Induction for secant varieties of Segre varieties
本文研究了Segre簇的割线簇的维数。这个问题既可以在张量代数的背景下求解，也可以在代数几何的背景下求解。一个归纳过程是建立在点和投影的连续专业化的想法。这将高维情况下割线簇的维数的计算减少到低维情况下部分割线簇的一系列计算。作为应用的技术：我们给一个完整的分类缺陷$t$正割品种Segre品种t < 7。推广了Catalisano-Geramita-Gimigliano关于P^n的张量幂幂的非亏性定理.我们确定了一套p的不平衡Segre品种有缺陷的p-割线品种。此外，我们还证明了Segre簇P^1 x P^1 x P^n x P^n和P^2 x P^3 x P^3是亏的，并完整地描述了它们的割线簇的维数。在最后一节中，我们提出了一系列关于缺陷型Segre品种的建议。
2006-08-02 math.AG
Higher secants of spinor varieties
设$S_h$是偶数维$2h$的复向量空间$V$的偶数纯旋量簇，赋以非退化二次型$Q$，$σ_k(S_h) $是$S_h$的$k$ -割线簇.本文描述了一种计算$σ_k(S_h) $复维数的概率算法。然后，通过归纳论证，我们得到了我们的主要结果：$σ_3(S_h) $具有期望维数，除了当$h\in \{7,8\} $。我们还提供了理论论证，证明了$S_7$有一个缺陷的3-割线品种和$S_8$有缺陷的3-割线和4-割线品种。
2010-11-10 math.AG
On singular varieties having an extremal secant line
本文纠正了文[1]中的一个错误，给出了具有极值割线的奇异簇的完整分类。
2004-11-09 math.AG
A probabilistic algorithm for the secant defect of Grassmann varieties
本文研究Grassmann簇的高阶割线簇与交错张量的Waring问题和Alexander-Hirschowitz定理的关系。我们展示了如何使用涉及Terracini引理的概率方法来识别有缺陷的较高割线的Grassmannian变种，并且我们描述了一种算法，该算法可以通过数值方法计算dim（G（k，n）^{s}），其中n<=14。我们的主要结果是，除了线的格拉斯曼数，如果n<=14和k<=（n-1）/2（如果n=14，我们已经研究了k<=5的情况），只有四种已知的亏损情形：G（2，6）^{3}，G（3，7）^{3}，G（3，7）^{4}和G（2，8）^{4}。
2005-11-28 math.AG
On the dimensions of secant varieties of Segre-Veronese varieties
本文探讨了Segre-Veronese簇的高阶割线簇的维数。本文的主要目的是介绍两种不同的归纳技术。这些技术使人们能够减少在高维情况下的割线簇的维数的计算割线簇的维数在低维情况下的计算。作为这些归纳方法的一个应用，我们将证明某些双因子Segre-Veronese簇的割线簇的非亏性。我们还使用这些方法，给一个完整的分类缺陷s-th Segre-Veronese品种小s。在最后一节中，我们提出了一个关于缺陷双因子Segre-Veronese簇的猜想。
2011-06-29 math.AG
Birational geometry of defective varieties
在这里，我们研究的双有理几何的任意维数的射影簇有缺陷的高割线品种。我们应用经典的工具切向投影，我们确定自然条件uniruledness，合理的连接，合理性。
2004-06-16 math.AG
Secant varieties of Segre-Veronese varieties $\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n$ embedded by $\mathcal{O}(1,2)$ are non-defective for $n\gg m^3$, $m\geq3$
Universität Konstanz（康斯坦茨大学）；Università di Firenze（佛罗伦萨大学）
该研究证明了在特定条件下，Segre-Veronese 变种的 secant 种子非缺陷性，通过推广 Brambilla 和 Ottaviani 的方法并利用计算机辅助证明验证基例。
2026-01-06 math.AG
On the classification of defective threefolds
我们对所有的不可约射影三折$X$进行了分类，这些不可约射影三折是$k$ -亏的，即$X$的某些$k$ -割线簇的维数小于期望值.这一结果推广了经典Scorza对$k=1$的分类。
2004-06-18 math.AG
On the regularity of varieties having an extremal secant line
在r维射影空间中，具有极值割线的r次n维簇的Castelnuovo-Mumford正则性至少为d-r+n+1.我们对这些品种进行了分类，并证明了它们的正则性完全是d-r+n+1，正如正则性猜想所预测的那样。
2000-07-12 math.AG
A new class of non-identifiable skew symmetric tensors
