronese reembeddings行为良好的交叉，他们被定义为一个合适的光滑性条件Gorenstein子方案时，由未成年人catalecticants。文章的内容主要是暂时的，虽然许多结果是在一个更强的形式比文献。
Hilbert polynomials of the first and second secant varieties
本文通过描述光滑射影复簇上2或3点的Hilbert方案上充分正线丛的对称幂的上同调群，将其维数用第一和第二割簇的希尔伯特多项式表示，并完全计算了这些多项式。
Ulrich sheaves and determinantal representations for higher secant varieties of curves
研究光滑射影曲线高割线簇的行列式表示，利用高阶Szegő核等工具，在嵌入充裕时给出对称表示，对实曲线割线簇给出正定条件，对有理正规曲线割线簇给出明确表示，还能在特定条件下将曲线凸包表示为谱面体。
Four lectures on secant varieties
本文基于2012年讲座，介绍高阶割线簇理论及其应用，并附参考文献与习题解答。
Secant varieties and Hirschowitz bound on vector bundles over a curve
对于n阶曲线X上的向量丛V，对1 \le r \le n-1中的任意整数r，通过推广直纹曲面上截面的最小自相交数定义了Segre不变量s_r.本文推广了Lange和Narasimhan关于秩为2的丛的结果，这些结果将不变量s_1与某些扩张空间内曲线的割线簇联系起来。对于任意的n和r，我们找到了一种方法，从X上的一个涡卷的某些子簇的割线簇中得到关于不变量s_r的信息。利用这个几何图象，我们得到了s_r上Hirschowitz界的一个新的证明.
Secant varieties to high degree Veronese reembeddings, catalecticant matrices and smoothable Gorenstein schemes
我们研究割线品种的Veronese品种和Veronese再嵌入的一个光滑的投射品种。给出了用行列式方程从集理论上割出这些割线簇的条件。更确切地说，它们是由catalecticant矩阵的子式给出的。这些条件包括投射簇的维数至多为3并且再嵌入的程度足够高的情况。这给出了一个积极的答案集理论版本的一个问题的艾森巴德在维至多3。对于4维及更高维，我们给出了大量的例子，当catalecticant minor不足以从集合理论上定义割线簇到高度Veronese簇时。这是通过将问题与某些零维Gorenstein方案的光滑性相关联来完成的。
Duality, Bridgeland wall-crossing and flips of secant varieties
令$v_d(\mathbb{P}^2)\subset |\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)|$表示$d$ -二重Veronese曲面。在研究了曲面稳定性条件的跨壁现象的一些一般方面之后，我们能够通过将爆破的$\mbox{bl}_{v_d(\mathbb{P}^2)}|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)|$嵌入到$\mathbb{P}^2$上Bridgeland半稳定对象的适当模空间中来描述$v_d(\mathbb{P}^2)$割线簇的翻转序列.
Hyperbolic Secant Varieties of M-Curves
我们将曲线几何与实代数几何中的双曲性概念联系起来。一个双曲簇是一个实代数簇，它（特别地）允许一个实纤维态射到一个射影空间，其维数等于该簇的维数。我们研究双曲品种的情况下，特别感兴趣的超曲面，承认一个真正的代数裁决。本文的中心部分是关于实代数曲线的割线簇，其中实轨迹具有最大连通分支数，这是由曲线的亏格决定的。对于椭圆正态曲线，我们进一步得到了双曲正割超曲面的确定的对称行列式表示，这意味着在这些超曲面上存在秩为1的对称Ulrich层.
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