我们证明了$\mathbb{P}^9$的平面的Grassmannian的第五正割簇$σ_5(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$的类元有正好两个分解作为可分解的反对称张量的五个投射类的和。{We表明，这{与$Gr(\mathbb{P}^3, \mathbb{P}^8)$一起，是任何$n<14$的无缺陷正割变种$σ_s(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$中唯一不可识别的情况}。在$n$的相同范围内，我们分类了任何格拉斯曼算子的所有弱亏损和所有切向弱亏损割线簇。我们还证明了$\mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^7$的Grassmannian的3-割线平面簇的对偶簇$(σ_3(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7)))^{\vee}$是同一Grassmannian的双割线簇的$σ_2(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7))$。这最后一个事实的证明有一个非常有趣的物理解释，即测量3个相同费米子的纠缠度，每个费米子的状态属于8维“希尔伯特”空间。
2018-02-16 math.AG
Remarks on defective Fano manifolds
本文继续了我们以前关于特殊割线亏损流形（特别是圆锥连通和局部二次入口轨迹）和对偶亏损流形的工作。这些都是现在很好地理解，除了主要的法诺。在这里，我们添加了一些关于这种情况的评论，完成了我们的论文\cite{LQEL I}，\cite{LQEL II}，\cite{CC}，\cite{HC}和\cite{DD}中的结果;也可参见最近的书\cite{Russo}
2017-02-02 math.AG
Higher secant varieties of $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ embedded in bi-degree $(1,d)$
令$X^{(n,m)}_{(1,d)}$表示经由层$\mathcal{O}(1,d)$的截面的$\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$的Segre-Veronese嵌入。我们研究了$X^{(n,m)}_{(1,d)}$的高割线簇的维数，证明了除了$s$的$n$值之外，没有缺陷的$s^{th}$割线簇。此外，当${m+d \choose d}$是$(m+n+1)$的倍数时，$X^{(n,m)}_{(1,d)}$的$s^{th}$正割变体具有每个$s$的期望维数。
2010-04-15 math.AG
Higher secant varieties of Segre-Veronese varieties
研究了嵌入${\cal O}_{\Bbb X}({a_1,...,a_t})$的态射的${\Bbb X} = {\Bbb P}^{n_1}\times ...\times {\Bbb P}^{n_t}$的高阶割线簇$X^s$的维数.我们称它为{ \it Segre-Veronese簇}，嵌入为{ \it Segre-Veronese嵌入}。在几种情况下（例如，对于3个因子{ \Bbb P}^{1}，或当$s$很小时），我们证明了除了少数情况外，$X^s$具有预期的维数。给出了有缺陷的$X^s$的示例列表。
2003-09-24 math.AG
A tropical approach to secant dimensions
热带几何产生良好的下界，在某些组合多面体优化问题，割线品种的尺寸。特别是，它给出了一个有吸引力的图形证明定理的赫希霍维茨，所有Veronese嵌入的射影平面除了二次和四次一个是没有缺陷的;这一证明可能是generalisable涵盖所有Veronese嵌入，其割线尺寸是已知的开创性的，但困难的工作亚历山大和赫希霍维茨。此外，某些Segre嵌入的非缺损性被证明，这不能证明与车覆盖的论点已经在文献中已知的。简短的自我包含介绍割线品种和所需的热带几何包括在内。
2006-09-05 math.AG math.CO
The secant line variety to the varieties of reducible plane curves
令$λ=[d_1,\dots,d_r]$是$d$的一个分区。考虑变量$\mathbb{X}_{2,λ} \subset \mathbb{P}^N$，$N={d+2 \choose 2}-1$，参数化形式$F\in k[x_0,x_1,x_2]_d$，它是$r\geq 2$形式$F_1,\dots,F_r$与deg $F_i = d_i$的乘积。我们研究了割线品种$σ_2(\mathbb{X}_{2,λ})$，并且我们确定，对于所有的$r$和$d$，这样的正割品种是否是缺陷的。缺陷发生在无限多的“不平衡”的情况下。
2014-11-28 math.AG
Tensoring by a plane maintains secant-regularity in degree at least two
本文证明在温和条件下，用平面做张量积能保持至少二次情形的割线正则性，并据此分类了若干乘积射影簇在特定多重次数嵌入下的割线缺陷情形。
2023-12-04 math.AG
On dual defective manifolds
嵌入流形是对偶亏损的，如果它的对偶簇不是超曲面。利用几何的各种线通过一般点，我们刻画涡卷之间的双重缺陷流形。这导致了对偶缺陷的最佳界限，这改善了由于Ein的结果。除此之外，我们还提供了一个简短而简单的证明著名的兰德曼奇偶定理的双重缺陷流形的基础上，我们的方法的主题。我们还讨论了我们的猜想，每一个对偶亏损流形循环皮卡德群应割线亏损，一个非常特殊的类型，即局部二次入口轨迹品种。
2014-11-23 math.AG
Birational geometry of defective varieties, II
设$X \subset \mathbb{P}^r$是光滑的和不可约的，对于$k \ge 0$，设$ν_k(X)$（分别，$δ_k(X)$）是第$k$个联系人（相应地，$X$的$k$次正割）缺陷。对于所有的$k \ge 0$，我们有不等式$ν_k(X) \ge δ_k(X)$，在$k=1$的情况下，我们描述了投影品种$X$，其中等式成立，$\dim \mathrm{Sing}(X) \le δ_1(X) -1$和通用切向接触轨迹是可约的。
2020-10-21 math.AG
Tangential varieties of Segre-Veronese surfaces are never defective
我们计算所有Segre-Veronese曲面的所有割线簇到切向簇的维数。我们利用一种新的退化技术，在射影平面上开发了计算特殊0维格式的Hilbert函数的典型方法。
2018-05-30 math.AC math.AG
The extremal Secant Conjecture for curves of arbitrary gonality
设$C$是曲线，$L$是非常充裕的线丛。Green-Lazarsfeld割线猜想预言，如果$L$的次数至少是$2g+p+1-2h^1(C,L)-Cliff(C)$，而且如果$L$是非常充分的$p+1$，那么Koszul群$K_{p,2}(C,L)$消失。在这篇文章中，我们建立了在极端情况下的猜想，即度正好是$2g+p+1-2h^1(C,L)-Cliff(C)$的情况，服从关于$C$和$L$的显式泛型假设。特别是，$C$的性是任意的（在我们的例子中是$gon(C)=Cliff(C)+2$）。
2015-12-12 math.AC math.AG
On non-secant defectivity of Segre-Veronese varieties
令$SV^{\pmb n}_{\pmb d}$是作为由线丛$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n_1}\times\dots\times\mathbb{P}^{n_r}}(d_1,\dots, d_r)$诱导的嵌入的图像给出的Segre-Veronese。证明了渐近$SV^{\pmb n}_{\pmb d}$对于$h\leq n_1^{\lfloor \log_2(d-1)\rfloor}$不是$h$ -缺陷的.
2016-11-05 math.AG math.DG
On the secant varieties of tangential varieties
设$X\subset \mathbb{P}^r$是一个整数非退化簇.令$σ_{a,b}(X)\subseteq \mathbb{P}^r$、$(a,b)\in \mathbb{N}^2$是$X$的$a$拷贝和$X$的切向变体的$b$拷贝的连接。利用经典的Alexander-Hirschowitz定理（$b=0$）和H. Abo和N. Vannieuwenhoven（情况$a=0$）当$X$是$\mathbb{P}^n$的$d$-Veronese嵌入时，我们在许多情况下计算$\dim σ_{a,b}(X)$。这与齐次多项式的某些加法分解有关。我们给出了一个一般定理，证明了当$X=Y\times \mathbb{P}^1$在$\mathbb{P}^r$中有一个合适的Segre-Veronese风格嵌入时，$\dim σ_{0,b}(X)$是期望的。作为一个推论，我们证明，如果$d_i\ge 3$，$1\le i \le n$，和$(d_1+1)(d_2+1)\ge 38$的切向品种的$(\mathbb{P}^1)^n$嵌入$|\mathcal{O} _{(\mathbb{P} ^1)^n}(d_1,\dots ,d_n)|$是没有缺陷的和一个类似的声明$\mathbb{P}^n\times \mathbb{P}^1$。对于任意的$X$和$X$上的一个样本线丛$L$，我们证明了存在一个整…
2021-06-01 math.AG
Manifolds covered by lines, defective manifolds and a restricted Hartshorne Conjecture
由小次方程定义的小余维嵌入流形是Fano流形，并被线覆盖。当通过一般点的线的种类是这样并且有正确的余维时，它们是完全相交的。这使我们能够证明Hartshorne猜想的流形定义的二次方程，并获得清单等Hartshorne流形。利用几何的各种线通过一般点，我们刻画涡卷之间的双重缺陷流形。这导致了对偶缺陷的最佳界限，这改善了由于Ein的结果。我们讨论了我们的猜想，每一个对偶亏损流形循环皮卡德群也应该割线亏损，一个非常特殊的类型，即一个局部二次入口轨迹品种。
2012-09-10 math.AG
Higher secant varieties of $\mathbb P^n \times\mathbb P^ 1$ embedded in bi-degree $(a,b)$
本文通过对任意$n,a,b\in \mathbb{Z}^+$的层$\mathcal{O}(a,b)$的截面，计算了所有高阶割线簇到$\mathbb{P}^n\times \mathbb{P}^1$的Segre-Veronese嵌入的维数.我们将这一结果与Veronese品种的格拉斯曼缺陷，我们分类所有的格拉斯曼$(1,s-1)$缺陷Veronese品种。
2011-03-06 math.AC math.AG
On the infinitesimal Terracini lemma
在本文中，我们证明了一个无穷小版本的经典Terracini引理3-割线平面的各种。精确地证明了：如果$X\subseteq \PP^r$是维数为$n$的不可约的、非退化的、射影复簇，且维数为$r\geq 3n+2$，使得$X$中曲线的密切平面簇具有期望维数$3n$，且对每个$0$ -维，$X$中包含一个长度为3的曲线格式$γ$，沿$γ$奇异的$X$的超平面截面族维数较大即$r-3(n+1)$，则$X$是$2$ --正割亏格。
2020-09-20 math.AG
Varieties with quadratic entry locus, II
我们继续研究，开始由第二作者在数学。AG/0701889，割线缺损流形有“简单的入口轨迹”。我们证明了这样的流形是合理的，并描述他们的切向投影。利用我们在数学AG/0701885中的结果，将它们的分类归结为高指数Fano流形的情形，其Picard群由超平面截面类生成。根据猜想，前者应该是有理齐次流形的线性截面。我们还证明了由超平面截面生成的具有Picard群的线性正规对偶亏损流形的分类应该遵循同样的原则。
2008-04-21 math.AG
On the dimension of contact loci and the identifiability of tensors
设$X\subset \mathbb{P}^r$是一个整数非退化簇.设置$n:= \dim (X)$。证明了如果$X$的$(k+n-1)$ -正割簇具有（期望的）维数$(k+n-1)(n+1)-1<r$，且$X$不被线去圆，则$X$不是$k$ -弱亏损的，因此$k$ -正割簇满足可识别性，即它的一般元素在唯一的具有$\sharp (S) =k$的$S\subset X$的线性跨度中.我们将这一结果应用到许多Segre-Veronese品种和高斯混合$G_{1,d}$的可识别性。如果$X$是一个多投射空间的Segre嵌入，我们证明了$k$ -正割簇的可识别性（假设$(k+n-1)$ -正割簇具有维度$(k+n-1)(n+1)-1<r$，这在许多情况下是一个已知的结果），击败了张量可识别性的几个界限。
2017-12-01 math.AC math.AG
Non-Defectivity of Grassmannians of planes
设$Gr(k,n)$是$k$ -平面的Grassmann簇在$¶n$中的Plücker嵌入.对于射影簇$X$，令$σ_s(X)$表示其$s-1$正割平面的簇。更准确地说，$σ_s(X)$表示$s$的线性跨度的并集的Zeromki闭包-$X$上的点的元组。我们展示了两个函数$s_0(n)\le s_1(n)$，以便每当$n\geq 9$和$s\le s_0(n)$或$s_1(n)\le s$时，$σ_s(Gr(2,n))$都具有预期的维度。$s_0(n)$和$s_1(n)$均渐近于$\frac{n^2}{18}$。这渐近地产生$\wedge^{3} 1pt {\mathbb C}^{n+1}$的元素的典型秩。最后，我们分类所有有缺陷的$σ_s(Gr(k,n))$ $s\le 6$，并提供几何参数每个有缺陷的情况下。
2009-01-17 math.AC math.AG
Varieties with quadratic entry locus, I
$δ$型的二次入口轨迹流形$X\subset\mathbb P^N$是光滑的射影簇，使得在$X$上由跨越通过割线簇$SX\subseteq\mathbb P^N$的一般点的割线的点所描述的轨迹是光滑的二次超曲面，其维数为$δ=2n+1-\dim(SX)$，等于$X$的割线亏。这些流形广泛而自然地出现在具有特殊几何性质和/或极值切向行为的射影变种中。我们证明了，设$δ=2r_X +1\geq 3$或$δ=2r_X+2$，则$2^{r_X}$可除$n-δ$ .这是通过研究射影几何的希尔伯特计划$Y_x\subset \mathbb(T_x^*)$的线通过一般点$x$的$X$，允许一个归纳程序。上述的整除性质允许对$QEL$ -流形上的许多结果进行统一和简单的证明，例如对$δ\geq n/2$型流形、$(2,3)$型Cremona变换、$(2,5)$的完全分类。特别是，我们提出了一个新的和非常短的证明，这一事实，塞维品种的尺寸2，4，8或16，也几乎自包含半页证明他们的分类，由于扎克。
2009-09-15 math.AG
Bronowski's conjecture and the identifiability of projective varieties
本文通过构造反例否定Bronowski猜想，并基于反例思路证明该猜想的修正版本，将射影簇的可辨识性问题归结为割线缺陷性问题。
2024-01-15 math.AG
The Alexander-Hirschowitz theorem for neurovarieties
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Ferrara（数学与信息学院，费拉拉大学）
本文研究了神经流形的亚历山大-希尔博茨定理，探讨了多项式神经网络在单输出情况下的维度特性，并推导了多输出架构的非缺陷性和全局可识别性。
2026-09-02 cs.AI cs.LG math.AC
